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数学难题范文1
高中学生在学习数学的过程中，普遍存在一个问题，平时听老师讲课，听得懂，所学的知识点也掌握，但是在紧张的考试中，一但遇到有一定难度的数学题目，往往就无从下手，找不到突破口，不知如何是好？这是学生普遍存在的问题。这时，我们将如何思考、运用所学知识解决实际问题，让难题变得容易呢？这就牵涉到难题解题技巧，使得在竞争激烈的高考考试中，在有限的时间内快速、正确地解答数学难题，考出好成绩，实现自己远大理想和目标。以下是我在教学中总结出的一些方法和技巧，仅供同行参考。
首先，要慢读题。读题时要把题中的每个字母表示的含义都要弄清，每一个已知条件所牵涉到的知识点要掌握。一边读一边审。
其次，要从题目中条件的结构，形式去选择解题方法。
第三，代数法，几何法，同时兼并，即“数形结合”，达到快速解题的功效。
例如【1】；定义在R上的奇函数Y= f（x），
满足不等式>0，，
若当时，
首先；要慢读题，认清题中的字母，，代表自变量，，，表示函数的值。其次，想到的是解不等式 >0，
即；>0，
从而总结出自变量，，与函数值，，满足的是单调性的关系，即；y=f（x）在R上为增函数。第三，题中的已知条件，y=f（x）为奇函数，得到f（x）=―，其中时，，这个条件不要放过。即；
，
且，
在解这个不等式中，利用几何知识（线性规划）问题，解二元二次不等式，在分别以为横轴，为纵轴建立坐标系，则不等式表示的平面区域为一个圆心在原点，半径为1的一个半圆，分别在一，四象限。
所解决的问题为的取值范围是什么？
其实就是直角坐标系中，点p与A，两点的距离，且点p在半圆内。根据“数形结合”思想，点，点。则AB的距离最大为2.AO的距离最小为1，
从而；。解题过程如下；
解；
y=f（x）在R上为增函数。且f（x）=―，
且
例如【2】；已知函数
（I）当时，讨论f（x）的单调性；
（II）若时，恒成立，求的取值范围。
（I）首先；慢读题，考虑解析式中的代表的是函数的自变量，可取那些数，即函数的定义域，表示自然对数，底数为，
其次，开始看第一小题的条件，，则定义域确定；
根据求导公式可得；，
通过解不等式得到单调区间，即；
函数在，为减函数，在
为增函数。
（II）由特殊到一般，分两种情况进行；
（i）若时，，故
，，函数在为增函数。故，而题目要求恒成立。所以，。
（ii）若时，，
①当时，，时，。所以，在为减函数，即 .
恒成立。
②当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则在上存在，使，故不合题意.
③当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则在上存在，使，故不合题意.
综上所得，。
例如【3】；设数列的前n项和为，数列的前n项和为， 满足，（n）
求；的值。
（2）求数列的通项公式。
首先，慢读题，认清题中的字母，，，n，表示什么？
即； 。
。
其次，看到 已知条件，
这一个等式，就可以写出无数个等式，即；
， ，，。。。。
第三，题中的条件， 不要忘记。从而n可取1，2，3，，，，，。解题过程如下；
解；（1）由
，
（2）由数列公式；
数学难题范文2
1、立方倍积：要求用尺规法作一立方体，使其体积为已知立方体体积的两倍；
2、三等分任意角：要求用尺规法三等分一个任意角；
3、化圆为方：要求用尺规法作出一个正方形，其面积与一已知圆的面积相等；
4、哥德巴赫猜想的证明：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
（来源：文章屋网 ）
数学难题范文3
一、 在数的概念教学中渗透数形结合
“数”对于低年级学生来说十分抽象，那么，教师如何才能让学生更好地理解数的意义呢？笔者认为最好的办法是通过“数形结合”，将数的认识转化为图形，使数经历变抽象为形象，再回到抽象的过程，这是基本的、自然的手段。如在教学“10以内数的认识”时，先出示实物图，看实物图画点子，再写数，建立实物图与点子之间的一一对应关系，再抽象出数。学生经历了“抽象—形象—抽象”的过程，建立起对数的形象感知。
又如，在认识了100以内的数以后，教师可以引导学生在数轴上写数、找数，将数有规律有方向地排列，从而使抽象的数能够在可以看得见的数轴上形象、直观地表示出来，将数与位置建立一一对应关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律（见下图）。
在数轴上找到80、50，想一想，1大概在什么位置？95呢？
数轴不但将抽象的数直观形象化，而且在找数的过程中感知了数的大小，发展了数感。
二、 在数的运算教学中运用数形结合
一些有规律的运算如几个连续奇数相加1+3+5+7+9，或者1+2+3+4+3+2+1，如何简单地计算这些有规律的式题呢？教师可以借助正方形将这两道加法式题形象地表示为点阵图，使加法式题形象化、视觉化，让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，从而探索出数列的规律，并体会到图形与数的联系（见下图）。
正方形中的点阵特别适宜于学生充分感受数形结合思想的魅力，学生通过观察、推理等活动，在生动的情境中找出图形的变化规律，培养学生的观察、想象与归纳概括能力，提高学生合作交流与创新的意识，这是一个从数到形的过程。在学生概括规律后，教师可以让学生观察下图。
根据图的变化推理出下一个点阵图，再根据点的变化规律计算出它的点数，这是一个从形到数的过程，充分体现了“数形结合，数形转化”的思想方法。
三、 在解决问题的过程中挖掘数形结合思想
如果说从图形上抽象出符号，只能代表人们的认知事物的过程，还不能体现其在数学中的独特作用；那么以形助数，则善于在图形的分析中快捷地解决问题，促使思维层次不断上升，这就充分体现了“数形结合”在小学数学中的用处了。
数形结合的思想方法将小学数学中一些抽象的代数问题进行了形象化，将复杂的代数问题赋予了灵活变通的形式，这正是用数形结合的思想方法解决数与代数问题的有效途径。如鸡兔同笼问题。
笼子里关着一些鸡和兔，数一数它们的头一共有5个，数一数它们的脚一共有14只，请问笼子里分别有几只鸡、几只兔？你知道这题是怎么运用数形结合的方法来解决的吗？
用“”表示头，用“”表示脚，先画出5只鸡，如图：
这样一共只有10只脚，多出14－10=4只脚，再给其中两只“鸡”各添上2只脚，成为了“兔子”，如图：
用算术方法解决鸡兔同笼问题，有的学生不能完全理解，而借助画图，一步一步总结方法和规律，帮助学生理解。即使一、二年级的学生，也能完全掌握这种数形结合的方法。
四、 在建立函数思想前打好数形结合的基础
小学数学中虽然还没有学习函数，但已大量渗透“函数”思想，在教学中使学生初步感知函数与图象的关系，是很有必要的。如一、二年级确定位置的教学设计中，用数对表示平面图形上的点，在用“数对”表示“位置”时，可以将“座位”平面图转化为比较形象的“直角坐标系”，建立“数对”与平面上“点”之间的一一对应关系。点的平移引起了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。这些学习为初中数学学习打好基础。此外，在学习比例中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现只要是成正比例关系的式子，画在坐标图中就是一条直线，从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。
数学难题范文4
选择合适的参考系，不仅能降低运算难度，减少运算量，更是可以让我们解题思路明确清晰，有助分析问题。
首先，我们来看一道平面几何题：
已知圆O为正ABC的外接圆，M为O上任意一点，求让|MA| 2+|MB| 2 +|MC| 2为安值。
证明：设ABC边长为a，在MC上取点D，使CD=BM，连接AD、AM、BM由圆周角定理得∠ACM=∠ABM
又ABC为正三角形，得AC=AB且CD=BM
ABC≌ABM AD=AM
易证AMD为正三角形
CM=AM+BM
在AMB中，∠ABM=120o
由余弦定理得
a2= AM2+ AM2―2AM・BM・cos120o
2a2= 2AM2+2 BM2+2AM・BM
= |AM| 2 +|BM| 2 +(|AM| +|BM| )2
= |AM| 2 +|BM| 2 +|CM| 2
从平面几何的角度入手固然可取，但涉及辅助线的选择，边角关系互化的难度，大部分学生只能束手无策，然而用下面这种方法，确是部分学生有能力掌握。
(注：为增强图可比性，X轴y轴不以习惯水平竖直方向而作)
证明：以O点为原点，OA为X轴建立平面直角坐标系
设圆半径为R
A坐标为（R.O）,B坐标为（-2/R.√3/2.R）,C坐标为（-2/R.- √3/2.R）
M为圆上任意一点
M坐标为（Rcos,R sin）
|MA| 2 +|MB| 2 +|MC| 2=R2（cos-1）2+ R2 sin2+ R2（ cos+1/2）+ R2（sin- √3/2）2+ R2（cos+1/2）2+ R2（sin+√3/2）2
=R2（cos2-2 cos+1+ sin2+ cos2+ cos+1/4+ sin-√3 sin+3/4+ cos2+ cos+1/4+ sin2+√3 sin+3/4）
= R2（3+ cos2+3 sin2）
=6 R2为安值
这里通过建立坐标系将平面几何问题转化为代数问题，将抽象的图像语言转化为形象的数学语言，由数学计算得出证明。这不仅简化了思维过程，更为大多数学生接受，是一举两得的方法。
巧用坐标系，并巧选坐标系，当我们熟练掌握并加于运用不同坐标系在不同环境中的巧妙运用，许多数学难题就不是难题了。
数学难题范文5
高中数学四大数学思想：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归。其中数形结合是贯穿于数学发展的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感;另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”和“形”的信息转换、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。数形结合是连接“数”和“形”的“桥”，它不仅是一种重要的解题方法，更是一种重要的数学思想。
一、研究的目的和意义
数是形的抽象概括，形是数的直观表现，华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法，数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥”，在高中数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心，尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性，同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解。
二、数形结合在提高学生解题能力中的作用
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”，其中数形结合的重点是研究“以形助数”，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到顺利解决，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围，
三、数形结合的几种类型
1、几何图形与数量关系相结合
几何中的计算与证明问题，常常根据几何图形的特点挖掘蕴涵的数量关系;一些数量关系的比较问题，常常构造出由数量关系反映出的几何图形，根据图形的直观性寻求解决。
2、函数图象与数量关系相结合
数轴使实数与数轴上的点建立起一一对应的关系，平面直角坐标系使有序实数对与平面上的点建立起一一对应的关系，为数形结合创造了充分的条件函数图象在直角坐标系的位置及变化趋势，为研究函数的性质提供了直观、形象的依据，反过来，依据函数的性质又能推断函数图象在直角坐标系屮的位置及变化情况，数形结合成为研究解决函数问题的重要思想方法。
数学学习贯穿着两条主线，即数学知识和数学思想方法，通性通法蕴涵着丰富的数学思想和方法，更贴近学生的认知水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力。在初中数学中，常用的数学思想有函数和方程思想、数形结合思想分类讨论论思想、化归转化思想、整体处理思想等，上面教学片断的探究题，教者通过引导学生从数和形的角度来解决问题，很好地发展了学生的方程思想和数形结合思想，同时也渗透了数学分类的思想方法。在平时的教学中，我们应在解决问题的过程中，对这些数学思想加以揭示、运用和提炼，以提高学生的思维水平和解题能力。
四、数学教学中渗透数形结合思想
数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一，新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想，教材中这一思想方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。
新课标的教学内容早已全面实施，按新课标的教学大纲要求与知识点传授的层次性来看，数形结合法教学主要经历三个阶段：第一阶段是数形对应，它是数形结合基础，主要是通过平时概念的教学逐步渗透，让学生通过学习、训练、体会、逐步领悟和握，一方面，实数与数轴上的点的对应，平面上点与有序实数对间的对应，函数与图象的对应，曲线与方程的对应等，以及以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等等都为数形结合创造了条件，提供了理论支撑，另一方面，高中数学概念具有较强的抽象性、概括性，学生在理解时有较大的难度，可以借助形的几何直观性来达到帮助学生理解的目的，例如，将函数与图象结合起来，用几何方法表述函数关系来帮助学生理解函数的抽象。
第二阶段是数形转化，它体现了数与形关系在解决问题过程中，如何作为一种方法而得到运用，数学问题是开展数学思维的前提，解决问题的过程，本质上就是一个思维训练的过程，
数学难题范文6
笔者以为，在初中数学会考中，难题主要有以下几种：1.思维要求有一定深度或技巧性较强的题目；2.题意新或解题思路新的题目；3.探究性或开放性的数学题。
针对不同题型要有不同的教学策略，无论解哪种题型的数学题，都要求学生有一定的数学基础知识和基本的解题技能（对数学概念的较好理解，对定理公式的理解，对定理公式的证明的理解；能很熟练迅速地解答出直接运用定理公式的基础题），所以对学生进行“双基”训练是很必要的。当然，九年级毕业复习第一阶段都是进行“双基”训练，因此要使学生对数学知识把握得到深化和基本技能得到强化，复习效果才会更好。
有些老师认为，对全班学生进行面上的复习，只要复习到中等题就行，不必进行难题的复习。换言之，对于那些智力好的学生，你不帮他们复习，他们也会做；对于那些智力差的学生，你教他们也是白白浪费时间。其实，学生有一定的数学知识和基本的解题技能，也不一定能解出难题，这是因为从数学基础知识出发到达初中会考中的难题的答案，或者思维深度要求较高——学生思维深度不够，或者思路很新——学生从来没有接触过。但是，很多有经验的九年级的老师经过多年实践证明，针对难题进行专题复习是很有必要的，只要复习得好，对中等以上学生解难题的能力的提高作用较大。对此，在第二阶段复习中，我们要针对难题进行思维能力的训练和思路拓宽的训练。当然，这种训练也要结合学生的“双基”情况和数学题型，这种训练要注意题目的选择，既要针对会考，也要针对学生思维的不足，一定量的训练是必要的，但要给出足够的时间让学生进行解题方法和思路的反思和总结，只有多反思总结，学生的解题能力才能提高。老师要注重引导，不能以自己的思路代替学生的思路，因为每个人解决问题的方法是不尽相同的。
过去，有些九年级毕业班的老师，在会考复习中，找来各地各区的模拟题，让学生进行一轮轮的训练；练完讲，讲完练，师生都很辛苦，效果还不很理想。这是因为题海战术式的复习方法没有做到因材施教，老师的教学针对性不足。学生既没有体现学习的主体性，也没有足够的时间进行总结和反思。因此，学生的解题技能和思维能力没有真正得到提高。
有些老师觉得，会考难题难度大，考试题型新而难以捉摸。对难题的专题复习无非是把今年会考难题以及当年各地各区的模拟考试题中的难题讲练一次。这种以题论题的复习也难以使学生解难题的能力有实质性的提高。
在初中数学会考中命题者的命题目的是考查初中毕业的学生对初中数学基础知识的掌握情况，试题当然都离不开初中的基础知识。所谓难题，只是笼上几层面纱，使我们不容易看到它的真面目。老师的任务就是教会学生去揭开那些看起来神秘的面纱，找到它的真面目。我们的学生已经掌握了所有初中数学的基础知识，有一定的解题技能，只要我们对学生的引导得当，我们的学生一定能在考场上取胜。
关键在于，我们对学生的复习训练能使学生对知识融会贯通并提高自身的解题技能，同时，加之以恰当引导，学生训练后的反思总结，对知识的自主构建，从而促使其把握各类数学难题的实质——跟初中数学基础知识的联系。
对难题进行分类专题复习时，应该把重点放在对学生进行对数学难题与基础知识之间的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上，从而培养学生解题的直觉思维。应当先对难题进行分类，然后进行分类训练。在课堂上不必每题都要详细写出解题过程，每类题目写一两题就行了，其他的只要求学生能较快地写出解题思路，回去再写出详细的解题过程即可。
笔者认为可以将初中会考中的难题分以下几类进行专题复习：
1.与一到两个知识点联系紧密的难题。这类难题，教学的关键是引导学生紧扣与题目相关的知识点，直到把问题解决。
2.综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题。这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法，以及一定的解题技巧来解答。
3.开放性、探索性数学难题。无论是开放性还是探索性的数学难题，教学重点是教会学生把握问题的关键。初中会考题型再新也离不开初中的基础知识，所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识，然后运用与之相关的基础知识，通过分析、综合、比较、联想，找到解决问题的办法。
