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数值方法范文1
一、1.直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b（a 0）的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a
例1：求函数 的值域。
解： ， ，
函数 的值域为 。
例2：求函数 的值域。
（注意：开口方向；区间与对称轴的关系）
解 顶点横坐标2 [3，4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
在[3，4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
三、中间变量法：函数式中含有可以确定范围的代数式。
例3：求函数 的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 （定义域优先原则），对函数进行变形可得
，
，（特殊情况优先原则） （ ， ），
， ，
函数 的值域为
例4：求y= （1≤X≤3）的值域。
解：y= ? x=
1≤X≤3 1≤ ≤3 ? y∈[ ， ]
四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例5：求函数 的值域。
解：（此处要先求定义域） ，
， ，函数 的值域为 。
五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 、 、 均为常数，且 ）的函数常用此法求解。
例6：求函数 的值域。
解：（求值域先求定义域）令 （ ）（引入新元要标注范围），则 ，
（ ）（你看：没有标注范围的话这里就会出错）（再利用数形结合法）
当 ，即 时， ，无最小值。
函数 的值域为 。
点评：对于形如 （ 、 、 、 为常数， ）的函数，我们可以利用换元法求其值域，同时还利用了图像法。特别注意：引入新的变量时要标注其范围。
六、判别式法：把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式 ，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零且定义域为 ）的函数的值域，常用此方法求解。
例7：求函数 的值域。
解：定义域为：
由 变形得 ，
当 时，此方程无解；（特殊情况优先）
当 时， 说明方程至少有解， ，
解得 ，又 ，
函数 的值域为
点评：（1）此法适用 ≠0）型的函数；
（2）在解题过程中注意对二次项系数是否零的讨论；
（3）有两种情况不采用此法。（一是X有限制；二是分子分母有公因式）
七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例8：求函数 的值域。
解：（求值域先求定义域）当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，函数 在定义域 上是增函数。
，
函数 的值域为 。
八、数形结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。
例9：求函数 的值域。
解： ，
数值方法范文2
1.观察法
从函数解析式观察，利用如等，直接得出它的值域.
例1.求函数的值域.
解：由得，所以函数的值域为.
2.分离常数法
对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.
例2.求函数的值域.
解：分离常数，得，，，函数的值域为.
3.配方法
主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
例3.求函数的值域.
解：配方，得，又，结合图象，知函数的值域是.
4.判别式法
对于形如（，不同时为）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域.
例4.求函数的值域.
解：原函数可化为关于的一元二次方程.
（1）当时，，，解得；
（2）当时，，而.故函数的值域为.
5.换元法
有时候为了建立已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法.在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.
例5.求函数的值域.
解：令，则，，
，当时，函数取得最大值，所以函数的值域为.
6.反解法
就是用来表示，利用其变形形式求得原函数的值域.
例6.求函数的值域.
解：函数可化为，可得，所以原函数的值域为.
7.单调性法
单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
例7.求函数的值域.
解：此题可以看作和，的复合函数，
显然函数为单调递增函数， 易验证亦是单调递增函数，
故函数也是单调递增函数. 而此函数的定义域为.
当时， 取得最小值.当时， 取得最大值.故而原函数的值域为.
8.数形结合法
对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化.
例8.求函数的值域.
解：将原函数的解析式中的绝对值去掉，得，
作出图象（如右图），显然.
所以函数的值域是.
9.基本不等式法
利用基本不等式和求函数的值域， 要合理地添项和拆项， 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量， 同时， 利用此法时应注意取等号成立的条件.
例9.求函数的值域.
解： ，当且仅当时等号成立.
故函数的值域为.
10.导数法
若函数在内可导， 可以利用导数求得在内的极值， 然后再计算在，点的极限值. 从而求得的值域.
例10.求函数的值域.
解：显然在可导，且. 由得的极值点为.
易得在上单调递减，在上单调递增，
数值方法范文3
中尺度气象是现代气象科学中发展迅速的一个重要分支，它所研究的大气中尺度运动，关系到区域重要灾害性天气的预报。
中尺度数值气象预报模式有许多，其中MM5是目前国内外应用最为广泛的模式，被广泛应用于国内外各气象部门和相关机构。WRF模式是在MM5模式上发展起来的新一代中尺度模式，它将逐渐替换MM5模式。GRAPES模式是中国气象局自主开发的新一代数值预报系统，它是中小尺度与大尺度通用的先进数值预报系统，目前国内很多气象部门已经在对GRAPES进行研究和应用。MM5的最新版本是MM5V3，其研发工作已经停止，继而转向WRF模式。中尺度气象预报模式对高性能计算机提出三大挑战：
计算量巨大
中尺度气象预报模式有着惊人的计算量，同时由于气象预报的特点决定了其极高的实时性，要求模式必须在指定的时间内完成运算。人们对气象预报的精度提出了越来越高的要求，目前预报精度从几百公里、几十公里提高到几公里，而这大幅度提高了模式的计算量。
通讯极为密集
由于模式都是并行软件，一般都采用有限差分格点模式并行计算，所以运行中尺度气象预报模式时，各个CPU之间的通讯量非常惊人，且模式对通讯的性能要求非常高。所以这就要求高性能计算机有高性能的通讯网络。
实时性强、定时运行
气象预报本身的特点决定了其要求很强的实时性，预报系统要求定时定点自动运行，无需人工干预。
从软件的处理流程上看，一般分为前处理、主模式和后处理。前处理包括资料的下载、数据同化等等，后处理主要是指图形化处理等，前/后处理一般对计算机要求不高。中尺度数值气象预报可以有多种架构方法，本文重点说明小规模解决方案和二代小型机解决方案。
小规模解决方案
小规模解决方案主要应用于地市级气象预报部门，完成一个地市48小时以内的短期天气预报，格局一般在12~18公里左右。这个解决方案也可用于小型环保部门或气象科研部分。
系统配置8~16个计算节点，用户可以以较少的投资很好地满足地市级气象部门的预报需求。
整个系统虽然不大，但是包含了气象模式处理的绝大部分系统，在其上能运行绝大部分气象模式，特别适合气象研究和开发部门，同时，配有机群作业调度系统，能轻松保证多个用户同时使用和运行模式。
采用机群的方式构建整个系统，相比于传统的RISC小型机具有极高的性价比。
采用机群的另一好处在于系统具有很好地可扩展性和升级的能力，能很好地保护用户的投资。
由于采用X86体系结构和Linux操作系统，系统具有良好的兼容性和可移植性，运行于PC机上的软件能不用移植而直接在其上运行。
中尺度气象预报模式CPU和CPU之间的通讯极为频繁，它不仅对计算网络的带宽有很高要求，而且对网络延迟的要求更高。作为计算网络的千兆以太网在很大程度上影响了系统的总体性能。由于并行计算的通讯是多对同时通讯的模式，所以要求交换机必须是无阻塞的线速交换机。
二代小型机解决方案
二代小型机是继承了第一代RISC小型机的优点并拓展第一代RISC小型机的应用而发展起来的高性能计算机。在继承了第一代RISC小型机高运算处理性能、高可靠性、高IO性能等优点的条件下，二代小型机相比其前辈具有以下优势：
程序移植性增强
二代小型机基于X86的体系结构，可以轻松完成应用的移植。
扩展性增强
抛弃传统小型机依托的专用系统设计，采用通用标准设计，使得第二代小型机可以轻松跟随服务器产品技术的发展，而不受限于单一硬件厂商发展的制约。
易管理、易维护
第一代RISC小型机采用专用的硬件、软件系统，系统管理员必须经过专业培训。而二代机采用标准化的硬件和Linux操作系统，易于系统的管理和维护。
性价比高
由于第二代小型机在设计时吸收第一代小型机优点的同时，顺应时代的变化，在保证性能的同时使得产品成本大幅下降，目前第二代小型机的价格相当于同类传统小型机产品的30%~50%。
同时，由于采用标准化的软硬件，二代机的价格优势不仅仅体现在设备采购时，设备的维护和运行成本也在大幅降低。
数值气象预报在国内的发展越来越快，使用也越来越普遍，对高性能计算的依赖程度也在不断加强，对高性能计算机的要求也越来越高；但另一方面，相比于其他应用，数值预报有其显著的特点，对高性能计算机系统的要求也有其独特性。
结束语:从天气预报到气象服务
很多人对天气预报不准很愤怒，但不得不承认的事实是，对于大气现象的演变，科技工作者还没有完全掌握。气象科学还是早晨八九点钟的太阳，是一个极其年轻的学科。尽管责备也许会激发人们的斗志，但理解、关爱与呵护更重要。
面对社会公众的宽容与理解，气象工作者是否就可以止步不前呢？其实不然。可以先看看天气预报与气象服务这两个词语的差别。天气预报强调的是气象工作者作为主体，向社会公众统一的信息。气象服务则不同，强调的是服务，服务当然要以被服务对象为主体。
有人会说，这是文人在咬文嚼字，其实没有差别。那就请看一个服务与预报的差别。细心的人可能会注意到，在北京上海等大城市里，广播、电视、报纸等媒体上的是穿衣指数、舒适度指数、医疗指数、晨炼指数等等，而不再是风力几级温度多高。
随着人们对于生活质量的追求，以往那种类似阴晴雨雪笼而统之的天气预报已经不能满足需要了，缺少的是个性化的气象服务。
数值方法范文4
关键词：溢油处理装置；围油栏；撇油器；数值模拟
0引言
近几年来，由于海上石油工业和海上油运业的飞速发展，海上溢油事故频繁发生。溢油对海洋生态环境影响很大。如2010年发生在美国墨西哥湾的深海地平线石油钻井平台爆炸事故，事故导致大量石油泄漏入海，给当地造成了巨大的经济损失和严重的生态环境灾难。再如2011年发生在我国渤海海域发生的蓬莱溢油事件，造成超过6200平方千米海水污染，是我国海洋资源开发以来发生的最严重的事故。因此，一旦发现海上事故造成溢油后，就必须根据现场实际情况采取及时有效的措施对溢油进行处理，降低和消除溢油造成的危害。
1海上溢油的处理技术
海上溢油的处理方法通常可分为物理法、化学法和生物法。
1.1物理法
是指将溢油从水面分离出来而不改变其存在形态的物理形态，如采用围油栏围困溢油、撇油器回收溢油、收油网回收水面上乳化溢油等方法。
1.2化学法
是指通过使用化学制剂使溢油聚集或分散，即通过改变溢油在海面上中存在形态来达到降低污染的目的。化学法适用于溢油油膜很薄的情况，处理溢油的化学制剂包括溢油聚油剂、分散剂、吸油剂和凝油剂等。
1.3生物法
是指利用生物分解作用清除海域溢油的方法。生物法溢油清除时间较长，见效慢，但是对环境的影响小，是一种利用前景广阔的方法。
2溢油处理装置优化方法
为了减少对溢油海域的进一步污染，选择物理法是清除海面溢油时最好的。尤其是在处理大面积海上溢油时，围油栏和撇油器两种溢油处理设备是溢油回收中应用最为广泛的。对围油栏和撇油器的优化设计大体有三种思路：
一是直接将溢油处理装置放置于实际海况中， 测量其能够回收溢油的自然条件（ 风速、波高和流速） 的最大标准。这种方法测试工作量大、费用高；二是在实验室中分别进行风、浪、流的测试，根据实验结果推算其性能。这一方法由于受到实验室条件限制， 往往只能对装置某一部分进行实验，并且因为实验室考虑到污染问题， 不可能投放溢油；三是应用数值模拟仿真的方法研究溢油处理装置。这一方法由于节省人工、物力及财力资源并且能够获得良好效果而被广泛应用于溢油处理装置的优化设计。
3海上溢油处理装置数值模拟
数值模拟的总体思路是是利用计算机绘图软件进行对溢油处理装置进行几何建模，然后将其导入计算流体动力学软件Fluent中的前处理器GAMBIT进行网格划分，然后确定计算模型，利用Fluent进行相关计算，最后得到仿真结果。具体的步骤概述如下所示：
3.1几何建模
利用计算机绘图软件如CAD或Solidworks，根据围油栏或者撇油器尺寸进行几何建模，CAD可进行二维几何建模，Solidworks可进行三维建模。如乔卫亮在对新型动态斜面式撇油器进行优化设计时，应用Solidworks软件对新型动态斜面式撇油器流道及集油箱进行了三维几何建模；戴瑞在船用内嵌式收油机流场数值模拟与结构优化中，利用CAD对内嵌式收油机内部的导流板进行了二维几何建模。
3.2导入Fluent进行网格划分
建立好几何模型后，将模型导入到Fluent软件的前处理器Gambit，进行区域剖分，形成符合CFD计算要求的网格形式。Gambit中网格划分方式主要有三种：自由网格划分、映射网格划分、体扫描划分，如表1所示：
3.3确立计算模型
3.3.1单相流模拟
根据流量和撇油器箱体的尺寸可以计算出撇油器箱体的流动区域内流体的流动状态，经过计算可以得知在进行溢油回收过程中，集油箱内部的流动为湍流流动状态，所以在选用计算模型时，应选择湍流计算模型，并需要对湍流模型进行数学描述。
湍流流场充满着尺度大小不同的漩涡，大的漩涡尺度可以与整个流场区域相当，而小的漩涡尺度往往只有流场尺度千分之一的数量级，流场中大小不同漩涡的不断产生和消失，相互之间强烈的掺混，使得湍流流场中的物理量表现出脉动性质，具有极强的不规则性和随机性。但无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和N—S方程在一般情况下仍适用于湍流的瞬时运动。在连续性方程和N—S方程基础上，人们不断引入新的算法，逐步发展成了多个湍流模型。
应用雷诺平均思想的湍流模型优缺点对比如表2所示：
科研人员在撇油器流道优化设计中，广泛应用雷诺平均思想的RNG k-ε湍流模型和Realizablek-ε模型，例如王国有在对动态曲面式撇油器流道优化设计研究中利用了RNGk-ε模型；乔卫亮在对新型动态斜面式撇油器流场数值模拟与结构优化研究中同样采用了RNGk-ε模型；戴瑞在对船用内嵌式收油机的流场数值模拟与结构优化时，选用了Realizable k-s瑞流模型来进行模拟计算。以上三者均取得了足够的精度和良好的模拟效果。
3.3.2多相流模拟
现在已有一些数值计算方法用于计算多相流流动问题，主要应用有两种：欧拉-拉格朗日方法和欧拉-欧拉方法。
（1）欧拉-拉格朗日方法
在欧拉-拉格朗日方法中，多相流由连续相和分散相组成。连续相代表连续流体介质，其运动方程是N-S方程，而分散相代表分散在连续相中的流体介质，其运动规律是在已计算得到的连续相流场的基础上，跟踪各离散粒子（颗粒、气泡或液滴）的运动而得到的。分散相和连续相之间可以有质量、动量和能量的交换。欧拉-拉格朗日方法的局限是分散相的体积组分不能太大。但它能较好的求解喷雾干燥、煤与液体燃料燃烧和一些粒子负载流动问题。
（2）欧拉-欧拉方法
在FLUENT中，共有三种欧拉-欧拉多相流模型，分别为混合物模型、欧拉模型及流体体积（VOF）模型。如表3所示：
其中VOF模型在溢油处理模拟仿真中应用广泛。VOF模型适用于两种或多种互不相融流体间界面的跟踪计算，不同的流体组分共用一套动量方程，计算时在全流场的每个计算单元内，都记录下各流体组分所占有的体积分数。
例如魏芳利用流体体积分数法（ VOF） ，模拟计算传统围油栏的拦油性能， 分别成功地模拟出低黏度油类和高黏度油类在水流速度各自超过其临界值时发生的油滴夹带失效和累积失效并在此基础上改进了围油栏的外部结构，获得了良好的模拟效果。张政等人利用流体体积分数（VOF）法模拟计算了两种拦油失效的情形：低粘度的油类在水流速度超过某一临界值时发生了油滴夹带失效；粘度很大的油类在水流速度超过临界值时发生了临界累积失效。模拟结果在定性上与已有的实验结果相一致。
3.4边界条件确定和收敛判断
根据撇油器所选的计算模型，设置相应的初始条件和边界条件，并利用流体仿真软件FLUENT中的湍流模拟计算各模型内部流体的流动，得到模型计算收敛的结果。
3.5仿真结果分析
利用Fluent后处理功能，生成撇油器油水分离的过程中内部流场云图、线条图以及压力分布图、速度分布图等，可以对撇油器内部油水混合物流场分布情况进行直观的描述。并通过改变撇油器相关结构的尺寸，又可以获得不同的内部流场分析。选择最优的结构型式，从而达到对撇油器进行优化的目的。
4结论
机械溢油回收技术是一门复杂的技术，它涉及到机械设计、流体分析、流场模拟等方面。但其优化设计可以通过计算机绘图软件CAD或Solidworks几何建模，导入Fluent软件选择适当计算模型对其内部流场进行数值模拟，获得内部流场的数据和图形分析，从而为溢油回收装置的优化设计提供基本依据，同时可以节省大量的人力物力，因此具有广泛的应用前景。
参考文献
[1]魏芳.围油栏性能优化的数值模拟[J].交通环保，2007：39-44.
[2]李长海.曲面式集油器内部流道结构的优化研究[D].大连市：大连海事大学，2013.
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[4]乔卫亮.新型动态斜面式撇油器流场数值模拟与结构优化研究[D].大连市：大连海事大学，2012.06.
[5]于桂峰.基于Fluent 典型结构围油栏适用条件数值实验[J].大连海事大学学报，2010，36（12）：117-120.
[6]张国艳.磁流体油污海水分离回收装置中流动过程的数值模拟[D].北京市：中国科学院研究生院，2006.05.
[7]陈海泉.斜板间油水两相分层流动分析[J].大连海事大学学报，2008，34（4）： 140-142.
[8]戴瑞.船用内嵌式收油机流场数值模拟与结构优化[D].大连市：大连海事大学，2013.
数值方法范文5
【关键词】分段压裂 产能 数值模拟
油藏数值模拟中，人工压裂缝的处理方法主要分为两种：网格加密和近井模拟（Near Wellbore Module）。但是由于近井模拟处理起来较繁琐，在模型中计算起来较慢且容易不收敛，所以目前人工裂缝的模拟主要是通过局部网格加密（Local Grid Refinemnt）的方法来完成。局部网格加密的方法很多，有基于笛卡尔网格的加密方法，有基于非结构网格的加密方法，如Pebi网格加密。
笛卡尔网格的加密方法也分为两种，一种是运用不均匀加密网格（HXFIN），另一种是利用不均匀网格（DX）。以往的研究表明，将裂缝所在的网格用“等效导流能力”法处理，在“缝宽”小于1.0m的情况下井的产量变化不大，该方法实用可靠。
本文分别用笛卡尔网格的加密两种方法模拟裂缝，比较了它们的区别。
1 不均匀加密网格
在不均匀加密网格方法中，我们设置的模型维数为110*40*10，DX=DY=DZ=5m，模型中心顺着X方向有一水平井生产。我们分别在X方向第10列、20列、30列、40列、50列、60列、70列、80列、90列、100列网格中分别进行不均匀加密，这样在每一列加密的网格中加密出一条0.5m宽的网格，我们用这列0.5m宽的网格来模拟分段压裂的裂缝。这样就形成一个长度为550m，等间距分段压裂了10段0.5m宽裂缝的水平井生产的模型（图1）。
（1）虽然两种方法都是比较常用的裂缝模拟方法，但是结果差别较大。
（2）不均匀加密网格方法中，水平井生产140d，日产油由50t/d缓慢递减至0t/d。
（3）不均匀网格方法中，水平井生产140d，前50天保持日产油50t/d不变，之后10d日产油迅速降至0t/d。
（4）两种方法虽然日产油不同，但是生产140d后的累产油相同都为2590m3。
（5）在计算时间上，由于不均匀网格方法的网格数少，计算速度要远远快于不均匀加密网格方法。
参考文献
[1] 韩大匡.油藏数值模拟基础[M].北京：石油工业出版社，1993.HAN Da-kuang.Reservoir Simulation Foundamental[M].Beijing：Petroleum Industry Press，1993
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[3] 蔡强，杨钦，孟宪海，等.二维PEBI网格的生成[J].工程图学学报，2005（2）：69-72
[4] 安永生，吴晓东，韩国庆.基于混合PEBI网格的复杂井数值模拟应用研究[J].石油学报，2007，31（6）：60-63
数值方法范文6
【关键词】美式期权定价 金融 互补问题 计算方法
在现代金融理论和实践研究中，各种衍生证券的定价是非常重要的问题。期权是一种很特殊的衍生工具，它是指在未来时间的选择权，它提供给期权持有者在特定的时间按某一确定价格购买（或出售）一定数量标的资产的权力，而不负有必须购买（或出售）的义务。自1973年期权在芝加哥交易所首次进行交易以来，期权市场便迅猛发展，而期权定价理论的研究也随之取得了突破性进展。Black和Scholes首先给出了不支付红利股票下的欧式期权的定价公式，同年，Merton为他们提出的期权定价理论的完善化做出了杰出的贡献。期权定价理论是目前金融数学、金融工程研究的前沿和热点问题。
中国在改革开放的进程中，金融市场逐渐发展并与世界接轨。各种新型金融产品的出现和金融交易的的引入，是势不可挡的。虽然中国的期权市场发展起步较晚，但纵观整个国内期权市场，其需求已相当成熟。然而期权的开发能否从研究阶段过渡到试运行阶段，取决于如何对期权进行有效的风险控制与管理，要做到这一点，则必须首先对期权进行合理的定价。因此，开展对期权定价理论的研究就显得尤为重要了。
对于欧式期权，Black 和Scholes早已给出解析形式的定价公式，然而，对于美式期权的定价，并不存在这样的解析公式，也无法求得精确解。此外，在现实世界中，交易所中交易的期权大多数为美式期权。因此，发展各种计算美式期权价格的数值方法具有着重要的实际意义。
一、美式债券期权定价的数学模型
这部分我们简略地描述了美式债券期权的数学模型。表示短期利率，在这篇文章中，我们假设利率期限结构由CIR模型控制，即，值由均值回归的平方根控制：
是维纳过程的增量，是短利率的长期值，代表调整的速度，是带有常数的方差，在实践中，值是强制约束的正数，Cox等人展示了面值1美元的折价债券在到期时它的价格计算式：
，
其中为市场风险溢价。
现在，用表示敲定价格为的美式零息债券看跌期权的价格，持有者可以在到期日获得一定的报酬。引入时间逆向转换式，期权的价格就能够用公式表示出来，就像下面几种抛物线型偏微分互补问题（PDCP）。
问题1：
（1）
几乎处处属于内，
为了计算的目的，有必要约束值在一个有限的范围，值是一个足够大的值，以确保该方案的准确性，因此公式（3）可写为：
问题2：值得注意的是对于看跌期权，且，而对于看涨期权，，否则期权将无法实施并且毫无价值。
二、美式债券期权定价的数值方法
1.惩罚法。在这个部分中，我们将采用惩罚法来解决上述互补问题（1）。为了实现这一点，我们通过下面的非线性PDE来近似描绘这一互补问题。
问题3：
， （2）
其中是惩罚参数，满足并且对任意的，。
惩罚法背后的思想很简单。通过添加惩罚项，当惩罚参数变得足够大时，正项部分接近于零。因此，（1）中的互补条件近似被满足。关于惩罚法有解和收敛特性的具体研究可以在其他文献中找到。
问题4：由于扩散算子的退化和支付函数的非平滑，问题1一般没有经典解（“平稳”的解）。同样，（2）是非线性和退化的。因此，问题3也没有经典解。在这种情况下，我们要寻找问题1和3的粘性解。在金融上，粘性解正是与金融相关的解。在金融数学背景下，PDE粘性解的存在性和唯一性都得到之前学者详细的讨论。请注意，问题3的解是问题1的解的近似。各学者已探讨得出，当时，收敛于。因此，为了简单起见，我们将省略这部分讨论，集中注意于问题3粘性解的数值逼近。
2.拟合有限体积法。为了简化记号，在本文其余部分，我们将省略问题3的解的下标。在进行离散之前，我们先将（2）转化为以下形式：
（3）
其中，
，
，
。 （4）
拟合有限体积法是基于自伴随形式（3）的。我们先定义I的两种空间分区。把I分成N份
，对任意，使，
如果我们定义，这些时间间隔将形成了另一个分区。
对于任意，在上对（3）进行积分，
（5）
根据定积分的定义，我们可得：
（6）
是区间的长度，对于任意，，
表示节点逼近的值。是与V相关的加权通量密度，可以被定义为：
（7）
我们现在得到了被定义在区间（对任意）中点处的连续通量的近似值。现考虑以下两点边值问题：
，
（8）
求解这个方程，我们得到：
， （9）
其中，
（10）
同样，我们也可以在处定义一个通量。
注意到以上的分析并不适用于在区间上的通量的近似，因为（8）是退化的。为了解决这个问题，可以重新考虑给（8）再加一个自由度，此处不做详细介绍。
三、结束语
在本文中，我们制定了一种数值方法，基于CIR模型，用于解决从美式折扣债券看跌期权定价中所产生的互补问题。在这种方法中，我们首先使用惩罚法通过一个非线性PDE来接近原始问题。然后我们提出拟合有限体积法解决非线性PDE的空间离散，再加上时间层隐式差分格式。而关于该方法的离散以及收敛性本文不再证明。
参考文献
[1] 张铁.美式期权定价问题的数值方法[J].应用数学学报，2002（01）：113-122.
