前言：中文期刊网精心挑选了分式方程的解法范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
分式方程的解法范文1
关键词：城市发展缺水成因解决方法
前言：随着经济的发展，城市规模的不断扩大，城市缺水问题十分突出，水是人类生存与发展不可缺少和替代的基本物质 ,是未来经济和社会发展的最基本条件 ,是城市形成与发展的基础和命脉。近年来，城市对水的需求显得愈来愈迫切 ,许多城市因缺水而出现的水资源供需矛盾日益尖锐，如何化解这一矛盾成为发展的关键。
1.城镇缺水的成因
近年来，我国的众多城市遭遇了严重的缺水危机，不仅出现在一些水收入量较少的西北地区，甚至南方部分城市也呈现出了缺水的状态。
部分人怀疑是降水减少，怀疑人口增加用水量、饮水量增加，其实不然，重要的原因主要有：
1.1 饮水方式的改变导致缺水
目前，我国的城镇用水现状是按照一定的标准执行的，要求城镇市民的饮用水要求高标准，单一水质，这在一定程度上造成了用水量的大增，导致城镇用水量的上升，相较于我国农村的用水，城镇缺少水的循环利用以及水资源的共用，农村的水资源被充分的利用，避免污染的同时，也节约了水资源。
一旦从城镇走向城镇，一切生活方式发生改变，随着科技的发展，人们的生活正在逐渐的依赖高科技，人为的水的循环利用正在逐年的降低，另外，近几年城镇人口的急剧增加，造成城镇居民用水总量急剧增加，致使许多城镇难以满足居民生活用水的需要而缺水。
1.2 排出的污水超出了大自然的降解自净能力
目前我国的城镇用水都是将污水直接排出，随着城镇人口的增加，排出的污水量不断地增大，超过了江河湖泊的自净能力，而相应的净污技术却仍未达到要求，无法满足现在发展的要求，这直接导致了城市遭遇水质型缺水危机。不止是生活用水排污量增大，最大的困扰是工业污水的排放，随着我国对经济发展的支持，重工业发展区域的不断扩大，工业污水的直接排放到江河中，增加了江河降解的负担，水是流动的，直接将污染从上游带入下游，导致本身无污染的下游水也受到了污染，近年来，关于工业排污导致的水质污染现象频频见诸报端，至今仍没有一个良好的解决对策。
随着城镇化脚步的加快，城镇人口急剧增加，排放污水的污染物大幅增加，导致生活用水中污染物大幅增多，大大超过了江河湖泊的水体降解自净能力，使淮河长江等大江大河也难以承受，导致其水不能成为居民的生活饮用水。随着天然气工程的发展，废气的排放量也大幅度上涨，降水中也含有高度污染物，导致植物用水的减少，作物收成减少，危害居民用水。
1.3 储备水的能力下降
随着人们对城市建设意识的增强，一切为经济发展服务，一切为经济增长，围湖造田、毁林垦荒，侵占湿地等现象屡见不鲜，致使城市储备水的能力大幅度下降，水土流失现象严重，雨季淡水无法储蓄。近年来，我国的洪涝灾害严重就是其中最为明显的现象。为此，近年来人们开始修堤挖渠，排泄洪水，将大自然吹送降落到陆地的有限淡水，迅速排回大海。但相较于最初的浪费，仍没有从根源上解决问题，导致旱季城镇缺失现象严重。对此，必须退耕还林，保护湿地，大大提升城镇蓄水能力，保证水质。
1.4 农业生态用水的大幅减少
近年来，降水量降低也是导致生态用水减少的原因之一，而降水量的减少则是由于农业生态用水的大幅减少，造成蒸发的水汽减少而导致的。城镇居民的用水量占用了农业生态用水量，相较于农业生态用水的充分性，城镇用水却只是污染水，而不是消耗。在过去，生活污水可以直接投入农田的使用，但现在城镇的生活用水中含有较多有害物质，包括部分工业污染物的排放，导致用水无法投入到农田灌溉，导致水资源的浪费。同时雨季蓄留的降水减少，造成农业用水大幅减少和蒸发（植物为蒸腾）的水汽大幅减少，导致旱季降水量减少和市民饮用水的水源减少，形成恶性循环，使越来越多的城镇遭遇缺水。
2.解决城镇缺水的对策
针对以上的情况，相关城镇发展部门提出了如何解决城镇用水的对策，水对城市的发展意义重大，可以说水是城镇发展的生命，水资源在城市的形成和发展中之所以具有无可替代的重要作用。我国是世界上有名的贫水城市，必须正视现状，充分发挥优势，解决当前的不足。
2.1 变城市单体为城市群体
城市化进程是不可改变的形式，因此从城市单体变为城市群体是一个必然，在该方面我国应该充分学习西方发达国家的做法，充分发挥中心城市的作用，建立覆盖的城市群体，扩大采水区域，城市群体为多水系采水提供了条件，多点采水可控制水资源污染速度和范围，三者相辅相成，促进城镇化脚步加快的同时，也提高了城镇用水的利用率，进而减少了城镇缺水的现象。
2.2 调整产业结构和空间结构
目前，我国的产业结构需要调整，我国的产业结构是工业化为主，市区内的工业产业占据很大空间，对此，相关部门必须明文禁止该现象的扩展以及尽量使其迁出市区。城市的发展离不开工业，工业生产能力也是城市实力的一种体现，但是如何在大自然与工业发展中寻求一个平衡是我们要思考的方向。从地域经济出发，树立大区域观点，即依据城市群体中各自的地理、资源、技术、交通等客观条件，使各个新的工业基地在整个区域中合理布局，建设各具特点的工业城镇。这样不但可以使城市形成科学合理的空间结构，促进现代工业发展，而且可以维持地下水资源的相对平衡。
2.3 做好节约用水的工作
由于现状已经形成，相关部门必须采取行政、经济、技术等手段进行改变，抓好城市用水、节约用水的工作。尽管每天都在提倡，但是浪费现象却迟迟不见减少，在提升用水质量的同时更要做好不浪费的工作，节水工作是关键，推广先进科学技术，提高节水效益。
2.4 充分利用地表水
除了国家对水资源工程的建设外，相关部门更要重视对城市周边水资源的利用，强化地下水，充分利用地表水。相关部门要在农业用水以及工业用水中寻求平衡，更好的发挥城市在国民经济中的作用。
结束语：
综上所述，我国的城市缺水成因较为复杂，但是主要是由于人为因素造成的，因此充分提高人们的节约用水意识以及提升水资源的利用率，提高废水的循环利用率。让生命之源永不枯竭是我们的梦想，我们要为了梦想持之以恒的去奋斗。
参考文献：
分式方程的解法范文2
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C
【文章编号】 1004―0463（2015）16―0123―01
本设计的理论和现实依据是学生是在老师的指导下从已有的数学现实出发，经过自己的思考，得出有关数学结论，形成数学知识、技能和能力，发展情感态度和思维品质。然后由他们探索问题，相互解答疑惑，达成共识，逐步形成知识点，再运用知识巩固与提高。笔者所任教的班级学生，都有一定的探求新知识的能力。但基础不够扎实，如计算容易出错、考虑问题不够严谨等。在学习本节课之前，已经学习过解一元一次方程。对于解一元一次方程大部分同学已经掌握，但由于是在七年级学习，有一定的时间间隔，部分同学可能已经遗忘，给上本节课留下少许的困难。但绝大部分同学稍加回忆，应能接近以前的水平。本节课的内容处在分式这章的后半部。分式这章内容安排如下的：首先介绍分式及分式的基本性质，接着进行分式的加、减、乘、除的运算，之后是根据实际问题列出分式方程（但未求解）。紧跟其后的是本节课内容――解分式方程，最后一节是根据实际问题列出分式方程并求解。由此可见解分式方程涵盖了本章前面的内容，是本章知识的综合与提高。学习好这部分内容，不但掌握了初二阶段有关分式方程的内容，也为初三学习可化为一元二次的分式方程打下了良好的基础。通过将分式方程转化为整式方程（一元一次方程）渗透了一种重要的数学思想――转化思想，即将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题。
一、教学目标
1. 知识目标是掌握解分式方程的步骤，理解解分式方程时验根的必要性。
2. 能力目标是会按照解分式方程的步骤解分式方程。
3. 情感与价值观是培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度。运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得成就感和学习数学的自信。
教学重点是探索解分式方程的步骤，熟练掌握分式方程的解法。 体会解分式方程验根的必要性。教学难点是如何将分式方程转化为整式方程;体会分式方程验根的必要性。
二、新课设计
1. 由学生自主探索或互相讨论完成，老师巡视学生完成情况，对于学生可能出现的几种典型的解法用投影仪展示，让同学讨论，得出较好的解法。由于本节课的内容是紧接在分式的运算之后，多数学生会对方程进行通分，发现分母相同，得出分子应相等，解出x的值。这种情况与直接去分母效果相同，但解法较繁琐。第二种情况是与解含有分母的整式方程相联系，模仿整式方程的解法去分母，化为整式方程，求解整式方程得解。估计采用第二种方法的学生是少数。另外，若没有学生采用第二种方法，我会展示自己依第二种方法的解答过程，以供学生进行讨论、比对，在讨论中感悟到第二种方法更简便。突破本节课的难点。
2. 引导学生检验刚才求得的解是否是原方程的解。让学生明白将值代入原方程检验是分式方程验根的一种方法，另一种方法是直接检验分母是否为0，这种方法将在后面涉及。学生可将求得的值代入原方程，但书写格式不规范，如有的同学将解直接代入方程两边，却仍用等号将左右两边相连，然后两边同时计算。我计划用投影仪，选择几位同学的做法显示给大家。让大家评选出最好的格式――将解得的根分别代入方程的左右两边计算，看左、右两边的结果是否一致。
分式方程的解法范文3
教师作为数学教学主导，在设计数学活动时要遵循以下原则：
一、根据学生的年龄特征和认知特点组织教学。
二、重视培养学生的应用意识和实践能力。
1、让学生在现实情境和已有的生活和知识经验中体验和理解数学。
2、培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力。
三、重视引导学生自主探索，培养学生的创新精神。
1、引导学生动手实践、自主探索和合作交流。
2、鼓励学生解决问题策略的多样化。
四、教师对教学目标，难点，重点把握要恰当、具体。
数的计算非常重要，计算是帮助我们解决问题的工具，只有在具体的情境中才能让学生真正认识计算的作用。首先应当让学生理解的是面对具体的情境，确定是否需要计算，然后再确定需要什么样的计算方法。口算、笔算、估算、计算器和计算机都是供学生选择的方式，都可以达到算出结果的目的。
一、设计思想：初中数学说课稿
数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。
处理好教与学的关系。教师既要做到精讲精练，又要敢于放手引导学生参与尝试和讨论，展开思维活动 。
根据新教材留给学生一定的思维空间的特点，教师要鼓励学生自己动脑参与探索，让学生有发表意见的机会，绝对不能包办代替，使学生不仅能学会，而且能会学。充分发挥网络在课堂教学中的优势，力争促进学生学习方式的转变，由被动听讲式学习转变为积极主动的探索发现式学习。数学问题生活化，主导主体相结合，发挥媒体技术优势，探究练习相结合，符合《课标》精神。
网络环境下代数课的教学模式：设置情境-提出问题-自主探究-合作交流-反思评价-巩固练习-总结提高
二、背景分析：
（一）学情分析：
内容是义务教育课程标准实验教科书（人民教育出版社）数学八年级下册第十六章：《分式》
学生是本校初二实验班的学生，参加北师大“基础教育跨越式发展”课题实验一年半，学生基础知识较扎实，具有一定探索解决问题的能力，电脑使用水平较熟练，对于网络环境下的学习模式已适应。
本节课实施网络环境下教学，采用自学导读式教学模式。学生喜欢上网络数学课，学习数学的兴趣较浓。
（二）内容分析：
本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元二次方程的分式方程打下基础。
通过经历实际问题列分式方程探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意
识，渗透类比转化思想。
（三）教学方式：自学导读—同伴互助—精讲精练
（四）教学媒体：Midea---Class纯软多媒体教学网 几何画板
三、教学目标：初中数学说课稿
知识技能：了解分式方程定义，理解解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法。
过程方法：通过经历实际问题列分式方程探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意识，渗透转化思想。
情感态度：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。
教学重点：解分式方程的基本思路和解法。
教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。
设计说明：情感、态度、价值观目标不应该是一节课或一学期的教学目标，它应该贯穿于初中数学教学的每一堂课，它应该与具体的数学知识联系在一起，才能让教师好把握，学生好掌握，否则就是空中楼阁，雾里看花，水中望月。
四、板书设计：
a不是分式方程的解
（二）学习方法：类比与转化
教学思考：伴随教学过程的进行，不失时机的，恰到好处的书写板书，要比用多媒体呈现出来效果好，绝不能用媒体技术替代应有的板书，现代教育技术与传统教育技术完美的结合才是提高课堂教学效率的有效途径之一。
五、教学过程：
活动1：创设情境，列出方程
设计说明：教师不失时机的对学生进行思想教育，激励学生，寓德于教。体现了教学评价之美-激励启迪。
设计说明：通过经历实际问题列分式方程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意识，激发学生的探究欲与学习热情，为探索分式方程的解法做准备。
活动2：总结定义，探究解法初中数学说课稿
使学生能从整体上把握数、式、方程及它们之间的联系与区别；通过合作探究分式方程的解法，培养学生的探究能力，增强利用类比转化思想解决实际问题的能力及合作的意识。
教学思考：再一次体现了对全章进行整体设计的好处，在学习16.1分式和16.2分式的运算时，几乎每一节课都运用类比的思想-分式与分数类比和进行算法多样化训练，所以才出现了这样好的效果。在利用媒体技术拓展学习内容时要遵循以下原则：一、拓展内容要与所学内容有有机联系。二、拓展内容要符合学生实际认知水平，不要任意拔高。三、拓展内容要适量，不要信息过载。
分式方程的解法范文4
关键词：常微分方程初值问题；自适应；数值积分；Matlab
中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1671―1580（2014）02―0148―03
一、引言
对于一阶常微分方程的初值问题
二、基于自适应数值积分的常微分方程数值算法原理
根据上式，可以近似地取Tk+1-Tk作为当前步近似值Tk+1的误差。若预定精度ε满足∫bkakf（x）dx-Tk+1
三、数值算例
用基于三种自适应的积分方法求解x=1时y（1）的数值解结果和误差情况如表1所示，同用等步长h=0.01时的复化梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式所求的数值解结果进行了比较，如表1所示，相比之下可看出自适应Cotes积分公式和4阶Runge-Kutta方法结果相对最为准确，但前者用时最少。从整体上看基于自适应梯形积分公式的算法所得到的结果明显比复化梯形公式的误差小，运行时间短。相应的基于自适应Simpson积分公式和自适应Cotes积分公式的算法所得到的结果明显比4阶Runge-Kutta方法和4阶Adams显示公式误差要小，运行时间短。同时对比于梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式三种方法，可以看出计算常微分方程数值解的单步法迭代公式如果收敛阶数越小，程序运行的时间越长，并且误差相对较大。而多步法在相同条件下，4阶Adams显式公式比4阶的Runge-Kutta方法所得数值解误差大。
用基于三种自适应的积分方法求解x=9时y（9）的数值解结果和误差情况如表2所示，同用等步长h=0.01时的复化梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式所求的数值解结果和误差情况相比，如表2所示，相比之下可看出自适应Cotes积分公式结果也相对最为准确，而且用时最少。从整体上看基于自适应梯形积分公式的算法所得到的结果明显比梯形公式的误差小，运行时间短。相应的基于自适应Simpson积分公式和自适应Cotes积分公式的算法所得到的结果明显比4阶Runge-Kutta方法和4阶Adams显示公式误差要小，运行时间短。同时对比梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式三种方法，可以看出计算常微分方程数值解的单步法迭代公式如果收敛阶数越小，程序运行的时间越长，误差则相对较大。而多步法在相同条件下，4阶Adams显式公式比4阶的Runge-Kutta方法所得数值解误差大。
基于三种自适应的积分方法选用的节点如图2所示，基于自适应梯形积分公式的算法选用的节点数最多，自适应Cotes积分公式的算法选用的节点数最少。
[参考文献]
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第5版）[M].北京：清华大学出版社，2008.
[2]胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法（第2版）[M].北京：科学出版社，2007.
[3]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现：MATLAB6.X，7.X版[M].北京：高等教育出版社，2007.
分式方程的解法范文5
八年级下册的分式方程教学中，教师要有意识地引导学生主动参与与学习，鼓励学生进行反思和自主探索并与同学，老师共同合作交流。在新知识的学习过程中引导学生去体会数学思想，使学生对解分式方程的基本思想方法的认识理解能随着学习内的扩充而不断的深化。让学生主动的获得知识，而且在学习过程中产生积极的学习兴趣，同时提高对新事物与已熟悉事物之间联系的认识，认识水平的提高，利于学生构建自己的知识体系，提高自己的知识水平，及分式方程的教学就是让学生体会“转化”的数学思想，让学生在以后的学习中运用“转化”的数学思想。
（一）从改变教师的贯常态度和例行为入手，客观地进行教学改革。
在分式方程的教学指导上，只重视解分式方程的步骤：（1）去分母，把分式方程化为整式方程；（2）解这个分式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使分母为零的根是增根（舍去）；不为零的则是原分式方程的根。过分的强调预设和封闭。上课就是执行教案的过程，教师的教和学生的学在课堂上就是完成教案。
在分式方程的教学评价方式上，评价角度存在局限，评价反馈时期长，收效少，评价针对性不强，评价方式单一，教师的语言已成套话，就是好或不好，指导意义不大，在评价作业上，教师书面评改，缺乏师生间的交流讨论，老师的定势思维形成了学生学习的唯一标准。
针对以上的情况，我把班里的学生分成几个小组，每小组4―6人，且每小组形成一个学习小组，每小组都要内部团结，相互学习，讨论。每当教师讲完一个知识点，教师都应把课堂还给学生，让学生在讲台上讲，教师在下面听，学生讲完后，小组与小组之间讨论并做出评价，最后教师再对学生的讲解进行评析。再次就是教师批改作业时批改每小组的某个即可。但批改是详改，其余的作业由每组的某一个成员来批（轮流批改）然后把本子反馈给老师，老师再进行查阅，并做出评析。
（二）反思分式方程的教学的升华。
在以上的反思与尝试中，为了让学生保持学习兴趣及以后学习的分式方程可化为一元二次或高次方程做准备。
1.找相关分式方程的题目进行训练，即训练解题技能，增强解题能力。
2.培养解题兴趣，养成解题习惯。
3.提高思想认识，培养数学思维。
二、分式方程的教学探索。
数学是培养和发展人思维能力的，则应重视学生的思维训练，使学生从闭锁规束走向多元化创新，充分激发学生的学习兴趣，着力培养激励学生创新思维，重视引导学生加强知识的积淀，让学生不怕分式方程。
（一）让学生具有较持久的学习动力。
“兴趣是最好的老师”激发学生学习分式方程的核心任务是打消学生对分式方程的畏惧和顾虑，让学生自主探索，使学生的思想得到教师的认可和尊重。让学生成为真正的学习主人。使学生敢做，想做，爱做。使学生对学习数学产生浓厚的学习兴趣
（二）鼓励学生创新。
鼓励学生用自己的思路解题，促使学生自主发展，自主探索，自我消化。变“我仿做”到“我会做”，由“要我学”到“我要学”。所以教师应培养学生的联想能力和想象能力；培养学生思维的开放性，求异性，灵活性与敏锐性。
（三）加强学生的知识积淀，减少学生的知识误点积累，从而提高学生解题的技能。
设改错卡，减少知识误点的累积，改错卡的内容包括错题，错因分析，改正措施，更正，巩固。
通过这一过程，让学生混淆的知识不断的交叉出现，改变学生在学习中错误知识的再现。从而降低学生知识误点的累积。这样能使学生对正确知识的识记得到强化，即能增强学生知识的积淀。
三、加强各环节的实践和开延性思维。
解分式方程是学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的为后面学习可化为一元二次方程或高次方程的分式方程打下基础。
（一）提出问题，列出方程。
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时。它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间等，问江水的流速为多少？
根据物理学知识“两次航行所用时间相等”的等量关系列出方程
在此过程中教师应关注：1.学生会不会将实际问题转化为数学问题；2.对于这个问题大部分学生会不会很好的分析出来，会不会列出方程；3.对该问题基础较差的学生会不会有困难，应如何加以适当的引导。
通过这一过程，引导学生从分析入手，列出含未知数的式子，用这些式子表示相关的量。然后列出方程，即为探索分式方程的解法做准备。
（二）归纳定义，寻求解法。
鼓励学生将分式方程化为整式方程，学生自然会想到“去分母”，来实现这一转变，而怎样去分母呢？引导学生找分母的公倍式（也就是分母的最简公分母）。然后求出的解，最后验根。从而引导学生归纳解分式方程的步骤：1找分母的最简公分母；2在分式方程的两边同乘最简公分母（去分母），把分式方程化为整式方程；3把整式方程化为的形式（解整式方程）；4把根代入最简公分母，若公分母为零，则不是原分式方程的解。若最简公分母不为零，则是原分式的解。
在这过程中教师要关注：1学生会不会从所列的方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母含有未知数”；2学生是不是有利用“转化”思想解决问题的意识；3学生会不会相互的讨论和听教师的见解从中获取知识。因为怎样解分式方程是本节的核心问题，这又一次的让学生运用“转化”思想，把待解决的或未解决的问题通过转化，化归到解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决。
（三）探索分析，解决难点。
1.解分式方程
2.分式方程与。为什么去分母后所得的整式方程的解是原方程的解，而去分母后所得的解却不是原方程的解呢？然后引导学生思考在什么情况下整式方程的解就是分式方程的解而在什么情况下不是呢？
提出以上的问题让学生先独立解决问题，然后提出自己的看法小组讨论，教师参与学生的讨论，鼓励学生勇于探索，实践解释产生这一现象的原因，并懂得在解分式方程时一定要验根。因为解分式方程时，去分母后整式方程的解不一定是原分式方程的解。这是为什么呢？如何进行检验呢？引导学生进行比较，探索，并进行充分的讨论，然后认识.用分式的意义及分式的基本性质解释分式方程可能无解的原因。学生在教学活动中通过积极参与和有效参与，来达到知识和能力，过程和方法，情感态度价值观三个方面的全面落实。
分式方程的解法范文6
考点一、分式的意义
例1 若分式有意义,则实数x的取值范围是_______.
解析:因为分式要有意义,所以x-5≠0,解得x≠5.所以实数x的取值范围是x≠5.
点拨:分式有意义的条件是,分式的分母不能为0. 通过建立关于待定字母的不等式,从而求出待定字母的取值范围.
例2使分式无意义的x的值是( ).
A. x=-B. x=
C. x≠-D.x≠
解析:根据题意,得2x-1=0 .解得x=.
点拨:分母为0时,分式无意义.根据这一条件可以建立关于待定字母的方程,从而求出待定字母的值.
考点二、分式值为0的条件
例3 (1)若分式的值为0,则().
A.x=-2 B.x=- C.x= D.x=2
(2)分式的值为0,则( ).
A.x=-1 B.x=1C.x=±1D.x=0
解析:要使分式的值为零,除了要求分子的值为零外,一定要保证分母的值不为零.
(1)根据题意得,3x-6=0,且2x-1≠0,解得x=2.
(2)根据题意得,x2-1=0,且x+1≠0 ,解得x=1 .
点拨:由于只有在分式有意义的条件下,才能讨论分式值的问题,所以当分式值为0时,须同时满足①分子等于零,②分母不等于零,两个条件缺一不可.
考点三、分式的基本性质
例4 化简:=_________ .
解析:先将分子因式分解为(x-y+1)(x-y-1),然后约去(x-y-1).
==
=x-y+1.
点拨:(1)如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子与分母的公因式,也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积.(2)如果分子、分母中至少有一个是多项式,就应先分解因式,然后找它们的公因式,再约分.(3)约分时一定要把公因式约尽,使约分的结果为最简分式或整式.
考点四、分式的加减
例5 化简:-=___________.
解析:依据“同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减”, 则-===x+y.
点拨:(1)把分子相加减是指把每个分式的分子的整体相加减,即各个分子都应有括号.当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略. (2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式.
例6 已知ab=-1,a+b=2,则式子 +=____.
解析:将待求分式转化为已知式的形式,再代入求值.
+===-6.
点拨:先将分式转化为条件中所给的形式,再将已知式的值代入求值.
考点五、分式的乘除
例7 化简: (a-2)•=_________.
解析:因为分式的分子和分母都是多项式,所以应先对分子与分母进行因式分解,再根据分式乘法法则进行计算.
(a-2)•=(a-2)•=a+2.
点拨:若分式的分子、分母都是单项式,可直接利用分式乘法法则进行计算,计算结果要通过约分化为最简分式或整式.若分式的分子、分母中至少有一个是多项式,要先对分子、分母进行因式分解,然后运用分式乘法法则计算.
例8 计算:÷ =_______.
解析:根据分式的除法法则,两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.
÷ =× =-2 .
点拨:两个分式相除,分子或分母是多项式时,应先分解因式,再利用分式的除法法则进行运算,最后的运算结果要化为最简分式或整式.
考点六、分式的化简求值
例9先化简,再求值:(-)•,其中x=.
解析:(-)•
=•
=•
=.
当x=时,原式=3 .
点拨:在做分式的混合运算时,必须注意运算顺序,即先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号内的,若是同级混合运算,应按从左到右的顺序进行.
例10 已知x-3y=0,求•(x-y)的值.
解析:本题可以把x用含有y的代数式表示出来,再代入化简之后的式子求值.
•(x-y)=•(x-y)=.
由x-3y=0,得x=3y ,原式== .
点拨:根据题型的需要,应先化简,再整体代入求值.
考点七、分式方程及其解法
例11 若关于x的分式方程-=1无解,则a=______.
解析:先将方程-=1转化为整式方程,即(a+2)x=3,再分两种情况进行讨论:
(1)整式方程有解,但解为分式方程的增根,即x=0或x=1 .
①将x=0代入方程(a+2)x=3,此时a无取值;
②将x=1代入程(a+2)x=3得,a=1.
(2)整式方程无解,即方程(a+2)x=3无解,则分式方程也无解.则有a+2=0,解得a=-2.
所以答案为1或-2.
点拨:分式方程无解问题有两种情况.(1)整式方程有解,但解为分式方程的增根.此时应先求出增根,然后把增根代入整式方程,求出相应的待定系数的值;(2)整式方程无解,则分式方程也无解.此时的整式方程应满足“0•x=b(b≠0)”的形式,从而求出待定系数的值.
例12 解方程-=2时,若设y=,则方程可化为_________.
解析:因为y=,所以=,则方程-=2可变形为2y-=2,即2y2-2y-3=0 .
点拨:解分式方程的基本方法是去分母,但对于特殊形式的分式方程可采用换元法求解.
考点八、分式方程的应用
例13 如图1,点A,B 在数轴上,它们所对应的数分别是-3和,且点A,B到原点的距离相等,求x的值.
图1
解析:因为点A,B到原点的距离相等,所以 -3和互为相反数.依题意可得,3=,解得x=.经检验,x=是原方程的解.
点拨:解决此类题时,要注意数形结合,根据数的概念建立方程,从而求解.
例14 某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1 800元.已知(2)班比(1)班人均捐款多4元, (2)班的人数比(1)班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.
解析:题目中的等量关系有两个,(1) 班的人数=(2)班的人数×90%,(2)班人均捐款数= (1)班人均捐款数+4元.其中一个等量关系可用来设未知数,另一个等量关系可用来列方程.
设(1)班人均捐款x元,则(2)班人均捐款为(x+4) 元,根据题意得×90%=,解得x=36.经检验,x=36是原方程的根.所以x+4=40.