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实数集范文1
关键词： 实变函数课程 点集的测度 可测函数
引言
实变函数课程对于大多数学生来说都很困难、很抽象，主要原因是学生习惯了从初等数学到数学分析或高等数学，所研究的函数都是常规的性质很好的函数.然而，有更多的性质不好的函数，需要换个角度认识它们，这就导致实变函数思想的形成，并最终成为一门课程.这门课程的思想方法与思想痕迹其实在中学数学课程及大学数学课程中都有所体现.
1.实变函数思想下初等数学内容的认识
为了研究函数的性质，对函数的定义域再认识，从而从另一角度研究集合，因此实变函数课程中一开始就研究集合，当然不只是停留在集合的简单运算上.
当两个集合之间能建立一一映射时，这两个集合中的元素就是一样多的.由于无理数集是不可数集，有理数集是可数集，则无理数集与有理数集不对等，这两个集合中的元素就不是一样多的，实际上无理数比有理数要多得多.利用一一映射，还可以得到任何一个三角形的三条边上的点是一样多的，但就长度而言三条边往往不相等，这说明点不能有大小（度量），并不是人为规定点没有大小.
对于两个非空集合（点集）A与B，把A中的任何点与B中的任何点之间的距离的下确界说成是集合A与B之间的距离.这样，一直线外一点到该直线的距离，平面上两条平行直线之间的距离，两条异面直线之间的距离，空间中两平行平面之间的距离等，都采用垂线段的方式计算.按照此定义，平面上两条相交直线之间的距离，两个相交的平面之间的距离等则为零.
由此看出，只有真正学懂了实变函数课程，才能正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论.比如，点为什么不能有大小，有理数与无理数的本质区别是什么，无理数在实数中占有什么样的地位，集合的表示为什么要用区间这样的方法，为什么不是所有集合都能用列举法表示，等等.
2.集合的测度之意义
拓广对集合整体度量的认识，利用测度概念.在测度意义之下，点集可以是非常不规则的，其元素可以是相当凌乱的，集合的元素可以是多样的，从而测度可以是长度，可以是体积，可以是质量，可以是概率，等等.在测度意义之下，由一个元素组成的集合，由有限个元素组成的集合，由可数个元素组成的集合，测度均为零.这样，一个点的测度为零，这就说明点确实没有大小.在测度意义之下，有理数集的测度是零，从而实数集R中基本上全都是无理数，或者说，一条直线上几乎处处为无理点，实数的核心是无理数，实数集R的“质量”都集中在无理数上，无理数集是实数集R的“原子核”.
可数集的测度为零的一个现实反映，比如，一个筛子的孔是很多的，但也应该是有限个，不过可以理解为可数多个，当人们往筛子（悬空的）里盛放细小的东西（一部分可以穿过孔）时，如果人不摇晃筛子，则自然从孔漏出去的细小东西的体积几乎为零.这就是为什么有了筛子，还得要人筛一筛，才能把东西分开成粗与细的两个部分.
这表明，任何一个集合添加零测度集后，其测度不改变.这一性质的一个现实反映经常出现，比如人们外出旅行，收拾包裹行囊很满，鼓鼓囊囊的，正要出门时突然看到一支笔或一把梳子被落下了，这时往往就把笔或梳子随便包裹的缝隙里，照样带走.这里，相对于一大包东西，一支笔或一把梳子的体积或质量几乎为零，添加进包裹也不会改变包裹的体积或质量，并不会影响人的出行.
由此看出，所谓集合的测度，其实并不那么抽象.
在测度意义之下，集合又区分为可测集与不可测集.零测度集是可测集，区间是可测集[2]，区间的并集是可测集，这些为函数范围的拓宽奠定了基础.不可测集是存在的，由于集合的测度是非负实数，那么不可测集的测度一定不为零，从而不可测集存在于正测度集之中.
3.可测函数概念教学的一个策略
对于函数，中学数学教材及数学分析里的函数，往往强调定义域的重要性，而且定义域基本上是连续的一个数集――区间，同时对函数的值域往往不太重视.这样，导致学生习惯于从定义域到函数值认识函数，而忽视了从函数值范围到自变量取值范围认识函数.尽管教材里有所体现，比如，试根据函数y=3x-15的性质或图像，确定y>0时x取何值[3]，观察余弦曲线，写出满足条件cosx>0的区间[4]，但都是以习题的形式出现的，在教材的正文中几乎没有涉及.虽然这仅仅就是解函数不等式，但认识上、方法上还是有所不同.因此，在实变函数里突然出现一个可测函数概念，使学生感到迷惑.所以，笔者在讲授可测函数概念时，是按照如下策略引导讲解的.
由上述例子看出，连续函数是可测函数；处处不连续的函数也可以是可测函数，所以，可测函数是比连续函数更广泛的函数类型。
上述通过设立情境导入概念，再以不同类型的函数讨论其可测性，使得学生掌握可测函数这一概念比较容易，也掌握了判断函数可测的具体方法，教学效果很好.
4.实变函数课程所解决的困难
这里，求和（级数收敛）运算与积分运算交换顺序，并没有要求函数列一致收敛，而只要求可测即可.像这样的例子还有很多，不再枚举.
由此看出，在可测的意义之下，解决函数列的收敛这样的问题时就简化多了.
5.结语
实变函数课程是数学分析课程的进一步延伸与升华，实变函数课程里包含了高深精细的理论，实变函数论是数学的一个重要分支，实变函数论的应用很广泛，实变函数论的思想方法和观念是某些数学分支的基本工具，甚至，实变函数论在数学的分支中的应用成为现代数学的重要特征.所以，把实变函数课程讲授好，对学生的学习很重要，对更多学科的认识也很重要.
参考文献：
[1]中学数学课程教材研究中心.义务教育教科书・数学（七年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2012.
[2]徐新亚.实变函数论[M].上海：同济大学出版社，2010.
[3]中学数学课程教材研究中心.义务教育教科书・数学（八年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2013.
[4]中学数学课程教材研究中心.普通高中课程标准实验教科书・数学（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2010.
[5]薛昌兴.实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，1993
[6]程其襄，等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[7]邝荣雨，薛宗慈，陈平尚，等.微积分学讲义[M].北京：高等教育出版社，1989.
[8]刘培德.实变函数教程（第二版）[M].北京：科学出版社，2012.
实数集范文2
ABCD分值: 5分 查看题目解析 >88.函数在处取得最小值，则（ ）A是奇函数B是偶函数C是奇函数D是偶函数分值: 5分 查看题目解析 >99.在中，，，为斜边的中点，为斜边上一点，且，则的值为（ ）AB16C24D18分值: 5分 查看题目解析 >1010.设，则，，的大小关系是（ ）ABCD分值: 5分 查看题目解析 >1111.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（ ）A2BC3D分值: 5分 查看题目解析 >1212.已知，又，若满足的有四个，则的取值范围为（ ）ABCD分值: 5分 查看题目解析 >填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。1313.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为 .分值: 5分 查看题目解析 >1414.设函数，若，则实数的取值范围是 .分值: 5分 查看题目解析 >1515.已知向量满足，，与的夹角为，则与的夹角为 .分值: 5分 查看题目解析 >1616.对于函数，有下列3个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数在上有3个零点；则其中所有真命题的序号是 .分值: 5分 查看题目解析 >简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17的内角所对的边分别为，且.17.求；18.若，的面积为，求.分值: 10分 查看题目解析 >1819.对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称为“局部奇函数”.为定义在上的“局部奇函数”；方程有两个不等实根；若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围.分值: 12分 查看题目解析 >19在直角坐标系中，已知点，点在第二象限，且是以为直角的等腰直角三角形，点在三边围成的区域内（含边界）.20.若，求；21.设，求的值.分值: 12分 查看题目解析 >20已知数列的前项和为，向量，，且与共线.22.求数列的通项公式；23.对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.分值: 12分 查看题目解析 >21已知函数.24.若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；25.记，那么当时，是否存在区间使得函数在区间上的值域恰好为？若存在，请求出区间；若不存在，请说明理由.分值: 12分 查看题目解析 >22已知函数.26.若函数在上是减函数，求实数的取值范围；27.令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.28.当时，证明：.22 第(1)小题正确答案及相关解析正确答案
解析
解：在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得考查方向
本题主要考查运用导数来解决函数单调性问题.解题思路
先对函数进行求导，根据函数在上是减函数可得到其导函数在上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得的范围．易错点
无22 第(2)小题正确答案及相关解析正确答案
a=e2解析
假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，a=e2，满足条件．③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3考查方向
本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．解题思路
先假设存在，然后对函数进行求导，再对的值分情况讨论函数在上的单调性和最小值，可知当能够保证当x在上有有最小值3易错点
无22 第(3)小题正确答案及相关解析正确答案
见解析解析
令F（x）=e2x﹣lnx，由上题知，F（x）min=3．令，，当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增，即．考查方向
本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．解题思路
实数集范文3
【关键词】 新课程；模式；学生；教师
中国的传统教育存在严重的应试倾向，虽然培养了一批人才，但同时又扼杀了大多数人才. 就培养人才而言，也存在动手能力差、创新能力差、人文精神差、心理素质差、身体状况差等方面的缺陷，与知识经济所需的人才有显著的差异. 新课程改革突出强调了对学生创新精神和实践能力的培养，而对创新精神和实践能力的培养需要通过具体的教学活动来实现. 因此，“模式”教学如雨后春笋般迅速崛起，杜郎口“自主学习、合作交流、教师点拨”，洋思中学“先学后教、当堂训练”可谓为教育改革的典型.
下面本人就根据自己的教学实践，谈谈在数学教学中“模式”教学的几点思考.
一、数学教学生活化
《义务教育国家数学课程标准》（实验稿）指出：“义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教学面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展. ”数学概念都是由实际问题抽象出来的，大多都有实际背景，在教学中，应重视从实际引入概念，通过从实际问题中抽象出数学要领的过程，培养学生应用数学的兴趣，认识学好数学的必要性. 不能简单地把由“实际问题”引入数学概念看做是引入数学教学的一种方式，而应将它看成是实际问题化为数学问题，现实问题数学化，实际问题数学化思维的训练. 教材为了引入概念提供了一些实际问题，而对这些实际问题，也有必要深入研究.
例如，必修2讲授“二面角”的概念是这样引入的：“发射人造卫星时，要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度. 使用手提电脑时，为了便于操作，需要将显示屏打开到一定的角度. ”这样的引入，使学生对二面角的概念一下子就有了一个比较具体、形象的感性认识，但也许是受课堂教学时间及新课内容的限制，教材没有对其相关的内容作进一步的详细描述. 在教学中，我们可以对学生提出这样的一些思考：① 你能度量出手提电脑二面角的大小吗？② 你有没有成为一名工程师或设计师的理想，去发射人造卫星呢？选用一个实际问题有时仅仅引入一个概念，且不可惜. 要充分发挥实例的长效性、激励性，做到一例多用，让数学教学生活化. 二、数学教学中要培养学生的参与意识
心理学研究表明，学生在接受知识或接受新技能培训时，如果有一个正确的、积极的心理准备（求知欲），则其接受新知识的效率会高出被动接受效率的一至两倍. 在教学中，学生能开口，无疑是一件好事，这就需要教师耐心细致地讲解，不能让他们乘兴而来败兴而归. 课堂教学如果离开了学生的参与，教师的教学活动也就失去了意义. 欧拉曾说过：“兴趣是最好的老师.”乌申斯基也说过：“没有兴趣的强制学习，必将扼杀学生探求真理的欲望. ”引导学生参与课堂教学的全过程，教师的“导”要具有科学性、启发性和艺术性，充分激发学生的思维活动. 因此，我们要为学生创设学习情境，以保证他们有高效的心理投入. 当学生学习中带有轻松愉快而又紧张的心情时，他们就会对数学产生强烈的好感，从而将他们对一节课的局部兴趣，转化为对整个数学的持久兴趣. 我们要在教学活动中的各个层面上不断地激发学生学习数学的兴趣，以满足不同层次的学生的需要.
如在讲“等差数列”时，提问学生：知道德国数学家高斯童年计算1 + 2 + 3 + … + 100的故事吗？你知道是如何计算的吗？那你能根据该方法计算出1 + 2 + 3 + … + n吗？学生自己很轻松地用“倒序相加法”导出等差数列的求和公式. 又如在讲“等比数列”新课前，我拿出一张厚0.1 mm的白纸，对学生说：“如果我将其对折100次，你能想象到它的厚度吗？”在学生的惊奇、疑惑和猜测中，我告诉他们，厚度超过了地球到月球的距离. 从而引入新课——等比数列. 这种紧扣教材又生动有趣的导言恰到好处地把学生引入到诱人的知识境界中，不断激发他们的学习兴趣，进而培养学生的参与意识.
三、数学教学中要培养学生的创新思维
数学教学过程是一种特殊的认知过程，在这一过程中学生要认知系统的数学知识. 这些知识对教师而言是已知的，但对学生来说接受这些知识需要一个由不知到认知的过程. 因此，不能单靠记忆现成的结论来完成，而应在解题的过程中获取数学的思想方法. 传统的数学课堂，学生学习的主要任务是运用概念、公式解题，只注意各种题目的解题技巧，而忽视对数学知识的形成和发现过程的探索，制约着学生创新能力的发展. 因此，教师在教学中要恰当地揭示知识的形成过程，了解其产生的背景，领悟其蕴含的数学思想.
例如，已知a > 0，不等式|x - 4| + |x - 3| < a的解集不是空集，求a的取值范围.
该题可以转化成求|x - 4| + |x - 3| 的最小值问题，如何求最小值呢？可以采取构造函数f（x） = |x - 4| + |x - 3| ，也可以根据|x - 4| + |x - 3| 的几何意义采取数形结合法求解. 通过这个题目可以提问学生：你自己能否改编类似的题目呢？
题一：求函数f（x） = |x - 4| + |x - 3| 的值域.
题二：若不等式|x - 4| + |x - 3| > a对一切实数恒成立，求a的取值范围.
题三：不等式|x - 4| + |x - 3| < a在实数集R上非空，求a的取值范围.
实数集范文4
数学上的R代表集合实数集。R+表示正实数，R-表示负实数。
实数集通俗地认为，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母R表示。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。
直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。
（来源：文章屋网 ）
实数集范文5
(1)掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.
教学建议
(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数，实部是，虚部是.注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。
说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：
注意分清复数分类中的界限：
①设，则为实数
②为虚数
③且。
④为纯虚数且
(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意：
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数，即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：
①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对()叫做复数的.
②复数用复平面内的点Z()表示.复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是.由于=0+1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度.
③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数.但当时，是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.
④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写.要学生注意.
(5)关于共轭复数的概念
设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).
教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和-5也是互为共轭复数.当时，与互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.
(6)复数能否比较大小
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么.两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a，b来说，a
(ii)如果a
(iii)如果a
(iv)如果a0，那么ac
(二)教法建议
1.要注意知识的连续性：复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系.
2.注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.
3.注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.
复数的有关概念
教学目标
1.了解复数的实部，虚部;
2.掌握复数相等的意义;
3.了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数.
教学重点
复数的概念，复数相等的充要条件.
教学难点
用复平面内的点表示复数M.
教学用具：直尺
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习提问：
1.复数的定义。
2.虚数单位。
二、讲授新课
1.复数的实部和虚部：
复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2.复数相等
如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
即：的充要条件是且。
例如：的充要条件是且。
例1：已知其中，求x与y.
解：根据复数相等的意义，得方程组：
例2：m是什么实数时，复数,
(1)是实数，(2)是虚数，(3)是纯虚数.
解：
(1)时，z是实数,
,或.
(2)时，z是虚数,
，且
(3)且时，
z是纯虚数.
3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面.
复数可用点来表示.(如图)其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上.
4.复数的几何意义：
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.
5.共轭复数
(1)当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
(2)复数z的共轭复数用表示.若，则：;
(3)实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数.
(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称.
三、练习1,2,3,4.
四、小结：
1.在理解复数的有关概念时应注意：
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
2.复
数集与复平面上的点注意事项：
(1)复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
(2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
(3)表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：
实数集范文6
(一)地位与作用。
复数的概念是复数的第一课时,在实数的基础上;进一步研究X=-1而得到复数系。
复数在近、现代科学中发挥着极其重要的作用。如,流体力学、热力学、机翼理论的应用;渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支。复数在理论物理、弹性力学、天体力学等方面得到了广泛应用,是现代人才必备的基础知识之一。
复数在高考中的地位逐渐下降:题量减少,难度降低。通常就考一题,或者是客观题,或者是主观题,均为中低档难度题。复数的概念与代数的运算是本章的基础知识,也是高考的必考内容。
(二)教学目标。
1.知识要求。
(1)了解引入复数的必要性,理解复数的有关概念。
(2)使学生初步体会i=-1的合理性。
(3)使学生会对复数系进行简单的分类。
2.能力要求。
在培养学生类比、转化的数学思想方法的过程中,提高学生学习能力。
3.育人因素。
培养学生科学探索精神和辩证唯物主义思想。
(三)教学重、难点。
1.重点。
复数的有关概念。
2.难点。
对i和复数定义的理解。
二、学生分析
由于复数是从实数的基础上进一步扩充数系。因此,学生对学习复数的概念存在有不同于实数概念的差异。学生在教师的引导下能基本掌握本节知识。
本班学生层次为理科基础班、基础较差,所以讲解过程不宜较多展开,要简明扼要地让学生掌握复数的概念,特别是i的规定。
三、教学法
(一)教法。
目标教学法、讨论法;学法:归纳―讨论―练习。
(二)教学手段。
多媒体电脑与投影机。
四、教学过程
(一)引入部分。
1.教师引入内容:因生产和科学发展的需要数集在逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾。但是,数集扩到实数集R以后,像x=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1。由于解方程的需要,人们引入了一个新数i,叫做虚数单位,并由此产生的了复数。
由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。复数有多种表示法,诸如向量表示、三角表示、指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。
2.学生对此部分内容在了解的基础上要能够产生学习复数的兴趣和好奇心。
(二)概念讲解部分(此过程应按部就班,层层递进)。
1.虚数单位i。
(1)它的平方等于-1,即i=-1。
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立。如:ai+bi=(a+b)i,ai-bi=(a-b)i,aibi=abi=-ab,ai/bi=a/b(b≠0)。
2.与-1的关系。
i就是-1的一个平方根,即方程x=-1的一个根,方程x=-1的另一个根是-i。
3.i的周期性。
i=i,i=-1,i=-i,i=1。此部分由学生发现得到。
4.复数的定义。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。
5.复数的代数形式。
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式。
6.复数与实数、虚数、纯虚数,以及0的关系。
对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。
7.复数集与其它数集之间的关系(由学生讨论得到)。
N?芴Z?芴Q?芴R?芴C.
8.两个复数相等的定义。
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等。
这就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di?圳a=c,b=d。
复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据。一般的,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如3+5i与4+3i不能比较大小。
现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对如果两个复数都是实数,就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。如3+5i与4+3i不能比较大小。
复数不能比较大小的一种解释:例如:i与0能不能比较大小?
(1)如果i>0,那么i•i>0•i,即-1>0。
(2)如果i0,(-i)>0•(-i),即-1>0。
(三)典例剖析(重引导,由学生比较概念得到结论)。
例1.请说出复数2+3i,-3+i,-i,--i的实部和虚部,有没有纯虚数?
答:它们都是虚数,它们的实部分别是2,-3,0,-;虚部分别是3,,-,-;-i是纯虚数。
例2:实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数。
解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数;
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数;
(3)当m+1=0,且m-1≠0时,即m=-1时,复数z是纯虚数。
例3:已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y。
解:根据复数相等的定义,得方程组2x-1=y,1=-(3-y),所以x=,y=4。
(四)练习(达标)。
课后练习1、2。
(五)小结。
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部,以及有关分类问题,复数相等的充要条件,等等。基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识有较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。
五、课后反思的三个方面
(一)学生对概念的掌握。
(二)数的发展和完善过程给学生的启示。
