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离散数学范文1
离散数学，关系的性质具体如下：
关系R称为是反对称的；关系R称为是对称的，若属于R，则有属于R；由上面的定义看到，当且仅当 R 的元素都是型时R同时是反对称的和对称的；举几个例子来说明对称或反对称的：设A等于1，2，3，则A 上的关系R1等于是对称的也是反对称的； R2等于是对称的而非反对称的； R3等于是反对称的而非对称的； R4等于既非对称的且非反对称的。
（来源：文章屋网 ）
离散数学范文2
关键词：离散数学；实验教学；实践能力
离散数学课程所涉及的概念、理论和方法，大量地应用在计算机科学体系中，数理逻辑是计算机中的逻辑学、逻辑电路、人工智能的基础课程，集合与关系是数据结构、数据库系统的理论基础，而代数系统则是现实世界的缩影，直接模拟了现实系统，图论知识更是直接应用在计算机网络、数据结构、编译原理等专业课程中。但传统教学中过于注重理论教学而忽略实践，学生普遍认为枯燥难懂，认为是纯粹的数学课程，对计算机编程用处不大。因此教师在授课过程中要注重理论联系实践，培养学生的专业素养，我们将从以下方面循序渐进加强教学理论与实践。
1课程教学注重教学方法与教学实践的改革与创新
加强理论联系实际，从提高计算机编程思想的角度对学生展开教学，教师在讲解理论的同时，要注重其实际应用与算法描述。例如在讲解最短路径时，就要介绍Dijkstra算法，单源最短路径的基本思想如下：设S为最短距离已确定的顶点集(看作红点集)，V-S是最短距离尚未确定的顶点集(看作蓝点集)。
①初始化：只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径：在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
我们通过实例给学生模拟算法执行过程，验证算法的正确性，但细心的学生会发现前面加进去的点并不一定是后期考察路径的必经点，例如有三个点A，B，C，AB、BC、AC间权值分别为1，2，4，如果设A为源点，则第一次加进来的点是B，到C的最短路径应该是A-B-C，如果BC权值为4，则到C的最短路径应该是A-C，这里就要注意红点集加入的点不是其他点必经点，这是因为集合元素是无序的，不是联结已有的点作为最后点的路径的。
我们给出求解的动画演示过程，加深学生的认识，实际多应用在交通网络中路径的查询中，两地之间是否有路径以及如果有多条路径时找最短路径等，最后再对算法进行扩展解决单目标最短路径问题、单顶点对间最短路径问题等，扩展学生对算法的理解等。
在讲解逻辑推理时，建议学生使用Prolog语言可以轻松实现命题和联结词表示以及逻辑推理，代数系统则是无处不再，自动售货机、电梯系统、自动取款机等都是一个代数系统，有自己的运算关系，鼓励学生定义一些运算，完成一个具有输入输出的可交互的系统。
2建设完善实验课程体系，加强学生实验实践能力
挖掘课程内容，建设完善的实验课程体系，实验课程的主要目的是，培养学生的数学建模能力、算法设计能力、编写程序能力和应用创新能力，使学生养成良好的数学素质。学生可以有选择地做。
(1)基础实验如表1所示，基础实验设计一些离散数学基本问题，要求学生利用所学基础知识，完成相应的算法设计和程序实现。如在集合论部分，设计有限集基本运算算法设计实验，要求学生利用熟悉的程序设计语言完成有限集合的数据结构、集合间的交、并、差、迪卡尔积、子集判断等基本运算。学生可以在每部分中自由选部分题，完成一定的基础实验。这样的设计使得学生学会基本操作，巩固程序设计基本调试方法的掌握。
(2)综合性实验如表2所示，设计一些比较复杂的离散数学问题，要求学生综合运用各章知识或多学科知识，完成问题的分解与求解、综合和整体实现。例数理逻辑部分的命题真值表计算实验中，要求学生设计实现命题数据结构、五种基本逻辑运算的代数运算转换、表达式求值等；学生需要综合运用命题逻辑、数据结构等知识，完成实验各个环节，实现运算结果的显示。可由几个同学组成一个学习小组完成实验。
(3)设计性实验如表3所示。这一层次要求较高，对那些学有余力、兴趣浓厚的学生，给出一些难度较高的课题，要求他们自行设计问题描述模型和实验方案，开发实现小型应用软件。例如，要求学生针对某景区内景点的分布情况，设计可满足旅游者不同需求(如费用最省、线路最短、重复较少、景点最全等各种要求)的实用小软件。教师检查实验现象和实验结果。学生对实际程序的运行结果应能进行分析并提出改进方法，每完成一个实验，都要求写一份实验报告，挑选出好的作品，做成精品演示系统。
3发现实际应用点，扩大学生知识面
让学生了解离散数学在现实生活中的主要应用，有意识地引导学生运用所学理论去分析问题、解决问题，从而让学生充分感受到离散数学这门课程的魅力和实用价值。部分实际应用如表3所示。鼓励学生按照如下流程操作：发现问题，然后构思一个可能求解该问题的算法过程，再设计算法并将其表达为一道可执行程序，最后精确地评价这个程序，考查其作为一种工具去求解其它问题的潜能，锻炼学生数学建模能力，提高分析问题，解决问题的能力。
4建设开放式教学环境，丰富网络教学资源
充分利用网络学堂、课程学习网站等丰富的教学资源，构建了开放式的教学环境，我们开发了离散数学教学网站，模块包括：实验、实验申请、已审核实验、成果展示、精品展示、在线解答(前台如图1所示，后台如图2所示)、资料下载等模块，实验项目可选或自拟，增强了师生间互动，也为学生个性化学习提供了良好的条件。
学生可以在任何时间远程登陆，发表咨询，下载资料，参与实验项目，申请实验项目，获得批准后，我们开放实验室免费提供设备，实验项目结题后提交成果，我们从中提炼出精品，做成精品演示系统，学生还可以对已有成果做深入研究。
总之，鼓励学生吃透书本，挖掘理论的应用领域，鼓励学生改进算法、挖掘应用点，从抽象的理论到实际应用，再扩大应用，抽象到一般情况，让学生感觉到学习离散数学的重要性，理论与实践相结合，互相促进，切实提高大家学习离散数学的兴趣，能够达到学生积极主动为了实现应用而吃透理论，发挥主观能动性。采用项目训练为主的教学理念，切实提高学生的实际动手能力、创新能力和自学能力。
参考文献：
[1]耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京:高等教育出版社.
离散数学范文3
《离散数学》是以一切离散量为研究对象的一门学科，包括数理逻辑、关系代数、罔论、集合论等多方面内容。这门学科在计算机科学的发展和研究中起着重大的作用，比如在编译原理、数据结构、数据库系统、人工智能、计算机网络等专业课中都大量涉及了离散数学中各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。所以它还有一个专业的名字――组合数学。离散数学是掌握和研究计算机学科的必要理论基础。
有时人们也把离散数学和图论加在一起算成是离散数学。离散数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是离散数学。离散数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的离散数学。离散数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而离散数学的发展则奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了离散算法才使人感到计算机好像是有思维的。
离散数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用离散数学命名的公司，他们用离散数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名离散数学家利用离散数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。
在1997年11月的南开大学离散数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，离散数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而离散数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出离散数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力、很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士举例说明了华罗庚、许宝禄、吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视离散数学，同时还对离散数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国离散数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展离散数学已经迫在眉睫，刻不容缓。
2.《离散数学》与计算机软件
随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作、生活、学习、社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听到过一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化、管理水平、教育水平、思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而解决这一问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度，并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，更重要的是需要集体的合作和力量，就像软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析、信息压缩、网络安全、编码技术、系统软件、并行算法、数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划、金融工程、计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有很好的统计和离散数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。
3.离散数学在国外的状况
纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究离散数学出身的，美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，...）都有第一流的离散数学家。计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。离散数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM、AT&T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是不会对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对离散数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学、Rutgers大学、AT&T联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是离散数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了离散数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和离散数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R.Tarjan即是离散数学的权威。美国重要的国家实际室（Los Alamos国家实验室，以造出第一颗原子弹著称于世）从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括离散数学的研究。有关离散数学的计算机模拟项目经费达三千万美元。不仅如此，该实验室最近还在积极充实离散数学方面的研究实力。美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究离散数学和计算机科学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。由于生物学中的DNA的结构和生物现象与离散数学有密切的联系，各国对生物信息学的研究都很重视，这也是离散数学可以发挥作用的一个重要领域。前不久召开的北京香山会议就体现了国家对生物信息学的高度重视。据说IBM也将成立一个生物信息学研究中心。由于DNA就是离散数学中的一个序列结构，美国科学院院士，近代离散数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为离散数学的一个前沿领域。
最近Thomson Science公司创刊的一份电子刊物《离散数学和理论计算机科学》即是一个很好的说明。它的内容涉及离散数学和计算机科学的众多方面。由于计算机软件的促进和需求，离散数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学基础，逐渐成为了数学的主流分支。本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言离散数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。这一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得到了中国数学界的赞同和响应。
加拿大在Montreal成立了试验数学研究中心，他们的思路可能和吴文俊院士的数学机械化研究中心的发展思路类似，使数学机械化、算法化，不仅使数学为计算机科学服务，同时也使计算机为数学研究服务。吴文俊院士指出，中国传统数学中本身就有浓厚的算法思想。
今后的计算机要向更加智能化的方向发展，其出路仍然是数学的算法和数学的机械化。另外的一个有说服力的现象是，离散数学家总是可以在大学的计算机系或者在计算机公司找到很好的工作，一个优秀的离散数学家自然就是一个优秀的计算机科学家。
离散数学范文4
摘要：“离散数学”是计算机及相关专业的一门重要课程。该课程概念多、理论性强、高度抽象。在教学过程中，教师要强调课程的实用价值和重要性，引起学生足够的重视，在教学中注重反例的作用，做到一题多解，举一反三，注重特殊与一般相结合及时归纳与小结，提升教学质量。
关键词：离散数学；举一反三；启发式教学
中图分类号：G642
文献标识码：B
1引言
“离散数学”是计算机科学与技术专业的重要专业基础课程，在计算机科学中有着广泛的应用。它不仅是许多计算机专业课，如“数据结构”、“操作系统”、“编译原理”、“数据库原理”、“人工智能”、“数字逻辑”等的必备基础，也对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力起着重要作用。该课程由计算机科学与工程实践中所需要的数学理论和方法所组成，概念多、理论性强、高度抽象。学生在学习该课程时，往往看不到离散数学的知识在计算机科学中的具体应用，因而不仅不重视离散数学的学习，还怕学这门课程。因此如何提高离散数学课程的教学水平和质量，对学生后续课程的学习和毕业以后的科学研究和实践有重要意义。在离散数学的教学实践过程中，笔者积累了一些实际效果较好的做法，现提出供大家商榷。
2强调实用价值和重要性，引起学生足够重视
近年来，计算机学科的发展与离散数学的主要内容如数理逻辑、集合论和图论等都有非常紧密的联系。数理逻辑是研究推理的学科，在人工智能、数据库理论等的研究中有着重要的应用；图论和集合论为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度加以解决提供了抽象和描述的重要方法。因此，在实际教学过程中，教师更应注重让学生了解离散数学在现实应用中的主要作用，有意识地引导学生运用所学理论分析和解决实际问题，从而让学生充分感受到这门课程的魅力和实用价值。例如在讲授平面图时，可以给出它们在印刷电路板、集成电路等方面的应用。
数理逻辑部分在计算机的硬件设计中应用非常突出，我们可以利用命题中各个联结词运算规律，把由高低电平表示的各信号之间的转换与二进制之间的运算连接起来，用数学方法解决电路设计的问题，使得整个设计过程更加系统化。很多学生在解决这样的问题时已经使用了离散数学知识，但并没有意识到自己使用了离散数学中的数理逻辑。针对这样的问题，教师在讲授课程过程中，一定要将每部分离散数学知识是怎样应用到计算机科学中说清楚，让学生充分认识到离散数学的重要性。
再如，在介绍图论中根树时，可将根树中求最优树的方法运用到计算机通讯中，以使信息在传输过程中既准确无误又节省二进制位。在讲解数理逻辑部分时，可以将真值表部分的内容运用到逻辑电路的设计上，在此基础上进一步启发学生运用这部分知识设计简单的表决器、抢答器等。这样不仅激发了学生学习离散数学的积极性，还进一步加强了学生理论联系实际的能力。
3一题多解，举一反三
离散数学具有多样性的特点，同一个概念可以给出不同的描述方法，例如，讲解二元关系的性质时给出如下定义：
设R为定义在集合A上的二元关系。
① 若 x(x A∈R)，则称R在A上是自反的；
② 若 x(x A R)，则称R在A上是反自反的；
③ 若 x y(x，y A R R)，则称R在A上是对称的；
④ 若 x y(x，y A R Rx=y)，则称R在A上是反对称的；
⑤若 x y z (x，y，z A R R R)，则称R在A上是传递的。
如果教师只从定义解释关系的性质，学生只从定义理解关系的性质，显然比较抽象。但关系的性质不仅可以反映在它的集合表达式上，也可以反映在它的关系矩阵和关系图上。表1给出了关系的五种性质在集合表达式、关系矩阵、关系图中的特点。所以，教学中教师结合集合表达式、关系矩阵、关系图讲解释关系的性质，特别是关系图，它使抽象的数学模型直观地展示在学生眼前，易于理解和记忆。如R无对称性，则在R的关系图中，不同元素间至少找到一条单向的边。学生从集合表达式、关系矩阵、关系图理解关系的性质，显得比较直观。
在离散数学中，很多问题都可以用多种方法解决。例如在命题逻辑中判断一个公式是否为重言式，有真值表法、等值演算法和主析取范式方法；用自然推理系统进行推理时，有一般证明法、附加前提证明法和归谬法。学生运用这些方法判断或推理时，就会发现这些方法的利弊，从而思考不同类型的题用不同的方法来解。
学生会提出疑问：既然运用不同的方法，最后判断的结果是相同的，那么这些方法之间又有什么关系？通过思考、分析，学生就会找出表面看似不相干内容的内在联系，达到系统掌握命题逻辑知识的目的。在二元关系中求解一个已知二元关系R的幂时，有集合表达式法、关系矩阵计算法和关系图法，学生通过找出其内在联系，达到系统掌握二元关的目的。例：设R={，，，}是集合A={a，b，c，d}上的二元关系，求R的各次幂。
解法1：集合表达式法
R0={，，，}
R1={，，，}
R2={，，，}
R3={，，，}
R4={，，，}
R5={，，，}
继续计算有R2= R4= R6=……，R1=R3= R5=……
解法2：关系矩阵法
M0= ，M1= ，M2= ，M3= ， M4= ，M5= ，继续计算有M2= M4= M6=……，M1= M3= M5=……
解法3：关系图法
一题多解是训练学生思维的有效方法。通过运用所学知识，从不同角度对同一问题寻找多种解题途径和方法，然后归纳总结，比较各种方法优缺点，可以起到举一反三的作用。实践证明，一题多解是训练学生思维的有效方法，它有利于学生掌握和运用所学知识，拓宽解题思路，培养学生的思维能力。
4注重反例在教学中的作用
离散数学的知识体系是由概念和命题等内容组成的，学好离散数学首先要正确理解概念。学生的逻辑思维能力、分析运算能力、解决问题能力都是以清晰、正确的概念为基础的。离散数学的概念很多，光靠死记硬背是不行的。一个概念往往蕴含若干概念，使之变得愈加抽象，而学生在接触概念之初，常不以为然，加之课后没有很多时间复习、巩固和运用，随着内容的逐步增多，对概念日趋模糊，给学习带来极大的困难。针对这种情况，从开始接触概念起，除了向学生强调每个概念的重要性外，在讲授每一个概念的过程中，教师均须抓住其本质属性，予以层层剖析。在这一环节中，除用典型例子从正面讲解外，有时还需用反例来指出此是彼非，以反辅正。
从以前面关于二元关系的性质定义我们看到，“要得出一个结论须考虑全部情况，而要它仅需一个反例。”所以，教学中除从正面用集合表达式、关系矩阵、关系图说明关系的各个性质外，还必须从反面强调二元关系的各个性质的集合表达式、关系矩阵、关系图，使学生易于理解和记忆。如关系的自反的和反自反的性质是一对矛盾的概念，如果二元关系R具有“自反性”就一定不具有“反自反性”，但同学们很容易误认为二元关系R不具有“自反性”就一定具有“反自反性”，此时指出错误最有说服力的且最有效的办法就是举反例：设A={1，2，3}，R＝{，}，则R既不具有“自反性”也不具有“反自反性”。
关系的对称的和反对称的性质不是一对矛盾的概念，同理同学们很容易误认为“对称性”与“反对称性”是非此即彼的排斥关系，我们同样举一个例子说明问题：设A={1，2，3}，R＝{，，}，则R既不具有对称性也不具有反对称性。对于二元关系R同时具有对称性、反对称性，学生也觉得很迷惑，解释它也必须从反面入手，即找不到不符合“对称性、反对称性”条件的序偶，例如设A={1，2，3}，R＝{，}，则R既具有对称性也具有反对称性。反例可以排除与概念无关特征的干扰，对概念的理解更精确，反例可以从另一个方面抓住数学概念或规则的本质，弥补在正面阐述中的不足。反例是作为揭穿错误、伪证的强有力的数学方法，传递了最有利于辨别的信息，对概念认识的深化具有非常重要的作用，起到事半功倍的作用。以反辅正，既能使学生加深对某一概念的理解和掌握，又能使之区别于相关概念，这是正面例子难以做到的。
5注重归纳与小结
离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳，可以用一条主线贯穿始终，这就是离散数学的内容包含两个方面：研究一个系统中涉及到的静态(基本概念)与动态(运算、操作、推理)。如集合论中是元素(静态)及其上的运算(动态)；代数系统中是集合(静态)及运算(动态)；数理逻辑中是公式(静态)和推理(动态)。通过归纳总结，学生能够理清头绪，提高学习效率。在讲课时，教师应该把重点、难点精讲细讲，对于易懂的内容可以点到为止。此外还要经常归纳小结，尤其对于一些抽象的和难以记忆的重要知识点，更应该辅以有针对性的归纳总结。比如在讲完代数系统这部分内容时，可按照代数系统、半群、含幺半群、群的顺序依次阐述这几个概念，均是在前一个概念的基础上增加一个性质(封闭性、结合性、幺元、逆元)，最后用图示的方式进行小结，使学生更容易掌握这几个容易混淆的概念。
为了让学生更好地理解和记忆公式，在数理逻辑部分的公式和集合公式之间有着密不可分的相似之处。如它们都有幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、派中律、矛盾律、德摩根律等。同样在格中，求两个元素的最小上界和最大下界也满换律、结合律、幂等律和吸收律。因此离散数学中的内容看似很散，但其实内部存在着一些必然的联系，教师在教学过程中，要给学生适时总结，有利于学生记忆众多公式。
6特殊与一般相结合
离散数学中既有从特殊到一般的抽象，又有从一般到特殊的特化。如在数理逻辑中，由命题逻辑到谓词逻辑就是从特殊到一般的抽象。在代数结构中，先讲一般代数结构的概念和性质，然后讲特殊的代数结构：半群、群、环、域、格、布尔代数的概念及性质。在图论中，先讲一般图的概念与性质，后讲特殊图：欧拉图、哈密尔顿图、二部图、平面图、树的概念与性质。授课时，要注意特殊与一般相结合，既要教学生学会把一般的属性应用到特殊实例中去，又要教学生学会从特殊的事物中抽象出一般规律，用例子去解释和区分一般和特殊在概念和性质方面的不同，以加深对抽象概念的理解。
7结束语
总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，摒弃“填鸭式”教学，提倡“启发”式教学。只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，教师就一定能够找到较好的方法调动学生的学习积极性，达到良好的教学效果。
参考文献：
[1] 李盘林,李丽双,李洋,等. 离散数学[M]. 北京:高等教育出版社,2006.
离散数学范文5
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术的理论基础，它以研究离散量的结构及相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个元素或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。
离散数学是计算机科学与技术各专业的核心、骨干课程，它不仅为后续课，如数据结构、编译原理、操作系统、数据库原理和人工智能等，提供必要的数学基础；也是组合数学、遗传算法、数据挖掘等计算机硕士研究生阶段相关课程的重要基础。无论从计算机学科发展的过去、现在和未来看，《离散数学》都是计算机科学与技术专业不可缺少的重要组成部分。这门课程有着其它课程不可替代的地位和作用，是一门承前启后的课程，既是基础，又有发展。而且通过学习离散数学，可以培养和提高学生的抽象思维与逻辑推理能力，为学生今后继续学习和科研工作，打下必备的数学基础。但是，在长期教学实践中，学生普遍认为该课程是一门很难学的课程。主要的困难是概念多、理论性强、高度抽象、不易理解，学生更看不到本课程的应用前景，没有学习兴趣。因此，本文结合笔者近年来从事离散数学课程教学的实践，从如何提高离散数学课程的教学水平，激发学生对本课程的学习兴趣，调动学生学习本课程的积极性出发，就教学观念、教学内容、教学方法、教学手段等方面的改革进行了一些探讨。
一、转变教学观念，树立理论应用意识
在以往的教学中，离散数学总是按纯数学的形式来讲授，把一个个概念、定理和证明很生硬的讲给学生，学生听起来觉得枯燥无味，更看不到它在计算机科学中的具体应用，总有学生问学习离散数学有什么用处。因此，有些学生不重视本课程的学习，只注重实际编程能力的训练，认为只要有较强的编程能力，以后就可以找到好的工作。这主要是教师没有起到很好的引导作用，不能与计算机学科很好地结合起来，使学生对离散数学这门课没有一个真正的认识，不能充分调动学生学习积极性。因此，首要任务是要求教师改变教学观念。
在教学中，要注重应用型人才的培养，注重理论和实际相结合，遵循“以教师为主导、以学生为主体”的原则，以提高学生素质为根本宗旨，把握学科教育本质和目的，以培养学生创新精神和学习能力、实践能力为重点，这也是由计算机科学知识发展更新快、学科交叉程度高、应用面广的特点所决定的[1]。这就要求教师积极引导学生注重基础理论的学习，在上第一堂课时，就要强调学习离散数学的重要性，告诉学生什么是离散数学，实际上它就是将计算机科学中所用到的数学知识抽象出来形成的一门理论。要给学生强调它的每一章内容与相关的哪一门后继课程有联系，如谓词逻辑在人工智能知识表示中的应用，关系数据库中要用到二元关系的相关理论，代数系统中的域在网络安全密钥加密中的应用，以及在数据挖掘中用到的格的知识，还有图论的相关理论在数据结构和计算机网络中的应用等。还可以举一些实际的例子，比如学生熟悉的图灵机就用到离散数学中的知识。这样可以使学生对离散数学首先有一个感性认识，引起他们思想上的重视，让他们认识到学好这门课是非常有用的。此外，在后续的教学过程中，应穿插介绍一些在计算机科学中的应用的知识点，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生在后续的学习中逐渐体会到这一课程的重要性，产生学习兴趣，主动地进行学习。
二、教学内容的整合与优化
目前，教学内容改革常见的形式为对课程教学内容删减、压缩或整合，但要对传统的比较完善的离散数学教学内容进行合理的改革“手术”，使之具有较强的可操作性，从而，达到理想的效果有一定的困难。因此，保持离散数学的基本内容和特色，在概念描述、定理形式以及相互关系上进行提炼、凝结，既可以给常规教学结构的改革提供一个可行的时间空间，又可以使学生以精炼而有用的工具去进行创造性学习活动[2]。
传统的离散数学包括四个知识模块：数理逻辑、集合论、代数系统和图论。有个别书加上一章或每一章加上一节离散数学在计算机科学中的应用，也有个别书加上一些组合数学和形式语言与自动机的内容，但核心内容还是四大块。这四大块实际上可以分别对应一门独立的课程，但如果分开来讲，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少相矛盾的问题，使教学过程具有很大的难度，同时为兼顾计算机科学和计算机应用所涉及的两个方面的离散结构数学模型，对传统教学内容进行筛选、组合是必要的。可适当增加组合论和计算理论的基础知识，适度限制部分传统内容的深度，精简数理逻辑和集合论的部分内容，较大幅度地改革教学内容。同时对教学内容编排进行优化，把教学过程设计为精讲、略讲、讨论和自学四个层次。
此外，在讲每一部分时，可以先介绍相关的背景和历史发展，讲一些轻松的故事，提高学生的学习兴趣，比如著名的苏哥拉底三段论、哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题、一笔画问题等等，但对于这些问题的介绍不能停留在故事的趣味性上，应当从故事入手，提出有思考性的问题，再促进和启发学生思维的积极性，这样就能达到较好的效果[3]。另外，在每一章后面还应增加一些编程的练习，比如上机实现通过求真值表判断公式的类型，利用矩阵判断关系的对称性、根据输入的代数系统运算表，求出幺元和零元，指出是否满换律等等，不仅能使学生提高动手能力，还能使学生对相关的知识有更好的理解。
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三、教学方法与教学手段的改革
本课程教学致力于培养理论基础扎实、学习研究兴趣浓厚、具备计算机知识背景和研究能力的创新型人才。为此，在教学方法与教学手段上非常重视以多样化的教学方式提升学生的学习研究兴趣、鼓励学生开放式、自主学习，注重经典理论与计算机科学中具体应用的有机融合，真正使教师的引导、传授与学生的自主学习和研究紧密结合，使受教育者的知识学习与能力提高互动发展。
在课程设计上，结合课程特点突出离散数学的理论应用特色，将抽象的理论与相应层面上具体的、感性的问题结合起来，既可加深学生对理论的认识，又通过对具体问题的处理，培养学生应用理论分析解决具体问题的能力，有益于学生创造思维能力的训练和培养[2]。
在具体操作上，主要从以下几方面着手实施：
（一）基础理论与学科应用相结合
在离散数学课程的教学过程中，应该在讲解分析理论基础上结合学科应用，这无论从学科的本质特点，还是利于学生的学习掌握考虑，是均必须注意到的一点[1]。为此，我们结合当今计算机技术的最新发展动态，适当增加离散数学在计算机科学中的应用的内容，如谓词逻辑在人工智能知识表示中的应用，代数系统中的域在网络安全密钥加密中的应用等。并且在课堂上还引入了近年来在国内刚刚兴起的，备受大学生关注和欢迎的大学生程序设计大赛以及数学建模竞赛中的经典题目分析与实际案例，使得算法理论的证明和演算能和大学生程序设计大赛、数学建模竞赛相结合，使学生能较好地理解和掌握各种离散结构和离散数学模型，更好地解决实际问题。
（二）采用多媒体教学和网络辅助教学系统
我们自主开发的高水平多媒体课件和电子教案为课堂教学起到了很好的辅助作用。根据课程特点，采用行之有效的多媒体教学，通过文字、图像、动画、视频，激发学生的学习兴趣，不仅增加课堂信息量，还提高学生的形象思维及创新思维能力。当然，对于推理证明以及演算的部分，还是应该用板书的形式，只有将传统与现代手段有机的结合，才能更好地为教学服务。此外，已经建立的以教师为主导、学生为主体的自主学习的交互式网络教学环境，通过网络提供的大量资源，如教学大纲、电子教案、习题库、试卷库、实践指导、多媒体课件、教学录像、参考文献目录等，有效地拓展了理论课的教学空间，使离散数学教学内容更丰富，教学方式更灵活，教学手段更先进，更有利于调动学生学习兴趣及学生个性化发展。另外，网站设有师生论坛，可以促进学生通过网络环节交流学习心得，上传资料共享，并与老师进行网上讨论，提高了学生学习的主动性及学习的实效性。
（三）改革考试方式，增强学生学习的自觉性和主动性
为了更好地检验学生的学习效果，课程组通过长期对考试方式的探索和研究，采用理论知识考核、实践项目考核和创新能力考核相结合的方式，不断地引导学生改进学习方法。为避免学生考前临时突击，放松平时的学习的情形出现，我们采用闭卷考试、平时成绩和实验成绩相结合的方式进行考核，卷面成绩占总成绩70%，平时作业成绩占10%，实践和学生创新能力考核占20%。上述考核评价方式使学生成绩考核遍布整个教学过程，促使学生重视每一个教学环节，使学生的学习过程变成循序渐进的过程避免了学生突击应付考试的现象，同时提高了学生平时学习的自觉性和主动性。并且在学完每一部分后还增加了课堂小竞赛，采用分组抢答的形式，既能使学生对所学知识及时复习，又培养了团队合作精神，学生兴趣很高。
（四）增加实践环节
1997年之前，我们开设了离散数学实验课，设计了数理逻辑推演系统，辅助数理逻辑部分的学习。简单结合离散数学与其他计算机学科，通过学生的课程实践，能够培养学生对离散数学课程的兴趣和动手能力，经过一段时间的观察，我们发现这类传统实验并没有很好地锻炼学生的抽象思维能力，而主要是锻炼了学生的动手编程能力，为此我们对离散数学的实验内容不断建设、完善和更新，精心设计实践环节，将创新性综合实验、研究性大作业纳入该课程考核之中，这是离散数学教学中的创新性工作，是将枯燥的数学学习转化为兴趣学习的创造性工作。
近年来，我们注重培养学生的实际动手能力，在课堂上引入acm、itat和大学生数学建模等样例，比如最短路径算法：dijstra实现及应用习题，floyd实现及应用，最小生成树算法：prim实现及应用习题，kruscal实现及应用习题（朴素实现及堆优化）等。根据学生自己的兴趣、爱好，知识结构的等自由结合为3人为一个小组，根据具体问题，利用相关理论知识建立数学模型，构思可求解问题的算法流程，再将算法编写成相应的可执行的程序，再编写一定的测试用例中来精确地评价程序的可运行性。教师主要引导学生发现问题，注重综合知识的灵活运用和边界条件的发掘，以及实践项目过程中引导学生能够对自己建立的模型质疑、解答和优化问题。通过这些实践项目的开设，让学生了解了离散数学在实际生活中的具体应用和重要性，充分体会到离散数学这门课程的无限魅力和应用价值，帮助学生提高了学习兴趣和研究兴趣。
（五）开设离散数学系列专题讲座
根据离散数学课程内容及在今后学科中的应用，可以邀请专家开设离散数学后续课程的应用领域系列讲座——计算模型与形式语言自动机理论、知识发现与数据挖掘的发展动向、神经网络应用领域等。通过这些课程讲座，使学生充分领略离散数学在后续课程和科学研究中的重要作用。
离散数学范文6
关键词：离散数学；概念；实例；教学方法
离散数学(Discrete Mathematics)，又称为离散数学结构(Discrete Mathematical Structures)，是现代数学的重要分支，整个计算机学科的专业基础课[1-2]，同时也是信息类专业的重要专业课程。离散数学属于专业数学的范畴，研究离散量的结构和相互间的关系， 充分描述了计算机科学离散性的特点。计算机求解的基本模式是：实际问题 Þ 数学建模 Þ 算法设计 Þ 编程实现。离散数学识培养学生运用离散结构作为问题的抽象模型，进而构造算法，解决问题。
1课程特点与教学难点
离散数学的课程内容高度抽象，并且强调证明问题。它的大多数应用来自于计算机科学，学习该课程的学生超过半数来自计算机专业。课程的特点决定了离散数学是一门既讲究基础理论，又注重实际应用的学科。课程特点如下，同时也是教学的难点[3-7]。
1) 内容抽象，概念众多。
离散数学使用数学化的表达方式，理论性强，逻辑严密。对于学生而言，从习惯其表达方式到熟练运用要经历一个较长的过程。离散数学理论表达的基础是大量严密的概念，对概念的理解程度决定了对课程内容的理解程度。大量抽象的概念也是学生学习的主要困难。往往在授课过程中，学生反映对以前的概念不理解，对新学的知识难以接受。学生感觉离散数学越学越难，理论在不断加深。因此要重视对概念的教学。
2) 在后续课程中应用多。
离散数学是计算机学科的专业基础课，所以教学安排在大学低年级，大部分高校从二年级开始离散数学的教学。虽然离散数学在很多后续专业课中有广泛应用，但是在学习离散数学的时候，大部分专业课尚未开课，所以部分学生对离散数学的应用认识不足，学习兴趣不高。因此在离散数学的教学，要特别强调其实际应用性，对抽象的知识要通过实例来具体化，让学生真正看到离散数学在计算机科学中的具体应用。
针对离散数学的基础概念众多而且抽象的特点，为了解决学生因为概念掌握不深入和缺乏实际应用带来的学习困难，我们特别侧重概念教学和应用引入，提出了以实例增强概念理解的教学方法。
2实例化概念教学方法
离散数学的教学目的是提高学生对实际问题的数学本质的表达能力，增强解决实际问题的综合能力。为了克服教学中理论和实际应用结合的困难，既要注重对理论进行细致分析，又要注重引入实际应用。在教学中，如果教师能够对基础概念做重点讲解，使得学生具备建模的基本能力，并通过实例进行强化，那么就能有效地提高教学效果。为了达到上述目标，我们着重对概念的教学进行挖掘，提出了“用实例增强概念理解”的教学方法。该教学法的主要出发点是让学生了解理论如何应用，提高学习兴趣。通过具体实例让基本概念立体化和实用化，强化具体理论细节，通过前后概念的比较形成知识的网络化。
2.1介绍应用背景，提高学生兴趣
在我们对学生的问卷调查中发现，学生对离散数学学习兴趣不高的原因之一是对实际应用背景不够明确。没有相关实际背景的概念仅意味着数学符号，印象不够深刻。针对这个问题，我们认为孤立引入概念的教学形式，不能提高学生的兴趣，不利于理论知识和实际应用的结合。在引入新概念的时候，应该首先介绍其应用背景，让学生对将要学习的知识有直观的认识。
图论是结合实际应用最多的一部分内容，课本中对相关内容的实际应用背景介绍比较丰富。例如哥尼斯堡七桥问题引出了图论的起源，通过漫游问题引出欧拉图和汉密尔顿图，通过地图着色直接介绍着色问题等。因此学生能从课本上了解图论的一些实际应用。在图论的教学中，在介绍完相关概念后，多引入实际问题，引导学生利用图论的知识进行建模，锻炼抽取实际问题的数学实质的能力。
又如，函数是离散数学中集合论的内容。虽然高等数学中也学习过函数，但是离散数学中介绍的函数更加抽象，覆盖面更广。由于这个特点，大部分学生感觉其理论性强，对函数应用的理解不够深入。实际上，函数在计算机科学中非常重要而且应用十分广泛，在课堂教学中应该向学生介绍这部分内容。例如，假设计算机需要存储查询大量的数据，则要确定每个数据的位置。通常，我们建立从存储表到数据编码的散列函数，用到最多的就是模n函数。散列函数在密码学中也被经常使用，如产生数字指纹和其他一些电子资源来验证消息的真实性等。在教学中，通过一些实例建立学生对抽象内容的理解，提高学生的学习兴趣。
2.2讲解新概念，注重老概念
虽然各个概念在教科书中独立出现，但其内容彼此关联。如果在教学中单独讲解新概念，而没有建立新概念与已学知识的联系，那么对学生而言，这些知识点就是一些孤立的片断，无法深入理解其内容。所以在讲解新概念的时候，要加强与已学概念的比较，让学生建立理论体系的完整印象。
例如，“等价”这个概念在数理逻辑和集合论中都出现过，两者本质相同，而定义的方法不一样，教材中没有把这两者联系起来讲解，大部分学生将其视为完全不同的概念。在讲课的过程中，我们通过前后概念的比较和联系，可以对“等价”进行更深入的分析。
数理逻辑研究两个命题公式的等价。“给定两个命题公式 A 和 B，设P1，P2，…， Pn为所有出现于 A 和 B 中的命题变元，若对于P1，P2，…，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称 A和B等价，记作 AÛB。”集合论中考虑等价关系。“设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系。若∈R，称 x 等价于y，记做 x~y。”学习完等价关系，我们可以在更广义的集合关系范畴内讨论逻辑等价。设R为定义在所有命题公式集合上的关系，∈R当且仅当PÛQ，P，Q为逻辑公式，则很容易验证R是一个等价关系，P~Q。通过这样的比较教学，将数理逻辑和集合论中的两处概念联系在一起讨论，让学生加深了对等价的理论认识，同时也巩固了通过定义关系来讨论问题的方法。
2.3选择实例来阐述概念的理论细节和实际应用
一个新概念的引入，意味着可以用这个新概念来表达实际事物的数学实质，并通过这个新概念来延展对具体问题的建模手段。因此，我们在讲解离散数学中的概念时，不但要阐明其基本含义，更要引导学生使用离散数学的概念来表达实际问题，并从应用中掌握概念定义的具体细节。
以集合论中的二元关系为例。“A和B是任意两个集合，A×B的子集 R 称作A到B的二元关系。 A=B时称R为 A上的二元关系。”这个关系概念确定了A到B的关系R中元素的表达形式：序偶，其中 x∈A，y∈B。对于A上的二元关系，x，y∈A。这里集合A和序偶都是一般性的定义，根据具体问题会有不同的表达形式。在讲课的时候，可以举不同的例子，与学生展开论述具体的表达形式。例如，定义在复数集C上的关系R1，其序偶∈R1，x∈C，y∈C，序偶的具体表达形式可以写成, a, b, c, d∈R。定义在A×A上的关系R2，那么其序偶∈R2，x∈A×A，y∈A×A，序偶的具体表达形式可以写成，u, v, m, n∈A。介绍了上述两种具体关系后，那么考虑计算机中常见的字符串的处理，让学生写出定义在长度为n的字符串集合上的关系R的表达形式，以加深理解。通过对二元关系概念的展开讲解，学生能够较好地掌握如何表达具体的关系，为后续分析问题解决问题打下良好的基础。
2.4实例的选择要切合理论要点，体现实际应用
在讲课时，我们通过实例来加深学生对概念的理解，锻炼学生对问题的数学本质的表达能力。选择合适的实例是实现这一教学目的重要保证。实例要切合概念的理论要点，最好是有实际应用背景，能够通过概念来构造这个实例的数学模型。
在集合论中关系的闭包运算，尤其是传递闭包，在实际中有广泛应用。教科书在介绍这个概念的时候只给出了理论定义，没有给出实际应用的例子。为了加深学生的理解，我们在讲传递闭包之前，增加了通讯网络的应用例子。通讯网络是重要的实际应用模型，其中的一个问题即确定网中两个结点是否相连。
这里，结点相连的问题可以分为两类：第一类是结点直接相连，第二类是结点不直接相连但是经过中间结点相连接。我们可以把通讯网络的连接问题作为关系来处理。回顾已经学过的关系表示方式，无论是集合表示法，关系图，还是关系矩阵，都只能表述第一类结点间的信息，如果需要查找第二类结点，必须经过多步运算来得到结果，从应用的角度来看不够便捷。传递闭包的引入可以解决这个问题。通过这个例子，学生能够更深入理解选择不同关系表达方式的便捷程度，了解传递闭包的具体应用。在接下来介绍闭包运算和性质时，同学们带着问题学习，自然会提高兴趣。
3结语
离散数学的实际教学中往往难以把握如何结合理论与应用的问题。我们通过“用实例增强概念理解”的教学方法，学生通过学习概念背景进一步理解含义，提高数学建模的能力。在对实际问题的建模过程中，学生将自然地使用离散数学的相关概念和理论，对高年级的专业课程学习，起到了很好的促进作用。实际教学效果表明，实例化概念教学方法能有效帮助学生理解抽象概念，同时锻炼了学生把握问题的数学实质的能力，加强了解决实际问题的能力，
参考文献：
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Enhancing Comprehension of Concepts via Real Examples in Discrete Mathematics
MA Hui, SHENG Yanxiu, XU Jianliang, LIU Yinjian
(College of Information Science and Technology, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)
