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已知二次函数范文1
在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：
例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？
错解：AB=x BC=100-2x
S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250
a=-2
当x=25时，Smax=1250
正确解答：
AB=x BC=100-2x
S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250
由题意可得：0
解得：40≤x
a=-225
S随x的增大而减小
当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800
点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。
误区二：二次函数开口向上没有最大值
例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？
图（1） 图（2）
解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：
2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2
（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，当x=2时，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，这位专业户能获得的最大利润是32万元。
点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。
总述：
已知二次函数范文2
关键词: 数学 函数 方程思想 应用
函数与方程思想是指在数学问题解决过程中,根据问题中的数量关系,构造或建立适当的函数与方程,应用函数与方程的知识及其性质进行分析问题和解决问题。函数与方程思想可以使数学问题解决变得简洁、明快,能够化繁为简,化难为易。这种思想在数学解题中有着广泛的应用,下面我结合几个具有代表性的例子予以说明。
一、函数思想的应用
1.求值
例1.已知实数x、y满足(8x+7y)+x+9x+7y=0,求9x+7y的值。
分析:此方程为5次方程,不宜采用常规方法进行求解,观察已知式子的结构特点,可以尝试构造函数f(t)=t+t进行解决。
解:已知等式可变形为(8x+7y)+(8x+7y)=-(x+x),构造函数f(t)=t+t,易知f(t)为奇函数且单调递增,因而有f(8x+7y)=-f(x)=f(-x),进而得:8x+7y=-x,即9x+7y=0。
点评:该问题解决的关键是函数的构造,并应用了函数的单调性与奇偶性,使问题得以解决。
2.解方程
例2.解方程:log(+)-log=0。
分析:本题采用常规解法难以奏效,可以先换元再利用函数的单调性加以解决。
解:设t=log,则x=4,进而得log(4+2)-t=0,即4+2=6,也即()+()=1,构造函数f(t)=()+(),由于f(t)在R上单调递减,当t>1时,f(t)
点评:本题运用函数的相关性质来求解方程,是一种突破常规的新颖解法,体现了函数思想解决问题的独到之处。
3.求范围
例3.已知实数a、b、c、d、e、f满足a+b+c+d+e+f=14,a+b+c+e+f=36,求a的取值范围。
分析:本题通过常规途径难以入手,但若巧妙地构造二次函数,则可以出奇制胜。
解:构造函数f(x)=(x-b)+(x-c)+(x-d)+(x-e)+(x-f)=5x-2(b+c+d+e+f)x+(b+c+d+e+f)=5x-2(14-a)x+(36-a),
显然f(x)≥0,因而≤0,即4(14-a)-20(36-a)≤0,解得≤a≤4。
点评:本题巧妙地构造二次函数,再利用其性质进行解答,令人耳目一新。
4.证不等式
例4.已知x、y∈R,且x+y=,求证xy+≥。
分析:由结论的结构特点,可以想到函数f(t)=t+,再利用其单调性进行解决。
证明:0
点评:本题通过构造函数并利用其单调性使问题便捷地得以解决。
二、方程思想的应用
1.求值
例5.已知α=,β=,求的值。
分析:直接代入求解显然比较繁琐,观察α、β不难发现二者是x-x-1=0的两个根,因而想到构造二次方程来解决问题,简化解题过程。
解:由于α+β=1,αβ=-1,因而可构造一个以α、β为根的一元二次方程x-x-1=0,则α-α-1=0,β-β-1=0,所以有==。
点评:本题根据根与系数的关系,构造二次方程,利用根的意义,再整体代入求解,使求解运算变得简捷,达到化繁为简的目的。
2.求范围
例6.已知实数x,y,z满足y+z-10=0,x-yz-8x+37=0,求x的范围。
分析:通过已知等式容易求得y+z和yz,进而构造二次方程,利用判别式求得x的范围。
解:由已知得y+z=10,yz=x-8x+37,因而y,z是关于t的一元二次方程t-10t+x-8x+37=0的两个实根,因此判别式=(-10)-4(x-8x+37)=-4(x-8x+12)≥0,解得2≤x≤6。
点评:本题首先将两数的和与积表示出来,而后运用根与系数的关系,通过构造二次方程进行求解,新颖独特。
3.证明不等式
例7.已知=(其中a、b、c均为实数),求证b≥4ac。
证明:由已知可得7a-b+c=0,即a(-)+b(-)+c=0,因而-是实系数一元二次方程ax+bx+c=0的一个实根,所以有判别式=b-4ac≥0,即b≥4ac。
点评:本题通过变形和转化,从数与式的特征出发,应用方程思想使结论得以证明。
4.证明等式
例8.若实数满足ln-4ln•ln=0,求证:y=xz。
分析:观察已知等式的结构可以发现其恰好符合一元二次方程判别式的形式,易于想到构造相应的二次方程加以证明。
证明:当x=y时,由题意可得x=z,此时x=y=z,显然有y=xz。
当x≠y时,有ln≠0,构造关于t的一元二次方程:(ln)t+(ln)t+ln=0,易知此方程有一实数根t=1,由已知得该方程的判别式=ln-4ln•=0,所以两根t=t=1,因而t•t==1,进而得=,故y=xz。
点评:本题通过构造二次方程证明等式,充分体现了方程思想的独特性与优越性。
已知二次函数范文3
关键词：二次函数对称轴单调性最值
中图分类号：TH133.2文献标识码： A 文章编号：
通过多年的教学，感悟到有很多数学问题都与二次函数的对称轴相关，弄清对称轴是把握二次函数的关键所在，下面从几方面的知识入手就可渡过这个难关。
一、对称轴划分单调性。
二次函数 的单调性是这样划分的：
（1） （2）
（1）当a>0 二次函数在(－,－]上单调递减，在(－,＋)上单调递增；
(2)当a
例1、已知函数f(x)=x[－5,5] ,求f(x)在[－5,5]上是单调函数的a的取值范围。
解：对称轴x＝﹣a，要使f(x)在[－5,5]上单调，必须满足条件﹣a≤﹣5，－a≥5
a≥5，a≤－5
例2、已知函数f(x)＝在(－,－1)上为减函数。
求f(2)的取值范围。
解：二次函数的对称轴为x=2a－1,
a≥0
函数f(x)在(－,2a－1)上为减函数，
－1≤2a－1,a≥0
而f(2)=
=－8a+14
a≥0
f(2)=14－8a≤14.
例3、函数y=存在反函数吗？如果存在，请给出x的一个取值范围，使它存在反函数。
解：要使函数具有单调性，必须要在对称轴的左右两側的区间上。
对称轴x=4
当x(－,4][4,＋)时就存在反函数。
二、二次函数的最值离不开它的对称轴
例4、已知函数y=在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的取值。
[解析]本题是二次函数在给定区间上的最值问题，要用分类讨论的思想解决问题。
,对称轴x=
当0 1，即0 a2时，
由，得
a=2或a=－2,与0 a2矛盾，不合要求。
当
，由
(3)>1 即a>2,时函数在 [0,1]上单调增，
由
综上，得a=-6或a=。
本题属于“轴变区间定”的二次函数最值问题，要讨论对称轴与定义域的相对位置，要注意开口方向及端点情况。
例5、已知若
写出的表达式。
解，对称轴，如图：
(1)当
即
(2)当 即时
当，
综上可得：
本题属于“轴定区间动”的二次函数在给定区间上的最值问题，主要看区间落在二次函数的哪个单调区间上，从而借助单调性求最值。
三、二次方程根的分布有时要考虑二次函数的对称轴
二次函数，一元二次方程和不等式是一个有机的整体，对于二次方程实根的分布问题有时要考虑对称轴的位置。
例6、（2007.湖北文）设二次函数的两根求实数a的范围；
分析：利用二次函数的图像，函数在区间(0,1)上有两个零点，实施方程，函数，不等式的转化。
设
由题意，得，
,故所求a的取值范围是
例7、若关于x的方程在[-1,1]上有解，则实数m的取值范围是
分析：的解在[-1,1]，就是二次函数与x轴的交点在[-1,1]上，只需满足条件：
已知二次函数范文4
例1 已知抛物线经过点(2,1),(-1,-8),(0,-3),求这个抛物线的解析式.
解析: 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
根据题意,得4a+2b+c=1,a-b+c=-8,c=-3.解得a=-1,b=4,c=-3.
所以抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.
点评:这三个点没有突出特征,因此用“一般式法”.先设解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),然后将三个点的坐标分别代入,构造方程组来解.
例2 已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点.求此二次函数的解析式.
解析: 显然点A,B在x轴上,所以可设此二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).
因为该函数图象又过点(0,-3),代入这个解析式,可求得a=1.
因此,所求的二次函数解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.
点评:已知二次函数与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),则相当于方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1,x2,从而ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).故二次函数可表示为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).这种方法称为“交点式法”.
例3 已知二次函数图象的顶点坐标为(-2,-3),且图象过点(-3,-2).求此二次函数的解析式.
解析: 设这个函数的解析式为y=a(x+2)2-3,将点(-3,-2)的坐标代入,可得a=1.故所求解析式为y=(x+2)2-3,即y=x2+4x+1.
点评:若已知二次函数图象的顶点坐标为(k,h),则其解析式可设为y=a(x-k)2+h.只需再知道图象上另一个点的坐标,代入求出a即可.这种解题方法称为“顶点式法”.在题设条件中,若涉及顶点坐标､对称轴､函数的最大(最小)值时,可使用顶点式法.
例4 已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,3),C(-1,1)三点,求这个二次函数的解析式.
解析: 观察A,C这两个点,因它们的纵坐标相同,所以它们是抛物线上的两个对称点.设解析式为y=a(x-0)(x+1)+1,将B(1,3)代入,可求得a=1.所以解析式为y=x(x+1)+1,即y=x2+x+1.
点评:当条件中有抛物线上两对称点(x1,m),(x2,m)时,可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)+m.这个式子一般称为“对称点式”.显然当m=0时,对称点式就变为交点式了.我们把这种类型的题目称为“对称型”.
例5 二次函数图象的顶点坐标为C(4,- ),且在x轴上截得的线段AB的长为6.求这个二次函数的解析式.
解析: 一般地,若y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),则可用a,b,c来表示线段AB的长.
AB=|x1-x2|= - = .
设抛物线的解析式为y=a(x-4)2- (a≠0),y=ax2-8ax+16a- .
设抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是一元二次方程ax2-8ax+16a- =0的两个实数根.显然AB=|x1-x2|=6.
又|x1-x2|= = =6.
所以(x1-x2)2= =36,可得a= .
所求的函数解析式为y= (x-4)2- .
小试牛刀
1. 如图1,二次函数图象的顶点C为(2,-1),且在x轴上截得的线段AB的长为2.
(1) 求证:ACB是等腰直角三角形.
(2) 求二次函数的解析式.
2. 如图2,二次函数的图象与x轴相交于A,B两点,A,B分别在原点两侧,抛物线与y轴正半轴交于点C,若OA∶OB∶OC=1∶3∶3,且ABC的面积为24,求二次函数的解析式.
已知二次函数范文5
关键词：二次函数应用
在高中阶段，二次函数不仅是数学教学的重点及难点，也是高考的重点，同时它也是连接其他知识系统的关键.本文重点对二次函数定义的理解与应用进行探讨.
一、二次函数的定义及理解
二次函数表达式的右边通常为二次三项式，即y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，函数的开口方向由a决定，a>0时，开口向上，a
高中阶段的二次函数与初中阶段的二次函数不太一样，高中阶段的二次函数是建立在集合和映射的基础上的，二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f∶AB使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.
例1已知f（x）=3x2-9x+11，求f（x+3）.
这里不能将f（x+3）理解为x=x+3时函数值，只能理解为自变量为x+3的函数值.
例2设f（x+3）=3x2-x+1，求f（x）.
这个问题理解为已知对应法则下，定义域中元素x+3的象是3x2-2x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则.一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+3的多项式.
f（x+3）=3x2-x+1=3（x+3）2-9（x+3）+11.
再用x=x+3得到f（x）=3x2-9x+11.
（2）变量代换.这种方法可以通用，可以使用一般的函数.
令t=x+3，则x=t-3，所以f（t）=3（t-3）2-9（t-2）+11，从而得出f（x）=3x2-9x+11.
二、二次函数解析式的应用
1.解析式问题
解答函数解析式问题的方法有待定系数法、换元法、配凑法、消元法等.
例3求一次函数f（x），使得f{f（x）}=8x+7.
分析：在解答本题时，用待定系数法，当所求的函数是已知的函数类型时，用此方法，一次函数的基本型为f（x）=ax+b.
解：设解析式为f（x）=ax+b.
则f[f（x）]=a[f（x）+b]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b.
同理，f{f[f（x）]}=a3x+a2b+ab+b.
即a3x+a2b+ab+b =8x+b，则a2b+ab+b=7.（1）
a3=8.（2）
由（1）（2）解得：a=2，b=1.
所以f（x）=2x+1.
2.单调性、值域的应用
在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间-∞，-b2a及-b2a，+∞上的单调性用定义去严格的论证，充分利用函数图象的直观性，增加适当的练习题进行练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性.
例4已知函数f（1-x2）=log2x2（2-x2），求：（1）f（x）的解析式及定义域.（2）判定f（x）的单调性.
解：（1）令1-x2=t，则x2=1-t.
所以f（t）=log2（1-t）（1+t）=log2（1-t2）.
即f（x）=log2（1-x2）.
由1-x2>0解得-1
所以f（x）=log2（1-x2）（-1
（2）①设-1
所以1-x12
即f（x1）-f（x2）=log2（1-x12） -log2（1-x22）
所以函数f（x）=log2（1-x2）在区间（-1，0）上是增函数.
②设0≤x1
1-x12>1-x22，log2（1-x12） >log2（1-x22）.
即f（x1）-f（x2）=log2（1-x12） -log2（1-x22）>0.
所以函数f（x）=log2（1-x2）在区间（0，1）上是减函数.
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.
例5求函数y=4x-5+2x-3的值域.
错解：令t=2x-3，则2x=t2+3.
y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+14）2+78≥78.
故所求的函数值域是[78，+∞）.
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，所以当t=0时，ymin=1.
故所求的函数值域是[1， +∞）.
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便能体现出良好的思维批判性.
3.二次函数在方程方面的应用
例6已知含参数的一元二次方程的根在某区间，求参数范围.
分析：可借助二次函数的图象.
解：设f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程ax2+bx+c=0的两根为α，β（α≤β），m，n为常数且n
（1）α，β分居两区间时，只需考虑端点函数值的符号.
如α∈（-∞，m），β∈（m，+∞）f（m）
α∈（-∞，n），β∈（m，+∞）f（n）
（2）α，β位于同一区间时，不但要考虑端点函数值符号，还要考虑Δ≥0及-b2a的范围.如α，β∈（m，+∞）f（m）>0，
-b2a>m，
=b2-4ac≥0，α，β∈（n，m）f（m）>0，
f（n）>0，
=b2-4ac≥0
n
，α，β∈（-∞，n）f（n）>0，
-b2a
=b2-4ac≥0..
例7已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2.
（1）如果x1
（2）如果|x1|
分析：本题主要考查函数与方程的思想，利用数形结合考查根的分布等综合运用所学知识的能力.
解：（1）设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1（a>0）.
由条件x1
即4a+2b-1
16a+4b-3>0，解得34-4a
显然必有34-4a18.②
①÷（-2a）得：2-38a>-b2a>1-14a.
故x0=-b2a>1-14a>-1.结论成立.
（2）由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0可得x1・x2=1a>0.
x1，x2同号.
若0
x2=x1+2>2.
g（2）
又（x2-x1）2=（b-1）2a2-4a=4，
2a+1=（b-1）2+1. （a>0，负根舍去）
代入③式可得，2（b-1）2+1
若-2
g（-2）
又2a+1=（b-1）2+1代入④式，
得2（b-1）2+174.
综上，当0
总之，二次函数是贯穿初中和高中数学课程的一种很重要的函数，从中学数学教材来看，二次函数占有及其重要的地位，无论是在代数中还是解析几何中，使用二次函数解答的机会非常多.将二次函数作为载体，构建数形结合思想、分类讨论的思想、等价转换的思想.
参考文献
周小峰.高中二次函数的教学探微.[J].考试教研版.2007（04）.
周建涛.浅谈二次函数在高中阶段的应用.[J].数学与教学通讯.2005（12）.
已知二次函数范文6
原题：有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，把它的图形放在如图1所示的直角坐标系中.
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，在对称轴的右边1m的点M处，对应的桥洞壁离水面的高度是多少？
解析：此题命题意图有两点：一是考查学生利用待定系数法求二次函数解析式；二是让学生在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，考查学生应用二次函数模型解决简单的实际问题的能力.
根据题意可知：该抛物线的顶点坐标为（5，4），且过点（0，0），于是利用系统定系数法可完成第（1）小题的解答；显然“对称轴的右边1m的点M处”的横坐标为6，因此第（2）小题求“对应的桥洞壁离水面的高度”也就是对于在（1）里所求的二次函数关系式中，当x=6时，求对应的二次函数值. 具体解答过程如下：
（1）设抛物线所对应的函数关系式为y=a(x-h)2+k.
由条件知，该抛物线的顶点为（5，4）
所以y=a(x-5)2+4，把（0，0）代入上式，得
0=a（0-5)2+4，解得a=-，
因此该抛物线对应的函数关系式为
y=-(x-5)2+4，即y=-x2+x.
（2）当x=6时，y=-×62+×6=3.84.
即桥洞壁离水面的高度是3.84m.
说明：第（1）小题还可以这样解答：设所求抛物线对应的函数关系式为y=ax2+bx+c，将点（0，0）代入得c=0. 再根据抛物线的顶点坐标公式得两个方程:-=5，与=4，解得a=-，b=，c=0，从而得到所求函数关系式为y=-x2+x.显然，这种解法较前面的解法烦琐.
针对原题题目，条件不变，我们进一步作如下变式探究：
变式探究1：当水面上升1m时，求此时桥洞下水面的宽度是多少？
解析：水面上升1m，如图2所示，求“此时桥洞下水面的宽度”就是求A、B两点之间的距离. 也即是当纵坐标为1时，所对应抛物线的两个横坐标的距离.
由1=-(x-5)2+4，解得x=5-，x=5+.
而x-x=5+-5-=5，
即是当水面上升1m时，桥洞下水面的宽度是5m.
变式探究2：现有一辆满载货物的船只欲通过该桥洞，已知货物顶部距水面3米，装货宽度为4.2米，请通过计算，判断该船只能否顺利通过桥洞.
解析：假设该船只是沿着桥洞的正中（船的中心线与抛物线的对称轴重合）行进，能否顺利通过桥洞，取决于当“货物顶部距水面3米”时的水平宽度，若这个宽度大于“装货宽度4.2米”时，则该船只能顺利通过桥洞；否则不能. 仿变式探究1，求出距水面3米高时的水平宽度.
由3=-（x-5）2+4解得x=7.5，x=2.5.
所以，距水面3米桥洞的水平宽度为：7.5-2.5=5＞4.2.
