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数值分析范文1
关键词：数值分析；分层次教学；教学改革
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）46-0118-02
随着大学本科教育由精英教育向大众化教育的转变，各高校招生规模的扩大以及各地区教育发展的不平衡，学生间的水平差异相对加大，学习困难的学生人数相对增多，两极分化现象日益严重。传统课程教育所采用的三个统一的教学模式，即教学大纲、教材、考核方式统一，不能充分照顾学生的个体差异，使得基础好的学生可能吃不饱，基础较差的学生可能跟不上。一个班里的学生基础相差较大时，这种“吃不饱”和“消化不了”的学生就比较多，不利于教学质量的提高。数值分析课程是综合性大学数学专业的一门核心基础课程，它既有数学课程理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。数值分析课程内在知识结构及理论系统性，决定了该课程教学应该遵循可接受性原则。在数值分析知识链条中，不掌握前面基础知识和数值算法，就难以接受后面知识和算法。要解决学生数学基础和计算机应用基础差异大的问题，就必须实施分层次教学。所谓的数值分析分层次教学，即在原有的师资力量和学生水平的条件下，通过分层次教学，充分承认学生间的个体差异以及考虑各层次人才数学素质的要求，引导学生朝着自己感兴趣和能发挥其优势的方向发展，让优秀人才更快更好地成长。近年来分层次教学改革模式的研究与实践已被国内不少学者了解和重视。其中，有从宏观方面进行分析论证的[1]，也有从微观方面针对某些学科和课程进行研究的[2-5]。然而，针对数值分析这门课程进行分层次教学改革研究的比较少。本文在结合作者近两三年来的教学经验基础上，针对该课程的教学特点，提出了对该课程实施分层次教学改革的一些积极探索。
一、数值分析课程的特点
数值分析是一门与计算机密切结合、实用性很强的数学课基础课程，它主要研究运用计算机解决数学问题的方法及其理论。总的来说，这门课程具有以下几个特点：
1.课程知识面跨度大。数值分析课程内容丰富，知识面跨度大。内容包括数值逼近、数值积分、线性方程组的直接解法和迭代解法、非线性方程组的数值解法、矩阵特征值问题的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法等，知识面涉及数学分析、高等代数、微分方程等众多课程的重要知识理论。学生必须在掌握好这几门课程基本内容的基础上才能更好地学习数值分析。
2.注重理论知识与实际应用的结合。数值分析课程与其他数学基础课程强调理论分析和逻辑推理不同，数值分析课程更注重利用这些理论，构造适合计算机运行的数值方法去解决工程实际中抽象出来的数学问题。
3.特别强调上机实践。数值分析主要研究那些在理论上有解但手工求解计算量很大，必须借助计算机求解的数学问题或者实际工程问题抽象出来的不需要精确解的数学模型。它的许多理论及数值计算方法本身并不是数学学科的产物，而是以工程应用为背景、以“计算”为目标发展起来的。因此，在本课程的教学过程中，特别强调上机实践。
二、具体实施数值分析课程分层次教学的几点建议
1.学生主体层次化的划分。分层次教学是以学生主体的层次化为基础。学生层次的划分，可以参考学生高等代数和数学分析的学习成绩、学习态度、学习能力和学习兴趣等实际状况来制定。在指导教师的帮助下，通过学生自选和学院筛选，将学生分为基础班和递进班。但应强调的是，这样的分层是暂时的、流动的。经过一个月或者半学期时间的观察，根据学生学习能力的变化或学生的具体情况，可以做出相应调整，以达到鼓励学生的学习积极性和主动性的目的，同时也能避免引起学生情绪的波动。
2.教学大纲的层次化模式。分清学生主体的层次后，应根据不同层次学生的特点，在满足信息与计算科学和数学与应用数学专业学生培养方案要求的前提下，制定不同层次授课的教学大纲。基础班理论课的教学大纲侧重于基础理论知识的掌握及算法能力的培养，在学时分配上侧重于各类数值算法的工程背景及具体应用，如线性方程组求解理论的工程应用，函数插值及函数逼近等算法在经济学和数学建模中的应用等。基础班实验课的教学环节注重学生对基础实验的掌握和各种数值算法的运用能力。递进班理论课的教学大纲在学时分配上侧重于数值算法的收敛性及稳定性等，如解线性方程组迭代法的收敛性证明和误差估计、各种插值算法的误差估计理论、数值积分中的外推原理等理论性较强的教学环节，各章节理论的应用部分主要采用自学或大作业的方式，实践环节主要引导学生开展综合性、设计性实验，并吸收学生参加教师的科研项目，以培养学生的研究能力和创新能力。
3.实验课教学的层次化模式。数值分析实验课程也应进行相应的分层次教学模式，以满足学生个性化发展的需求。可以将实验分成三个层次：基础训练性实验、综合设计性实验和创新研究性实验。基础性实验即对各类数值算法的验证性实验和基本的算法应用性实验，侧重于对数值分析基本知识、基本算法的训练。综合性设计性实验是各种数值计算方法和手段的综合应用训练，侧重于培养学生知识综合能力和分析解决问题的能力。创新研究性实验，即对研究过程和研究方法进行推广，以解决工程应用中的实际模型而设立的实验，侧重于培养学生的科学研究能力和创新能力。
4.课外作业分层次。数值分析课程课外作业布置的原则是兼顾学困生和优等生，使学困生“吃得了”，优等生“吃得饱”。对基础班的课后作业，只要求完成划定的基础练习题，针对各章的重要数值算法，布置相应的课后作业。对递进班学生，不仅要完成基本训练题，还要完成专门制定的有代表性、变形的习题和各章的重点思考题。同时在数值分析课程网页上一些课程难题，供学有余力的学生思考，鼓励学生发挥他们的潜能。也可以尝试布置不同形式的课后作业。例如对于基础班的学生，可以布置关于教材的比较报告。老师选定几本具有代表性的教材，要求学生根据选定教材中的某一章，通过阅读进行分析对比，写出总结报告。通过这种类型的课后作业的布置可以培养数学基础稍差学生的自学能力、分析问题和解决问题的能力，逐渐培养他们学习数值分析课程的兴趣，同时可以深化学生对课程内容的理解和掌握。对于递进班的学生，可以让其以小论文的形式提交课后作业。精选一些重要数值算法，由教师提供具有工程应用背景的小案例，让学生运用所学到的方法构建数学模型，进行数值求解，并上机实验得出数据，进而写出小论文。这种教学方式既可以提高学生自主学习的能力和创新能力，又能考核学生掌握知识的能力、归纳总结能力和文字表达能力。
三、分层次教学实施过程中应注意的问题
1.教师应该充分理解分层次教学的意义，注重教育资源的公平分配。在关注各层次学生学习状况时更应该注意关心学习能力较差的学生，可以在每周的固定时间固定地点安排答疑，或者利用双休日安排专门课时为这些学生补课，帮助他们克服数值分析学习中的障碍，促进他们取得数值分析学习的进步，进一步减少不及格率。
2.数值分析分层次教学应该注意制定不同的评估考核标准。因为学生在学习的过程中，所处的层次不同，对学习付出的精力也是不同的。对于不同层次的学生，相应的考核成绩所对应的总评成绩应该有所差异。对此可以制定出不同难易程度的试卷，对于基础班学生的考核，应该重点考查其基础知识的掌握情况，而对递进班学生则要考查其对各种数值算法的综合理解能力及其分析应用能力。通过分层次考核方式，对不同层次的学生予以合理的综合评估。
3.有针对性地加强师资队伍建设。分层次教学的原则是因材施教，因此对教师的要求更高，工作量也更大。可以安排青年教师学习国内高校其他学科或课程分层次教学的成果经验，并开展一系列针对分层次教学的教研活动。担任各层次教学的教师要充分了解和熟练掌握相关层次教学方法手段，大胆尝试新的教学方法和手段，充分调动学生学习数值分析课程的积极性和主动性，充分发挥分层次教学的效果。
数值分析作为大学信息与计算科学和数学与应用数学专业的一门重要基础课程，目前国内很多学者也对该课程的教学改革进行了很多积极有效的改革探索[6，7]。然而，针对这门课程进行分层次教学模式的研究较少。本文针对数值分析课程的特点，对该课程进行分层次教学进行了一些有益的探索，提出了一些具体实施建议和实施过程中应该注意的几点问题。当然，在具体实施分层次教学过程中还会碰到很多现实的困难，需要在实施试点班改革的基础上，不断完善学生主体层次标准划分的指标体系和教学管理体制，以真正达到分层次因材施教的目的。
参考文献：
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数值分析范文2
关键词：岩土工程；数值分析；措施
中图分类号：O241 文献标识码：A
岩土工程分析里的关键
通常情况下，在实际进行岩土工程数值分析的过程中，人们往往是要用简化以后的物理模型去解决比较复杂的工程问题，之后在将其转化为与数学相关的问题，然后在利用数学的方法来解决这些问题。比如，在饱和的软黏土地基中如果出现大面积的沉降问题，就可以通过将其转化成太沙基一维固结物理模型，然后再转化成固结方程来求解。可以知道，在实际的运用中，续介质力学模型受到了广泛的应用，连续介质力学模型主要包括以下几种方程：一个是运动微分方程这种方程主要有动力和静力两种方式；一个是几何方程，这个几何方程主要是分为小应变分析和大应变分析两种情况，并且它们分别用于不同的实际分析过程中；最后一种是本构方程，也叫做力学本构方程，这种一般是用于力学问题的测算等方面。
在实际的操作过程中，具体的问题还要根据所得到的边界条件或者是初始化条件进行解答，但是对于那些比较复杂的工程问题来说，这就需要采用数值分析的方法。也就是当一项工程会涉及到很多种方程问题的时候，这就需要用连续力学模型来解决，这时所用到的运动微分方程和几何方程基本上都是相等的，但是本构方程以及边界条件和初始条件通常是不一样的。而且需要特别注意的是，如果材料是线性弹性体时，本构方程就发生了变化，进而转化成广义的胡克定律。
一般来说，岩土材料都是多相体的，因此在采用连续介质力学模型来分析这些问题的时候，通常会包括以下几种方程：一种是运动微分方程，这个方程同样是分为动力和静力两种形式；一种是有效力原理，而且在这个原理中，总效力往往是有效应力和孔隙压力之和；第三种是几何方程，几何方程主要包括小应变分析和大应变分析两种；最后一种就是本构方程，本构方程主要包括力学和渗流本两种。
通过以上的内容，我们可以看出，多相体和单相体相比较的话，主要是多出了有效力方程和连续方程，另外在本构方程中又多出了渗流本方程。但是在解决不同的岩土工程问题时，基本方程中的有效力原理、运动微分方程、连续方程和几何方程的表达式基本是相同的，但是本构方程和前面几种有很大的差别。如果涉及到具体的岩土工程问题时，我们应该根据具体的边界条件或者相关的初始条件进行解决可能遇到的问题，这样所采用的方法通常就是数值分析法。通过上面的介绍，我们可以发现，连续介质力学通常都是借助于数值分析的方法进行解决的，并且这种方法具有非常好的适应性。
岩土工程数值分析的现状
众所周知，由于岩土是自然的产物，通常具有很强的区域性，它的初始应力是很难能预测到的。在分析岩土工程的过程中，首先需要掌握的就是工程的地质条件，另外还要掌握岩土的工程性质，重要是的掌握力学中的一些比较基本的概念，并且能够在此基础上利用公式以及数值的分析方法来解决问题。在计算的过程中，需要能够做到因地制宜，能够对具体的问题做出具体的分析，然后将得到的结论运用到工程建设中去。在实际的岩土分析过程中，数值分析所得到的结果对于工程师的综合判断是相当重要的。在实际的操作过程中，对岩土工程的对象进行分析时，应该做好岩土材料特性的分析，还应该注意结合岩土工程的初始条件和边际条件进行综合的分析。针对目前的岩土工程数值分析的现状来说，我国的岩土工程的数值分析现状有以下几点：
（1）难以解决又无法回避，是本构模型及它的参数测定在岩土工程分析里的重要特点。前面已经提到：通过建立涉及到区域性特性影响、土类和工程类别的各类特点，是岩土工程数值分析和发展利用工程实用本构模型的侧重方向。工程实用本构模型具有易于测定、参数应用比较少、有利积累工程经验等多个优点。通过大量的工程经验的积累，以及建立多个工程实用本构模型的有效结合，一定能极大促成岩土工程分析里岩土工程数值分析的研究应用，最终由只能用于定性分析逐步过渡到能用于定量分析。
（2）自从剑桥模型确立至今，多国学者提出过多版本的本构方程，但在实际中极少应用。这个现象反映了怎样建立岩土的工程使用本构方程，当之无愧成为采用连续介质力学模型解答岩土工程问题的关键所在；
（3）在了解土的工程性质基础之上，充分掌握、有效分析工程地质资料，通过合理物理数学模型的采用，再运用多类方法进行科学地计算与分析，结合多类工程经验进行综合性判断，从而提出设计的依据，这是对岩土工程师的要求，在岩土工程分析计算中，本着因地制宜的原则，来有效深入开展自己的工作，为研究学科的发展和进步做出自己的贡献
（4）考虑到对岩土工程分析对象的岩土材料特性的掌握和分析，同时岩土工程的边界条件和厨师条件都非常复杂，岩土工程的分析几乎没有能够得到有效解析。目前的实际情况是，只能在定性分析的基础上对岩土工程的数值进行分析。这些特点要求岩土工程设计师们，在工程设计阶段就要重视概念的设计，重视综合判断，因为分析结果很大程度成为分析过程中综合判断的重点依据来源。
岩土工程数值分析的发展措施
岩土工程数值分析的有关专家表示，在反应作用和效应之间的关系称之为本构关系，本构关系设计到的范围比较广，比如力学中的胡克定律和电学中的欧姆定律等。由于岩土生长在大自然中，因为它一般具有以下几个特征：即使是在同一个地区的岩土也会有一定的区别，它们的区域划分比较明显，而且深度和水平方向上的岩土变化也比较多样化；拿目前的技术水平来说，岩土的初始应力很难测定到，岩土往往是多相体的，具有固体、液体、气体三种存在形式，这三种形式有时是很难区分开来的，并且他们之间在不同的状态间还能相互进行转化，这样就给研究学者带来了一定的难度。一般来说，土体都是有一定的结构性的，并且结构土样土质的矿物质、环境以及历史形成等因素都是有关系的，有的土壤还有剪胀性的特点。到目前为止，科学家们已经建立了很多本构模型，其中主要包括非线性弹性模型、弹塑性模型、弹性模型、钢塑性模型等，总计有一百多种，但是真正能够得到工程师们认可并且还能普遍利用的模型是很少的。我国在对本构模型的构建方面，曾经有过高峰期状态，但是现在又开始滑入到低谷中。通过以上的分析可以知道，本构模型主要是通过连续介质力学来解决岩土的问题的。
为了使本构模型能取得更好的发展，我们可以将本构模型的研究分为两大类，通常是科学型模和工程实用型模型。需要注意的是，科学型的模型主要用于揭示和反映一些客观的规律，比如土的剪胀性等。而对于这种模型的建立要求不能过于严格，只要能够保证揭示出一个或者几个客观的规律就可以。工程的实用型模型需要的并不是全面的通用，而是简单并且实用，重要的是能够反映出工程建筑中的实际问题，然后抓住问题的主要矛盾，将其参数能尽可能少以免容易测定，这样的话更能符合实际的操作需要。工程实用型模型建筑的主要目的是使它能够应用到实际的操作过程中，国家应该鼓励更多的人投入到该项研究中去。另外，还要注意在研究中区分工程的类别，对对基坑工程、路基工程等有明确的划定标准，还要区分好土的种类，辨别是粘性土还是沙土等。
结束语
综上所述，关于岩土工程数值分析的几点思考只是初步的研究，相信在经过众多学者的讨论以后还能有更加深刻的见解。岩土工程数值分析对于岩土施工来说是相当重要的，它会影响整个建筑的发展。所以，岩土工程师们应该结合多种模型来进行分析，并在充分掌握了工程地质条件的基础上能够利用具体的参数计算出设计图纸。另外，在岩土工程数值计算的过程中，还需要做到因地制宜，能够抓住问题的主要矛盾，根据实际情况制定出更过的实用性模型，但是应该时刻坚持宜简不宜繁的原则。
参考文献:
[1]田生福. 浅谈岩土工程中数值分析的几点思考[J].研究与探讨，2013(2).
数值分析范文3
[关键词]数值分析 教学 实验 多媒体
一、引言
数值分析又名计算方法，是信息与计算科学专业的一门重要专业课，也是理工科各专业的一门重要基础课，是一种研究并解决数值问题近似解的数学方法，它既具有理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性和实验性。它在科学实验、科学理论及科学计算中有着广泛的应用背景和前景。通过这门课程的学习，可以培养学生的数学综合分析能力和运用计算机进行分析和计算的能力。但在实际教学中出现了学生学习兴趣不够高，教学效果不够理想等现象。因此，如何提高数值分析课程的教学水平和质量是一个值得研究的课题。本文针对数值分析课程的教学改革进行了一些有益的探讨。
二、数值分析课程教学中存在的问题
1.课程内容多，教学时数少
目前，数值分析课程的主要内容包括有引论、插值法、解线性方程组的直接法和间接法、最小二乘法、数值积分与微分、常微分方程数值解法和矩阵的特征值和特征向量的数值方法等多个相对独立的章节。而理论学时一般仅为48―54学时，教学内容多，且教学过程中许多理论及算法公式的推导又极为繁琐，使得教师无法事无巨细地给学生讲解、证明或推导每个公式，导致学生普遍反映对公式的理解不深，不易记忆，从而产生厌学情绪，达不到良好的教学效果。
2.教学手段直观性差
数值分析是一门与现代科学技术密切相关的学科。一方面，该课程中经常会出现繁琐的算法公式推导、复杂数值误差的计算以及大量的数据处理。凭一支粉笔和一块黑板的传统教学模式显然已不能适应现代的教学需求，不仅教师讲的累，学生听的更累而且很难收到比较好的教学效果。另一方面，该课程在凸显算法思想、检验算法精度、比较算法优劣时常常需要绘制图形和进行数值计算。师生进行手工绘图和计算往往需花大量的时间和精力。这直接影响到学生对算法的掌握，因而该课程授课难度较大。学习效果往往不能令人满意。现代科学技术要求采用现代教学手段。因此，我们必须对数值分析的教学手段进行创新，只有这样才能提高学生学习数值分析课程的积极性，从而达到较好的教学效果。
3.传统教学重理论，轻实验
数值分析传统的教学模式注重讲授原理，过分强调数学理论基础。对实践环节的教学重视不够，使得学生对课堂讲授的知识理解不深，更不能灵活地运用于实际中，造成了学生解决实际问题的能力较弱的情况。在教学中，如何突出数值分析课程的特点，使理论分析、算法设计及实验应用有效结合，增强教学效果，也是一个亟待解决的问题。
三、改进教学方法
近年来，随着学校教学设备的改善和教师教学经验的积累，我们摸索出了一套行之有效的教学方法，主要体现在以下几个方面：
1.教学理念的更新
让学生充分认识和理解数学实验在数学教育和科学探索中不仅是非常重要的，也是非常必要和必然的。数学本性究竟是逻辑、演绎的，还是实验、经验的，或者是两者的辨证统一呢？在古希腊以前，人们认为数学在本质上是经验的。在古希腊时期，特别是欧几里德几何出现之后，不管是哲学家还是数学家都认为数学是一门演绎科学。中世纪后直到18世纪末，大部分数学家认为数学是一门经验科学，而从19世纪到20世纪30年代数学家在追求数学的逻辑基础以及所取得的数学成果上又认为数学是一门演绎科学。冯・诺伊曼说：“在数学本质中有着一种十分奇怪的二重性，必须认识到这种两重性。”在1931年哥德尔“不完全性定理”发表后，一些数学家们不得不又一次思考经验在数学发展中的作用。随着计算机的迅速发展和不断普及，许多数学问题可以应用计算机计算、求解，数值计算方法已成为各类研究人员和工程技术人员必须掌握的专门课程，是学生学习后续课程和将来从事理论和实际工作的必备基础。
2.优化教学内容，合理安排教学内容
由于数值分析课程内容多，算法公式多，教学时数少，根据教学大纲的要求，合理安排教学内容，适当简化数学理论知识和证明过程。重点讲授各种算法的构造与实现，采用课堂讲授与课外自学相结合、重点精讲与非重点略讲相结合的方式。
3.传统讲授与多媒体技术教学相结合
多媒体技术具有形象、生动、鲜明的特点。把多媒体教学引进数学课堂，利用现代教学方式与传统教学方式的优势互补，充分搞好课堂教学，大大提高教学效率和教学效果。在数值分析的教学中，在概念介绍、图形演示、软件应用、程序设计等方面用课件来表现，而定理的证明则采用黑板详细推导，从而提高时间的利用效率和学生的理解效果。此外，教师采用多媒体课件还可节省大量课堂上书写、画图的时间，有利于教师把精力集中在讲透基本概念、原理、技能和算法的构造等方面，从而提高工作效率和教学质量。
4.加强实验环节，培养创新能力
学习数值分析这门课程除了需要理论上掌握数值方法，还需要学会借助于计算机实现这些算法，因而计算机实验课时必不可少。数值分析有Gauss消去法、解三对角线性方程组的追赶法、Lagrange插值法、曲线拟合的最小二乘法、变步长法、常微分方程初值问题的数值方法、Jacobi迭代法和Newton迭代法八个实验项目。我们提供C、C++和Matlab等计算软件，对于每一种实验工具，提供了实验指南，包括部分示例程序。针对学生对于程序设计语言掌握不熟练，增加对C、C++和Matlab语言的辅助学习。实验报告的内容为实验目的及要求、实验（或算法）原理、实验硬件及软件平台、实验步骤、实验内容（包括实验具体内容、算法分析、源代码等）、实验结果与讨论和指导教师意见，要求每个学生每个实验项目上交一个实验报告，指导教师给出客观评价意见。
四、改革考核方式
课程考核是评估教学质量和学习水平的重要环节。现在数值分析课程的考核通常为笔试，这不利于引导学生动手编程实现算法，为培养学生理论联系实际和创新意识，增强他们动手实践能力，应建立合理的考试机制。可以适当改革其考核方式，比如考试可分为笔试和上机实验两部分。上机实验部分可由老师适时安排，学生平时完成。最后将笔试、实验和平时成绩按比例记人该课程的综合成绩。笔试采取闭卷、开卷以及闭卷与开卷相结合的办法，上机实验由必选题和自选题构成，既保证达到大纲基本要求，又让学生有自由发挥和创新的空间。
五、结束语
根据数值分析课程的特点。在我校的实际教学中已经从有些方面着手进行了改革，取得了较好的教学效果。但教学改革是一项长期而艰巨的任务。作为数值分析教学改革的工作和实践，还需要进一步的研究和完善。作为教师要继续努力，不断地进行研究探索，改进教学模式，实现现代教学方式与传统教学方式的优势互补，提高教学效率和教学质量。
[参考文献]
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数值分析范文4
数值分析是用计算机求解数学问题的数值计算方法，属于数学的一个分支，主要以数值方法求解数学问题、数值理论和方法为研究对象。做为计算数学的主体部分，数值分析学科有如下特点：（1）面向计算机；（2）可靠的理论分析；（3）计算的复杂性；（4）面向具体应用；（5）需要对算法进行误差分析。
本书很好地平衡了理论和实践，面向研究生读者完美介绍了这门应用数学课程。在本书中，作者详细地介绍了数值分析的各种经典方法，讲解了计算原理、误差的产生、求解不收敛等问题。并且演示了如何将这些经典的技术结合起来，解决实际工作中的各种困难问题。本书还分析了许多实例和相关程序，以帮助读者实际运用。本书涵盖的主题包括：线性系统的各种经典方法、特征值、插值、数值积分、常微分方程求解、数据拟合、随机微分方程等。
本书分为12章：1.数值分析过程中的误差，具体包括误差的主要类型、浮点计算、算法误差、有效数字产生的误差与算法产生误差的比较等，并详细剖析了一个误差实例；2.线性系统的直接求解方法，具体包括高斯消除法、主元选择、高斯消除法产生的误差、辅助归约、乔里斯基分解以及残差矫正方法；3.特征值和特征向量，具体包括Gerschgorin算法、幂算法、快速响应算法、奇异值分解和海曼方法；4.线性系统的迭代求解方法，主要包括共轭求解法、松弛求解法、雅各比求解法、高斯赛德尔法以及多重网格法；5.多种差值方法，主要包括改进拉格朗日差值、内维尔算法、牛顿法、艾米插值和离散傅立叶变换；6.迭代方法和多项式的根，主要讲述了收敛和速率、二分法、试位法、割线法、牛顿拉夫逊法、贝尔斯托法和提高收敛速度的方法；7.多种优化方法，主要包括夹叉试射法、插值法、黄金分割法、变度量法等；8.多种拟合方法，包括最小二乘法、泰勒法、实验误差分析、非线性最小二乘法、范数拟合法以及样条函数法；9.多种积分方法，主要包括牛顿-科特斯法、外插法、高斯求积法；10.常微分方程，主要包括单步解法、多步解法、刚性方程组；11.随机常微分方程，主要包括白噪声和维纳过程、泛函Ito微积分、解的精确性、收敛性；12.多个大型积分的实例，包括薛定谔方程、高斯基本函数、角动量求解和里斯多项式等。书的附录部分介绍了数值计算的背景以及各种编程代码。
数值分析范文5
关键词：边坡； 蠕变； 应力松弛； 预应力锚杆； 有限元； MSC Marc
中图分类号：TV223.24;TU313;O241.82 文献标志码：A
Creep characteristics numerical analysis on slope anchor
XU Chunyu, ZHENG Bailin, HE Pengfei, LI Jingjian
(Institute of Applied Mechanics, Tongji Univ., Shanghai 200092, China)
Abstract： If the prestressed anchor is used to reinforce slope, the destructive deformation may be produced by prestressed relaxation due to anchor’s creep characteristics. The creep mechanics model is established for anchor-reinforcing slope, in which the software MSC Marc is used to analyze creep characteristics. The prestressed relaxation of anchor is studied under the influence of creep characteristics, the creep curves and stress relaxation curves of anchor are presented under different Young’s modulus and creep parameter, and the safety performance of reinforced slope is further evaluated. The analysis provides theoretical reference for controlling the injurious deformation of slopes effectively.
Key words： slope; creep; stress relaxation; prestressed anchor; finite element; MSC Marc
0 引 言
为了防止边坡产生坍塌和滑坡等灾害，工程上通常将某种受拉构件埋入岩体中，并对其施加预应力以承受拉力，这种构件被称为预应力锚杆.［1］预应力锚固技术［2］作为边坡、围岩、基础和各种建筑物的加固手段， 已得到广泛应用和很大发展.由于锚杆材料的蠕变特性，采用预应力锚杆加固边坡，长年累月的张紧力会使锚杆产生蠕变等使应力松弛的破坏性变形.［3-5］目前国内外对于锚杆应力松弛现象的研究主要集中在锚杆周围岩体流变特性的影响上，国内学者［1］则通过研究发现锚杆自身的蠕变特性对于其应力松弛的影响也不可忽视.
本文将通过建立锚杆加固边坡蠕变力学模型，利用非线性有限元软件MSC Marc对所建立的模型进行蠕变分析，考察由于锚杆蠕变特性对锚杆预应力松弛的影响，详细给出在不同蠕变参数及锚杆间距下，锚杆的蠕变曲线和应力松弛曲线，从而进一步评价锚杆加固边坡的安全性能，为有效控制边坡的有害变形提供理论依据.
1 预应力锚杆边坡支护体系
预应力锚杆边坡支护体系［2］由众多预应力锚杆、面层、锚下承载结构和排水系统组成，见图1.其中预应力锚杆作为承载体系面层与锚下承载结构等构件组成构造体系.
图 1 预应力锚杆边坡支护体系基本构成预应力锚杆分为自由段和锚固段：锚固段设置于潜在滑移面以外的稳定土体中；预应力则是通过外锚头传递到被加固的岩体上.
2 蠕变力学模型
考虑到锚杆具有蠕变及应力松弛特性，选用Maxwell模型模拟锚杆支护过程中产生的蠕变及应力松弛现象.
Maxwell模型由弹性元件与阻尼元件互相串联组成［3，6-8］,其总应变为
3 有限元分析
运用非线性蠕变分析方法，重点研究锚杆弹性模量、应力指数以及蠕变系数的变化对锚杆的蠕变和应力松弛的影响.
3.1 有限元模型
由于仅关心锚杆蠕变所引起的应力松弛对于边坡稳定性的影响，分析的对象是单根锚杆的蠕变特性，因此数值计算时可采用单根锚杆的轴对称模型进行分析.
有限元的边界条件设置在锚杆端部及岩体的底部，分别固定岩体底部和约束锚杆端部.考虑到岩体的位移约束比较强，这里将岩体底部进行理想化处理，将其固定约束；锚杆端部的位移约束是为了保证锚杆在发生蠕变及应力松弛过程中，其总应变为常数，符合所采用的Maxwell要求.有限元离散模型及边界条件见图2.
图 2 有限元离散模型及边界条件3.2 锚杆蠕变力学特性数值分析
3.2.1 弹性模量的影响
通过对锚杆弹性模量与岩体弹性模量取不同的比值，研究锚杆弹性模量的变化对锚杆蠕变特性及应力松弛等特性的影响，其他条件不变：锚杆应力指数为n=2，蠕变系数为A=1E-20,泊松比为0.3，锚杆预应力为0.5 MPa.
考虑到锚固段的承载主要集中在外部，内部锚固段几乎不承担载荷［1］，因此取外部锚固段同一节点处，比较其在锚杆与岩体不同弹性模量比值下的蠕变及应力松弛曲线，见图3和4.
图 3 不同弹性模量比值下蠕变曲线对比通过计算可得，随着锚杆弹性模量的增加，其蠕变应变逐渐减小，且更快地进入稳定阶段，而锚杆的应力松弛速度加快,松弛程度变大.因此，在刚度满足要求的情况下,应尽量选用弹性模量较小的锚杆.当锚杆弹性模量小于岩体弹性模量时，锚杆蠕变现象较为明显；锚杆弹性模量大于岩体弹性模量时，应力松弛现象较为明显.锚杆的应力松弛主要发生在前期，如E┟杆/E┭姨濯=1，1.6，2时，前一个月的应力松弛就占一年内总应力松弛的90%以上.
图 4 不同弹性模量比值下应力松弛曲线对比3.2.2 应力指数的影响
作为蠕变参数之一，应力指数对锚杆蠕变特性的影响显而易见.通过改变锚杆的应力指数，观察外部锚固段同一节点处蠕变及应力松弛曲线的变化，研究锚杆应力指数的变化对于蠕变及应力松弛的影响，见图5和6.
图 5 不同应力指数下蠕变曲线对比图 6 不同应力指数下应力松弛曲线对比由计算可得，随着应力指数的增加，锚杆到达稳定阶段的蠕变应变逐渐增大，蠕变应变进入稳定阶段的速度加快，且锚杆应力松弛现象更为明显.应力指数越大，锚杆前期的应力松弛现象也越剧烈，如应力指数大于2时，前3个月的应力松弛就超过90%，但是后期应力较为平缓，基本处于稳定状态.
3.2.3 蠕变系数的影响
与应力指数相同，作为蠕变参数之一，蠕变系数对锚杆蠕变特性的影响显而易见.通过改变锚杆的蠕变系数，观察外部锚固段同一节点处蠕变及应力松弛曲线的变化，研究锚杆蠕变系数的变化对蠕变特性的影响，见图7和8.
图 7 不同蠕变系数下的蠕变曲线对比图 8 不同蠕变系数下的应力松弛曲线对比由计算可得，随着蠕变系数增大，锚杆到达稳定阶段的蠕变应变逐渐增大，当其进入稳定阶段时速度加快，且锚杆应力松弛现象更为明显.随着蠕变系数增大，锚杆前期的应力松弛现象越剧烈，如蠕变系数大于IE-19时，前1个月的应力松弛就超过80%，但是后期应力较为平缓，基本处于稳定状态.
4 结 论
本文主要建立适合数值模拟锚杆加固边坡蠕变力学模型，通过有限元计算得出以下结论：(1) 随着锚杆刚度的增加,蠕变应变减小,应力松弛加快；(2) 随着锚杆应力指数和蠕变系数的增加,蠕变应变增大,应力松弛加快.因此在刚度满足要求的情况下,为了减缓锚杆的预应力松弛，应选用弹性模量、应力指数及蠕变系数较小的材料
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数值分析范文6
关键词: 多年冻土;路基;片石护坡;稳定性;数值分析
1引言
地球上多年冻土分布面积广阔，全球多年冻土面积约占陆地面积的25%，我国多年冻土面积约占国土面积的22.4%[1]，随着社会、经济的发展，多年冻土地区公路、铁路等工程建设越来越多，冻土路基普遍存在的以冻胀和融沉为主的严重病害[2~4]，目前在对冻土的保护方面，采用片石护坡是其中一个措施。在保护冻土路基的研究方面部分学者进行了相关研究[5~7]，其特点是对边界条件、初始条件进行假设，没有考虑实际地温场的变化及路基阴阳坡差异，因此造成计算结果可能和实际结果有差异。本文针对上述情况，考虑路基阴阳坡差异，以现场实测地温场数据为依据，考虑受全球气候变暖的影响，青藏高原多年冻土区气温升高的条件下[8]，对普通路基和片石护坡路基的温度场变化进行了分析比较，进而对多年冻土区片石护坡对路基稳定性的影响进行分析。
2计算模型参数及初、边值条件
本文以年平均气温为-5.6℃的唐古拉山冻土区的某路基结构为计算模型，计算中路堤高度取为4.0m，路基顶宽7.6m，边坡坡度取为1：1.5。计算模型见图1、2所示。计算区域中土体的密度和导热系数根据唐古拉山区钻孔取样实测值。土体比热按照各物质成分加权平均计算，计算区域内土体参数见表1。计算地段的初始温度场采用实测温度场，这样使得计算边界条件更接近与现场实际情况。
图1路基横断面图（单位：m） 图2 路基三维有限元计算模型
表1路基的土层热物理参数
土层深度
(m) 岩性
说明 含水量(%) 容重
(g/cm3) 干容重
(g/cm3) 热容量(kJ/(m3・℃) 导热系数(W/m・℃)
融土 冻土 融土 冻土
地面以上 路基填土，砂砾土 6.0 2.30 2.17 2183.0 1693.7 1.91 2.61
0~1.4m 细砂 15.0 2.4 2.09 2785.2 1994.8 2.18 3.05
1.4~1.9m 粘土 20.0 1.95 1.63 2676.5 2208.1 1.24 1.38
1.9~2.4m 粘土 126.5 1.47 0.65 1030.0 890.0 1.13 1.58
2.4m~5.4m 粘土 45.0 1.91 1.32 2990.1 2203.9 0.97 1.67
5.4m以下 砂岩及风化岩 15.0 2.18 1.90 2284.6 2284.6 2.70 2.70
3控制微分方程及有限元方程
由于土体初始含水量不高，考虑到土骨架和介质水的热传导和冰水相变作用，且认为未冻水含量是温度的函数，因此对于冻土的冻结和融化过程均忽略土壤水份的流动和渗透作用。土体中温度应满足热传导微分方程
(1)
(2)
(3)
式中，下标和分别表示冻结和融化状态，为土体密度，；为土体比热，；为时间，；为导热系数；为温度，；为水的相变潜热，；为初始含水率，；为冻融界面；为冻融界面上的方向矢量。
侧面固定边界上的边界条件为（绝热边界条件）
(4)
底面固定边界上的边界条件为（温度梯度）
℃/m (5)
考虑未来50年气温升高2.6℃。顶面固定边界上的边界条件为
(6)
式中是地表附面层温度（℃）。
由于冻土的比热和导热系数随温度的变化而变化，加上两相界面的位置也是不固定的，因此该问题在数学上是强非线性问题，无法获的解析解，本文采用数值解法，以形函数为权函数，求得该问题的有限元方程为
(7)
式中，为温度刚度矩阵；为非稳态变温矩阵；为未知温度值的列向量；为与边界有关的温度荷载列向量；下标表示这些列向量都取同一个时刻的值,且有
（8） (9)
(10)
对于式(9)，在时间域内采用精度较高的差分格式可得
(11)
考虑C和与温度有关，采用合适的时间步长和迭代求解精度求解式(11)，即可求得本问题的解。
其中
(12)
(13)
(14)
4数值分析结果
地温是多年冻土的最主要特征指标，也是多年冻土区道路设计的重要依据，实时掌握地温的变化过程，才能分析比较不同路基结构保护路堤下多年冻土的效果。地温的变化实质上表现为路基不同部位的融化深度不同。由表2、3可以看出，片石护坡的路基和普通路基相比，片石护坡的路堤断面0℃等温线的抬升较普通路基断面明显。路基中心下冻土上限的变化将直接影响路基的稳定性，在经历1年的冻结期以后，路基中心开始进入正常融化过程，在路基修建1年后的10月路基中心融化接近路基下缘天然地表处，同时基本达最大融化深度。随着时间的增加，片石护坡路基对于提升冻土上限起到了一定作用。片石护坡对路基左侧（阳坡）、右侧（阴坡）的上限抬升幅度存在差异，路基左侧（阳坡）0℃等温线的抬升相对于右侧（阴坡）的上升幅度小，主要原因是路基左侧（阳坡）接受太阳辐射产生的热量较右侧多。
表2 填土路基各部位的融化深度
年份 普通路基左坡脚融化深度m 片石护坡路基左坡脚融化深度m 普通路基中心融化深度m 片石护坡路基中心融化深度m 普通路基右坡脚融化深度m 片石护坡路基右坡脚融化深度m
5年10月 3.05 2.04 2.2 2 2.4 2.40
10年10月 3.12 2.05 3.6 2.05 3.8 2.47
20年10月 3.25 2.10 5.5 2.08 6.4 2.49
30年10月 4.2 3.25 7.4 2.10 7.4 2.70
40年10月 融化 3.82 8.2 6.00 8.2 3.75
50年10月 融化 4.5 9.0 7.40 9 3. 87
5结论
（1）在年平均气温为-3.5℃唐古拉山多年冻土区路基50年的使用期内，普通填土路基在气温升高条件下路基下伏冻土都将发生融化,路基将会产生较大融沉变形，不能保证路基的稳定性。片石护坡路基可以较好地保持路基的热稳定。
（2）路基计算结构表明，在未来50年气温上升2.6℃的条件下，普通填土路基在施工完成后50年内路基断面上各部位的融化深度逐渐降低（人为上限逐渐升高）。而且在同一时期，片石护坡路基的融化深度均小于普通填土路基的融化深度。片石护坡对路基左侧（阳坡）、右侧（阴坡）的上限抬升幅度存在差异，路基左侧（阳坡）0℃等温线的抬升相对于右侧（阴坡）的上升幅度小，主要原因是路基左侧（阳坡）接受太阳辐射产生的热量较右侧多。
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