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高等函数的概念范文1
关键词：函数的极限 高职数学 教学
极限概念是微积分学最基本的概念之一，连续、导数、定积分等的定义都建立在极限概念的基础上。极限的思想和方法贯穿在整个高等数学的始终，是人们研究许多问题的工具，是从学习初等数学顺利过渡到学习高等数学所必须牢固掌握的内容。正确理解和掌握极限的概念和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点。对高职学生来说，这一部分内容也是较难掌握的。若极限学得不扎实，必然会影响到整个高等数学的学习，因此准确地掌握极限概念，对于进一步研究函数导数、积分等具有非常重要的意义。笔者在高职数学函数和极限一章教学实践中做了如下思考和探索。
一、做好与初等数学的衔接
初等数学研究对象基本上是不变量，而高等数学的微积分以函数、变量为主要研究对象。初等函数是连接初等数学与高等数学的纽带，现行的高中数学课本采用新课程标准，函数的有些内容被删去了，如反函数、三角函数中的余切、正割、余割及反三角函数。这些知识在高等数学中是必要的，因此在教学中笔者加入了这些知识的讲授。
大多数高职学生对中学数学知识掌握并不牢固，所以笔者在教学中重视复习函数概念、基本初等函数及其性质，及时复习求函数极限中用到的数学公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等变换常用公式等，为后续的极限教学做好铺垫。
二、创设情境引入极限概念
学生由初等数学转入高等数学的学习，学习方法、思维习惯、认知理解上会出现诸多不适应。因此，笔者在引入极限概念时，利用AutoCAD软件绘制正多边形的功能来演示随着圆内（外）接正多边形边数的不断增加，正多边形会越来越接近圆这一动态效果，使学生在具体情境中体会到这种无限的过程，使学生能够深刻地理解极限思想的内涵。让学生体会从“量变”到“质变”，从而真正理解极限这个概念。在教学上，我们用多媒体课件动态展示有关函数的图形，帮助学生理解和观察函数的左右逼近值，从而建立左右极限的概念。通过实践“情境—问题—探究”这一教学方式，学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静，培养学生的辩证思维能力。学生只有真正掌握了“极限”的动态实质，才能更好地理解和掌握导数和积分的概念。
三、精讲极限概念中的关键词
刻画极限的语言高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密。高职学生难以理解和接受。所以高职数学无需讲解极限的定义，采用极限的描述性定义更符合高职学生的实际。在极限的描述性定义中有两个关键词，“无限接近”的含义就是“要多接近就有多接近”，“定义”就是对“要多接近就有多接近”的定量化。笔者在教学中利用多媒体课件展示函数动态图形，分析一些典型变化趋势，通过比较数值的变化及函数图形解释“要多接近就有多接近”，引导学生进一步探讨自变量x“无限接近”x0的各种不同形式，使学生在图形上对“无限接近”这种“动态”变化有一较清晰的认识，从而强化对极限概念的理解。
四、针对学生易犯的错误重点讲解
学生在高中阶段已初步学习过极限概念，但缺乏深入的理解，特别是对“无穷小”和“无穷大”更感难以理解。例如对“无穷大”的概念，很多学生认为它是一个无限大的常数，思想还停留在常量数学阶段，而缺乏运动和变化的思想；相应地，将无限小的数就理解为“无穷小”。这样学生就会出现把“无穷小”和“无穷大”当成一个数进行四则运算，极限的四则运算法则成立的前提是两个函数的极限都存在，部分学生往往忽略这一点而造成错误。学生还经常忽视自变量的变化趋势对函数极限的影响，分段函数在分界点的连续性是教学中的一个难点，学生对为什么要计算左右极限感到不解。分析其原因，问题往往出在对极限概念的理解上，对自变量的变化趋势的理解不够。对此，纠正以上错误对具体求函数极限的习题也会有很大帮助。
五、及时总结求极限的各种方法
学生学习函数极限这一章内容感觉较难的原因还在于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，面对各种题型学生往往束手无策。因此，在教学中我们很有必要对函数极限的各种求法加以归纳总结分类。在本章教学结束时，笔者针对求极限的各种方法集中上一次习题课，详细总结各种求极限的方法，取得了较好的效果。
高等函数的概念范文2
辨析题高等数学作用在我国高等教学中，学生们在做题中经常会发现具有很多概念问题，定理的条件或者结论问题，还有不能解决的公式问题等一些在高等领域中，具有深刻意义的数学问题。这些问题的出现也是在高等教育学校里，跟高等学校的老师和教材有关。所以，在高等教育学校的老师对高等教育教学方法进行修改，甚至对高等教育学校的教学教材进行改编。我们就会发现在高等数学中，学生们对部分的定理条件或者结论时就会懂得怎样去解决。对于解决这些难题，学生们应该归纳总结出那些问题的难点，提出那些经过精心准备的辨析题进行思考和分析。这样才能让学生们去单独思考和发挥思维，去建立正确的概念和定理，从而解决这些加深概念的难题。
一、加强学生们对数学概念和定理的正确理解
1.概念，例如在数列中的极限是一个抽象而且难懂的一项概念，高等学校的学生们很难正确理解数列中的极限是什么概念。
例如，辨析题：意思就是当ε
2.高等数学中，很多公式可以计算某些积分数据，但是计算过程是很复杂的。例如：可以用来计算积分，但是计算积分的条件必须让学生清楚这种格式在应用计算积分中是很少用上的，我们要想知道是不是可以用来进行等量代换，可以得出还可以推出，做到这一步了，其实可以直接得出，在这些辨析题中，可以让学生知道：在函数进行代换的时候，在[-1，1]上无意义的点t=0。最后才让学生知道原来这些辨析题不能进行变量代换公式，才能真正了解这些公式在条件中的作用。
3.在积分区间，根据积分的变量反映了积分的正负关系，所以在积函数中也会有形成因子时，有的时候也会变成，还有是会变成在积分区间划分为两个不同的公式，分别是。但是在高等数学中，很多数学对函数的积分概念理解不清楚，经常导致出现计算错误或者利用公式不对，从而导致计算出来的结果与答案完全不同，具有很大的误差。
例如，我们看下面的计算发生错误的地方：其实学生们都知道所以，我们明显的知道，这个公式的计算是错误的。但是通过这个高等数学的辨析题我们知道：
所以，我们才知道在计算积分时，我们不但可以改正计算积分的错误算法，还可以探讨出更加好的运算原理和新公式，得出更加方便和快捷的计算方法。以上的几个例子足以证明，在高等数学中，老师出辨析题对学生们的作用和提升了，只要同学们积极去思考和努力去计算，就可以解决一切计算的困难，这样才能真正应用概念和定理的作用。
二、加强知识沟通与开发
在多元函数中当f（p）在某一点p上时，偏导数存在，但是当f（p）在点p连续时，成立在点p上的充分条件。在高等数学中，一元函数和多元函数在偏导数的存在与否具有不同之处，在我国高等数学教材中给出的是：这样可以说明，多元函数在某一点上的偏导数就会存在，而当一元函数不连续时偏导数就不存在。这样的例子并不是想说明函数需要在某一点上连续或者说明函数必须在某一点上存在偏导数。我们可以看辨析题知道：例题1：已知一个函数在点f上当x与y都等于0时，求它们在点（0，0）上是否存在？而且看f（x，y）在点（0，0）是否连续？从这个例子我们可以得出什么规律或者原理？
这个辨析题不仅给高等数学中的学生带来了分析还给学生们总结了一个原理，那就是多元函数在某一点偏导数存在而函数不连续的情况确实存在，而且我们可以看出在几何图像中显出点（0，0）偏导数存在，知识描述了f（x，y）在图中的性态，其实不能真正在点（0，0）上连续存在偏导数。在不同的函数领域里，一定有f（x，y）-f（0，0）=1的某一点。所以，这种题目给高等数学学校的学生开拓了大脑思维，从而进入了更加深层的思考问题的范围之内了。
经过上面的例子分析和计算，我们可以知道为什么选择辨析题来给学生们进行理解和思考。这样不仅可以提高学生在理解课程知识的进步，还能对学生们所学到的知识进行巩固和延伸。
所以，在高等教育学校，我们应该做好辨析题分析，才能让学生们在辨析题中有提高和进步的空间。但是，在我国高等数学中，教好辨析题的做法与分析不是一件容易之事啊。老师必须在上课之前做好课前备课，课堂与同学们进行讨论和研究。同时有了老师积极付出，应该还少不了同学们的积极配合，这样才能有效提高高等数学中辨析题的作用，下面我们对辨析题的优点进行了总结以下几点：
1.做辨析题是同学们在做高等数学题中的一种题型之一，高等数学题还包括计算题、函数题、证明题、应用题等各种题型。而辨析题的作用主要可以让学生们对老师所讲的知识进行巩固和延伸，从而进一步让知识更加广。
2.解答辨析题，主要是应用老师教的辨析解题法。能真正解答辨析题的学生必须是经过了思考和积极思维去做出来的，因为辨析题很需要学生去探索和积极思维，才能更快地解决辨析题，锻炼解决辨析题，可以锻炼学生灵活利用数学知识和公式，从而对解决辨析题具有重大的作用。
3.解决辨析题，不仅仅是机械记忆的一种方法还是概念与定理的一种记忆，但是仅仅利用老师所教的概念与定理远远不够用来解决辨析题，所以，学生们还要积极对高等数学教材进行钻研和探讨，才能让以后的学习数学更容易。
三、结语
高等数学中的辨析题对学生们进行开拓思维和积极延伸所学知识具有重要的作用。还可以为学生们以后解决高等数学的其他题型。
参考文献：
[1]张剑平.现代教育技术理论与应用[M].北京：高等教育出版社，2008.
高等函数的概念范文3
关键词：函数零点；数学思想；中学数学；大学数学
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0392-02
1.引言
德国数学家F.克莱因认为：教师应具备较高的数学观点，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。函数零点问题涉及化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，且很多学生一直都有"恐函症"，一见"任意""存在"等字眼就发懵，因此，尽管这个命题只有寥寥数语但也带给学生不少困惑。另外，《数学分析》也对该函数零点问题进行了延续，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、数列致密性定理等都与它有千丝万缕的关系。本文从函数零点的概念延伸、函数零点的求解方法及导函数的零点问题对函数零点的几种应用类型进行比较，并进一步阐述函数零点问题在中学数学与大学数学中的联系。
2.零点概念性质的延伸
定义1[1]（函数零点） 对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
同时，关于函数零点，我们有如下几个等价条件[1]：函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点。
这个概念本身就已经结合了函数与方程的思想，而《高等代数》[2] 又赋予了这个概念新的解释：f（λ）=|A-λE|为A的特征多项式，则特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是说矩阵的特征值就是其特征多项式的零点，这就将零点应用拓宽到了矩阵领域。
另外，《数学1》[3]中还给出了一个结论，延伸到《数学分析》[7]里，我们把它称作函数零点存在定理： 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）
这个定理看起来非常易理解，但却包含了三个条件：⑴闭区间连续；⑵端点函数值互异；⑶开区间有零点。实际上是数学分析中介值定理的下放。而在此基础上也可以推导出零点个数的判定定理，加深对零点个数问题的理解。
定理1[4] 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，设f（a）.f（b）≠0，则当f（a）和f（b）同号时，f（x）在区间（a，b）内包含偶数个零点；则当f（a）和f（b）异号时，f（x）在区间（a，b）内包含奇数个零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。这个c也就是方程f（x）=0的根。
此外，我们在解方程时有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的时候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中阶段往往被作为零碎的方法或概念去解决某一类问题，而从零点角度，则可以统一概括为：解析函数的一个零点是否导致符号变更（是否为一"交叉点"），按此零点重数是奇数或偶数来定。而符号变更这一概念不止在解析函数适用，在非解析函数仍然适用。有了这些高等数学的理论和概念作为支撑，在高中函数零点的教学过程中，就可以渗透更为精确的概念和表述，提升数学素养。
3.中学与大学函数零点问题的对比和讨论
中学与大学函数零点问题主要归结于在函数零点概念性质的延伸的背景下，通过对中学与大学用不同知识点来解决函数零点问题的几种应用类型进行比较，并进一步阐述其在中学数学与大学数学中的联系。
3.1 二分法与区间套定理。在中学数学现有的各版本高中教材中，均给出了利用二分法求零点近似解方法。然而在大学数学中，利用区间套定理求解函数零点问题，这是二分法在大学数学中的直接延拓，更是新课改下，大学知识简化进入中学教材的典例。
例2 利用区间套定理证明零点存在定理。
证明 由区间套定理知：
1.进行若干次等分后，某分点cn处函数值f（cn）=0此时取ξ=c即可
通过对比，我们发现无论是区间套定理还是二分法，都是通过将相应区间的两个端点逐步逼近得到相应的点，只是区间套定理相对于二分法求零点的一个最大突破就是加入了极限的概念，另二分法当中的精确度ε0，从而使近似值趋于精确值，得到了质的飞跃。当然，尽管二分法在区间套的选取当中仍然扮演重要角色，但区间套定理不仅限于此，不只是满足即可，这也是从形式上对二分法的一种提升。另外，区间套定理中加入的唯一性的证明，则进一步体现了数学的严谨性和准确性。由此，我们也可以发现中学与大学数学的紧密联系，可以看出函数零点在高等数学教育中的基础作用。对函数零点定理的掌握可以帮助学生更好地学习实数完备性理论，一步步从区间套定理到聚点定理、有限覆盖定理等更高深的理论，从而提升其数学修养。
3.2 导函数零点问题--极值与罗尔定理。高中数学中的导函数零点问题，一直是高考当中的重点，源于它能将各大基本函数（这里指指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等基本初等函数）的图像和性质融为一体。便于考查学生综合解题能力以及对知识点的灵活应用。其主要涉及函数的极值问题，是高中数学的一块重要内容（重庆高考卷一般会考查"一大一小"）。
将函数零点转化为某函数导数的零点则是对这一问题的逆用，是《数学分析》中的罗尔定理在高中数学的基础上，从微分到积分的跨越。
例3 （改编自2012年高考数学湖北卷文科第三题） 证明：函数在 上至少有四个零点。
分析：如果直接从函数零点定理着手，这个问题较有难度，因此可以将所求函数零点问题转化为导函数零点问题，构造出罗尔定理中的函数。
高等函数的概念范文4
,性质
首先是初等函数相关问题分析:
1.绝对值函数的概念及性质
绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。
1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性
例如f(x)=a|x|+b是
定义域:即x的取值集合,为全体实数;
值域: 不小于b的全体实数
单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;
> > 增 ;
< < 增 ;
< < 减 ;
1.2绝对值函数图象规律:
|f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。
f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。
1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。
2.取整函数的概念与性质
2.1取整函数是:设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。
2.2取整函数的性质:a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…
3.导数的概念与性质
3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。
3.2求导数的方法
(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限,得导数.
(2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数);⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).
补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。
(3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
4.高等函数的概念以及含义问题
4.1一元微分
1)一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。
通常把自变量x的增量 Δ
x称为自变量的微分,记作dx,即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X
的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。
2)其几何意义为:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
4.2多元微分
1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。
2)多元微分的运算法则
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2
3)微分表
d(x^3/3)=x^2dx
d(-1/x)=1/x^2dx
d(lnx)=1/xdx
d(-cosx)=sinxdx
d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx
高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简单的函数问题做一总结。
【参考资料】
1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.
2.实变函数简明教程.高等教育出版社 2005,5,.
高等函数的概念范文5
【关键词】微积分；重要极限；MATLAB
高等数学是理工类学科的一门基础课程，在一些文科类学科中也有重要的应用。微积分是高等数学的重要内容，是以极限为研究工具，以函数为研究对象的一门学科。
极限的学习与理解对于整个高等数学的学习起到至关重要的作用，然而极限的概念作为微积分当中的第一个重要概念，相对比较抽象，尤其对于数学基础薄弱的同学，理解很吃力，影响正门课程的学习。如何调整教学方式方法，帮助学生更好的理解函数极限的概念成为高等数学这门课程的一个热点问题。
Matlab软件是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，它将矩阵运算、数值分析、图形处理和编程技术结合在一起，具有良好的数据可视化和交互式环境。灵活运用这些功能可以使学生在实践中探索极限的概念，激发学生学习的兴趣。本文主要结合笔者的MATLAB应用实践，用数学实验的方法探索“重要极限”的概念。
先观察函数的图像，程序如下：
>> x1=0.1：-0.001：0.0001；
>> x2=-0.0001：-0.001：-0.1；
>> plot（x1，sin（x1）./x1，'o'，x2，sin（x2）./x2）；
>> title（'y=（sinx）/x'）；
>> xlabel（'x'）；
>> ylabel（'y'）；显示图像，如图1所示
首先通过描绘函数图像，研究函数的性质，程序如下：
>>subplot（2，2，1）；
>>fplot（'sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；
>>title（'y=sin（1/x）'）；
>>xlabel（'x'）；
>>ylabel（'y'）；
>>subplot（2，2，2）；
>>fplot（'x*sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；
>>title（'y=x*sin（1/x）'）；
>>xlabel（'x'）；
>>ylabel（'y'）；
>>x1=100：100：1000；
>>x2=-1000：100：-100；
>>subplot（2，2，3）；
>>plot（x1，sin（x1）./x1，x2，sin（x2）./x2）；
>>title（'y=sinx/x'）；
>>xlabel（'x'）；
ylabel（'y'）；
>>subplot（2，2，4）；
>>y1=（1./x1）.*sin（1./x1）；
>>y2=（1./x2）.*sin（1./x2）；
>>plot（x1，y1，x2，y2）；
>>title（'y=（1/x）*sin（1/x）'）；
>>xlabel（'x'）；
>>ylabel（'y'）； 显示图像如图2所示：
本题考察的4个函数与“重要极限”的表达形式非常接近，学生经常混淆。本题从图像的角度，结合理论对函数极限的结论进行了说明，帮助学生区别这几类极限问题。
如何利用数学软件进行辅助教学是现代教育研究课题之一，传统的数学教学强调理论性、系统性、严密性的证明，枯燥的理论证明容易使学生失去学习的兴趣，本文通过MATLAB的画图功能，描绘出函数的图像，通过观察了解极限的概念，有助于巩固学生对重要极限的掌握和理解。
【参考文献】
高等函数的概念范文6
［摘要］高等数学是一门结构严谨、逻辑性较强的基础数学课程。以培养学生的创新能力为目标，提出了高等数学的可视化教学方法。从最简单的微分概念开始，结合matlab软件，通过步步设问、层层深入、数形结合的方式，深入浅出的探讨了泰勒公式、傅里叶级数以及傅里叶变换等几个概念。这不仅有助于数学概念的理解，而且无形中激发了学生的学习兴趣，培养了学生独立思考的能力和创新能力。
［关键词］可视化教学；泰勒公式；傅里叶级数；傅里叶变换
高等数学是普通高等院校理工科专业本科生的一门必修课程。虽然是一门基础课程，但是其在各专业核心课程的学习中却发挥着非常重要的作用。然而现实生活中，很多大一新生并没有认识到高等数学在后续专业课学习中的重要性，因而对枯燥的数学公式渐渐失去了学习的兴趣，数学无用的思想油然而生。如何在枯燥的数学公式中让学生找到学习的乐趣，培养他们独立自主的创新能力是高等数学教学改革的重要内容。
李大潜院士曾经在《漫谈大学数学教学的目标与方法》中提到“如果将数学教学仅仅看成是知识的传授（特别是那种照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用；而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力”。近年来数学实验与可视化教学在掌握数学思想方面发挥了非常重要的作用．为了能更好的“演绎出千变万化的生动结论”，本文从最基本的微分概念出发，结合matlab软件探讨泰勒级数、傅立叶变换等概念的本质特征及其之间的联系。引导学生自觉培养创新能力和动手实践能力，加强高等数学与专业课之间的联系，从而减少学习高等数学的盲目性，提高数学学习的兴趣。
1微分的近似计算
为了解决“直与曲”的问题产生的微分概念，给出了函数的局部线性近似。Δx越小，则微分近似值y1与函数值y之间的误差oΔ（x）越小。很明显在x0附近，微分近似计算公式（公式（1））是利用x的线性函数近似计算函数值f（x），由于舍掉的是Δx的一个高阶无穷小量，因此随着Δx的增加这种近似计算的精确度并不高。2泰勒公式要提高微分近似计算的精确度，也就是要减少误差oΔ（x）。（3）可以看作微分近似计算公式（公式（1））的推广，其精确度有了很大提高。如果用公式（3）对应的n次泰勒展开式近似计算f（x），那么其误差Rn（）x是Δxn的一个高阶无穷小量。为了比较近似效果，对公式（2）所示函数用不同次数的泰勒展开式在x0附近去近似计算f（x）。在matlab中利用y1＝taylor（exp（x．＾2），3，x，0．6），y2＝taylor（exp（x．＾2），4，x，0．6）分别获得函数f（x）＝ex2在x0＝0．6处的2次和3次泰勒展开式。比较图2中两个泰勒展开式的近似结果可以看出随着次数的增加，泰勒展开式的近似效果明显提高，尤其是在远离x0＝0．6处（图2）。
3傅里叶级数
虽然高次泰勒展开式在x0附近能够给出很好的函数f（x）的近似结果（图2），但是这种近似却不具有整体性，即远离点x0时的近似效果较差。同时，需要函数f（x）满足一定的条件，要求在点x＝x0要具有任意阶导数。换个角度，泰勒公式可以看作函数f（x）在基底1，x，x2，x3…上的展开，那么如果换成由正弦函数和余弦函数组成的正交三角函数集作为基函数，可能会完善泰勒展开式中存在的问题，这就产生了著名的傅里叶级数。
4傅里叶变
换对于非周期函数f（）t，傅里叶变换将其看作周期无穷大的函数，用无穷多个三角函数进行计算。也就是说傅里叶变换是将一个时域非周期的连续函数f（）t，用一个在频域非周期的连续函数f（ω）表示，因此也是一种频域分析方法。因为三角函数集是一个完备的正交函数集。
5结论
高等数学是一门推理严谨、逻辑性较强的基础数学课程，将数学实验与可视化方法引入到高等数学的教学中有助于学生对基本概念的理解。同时，借助于数形结合，启发学生不断提出新的问题，提高求知欲。结合图1，为了提高微分近似计算的精确度，很容易掌握泰勒展开式的本质并且从图2中看到效果。傅里叶级数在周期函数展开中的重要地位，同时理解频域分析方法。结合极限思想，很容易将傅里叶级数推广到非周期函数的傅立叶变换。由此可见可视化方法在培养学生的创新能力具有明显的促进作用。
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