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三角函数范文1
目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1.回忆：初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
2.讲解：“旋转”形成角(P4)
突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于轴正半轴
3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角或可以简记成4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=-660°
2°角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周(360°×2=720°)3周(360°×3=1080°)
3°还有零角一条射线，没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)
例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角
585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等
四、关于终边相同的角
1.观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同
2.终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和
390°=30°+360°-330°=30°-360°30°=30°+0×360°1470°=30°+4×360°-1770°=30°-5×360°3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合
即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和
4.例一(P5略)
五、小结：1°角的概念的推广
用“旋转”定义角角的范围的扩大
2°“象限角”与“终边相同的角”
三角函数范文2
关键词：三角函数；解析式；实际；拟合函数
利用三角函数解决实际问题基本步骤是：（1）审题：读懂题目中的“文字、图形、符号”等语言，领悟其数学本质；（2）建立三角函数模型：根据审题所得到的信息，可把实际问题抽象成数学问题，建立三角函数式或三角函数方程或有关三角函数的不等式；（3）解决三角函数模型：可根据所学习的三角函数知识解决建立的模型问题；（4）作出结论：根据对模型问题的解答，将答案根据实际问题来作出相应的结论.我们这里一般常用函数y=Asin（ωx-φ）+b来刻画实际问题，在解决三角函数的实际问题时，要注意自变量x的取值范围；要数形结合，要能选择适当的三角函数模型.
品味一：依据实际问题的图像求解析式
知识点 根据函数图像，由函数图像确定解析式中的未知量，主要针对的是物理问题的考查.
例1 已知电流I（A）与时间t（s）的关系为I=Asin（ωt+φ），（1）图1是I=Asin（ωt+φ）ω>0，|φ|
分析 本题的函数模型是已知的，可利用待定系数法求出解析式中的未知参数，再确定函数解析式.
解 （1）由图1知道A=300，设t1=-1900，t2=1180，则周期T=2（t2-t1）=2×1180+1900=175.
则得到ω=2πT=150π.
又当t=1180时，I=0，即sin150π・1180+φ=0，而|φ|
（2）根据题意，周期T≤1150，即2πω≤1150（ω>0），因此ω≥300π>942.
又ω∈N*，则所求ω的最小正整数值是943.
评注 这类问题的关键是将图形语言转化为符号语言，抓住图像是解决问题的关键.
品味二：利用解析式求解实际问题
知识点 已知实际问题的解析式解决相关问题，则比较容易解决，只要根据函数表达式结合所提供的信息来求解.
例2 已知简谐运动f（x）=2sinπ4x+φ |φ|
分析 本题可由周期公式求出周期T，而该函数图像过点（0，1），则可得到关于φ的关系式，再根据φ的范围求出φ的值.
解 简谐运动f（x）=2sinπ4x+φ|φ|
其图像过点（0，1），将点（0，1）代入函数解析式得到，2sinφ=1，也即sinφ=12.又|φ|
综上所述，这个简谐运动的最小正周期T和φ分别为8和π6.
评注 题中给出了简谐运动的函数模型，就可以直接运用三角函数的图像与性质解决简谐运动中的有关问题.
品味三：三角函数模型的实际应用
知识点 解决三角函数的实际应用问题时要按照一般应用题的解题步骤执行：（1）要审清题意，理清问题中的等量或不等关系；（2）建立函数模型（写出三角函数解析式或三角函数方程或有关三角函数的不等式等等），将实际问题数字化；（3）利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；（4）再回到实际问题中，可根据实际问题的意义，得出实际问题的解.
例3 如图2，游乐场的摩天轮匀速运转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面405米，摩天轮的半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，则你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答以下的问题：（1）求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式；（2）当你第4次距离地面605米时，用了多少时间？
分析 根据题意可知道应建立余弦型函数模型解题，由摩天轮的旋转周期为12分钟，振幅是40，同时t=0时y=05，可求出函数解析式；将y=605代入函数解析式求出第一个周期所满足题意的周期，再加上周期就可得解.
解 （1）由已知可设y=405-40cosωt，t≥0，则由周期为12分钟可知道在第1个周期内当t=6分钟时到达最高点，即函数取得最大值，则805=405-40cos6ω，因此cos6ω=-1，即6ω=π，得到ω=π6，于是y=405-40cosπ6t（t≥0）.
（2）令y=405-40cosπ6t=605，则可得到cosπ6t=-12，因此在第一个周期内π6t=23π或者π6t=43π，得到t=4或t=8，也即第1次距离地面605米时用了4分钟，第2次用时8分钟，则第4次距离地面605米时，用了12+8=20分钟.
评注 在本题中抓住余弦型函数解析式，分析各个时间点，则结合解析式就可求解.
品味四：根据数据建立拟合函数
知识点 往往是由已知条件的数据进行整理，在直角坐标系中描写出相应的点（作出散点图），再观察这些点的位置关系，再用光滑曲线将这些点尽可能连接起来，然后利用图像选择适当的模型进行研究.
例4 受到日月引力，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记y=f（t），下面是该港口在某季节每天水深的数据：
通^长期观察，曲线f（t）可以近似地看作函数y=Asinωt+b的图像；（1）根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上是认为安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面距离）为65m，若该船在同一天内安全进出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港的时间）？
分析 可根据所给的数据在坐标系中作出散点图，再结合几个关键数据求出解析式，最后求解.
解 （1）根据函数图像画出散点图，如图3，则周期T=12，ω=2π12=π6，振幅A=3，b=100.
则y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）.
（2）根据题意，该船进出港时，水深应该不小于5+65=115（m），也即y=3sinπ6t+10≥115，因此sinπ6t≥12，2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈z），0≤t≤24，12k+1≤t≤12k+5（k∈z）.
在同一天内取k=0或1，则1≤t≤5或13≤t≤17.
又函数y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）的最小值为7>65所以该船在任何时候在港内都可以停靠，因此该船一天内在港内停留时间为17-1=16（小时）.
三角函数范文3
【关键词】三角函数 中美题目 教学过程 教学设计
一、中美两道三角函数应用题现状
在研究中美三角函数应用题的差异时可选择一个相似的题目进行对比，这个问题如下：美国教材中提出，某个船舶装船长指挥船只进入港口，考虑到潮汐问题，水深会出现落差，当水深为10.6m时是早上五点，水深6.5m时为上午十一点，问题是建立一个模型描述午夜后的水深改变；利用模型设定船长进入港口的安全时间，船吃水9m；模型还可以回答其他类似问题。
中国教材中也有类似问题，如：海水受到潮汐影响，导致巷道内的水位发生改变，货船在涨潮时输入并卸货，在落潮时返回大海。按照某个港口的水深关系表，回答一下问题：建立函数描述港口水深与时间的关系精确到0.01m；设船只吃水4m，距离海底1.5m为安全，该船进入港口的时间与停留时间是多少；任意该船为例，如在两点卸货，水深每小时减少0.3m，则该船必须在几点返航。
二、对比两国三角函数应用题异同
（一）教学过程分析
美国应用题是以一种头脑风暴的形式对学生进行提问，并鼓励学生建立不同的数学模型对问题加以解决，鼓励学生对模型的有效程度进行分析，从涨潮落潮的周期变化来引申出三角函数模型，并利用三角函数的模型来解决问题，对于那些不熟悉三角函数的学生而言，鼓励其使用数学分析方式来让函数满足特定的条件，由此满足教学目标。如让学生利用在线的下程序来体验参数的改变对图形的趋势影响；其次，在确定好模型之后，对于模型的建立与计算等，美国版教材给出了详细的求解过程，因为振幅是曲线的总体高度的一半，这就意味着其是最大到最小值的一半，这就是函数系数，其对函数有调整作用。
我国的题目，在我国该应用题的教学是利用PPT课件，学生看到题目后就会开始绘图与描点，并明确了解这样的函数就是三角函数，甚至在没有作图的时候就明确了三角函数的定义与概念。所以我国的应用题教学，在解题中缺乏美国教学方式的实践性与差异认知的过程，对于认知水平低的学生而言，不能通过实践操作而获得知识内涵。对于技术的使用我国的教学知识对反三角函数进行求解，在美国则是利用实际问题的解决。在参数求解的时候，美国题目没有字母来表示振幅、周期等，而是文字表述，并说明对函数造成的影响是那些，说明我国学生对字母含义的理解能力较强。
（二）教学设计
在美国高中教材中，可以看出美国的参考案例有一个专门的模块，是对学生思维进行分析的，可以看出美国教学重视的是学生的思维模式与过程，而我国的教材中很少有这样的内容出现。虽然，两个国家在应用题中都重视引入模型的思路，但是美国的题目所重点阐述的是建立什么样的模型，可以很好地反映实际问题；因为题目中条件相对充足，我国的参考案例不需要多少时间就可以引入三角函数，即我国的大部分时间是在解决实际问题，而美国则是引导思维模式建立数学模型。而美国题目中仅仅给出了高差范围，我国则是给出一个落差，规律性较强，但是实际中水位是不会按照明显规律改变的。
三、对新出题方式的思考和建议
通过对中美教学中两道三角函数的应用题的具体分析，在情景设置、教学过程、教学设计等方面可以看出，美国的问题更加的贴近与实际，重视的学生的发散性思维，而我国的题目相对理性，更重视的是学生的解题能力训练，所以综合二者的优势可以对题目进行改进，如：在某海港，货运的船长在进入到某个港口的时候都会考虑潮汐问题，因为每一天的一个时间到另一个时间港口内的水深存在差异，某港口内在早上五点的时候，水深最深达到10.6m，而在中午十一点则会出现最低水位6.5。在此条件下建立一个预测水位深度数学模型，这个函数可以描述午夜后的水深改变情况；并分析一条吃水深度4米，而安全间距为1.5m的货运船只，在何时进入港口最安全并可以停留多久；如果仍是该船，在两点开始卸货，水深每小时减少0.3m，则该船应在几点停止卸货并驶入安全水域。
结束语
中美两国对于三角函数类的教学问题所持有的态度是不同的，所出现的应用题目也就会存在差异，上述所介绍的是一道相似的潮汐问题，其最终的教学目标就是让学生学会引入三角函数的数学模型，并利用函数方式来解决实际问题，而在题目条件和教学解答中，中美教学的差异也随之体系，二者都有优势，而最佳的方式就是利用二者的优势融合来结合教学中侧重不同的问题，进而到达思维、计算能力共同开发的目的。
【参考文献】
[1]刘燕.浅谈学习三角函数的实际应用[J].新课程学习（基础教育），2010（12）.
三角函数范文4
1、三角函数积分分为定积分和不定积分。
2、定积分：积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分的公式为：f（x）（ab）dx=f（x）（ac）（cb）。
3、不定积分：设是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，公式为：f（x）dx+c1=f（x）dx+c2。
（来源：文章屋网 ）
三角函数范文5
1986年，美国舒尔曼（Shulman）教授首次提出学科教学知识（PCK）概念，即Pedagogical Content Knowledge，将其定义为“教师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合”.格罗斯曼（Grossman）作为该理论的继承者，对PCK给予了更重要的阐释，认为其应由四部分组成：“关于学科教学目的知识、学生对某一主题理解和误解的知识、课程和教材的知识、特定课题教学策略和呈现知识”.
在格罗斯曼（Grossman）看来，PCK属于一种静态的知识体系，但科克伦（Cochran）、德鲁特（Deruite）和金（King）根据建构主义理论，认为PCK应改进为Pedagogical Content Knowing，即学科教学认识（PCKg），因为“知识是静态的，认识是动态的，学科教学认识是教师对教学法、学科内容、学习特征和学习情境等四个构成因素的综合理解，总是处于连续的发展过程中，随着学科教学认识的发展，教师能够依据他们的理解为学科中的特定内容创造教学策略，帮助学生在既定的情境中构建最有效的理解”.
自2005年以来，PCK日益成为我国教师教育研究的热点问题，但仅有为数不多的研究者将PCK理论应用到学科教学问题中，更鲜有学者将PCKg应用于中学数学特定课题.鉴于此，笔者结合人教A版《必修4》课例“任意角三角函数的概念”，重点剖析该特定课题的教师PCKg内涵，希冀能提升课堂教学效率，推动中学数学教师专业发展的新途径.
2 相关研究及主要结论
2.1 理论框架及研究问题
在PCKg理论体系的基础上，根据建构主义的相关理论，结合实际研究需求，我们做了相关的改进，使之成为符合剖析中学数学教师关于特定课题的PCKg理论框架.包括四个方面的内容：（1）学科某一特定课题内容知识；（2）学科某一特定课题教学法知识；（3）关于学生学习学科某一特定课题的知识 ；（4）关于学科某一特定课题的学习情境知识.为此，学科某一特定课题的PCKg内涵就是中学数学教师对于以上四个方面的综合理解、整合和建构的过程.
在上述理论框架下，任意角三角函数概念的PCKg内涵具体是研究如下四个问题：（1）任意角三角函数概念的具体内容及教育价值是什么？（2）学习任意角三角函数概念应采取什么教学策略？（3）关于学生在学习任意角三角函数概念时相关知识是什么？（4）任意角三角函数概念具体的学习情境是什么？
围绕以上四个问题，通过综合文献分析，结合具体课例剖析，进行该课题的教育研究，最终达到高效教学和教师发展的目的.
2.2 课例PCKg内涵剖析
2.2.1 任意角三角函数概念的具体内容及研究价值
（1） 具体内容：设α是一个任意角，终边与单位圆交于P（x，y），那么：
（2） 教育价值：三角函数是一个基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型.它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，是几何与代数联系的纽带.它不仅是学习数学的基础，还在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，是解决实际问题的重要工具.
任意角三角函数概念是核心概念，是解决一切三角函数问题的基点.无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质等，都具有重要的意义.在构建任意角三角函数概念的过程中，学生还可以体会到数与形结合、视觉理解、类比、运动、变化、对应等数学思想方法.
2.2.2 任意角三角函数概念的教学策略
根据认知发展理论分析，从锐角三角函数概念到任意角三角函数概念的学习，是一个从特殊到一般的过程，是属于“下、上位关系”的学习，锐角三角函数概念是“先行组织者”.教学策略上是先复习包容性小、抽象概括程度较低的锐角三角函数概念，然后让学生参与定义，视觉理解，“再创造”抽象程度高的上位概念，形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中.
（1） 遵循认知发展规律，先理解锐角三角函数定义
锐角三角函数概念是学习任意角三角函数概念的“先行组织者”.要理解任意角三角函数概念首先要理解锐角三角函数概念，下面采取问题驱动的策略.
问题1 任意画一个锐角α，借助尺规作图工具，找出sin α的近似值.
如图1，要求学生自己任意画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角α的对边长、斜边长，计算比值.
设计意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数概念的基础.其中，重点突出两方面问题：sin α与点的位置的选取无关；sin α是三角形中线段长度的比值（对边比斜边）.
问题2 sin α是直角三角形中，角α的对边长与斜边长的比值.根据相似三角形性质，这个比值与所画点的位置无关.你认为，哪条边画成单位长方便呢？
设计意图：把斜边画成单位长比较方便，因为此时对边的长度值就可以作为sin α了.这为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做准备.
（2） 进行主动视觉理解，“再创造”任意角三角函数定义
问题3 现在，角已经由锐角扩展到了0°～360°内的角，又扩展到了任意角.在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合.在上述的条件下，对于任意角α，sin α应如何定义？
设计意图：意在把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，视觉理解任意角，发散思维，利用单位圆定义法“再创造”出任意角三角函数定义.
上述问题会导致以下两种可能：
可能2 （图3）设角α的终边与单位圆的交点为P（x，y）.则：
这一定义取r为单位长，是可能1的特殊情况.
综上所述，从认知结构发展的理论出发，从特殊到一般，参与定义，视觉理解，让学生“再创造”任意角三角函数定义的策略，效果显著，是普遍被采用的较好的教学策略.
2.2.3 关于学生在学习任意角三角函数概念时的相关知识
按照PCKg理论分析，关于学生的知识主要包括学生的能力和学习策略、年龄和发展程度、态度、动机以及他们对所学学科拥有的前概念.
根据建构主义心理学，前概念产生的心理途径很多，而学生学习任意角三角函数概念时的前概念主要受相关旧知识的影响.首先，因为过去在直角三角形中学习锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难.其次，受函数概念、弧度制理解上的影响，理解“把角的集合与实数集建立一一对应”的真正含义也存在相当的难度.
另外，进入高中数学学习后，数学知识相比初中要更具抽象性，而任意角三角函数作为一种具体的、特殊的函数，相比其它常见函数要求也更高，所以学生在态度、动机等因素上也制约着新知识的学习.
2.2.4 关于任意角三角函数概念具体的学习情境
PCKg理论认为，关于学习情境的知识主要指教师对形成教与学过程的社会、政治、文化等外在环境的影响.
教师对任意角三角函数概念形成教与学时，主要受以下几方面的影响：
（1） 高考制度对中学数学教学起首要影响作用，考试大纲要求该节掌握定义、符号、三角函数，解读上的差异必然导致教师有差异的、侧重点不一致的教学策略，甚至会产生轻概念形成过程，重解题的舍本逐末的错误做法.当然，社会发展，时代潮流，教改要求也会产生一定的影响.
（2） 受数学教育心理学的影响，在不同的教学理念的指导下，对任意角三角函数概念会采取不同的教学策略，就会产生不同的教学效果，倘若没有恰当的教育心理学指导，更会产生教学的盲目性，最终失去教育教学的正确的方向.
（3） 鉴于任意角三角函数在物理学、天文学、测量学等其它学科上的重要应用，教师对上述学科的认识还直接影响到他对概念深度的准确把握和理解. 另外，课堂上学生的学习热情、交流、表现等也会对教师产生直接的影响.
3 思考及建议
作为PCK的修正和改进理论，PCKg更强调学生的知识和学习情境这两方面，教师对这两方面知识的理解提供了教学的基础，对于课堂有效教学有着更为突出的意义.但是在实际的教学中，教师常立足于寻找可行的教学策略和呈示知识，从而忽略或者轻视了学生和学习情境的知识，这应引起我们中学一线教师的重视.
基于PCKg的理论观点，教师的专业发展应该由知识向认知转变，关注成长、强调合作、立足实践.因为学习的主体是学生，教师只有在对学生和学习情境充分理解的基础上，才能很好地为特定课题选择适当的、高效的教学策略， 进而促进学生在特定学习情境中构建最有效的理解，同时也提升自身的教学认知水平.
如何让PCKg理论与教学实践有机结合，如何准确界定特定课题的PCKg，如何让PCKg理论在高效教学上发挥作用，今后还需做进一步的探讨和研究.
参考文献
[1] Shulman，L.S. Those who understand knowledge growth in teaching [J]. Educational Reseacher，1986.
[2] Grossman，P.L. The making of a teacher∶Theacher knowledge and teacher education [M].NewYork： Teachers colldg Press，1990.
[3] 张建伟，陈琦. 从认识主义到建构主义[J].北京师范大学学报（社科版），1996.
[4] 冯茁，曲铁华. 从PCK到PCKg：教师专业发展的新转向[J].外国教育研究，2006.
三角函数范文6
锐角三角函数的函数值与三角形的边和面积之间存在这样的关系:
S■=■ac·sinB =bc·sinA=ab·sinC.
下面我们进行分类讨论此公式的正确性.
1.如图,在锐角ABC中,若AB=c,BC=a,∠B=α,求证:
S■=■ac·sinB.
证明:过点A作ADBC于点D
AB=c,BC=a,∠B=α
AD=AB·sinα 即AD=c·sinB
S■=■BC·AD=■ac·sinB
同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.
2.如图,在RtABC中,若∠C=90°,AB=c,BC=a,∠B=α,求证:S■=■ac·sinB.
证明:AB=c,BC=a,∠B=α
AC=AB·sinα即AC=c·sinB
S■=■BC·AC=■ac·sinB
同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.
3.如图,在钝角ABC中,若AB=c,BC=a,∠B=α, 求证: S■=■ac·sinB.
证明:过点A作ADBC于点D
AB=c,BC=a,∠B=α
AD=AB·sinα 即AD=c·sinB
S■=■BC·AD=■ac·sinB
同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.( 求sinA的值可利用诱导公式)
二、锐角三角函数和勾股定理的关系
锐角三角函数与勾股定理二者有着紧密的联系,可以说勾股定理的存在导致三角函数值的诞生,二者的结合使生活中许多几何问题能够迎而解.我们在应用三角函数的同时,也在应用着勾股定理.三角函数值是一个比值,这个比值的得出,是根据勾股定理得到直角三角形三边的数值而得到的.正是由于直角三角形的三边的数值,我们可以得到直角三角形两条直角边的比值,那么也就得到三角函数的正切和余切的值,同时我们也能得到两条直角边和斜边的比值,也就是得出三角函数的正弦和余弦的值.
三、锐角三角函数在生活中的应用
锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用,“不上高山,能测山高;不下湖泊,能量河宽”,正是三角函数应用的独特魅力所在.同时锐角三角函数在生活中也突出体现其基础性、普及性和发展性.在应用三角函数解决各类实际问题时,建立数学模型就是十分关键的一步,同时也是很困难的一步.建立数学模型的过程,是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.在建立数学模型中,会更有利于发挥我们的主动性、创造性,让我们能把学习知识、应用知识、探索发现更好地结合起来.下面用一个实例来体会三角函数在生活中的重要应用.
如图,为测量小河的宽度,先在河岸边任意取一点A,再在河的另一岸取两点B、C,测得∠ABC=45°,∠ACB=30°,量得BC长为20米.求小河的宽度.
解:过点A作ADBC,垂足为点D,
设AD=x,在RtABD中,
∠ABC=45°
ABD为等腰直角三角形.
BD=AD=x.
在RtABD中,
∠ACB=30°
tan30°=■=■,
CD=■=■=■x
BD+CD=BC=x+■x=20,
x=■
= 10(■-1)(米).
