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数学归纳法范文1
数学归纳法是一种重要的证明方法，在证明问题中往往具有意想不到的效果.但是，掌握好数学归纳法需要理解证明中的环环相扣的两步走.
一、数学归纳法在证明等式问题中的应用
例1.请利用数学归纳法证明：1-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■.
解：（1）当n=1时，左边=1-■=■=右边，命题成立.
（2）假设n=k时，命题成立，即1-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■，那么1-■+■-■+…+■-■+■-■=■+■+…+■+■-■=■+■+…+■+■+（■-■）=■+■+…+■+■+■.
这说明当n=k+1时命题也成立.
由（1）（2）可知命题对一切正整数都成立.
评析：关键在于n=k变为n=k+1时等式变化是什么，等式增加多少项它们是什么.题中n=k时，原式=1-■+■-■+…+■-■，当n=k+1时，式子就变为1-■+■-■+…+■-■+■-■.
二、数学归纳法在证明不等式问题中的应用
例2.求证：■+■+…+■>1
分析：证明n=1成立时，不等式左侧为■+■+■，不是一项.利用假设n=k时不等式成立来证明n=k+1时不等式也成立，必须用到归纳假设，继而进行恰当的放缩.
解：（1）当n=1时，左边=■+■+■=■=■>1，不等式成立.
（2）假设n=k时命题成立，即■+■+…+■>1，
则当n=k+1时，■+■+…+■+■+■+■=（■+■+…+■）+■+■+■-■>1+[■+■-■]=1+■-■=1+■-■>1.
这就是说，当n=k+1时，不等式成立.
由（1）（2）知原不等式成立.
规律总结：关键点在于从k到k+1时项数的变化，跨度较大，注意到分母是相邻的自然数，理应为■+■+■，有三项之多，同时也要关注到式子中的第一项同样发生了变化.
三、先归纳后猜想再证明
例3.已知a1=■，且Sn=n2an（n∈N*）.
（1）求a2，a3，a4.
（2）猜想出数列{an}的通项公式，并利用数学归纳法进行证明.
分析：已知Sn求an的问题，可以通过题型特点直接求出递推公式an+1=■an，再进行证明.用数学归纳法证明时重点关注好n=k和n=k+1两者之间的关联性，用好an+1=■an的纽带作用.
解：Sn=n2an，an+1=Sn+1-Sn=（n+1）2an+1-n2an，an+1=■an，
（1）a2=■，a3=■，a4=■.
（2）猜想出an=■.利用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，命题显然成立.
②假设当n=k时命题成立，即有ak=■.则当n=k+1时，ak+1=■ak=■×■=■.故当n=k+1时命题也成立.综上所述，对于任意的n∈N*，都有an=■.
四、错误辨析
例4.用数学归纳法证明：6能整除n3+5n（n∈N*）.
错误解：（1）当n=1时，n3+5n=6，6能被6整除，结论显然成立.
（2）假设n=k时结论成立，即k3+5k能被6整除.
那么（k+1）3+5（k+1）=[（k+1）3-（k-1）]+6（k+1）=（k+1）[（k+1）2-1]+6（k+1）=（k+1）（k+2）k+6（k+1）.
因为k，k+1，k+2是相邻的三个整数，三个中肯定有一个能被3整除，三个中肯定至少有一个能被2整除，所以6能整除k（k+1）（k+2）+6（k+1）.故n=k+1时，结论也成立.
评析：本题证明法看起来很完美，其实仔细观察我们发现，在证明过程中没有按照数学归纳法的两大步骤来完成.
数学归纳法是高中重要的一种证明方法，一般情况分两大步―三结论的模式来证明问题.数学归纳法有两个联系紧密、缺一不可的步骤，前一步是推理的基础，后一步是推理的依据，少前一步就缺少推理的基础，后一步中的假设就失去了成立的基石，少后一步，就缺少了推理的依据，问题的普遍性得不到呈现。所以，数学归纳法其实是环环相扣的两环.
数学归纳法范文2
1.教学内容
数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容，本节共2课时，这是第1课时，主要内容是数学归纳法理解与简单应用。
2.地位作用
在前面，学生已经学了用不完全归纳法推导等差数列、等比数列的通项公式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展。纵观高中数学，数学归纳法是一个重难点内容，也是一种重要的数学方法，可以使学生学会研究数学的科学方法。
3.重点难点
重点：数学归纳法及其应用。
难点：对数学归纳法原理的了解。
二、学情分析
1.知识准备
学生对等差（比）数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳
能力，但对归纳的概念是模糊的。
2.能力储备
学生经过前面的数学学习，已具有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，并逐步形成了辩证思维体系，但学生自主探究问题的能力普遍还不够理想。
3.学生情况
我所教的班级学生基础有点差，因此，我按照大纲要求，结合学生情况，补充了一些问题情境和数学实例以烘托重点，突破难点。
三、教学目标
根据教学内容特点和教学大纲，根据学生以上实际及学生终身发展需要特制订以下教学目标。
1.知识与技能
了解归纳法，理解数学归纳的原理与实质，掌握两个步骤；会证明简单的与自然数有关的命题。
2.过程与方法
努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3.情感态度与价值观
让学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点；体会研究数学问
题的一种方法，激发学生的学习热情，培养学生学习做数学的意识和科学精神。
四、教法学法
1.教学方法
采用类比启发探究式教学方法进行教学。数学归纳法的教学立足于学生的逻辑思维能力和推理能力，在旧知识体系的基础上
构建新的知识模式。教学中注重观察与思考、比较与类比、分析与综合、概括与特殊化等知识发生发展与形成的思维过程。
2.学法指导
在教学过程中，我不仅传授给学生课本知识，还培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到较为理想的教学终极目标。
3.教学手段
借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材，促进学生对“递推原理”的理解，为学生掌握数学归纳法提供形象化的参照，为教学难点突破提供感性基础。
五、教学过程
主干层次为：创设问题情境（提出问题）；探索解决问题的方法（建立数学模型）；方法尝试（感性认识）；理解升华（理性认识）；方法应用（解决问题）；课堂小结（反馈与提高）。
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线
展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。
1.创设问题情境
（1）不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字。这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的。
（2）完全归纳法对比引例
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些。他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案。大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生。显然，二徒弟比大徒弟聪明。
2.探索解决问题的方法
（1）多媒体演示多米诺骨牌游戏
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：①第一块要
倒下；②当前面一块倒下时，后面一块必须倒下。当满足这两个条件时，多米诺骨牌全部都倒下。
（2）学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）
①n取第一个值n0（例如n0=1）时命题成立；
②假设n=k（k∈N*，k≥n0）命题成立，利用它证明n=k+1时命题也成立。
满足这两个条件后，命题对一切n∈N*均成立。
3.方法尝试
如，师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。
其中假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。
①n=1时等式成立。
②假设当n=k时等式成立，即ak=a1+（k-1）d，则ak+1=ak+d=a1+（k-1）d+d=a1+[（k+1）-1]d，即n=k+1时等式也成立。
于是，我们得出结论：等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d对任何n∈N*都成立。
4.理解升华
（1）论证（说理）
师生共同探讨数学归纳法的原理，理解它的严密性、合理性，从而由感性认识上升为理性认识。
（2）方法总结
学生总结用数学归纳法证明命题的两个步骤：
数学归纳法范文3
关键词：数学归纳法；归纳基础；证明方法
数学归纳法是数学中一种独特而重要的证明方法，它是一种只与自然数有关的命题证明的方法.由于自然数的无穷性，命题情况不能一一枚举，而通过学习，使学生了解一种“化无限为有限”的辩证思维方法.然而，现行教材没有给出它成立的依据，而且它又不是那么直观易懂，故学生在数学归纳法应用中易出现错误.下面就学生中常见的错误，略举数例进行分析.
一、忽视归纳基础
二、对归纳基础步骤中有关第一个取值n0理解错误
1.受教科书例题及习惯的影响，常认为n0就是1.
三、在验证递推关系式的过程中用到了一些未经假设的条件
四、在归纳证明过程中，没有应用n=k时命题成立的归纳假设
上述证明中，将n=k时式子的左端仅加上，就认为是n=k+1时式子的左端.这主要是由于教科书中所举的例题和习题中，n从k变到k+1时，式子中总是增加一项，因此有些学生误认为所有的数学归纳法证明n从k变到k+1时，式子左边总是增加一项，以至产生如此错误.实际上，n从k变到k+1时，式子有时相差一项，有时差别是很大的，这需要由通项和前面项联系起来确定.
数学归纳法范文4
关键词：图论；数学归纳法；应用
中图分类号：G712文献标识码：A文章编号：1009-0118（2012）12-0129-02
图论是一个应用比较广泛的数学分支，在许多领域，诸如物理学、化学、运筹学、计算机科学、网络理论、社会科学以及经济管理等方面都有广泛的应用。点、边（或弧）、面、连通分支等是图的基本要素，在图论的证明中经常用数学归纳法对点的个数、边的个数及连通分支个数等进行归纳。一般情况下，由于证明过程中需保持图的相关性质，因而需要选择合适的要素进行归纳。有些结论的证明既可以对一种要素的个数进行归纳，也可以对另一种要素的个数进行归纳；既可以用第一数学归纳法证明，也可以用第二数学归纳法证明，其中数学归纳法的运用既体现了严谨性的要求，又体现了灵活性，表现手法多样[1]。
一、数学归纳法
作为一个好的数学家，或者一个优秀的博弈者，或者要精通别的什么事情，你必须首先是一个好的猜想家，而要成为一个好的猜想家，我想，你首先是天资聪慧的。但天资聪慧当然还不够，你应当考察你的一些猜想，把它与事实进行比较，如果有必要，就对你的猜想进行修正，从而获得猜想失败与成功的广泛经验。在你的经历中如果具备这样一种经验，你就能够判断得比较适当，碰到一种机遇，就能大致预知它的是非结果。
自然科学中的“经验归纳法”，是从某一现象的一系列特定的观察出发，归纳出支配该现象所有情况的一般规律，而数学归纳法则是迥然不同的另种手段，它用来证实有关无限序列（第一个，第二个，第三个，等等，没有一个情况例外）的数学定理的正确性。数学归纳法的原理是奠基在下属事实的基础上：在任一整数r之后接着便有下一个r+1，从而从整数1出发，通过有限多次这种步骤，便能达到任意选定的整数n。数学归纳法原理与经验归纳法是完全不同的，一般的定律如果被证实了任意有限次，那么不论次数多么多，甚至至今尚未发现例外，都不能说该定律在严格的数学意义下被证明了，这种定律只能算作十分合理的假设，它容易为未来的经验结果所修正。在数学中，一条定律或一个定理所谓被证明了，指它是从若干作为真理接受的假设出发而得到的逻辑推论。人们考察一个定理，如果它在许多实例中是正确的，那么就可猜想定理在普遍意义下将是真的；然后人们尝试用数学归纳法以证明之。如果尝试成功，定理被证明为真；如果尝试失败，则定理的真伪未定，有待以后用其他方法予以证明或者[2]。
二、数学归纳法的具体表现形式
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，而数学归纳法属于完全归纳法，它又分为有限数学归纳法和超限数学归纳法，对于后者，在实变函数论中会学到；前者有两种不同的形式，它们分别叙述为：
第一数学归纳法：如果性质P（n）在n=1时成立，而且在假设了n=k时性质P（k）成立后，可以推出在n=k+1时性质P（k+1）也成立，那么我们可以断定性质P（n）对一切自然数n都成立。
第二数学归纳法：如果性质P（n）在n=1时成立，而且在假设了对所有小于或等于k的自然数n性质P（n）都成立后，可以推出在n=k+1时性质P（k+1）也成立，那么性质P（n）对一切自然数n都成立。
数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，第一数学归纳法与第二数学归纳法在数学的证明中经常用到，而反归纳法、跳跃归纳法与双重归纳法在数学的证明中不是很常见的。然而如上所述，利用数学归纳法证明与图论有关的命题，可降低证明过程的复杂性，使推理过程简单、清晰，也保证了推理的严谨性。
例1：某生产队科学实验小组决定研究n（n≥2）种害虫之间的关系，然后想法消灭它们，经实验，他们发现，其中任意两种总有一种可吞食另一种。试证明可把此几种害虫排成一行，使得前一种可吞食后一种。证明⑴n=2时，命题显然成立。⑵设n=k时（k≥2），结论成立。我们不妨以ai（i=1，2，…，k）表示第i种害虫，记这时可将它们排成a1a2，…ak，其中前一种可吞食后一种。用（ak>ak+1表示可吞食a+1）
下面考虑n=k+1时的情形，即在上面情形里加进一种害虫ak+1（当然，我们还可以将k+1种害虫分为两组，一组k，一组一种，由归纳假设第一组k种可排成a1，a2，…ak，使前一种可吞食后一种，再将第二组的一种记为ak+1加入），将有面两种情形：
（1）若ak+1>a，则可将ak+1置a1前，则有ak+1>a1>a2>…ak。命题为真；（2）若a1>ak+1，再将ak+1与a2放在一起试验，若ak+1>a，可将ak+1置a1后a2前即可，这时有a1>ak+1>a2>Λ>ak，命题为真。否则可重复往下试验，经过有限次（≤k次），必有下列情形之一：ai-1>ak+1>ai，问题解决。否则ak>ak+1，则可置ak+1于ak之后。此时有a1>a2>…>ak>ak+1，命题亦成立。
综上，命题对k+1成立，从而对任意自然数（n≥2）成立。
第二数学归纳法的应用
例2：证明（1）当n=1时，D1=cosθ，猜想成立。（2）假设n≤k-1时，Dk=coskθ，当n=k时，由式（1），有Dn=2cosθcos（n-1）θ-cos（n-2）θ=cosnθ+cos（n-2）θ-cos（n-2）θ=cosnθ，故k=n时，有Dk=coskθ，归纳法完成，故对一切n∈N*，都有Dn=cosnθ。总之，数学归纳法的两个步骤，缺一不可。即都是必须的，否则将不完整，甚至导出错误的结果。
三、图论中数学归纳法中的应用
例3：设A是G的邻接矩阵，证明Ak的（i，j）元素a（k）ij等于G中联结vi和vj的长为k的途径的数目[3]。
证明：对k用归纳法。当k=0时A0=I为p价单位矩阵。从任一顶点vi到自身有一条长为0的途径，任何两个不同的顶点间没有长为0途径，故当k=0时结论成立。
今设结构对k成立，由Ak+1=AAk，故有
a（k+1）ij=∑p12l=1aijalj（k）
由于aij同是联结vi与vl的长为1的途径的数目，alj（k）是联结vl与vj长为k的途径的数目，所以ailalj（k）表示由vi经过一条到vl，再经过一条长为k的途径为vj的总长为k+1的途径的数目，对所有的l求和，即得a（k+1）ij是所有联结vi与vj长为k+1的途径的数目，由归纳法原理，结论得证。
例4：p阶图G是一棵树，证明G有p-1条边。方法1（第一数学归纳法）：当p=2时，结论显然成立。假设p=k时结论为真，当p=k+1时，因为G没有圈，当把G中的一条边收缩后，G的边数和顶点数均少1，变成k个顶点的树，由归纳假设，应有k-1条边，再把去掉的边放回，则顶点数为k+1而边数为k，于是结论得证。
图论这门学科的内容十分丰富，涉及的面也比较广，图论中的基础知识，又是工程实际中经常用到的。数学归纳法在结论以及命题的证明过程中起了画龙点睛的作用，是其它证明方法所不可代替的。
四、结论
数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，没有它，在图论中很多与自然数有关的命题难以证明；同时对于与自然数有关的命题，把n所取的无穷多个值一一加以验证是不可能的，用不完全归纳法验证其中一部分又很不可靠，数学归纳法则是一种用有限步骤证明与自然数有关的命题的可靠方法，其思维方式对于开发学生的智力有重要价值。在图论学习中，掌握并应用好这一方法有十分重要的意义。
参考文献：
[1]华罗庚.数学归纳法[M].上海：上海教育出版社，1963.
数学归纳法范文5
关键词：高中数学；归纳法；应用
数学归纳法作为一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在一定的范围内成立，是高中数学解题过程中常用的一种重要的解题方法，它不仅可以提高学生的解题效率，而且，对提高学生的逻辑思维以及逆向思维的培养都起着非常重要的作用。所以，本文就从几个例题简单地对数学归纳法进行简单介绍，以促使学生获得更好的发展。
例如，已知各项全不为0的数列{an}的前k项和为Sk，且Sk=1/2akak+1，其中a1=1，求数列{ak}的通项公式。
解法一：Sk=1/2akak+1，a1=1
a2=2，a3=3，a4=4ak=k
当k=1时，a1=1成立
设当k=n时，an=n，Sn=n（n+1）/2成立，所以当n=k+1时，Sn=1/2anan+1
an+1=2Sn/an=n+1成立
ak=k，在k∈N+均成立。
解法二：Sk=1/2akak+1，a1=1
a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6……ak=k
因为试题中没有说该数列是等比数列还是等差数列，所以，即便是学生给出了ak的答案，但也只是停留在假设，如果这是一道填空题，这个答案是可以得分的，但这是一道解答题，需要证明过程。所以，也只能说，解法二的答案是不完整的。
不难看出，解法二的思路是正确的，但并没有给出完整的解题过程。而在解法一中，运用的是数学归纳法，先验证当a1=1是否成立，之后，进行假设阶段，即假设当k=n时，命题ak=k成立，之后就是证明当k=n+1时，命题也能成立。这样当n取k的取值范围，假设都成立。所以，题目也就解答出来了。这基本上也是数学归纳法的基本步骤，以具体情况而定，这也是证明问题的一大技巧，对学生的解题效率起着非常重要的作用。
但是需要注意的是，不是所有的证明题都可以使用数学归纳法的，因为并不是当k=n+1都能证明成立的。因此，在解题的过程中，学生要注意选择。
总之，教师要鼓励学生将数学归纳法运用到解题过程中，要让学生能够轻松地、熟练地利用将数学归纳法提高自己的解题质量，进而培养学生的数学能力。
参考文献：
数学归纳法范文6
一、易错分析
（1）忽视归纳基础（或只是形式上给予叙述）导致的错误
在数学归纳法使用过程中的两步都是必不可少的，否则，就会在没有验证第一步的情况下，而得出错误的结论的问题.
例1在函数中，由，，，…
等都是质数，便说：“为任何自然数时的值都是质数”是错误的，因为
就不是质数，如果缺少了第二步，则不论对于多少个自然数来验证命题的正确性，都不能肯定命题对所有自然数都正确.
例2歌德巴赫猜想“对于不小于6的偶数都可以表示成两个质数之和”，虽然对大量偶数进行了具体验证，但因缺少第二步归纳递推，所以仍只停留在归纳的第一步，至今只是个猜想而已.第二步在证明为真时，一定要用到归纳假设，即要由为真，推出为真.
（2）归纳基础步骤中有关“”的理解错误
受思维定势影响，常认为就是1.
必须注意：①数学归纳法原理中“”是要证明命题成立的最小正整数.例如，命题“多边形的内角和为”中，时，原命题成立，所以，用数学归纳法证明此命题的基础应该是；命题“边数为偶数的圆内接凸多边形，相间诸角的和等于其余诸角的和”中时，原命题无意义，所以，用数学归纳法证明此命题的基础应该是，再对一切偶数进行数学归纳法.
②对于某些命题，虽然正整数的任意取值都能使其有意义，但并非对一切正整数都成立.对此类命题，应该找出使命题成立的最小正整数作为归纳证明的基础.例如，命题，成立的最小正整数为.该命题在应用数学归纳法证明时，应取归纳基础为（易知2，3，4时，结论不成立）.
综上所述，学生在应用数学归纳法来解决问题时，犯错误的主要原因是对数学归纳法原理的基本思想没有真正理解.因此，教学时应着重讲清原理的实质和方法步骤，使学生真正明白数学归纳法的两个步骤是缺一不可的，有且只有两个步骤按顺序的正确结合，才能完成一个对全体正整数的论证.当然，克服学习中的思维定势也是一个值得探讨的问题.
还有值得注意的是，并不是凡与自然数相关的命题都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明.
二、数学归纳法的局限性
应用数学归纳法对有些题目进行证明，过程非常繁琐，尤其是由到的过程变化很多，不易操作.事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简.这也是学习数学归纳法所要克服的心理依赖和必经过程.
