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概率论范文1
【关键词】随机现象；概率；生活应用
作为数学的一门分支，概率论在现实生活中发挥着重要的作用.人们生活和工作的各个方面都体现着与概率论知识的联系，有些联系明显而紧密.于是，从古到今，无数人投入到了概率论知识的研究中，并为我们今天的生活和工作提供了很大的帮助.随着概率论研究的深入，概率论已成为一门重要的学科，只有通过深入学习，才能正确且有效地利用概率论知识.本文从概率论的背景出发，通过一些概率模型和事例的介绍，来说明概率论知识与现实生活的联系和概率论知识是如何在现实中发挥着日益重要的作用的.
一、概率论在生活中的应用
隨机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门学科.生活中买彩票显示了小概率事件发生的概率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中的越来越重要的作用.
在现实世界中，事物之间都是相互联系和不断发展的.人们观察到的现象一般可分为确定性现象和随机现象两大类，前者指在一定条件下必然发生的现象.如，苹果离开树时必定落到地下.后者是在一定条件下事先不能断言会出现哪种结果的现象.如，掷一枚质地均匀的硬币，一定出现正面吗？显然，不一定.又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽实验，各颗种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚之别等.为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是对一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的.这种现象叫作偶然现象，又叫作随机现象.概率，简单说就是一件事发生的可能性的大小.比如，太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率是0，因为它肯定不会发生.但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如，明天会不会下雨、买到假酒等等，这类事件的概率就介于0和100%之间.在日常生活中无论是股市涨跌，还是交通事故的发生，都可用概率进行分析.不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段，甚至是唯一手段.走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率.在令人心动的彩票摇奖中，概率同样可以应用.彩票是现代城乡居民经济生活中的一个热点.“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态.那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗？以为例，从49个号码中选择6个，看起来似乎并不是很难，其实却是“可望而不可即”的.经计算，投一注的理论中奖概率如下：
1C649=149！（49-6）！×6！=43！×6！49！
=6×5×4×3×2×149×48×47×46×45×44=113983816.
由此看出，中奖概率非常小，接近于0，在概率中这称为小概率事件.也就是说只有极少数人能中奖，所以购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路.生活中，有时我们会用抽签的方法来决定某件事情，那么中签与抽签先后是否有关呢？我们用一道概率题目来说明：设袋中装有a只黑球与b只白球，这些球除颜色外都相同，现从中将球一只只不放回地摸出，求第k次摸出的是黑球的概率（k≤1≤a+b）.考虑基本事件空间：按自然顺序给编号，不妨先给黑球编号，再给白球编号，取基本事件空间为第k次摸出的球的全部可能的结果，则Ω={ω1，ω2，…，ωa+b}，ωi表示第k次摸出第i号球，i=1，2，…，a+b，于是要求的是事件Ω={ω1，ω2，…，ωa}的概率.由古典概率，P（A）=aa+b.显然P（A）与k无关，也就是所求概率与摸球次序无关.类似地，这个结论也适用于抽签.虽然抽签有次序先后，但只要不让后抽签的人知道先抽签的结果，那么先抽签和后抽签的中签概率是相等的，抽签对各个抽签的人机会均等，与抽签的先后次序无关，是公平的.
总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力.
二、结束语
本文主要介绍了概率知识在生活中的某方面的简单应用，它的应用范围还很广，在社会科学领域，特别是经济学中研究最优政策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法.正如数学家拉普拉斯所说：“生活上最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”
【参考文献】
[1]吐尔洪江.关于古典概型问题的几点思考[J].塔里木大学学报，2006（2）：88-90.
[2]姜丽娟.概率教学中几个相关概念的探讨[J].鸡西大学学报，2001（4）：29-31.
[3]李贤平，等.概率论与数理统计[M].上海：复旦大学出版社，2003.
概率论范文2
关键词：概率论与数理统计；教学改革；多媒体教学；考核方式
一、引言
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，是数学专业和其他工科及管理类学生必修基础课程，是工学及经济学硕士研究生入学考试的必考内容之一，分值占到20%～25%。概率论与数理统计遍及科学技术领域、工农业生产，是数学学科中与现实世界联系最密切、应用最广泛的学科之一，是许多新发展的前沿学科的基础。
二、教学存在的问题
1.很多学生把概率论与数理统计这门课程作为纯粹的数学课来学，没有注意到这门学科的趣味性和广泛的应用性。课程本身基本概念、公式较多，难以理解，做起习题来较难下手，缺少利用数学知识分析解决问题的能力，这与我们培养复合型人才的定位是不相适应的。
2.教师为中心的课堂教学。传统的教学模式是以书本为核心、教师为中心的教学模式。但这种应试教育从长期看不利于培养学生创新思维，不能适应时代要求，使学生处于背、记、考的恶性循环之中，扼杀了学生的个性。传统的教学模式注重理论，偏离于实际应用，学生即使学完课程，通过考试之后也很快忘记学过的主要知识点，不能学以致用。
3.学时分配问题。很多工科院校概率论与数理统计课程的学时是48学时，这其中大部分是分配给概率论部分，应用性更强的统计部分的学时少之又少。笔者所在学校的生物专业、测绘专业对数据的处理要求高，学时不能满足学生的高要求。教师讲课过程中重理论轻实践，结果学生缺乏创新精神，不能适应时展的需要。
4.读书式的多媒体教学。多媒体课堂上，有的教师照“片”宣科，缺少师生之间的互动；有的教师的教学视频画面跳转过快，不顾学生听课状态，使学生思路跟不上。这样的教学尽管使用了多媒体，也只是把知识硬塞给学生。
三、教学改革
1.改变教学形式，调动学生的积极性。教学形式要求我们的课堂教学要有“度”，采取适当的方式改变现有的教学状况，如课前先布置知识点，让学生分小组进行讨论，加深学生对知识的理解与学习，提高学生的主动性和探索性，教学一体，增进师生之间的沟通，增加课堂的趣味性。教学过程中，教师可以通过案例调动学生的学习积极性，讲解概率的起源及历史上著名的赌博问题。教师讲解概率论的发展史可以增加数学家如德摩根、蒲丰、皮尔逊、柯尔莫哥洛夫等人物介绍，讲授古典概率模型的生日问题、分房问题、装箱问题、摸球问题、约会问题，让学生体会到概率在我们身边无处不在。教师在教学中要注重知识点的关联性，如一维随机变量与多维随机变量。教师要发现学生易混淆的概念：全概率公式与贝叶斯公式，分布函数与函数分布，互不相容、对立、独立性、不相关等。教师在教学中要详细讲解相关概念，剖析概念的本质区别。
2.开设实验教学。教师教学可以开设实验教学环节，计入学生的平时成绩。例如，学校图书馆单位时间内进入图书馆的人数，观察其是否服从Possion分布。调查信息与计算科学专业学生每月生活费用的分布情况，给定置信水平下的置信区间。通过生活小知识，学生产生对概率论与数理统计的学习兴趣，提高解决实际问题的能力。随着科技的不断进步，Excel、Lingo、Eview、SPSS软件为复杂的统计工作带来极大的方便。教师可以在教学过程中加入一些数学软件教学。例如，Matlab数学软件所带的统计工具箱几乎包括了所有参数估计、假设检验、回归分析等数理统计领域，命令调用十分简单，能培养学生的分析能力、推理能力、建模能力，有利于学生的个性发展，推进学生素质培养。教师可以鼓励学生参加数学建模竞赛，为学生毕业后的发展奠定良好的基础。
3.多媒体教学+传统教学的结合。多媒体技术是教学中的辅助工具，教师可在多媒体上展示教材中的定义、定理并做页码标注，节省时间，让学生多做习题，做到“精讲多练”，提高教学效率。例如，幻灯片使教学效果直观、形象，尤其对合班授课、坐在后面的同学视觉效果会更好。教师以多媒体图形表格的形式给出单个正态总体的待估参数的置信区间、假设检验的拒绝域，可以让学生一目了然，深刻理解概念及结论的本质。多媒体教学主张以教师为主导、学生为主体的教学模式，教师应遵循教学规律，针对学生的反应适时调整教学内容与方式，将传统的板书教学、教师的肢体语言和多媒体课件有机结合，有张有弛，以期达到最佳的教学效果。
4.考试方式的改革。随着复合型人才培养的需要，考试方法的改革势在必行，其主要目的是提高学生的学习积极性，培养学生的学习能力和应用能力。学校可以采用“期末闭卷+平时成绩”的综合考核方式，期末试卷和平时成绩各占一定比例。期末试卷可以减少学生死记硬背的知识，增加考查综合能力的知识点，加大平时成绩的考核力度。学校可以采用多种形式，如作业情况、平时表现、期中考试、实验教学，可以让学生以小论文的形式探讨对概率论与数理统计课程中感兴趣的方面。
四、结论
概率论与数理统计的教学目标是使学生学会书本知识，使学生学会如何应用所学知识解决今后学习和工作中的实际问题，提高学生的创新能力。高校教师应利用多种教学手段，提高课程的教学效果。
参考文献：
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011
[2]范大茵，陈永华.概率论与数理统计[M].杭州：浙江大学出版社，2003
概率论范文3
【关键词】概率论 互不相容 相互独立 线性无关
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）11-0035-03
【Abstract】Mutually exclusion， independence and linear independence are a few very important concepts in probability theory， but many students cannot understand these concepts very profound， and even confuse the relationship between them. Therefore， this paper first makes some explanation of these concepts， in order to help students to understand their essential meanings. On this basis， the relationships between these concepts are explored， so that the students can distinguish the links and difference between these concepts. Finally， examples are given to enable students to produce a more vivid understanding.
【Key words】Probability theory Mutually exclusion Independence Linear independence
一、引 言
互不相容、相互独立和线性无关是概率论中三个非常重要的概念，[1]只有真正掌握好这些概念才能学好概率论。根据多年的教学经验，我们注意到很多学生对这些概念理解的不是很深刻，甚至混淆它们之间的关系。因此，我们首先对这些概念做出解析，从而帮助学生理解其本质含义。在此基础上，进一步探讨它们之间的关系，使学生分清这些概念之间的联系和区别。最后，给出具体的计算实例，以便让学生对这些概念产生更形象的认识。
二、几个重要概念
1.事件的互不相容
定义1：[2]设A、B是两个事件，如果AB=?，则称A、B为互不相容事件（或互斥事件）。
【概念解析】事件A、B互不相容的本质含义在于，A、B不能同时发生，即：如果A发生了，则B一定不会发生；反之亦然。
2.事件的相互独立性
定义2：[2]设A、B是两个事件，如果有以下等式成立：
P（AB）=P（A）P（B）
则称事件A、B相互独立。
为了更好地理解上述概念，首先给出事件相互独立的几个充要条件。
定理1：[2]设A、B是两个事件。
（1）若P（A）>0，则A、B相互独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B）；
（2）若A、B相互独立，则 与B、A与 、 与 都相互独立。
由定理1可以得到以下推论：
推论2：设A、B是两个事件，且1>P（A）>0，则A、B相互独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B| ）。
证明：“ ”若A、B相互独立，则由定理1（2）知 与B也相互独立，且1>P（ ）=1-P（A）>0。再由定理1（1）知P（B|A）=P（B），且P（B| ）=P（B），故：P（B|A）=P（B| ）。
“ ”若P（B|A）=P（B| ），由 及P（B| ）
= ，可得：P（AB）=P（A）P（B）。
因此，事件A、B相互独立。
证毕。
【概念解析】由推论2，事件A、B相互独立的充要条件是P（B|A）=P（B| ）。其本质含义在于，不论事件A会不会发生，事件B发生的概率都不会受到任何影响；反之，由对称性，不论事件B会不会发生，事件A发生的概率也不会受到任何影响。也就是说，事件A是否发生和事件B是否发生，两者是相互独立的，不会互相影响。
3.随机变量的相互独立
定义3：[2]设X、Y是两个随机变量，若对任意的实数x，y均有：P﹛X≤x，Y≤y﹜=P﹛X≤x﹜P﹛Y≤y﹜。
即：F（x，y）=FX（x）FY（y）。
则称随机变量X、Y相互独立。
【概念解析】随机变量X、Y相互独立，本质上是指X的取值和Y的取值是相互独立的，不会互相影响。若令A={X≤x}，B={Y≤y}，则X、Y相互独立当且仅当P（AB）=P（A）P（B），即事件A、B相互独立。
4.随机变量的相关性
定义4：设（X，Y）为二维随机变量，若E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}存在，则称它为X与Y的协方差，记为Cov（X，Y），即Cov（X，Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}。
称 =
为随机变量X与Y的相关系数。
定理3：[1]设随机变量X和Y的相关系数存在，则：①| |≤1；②| |=1的充要条件是X与Y以概率1成线性关系，即P{Y=aX+b=1}，其中a，b（a≠0）为常数。
【概念解析】相关系数 是X与Y之间线性关系的一种度量。| |越接近于1，X与Y的线性关系越显著；| |越接近于0，X与Y的线性关系越不显著。
定义5：若相关系数 =0，则称X与Y不相关。
【概念解析】若X与Y不相关，则X与Y之间完全不存在线性关系。
三、几个概念之间的关系
1.事件间互不相容和相互独立的关系
很多同学都想当然地认为，互不相容一定相互独立；相互独立一定互不相容。实际上，这种理解与事实相悖。下面给出互不相容和相互独立的正确关系：
关系1：设A、B是两个事件，且P（A）>0，P（B）>0。若A、B互不相容，则A与B一定不会相互独立；反之，若A与B相互独立，则A、B一定不会互不相容。
为了更好地理解上述关系，下面给出进一步分析。
【概念解析】如果事件A、B互不相容，那么A、B之间就存在一种关系，即A发生，B就不会发生；反之亦然。也就是说，如果A发生了，可以推出B一定不会发生；如果B发生了，可以推出A一定不会发生。由此可见，A、B之间不是独立的，而是有联系的，只不过这种联系是一种对立性的关系，是不能互相包容的关系。而相互独立是指事件A的发生和事件B的发生没有任何关系。也就是说，事件A发生了，事件B也有可能发生；反之亦然。因此，A、B之间不可能互不相容。
这就如两个人，如果他们没有任何关系就称他们是相互独立的，如果是敌对关系就说他们互不相容。当他们相互独立时，因为没有任何关系，也就不会有敌对关系，所以不会互不相容；反之，如果他们互不相容，那他们就是敌对关系，也就不可能相互独立。
2.随机变量相互独立和线性无关的关系
随机变量之间的相互独立和线性无关之间存在下述关系：
关系2：设X、Y是两个随机变量，若X、Y相互独立，则X、Y一定线性无关；反之，若X、Y线性无关，则X、Y不一定相互独立。
【概念解析】如果X、Y线性相关，那么X、Y之间就存在一种关系，即Y=aX+b，其中a，b（a≠0）为常数。也就是说X、Y的取值不是独立的，因此X、Y不可能相互独立；反之，如果X、Y相互独立，则一定不会存在这种线性关系，也就是一定线性无关。如果X、Y线性无关，那么X、Y之间一定不存在线性关系，但并不能保证没有其他关系，也就是说，X、Y不一定相互独立。
四、例题解析
例1，抛一枚骰子，定义事件A为“抛出的点数为奇数”，B为“抛出的点数为偶数”，C为“抛出的点数能被3整除”，D为“抛出的点数为6”。判断下列事件是否为互不相容事件？是否为相互独立事件？
（1）A与B；（2）A与C；（3）A与D；（4）B与C；（5）B与D；（6）C与D。
解：A={1，3，5}；B={2，4，6}；C={3，6}；D={6}。
P（A）= ；P（B）= ；P（C）= ；P（D）= 。
P（AB）=0；P（AC）= ；P（AD）=0；P（BC）= ；
P（BD）= ；P（CD）= 。
故可得结论，见表1。
例2，已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：
f（x，y）=
问：（1）X、Y是否相互独立？（2）X、Y是否不相关？
解：（1）先求关于X和Y的边缘概率密度：
因为f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X和Y不相互独立。
（2）求X和Y的相关系数：
故Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0。由此可得 =0。因此，X和Y不相关。
注：由本例可以看出，互不相容和相互独立是两个完全不同的概念，而且对任意事件对，两者至多有一个成立。
例3，已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：
f（x，y）=
问：（1）X、Y是否相互独立？（2）求 。
解：（1）先求关于X和Y的边缘概率密度：
因为f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X和Y不相互独立。
（2）
故Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）= 。
又 ；
故D（X）=E（X2）-[E（X）]2= 。
同理，D（Y）= 。故 = E=- 。
注：由上面两个例子可以看出，两个随机变量不相互独立，则它们的相关系数可能为0，也可能不为0。
五、结 论
本文对概率论中互不相容、相互独立、线性无关等几个重要概念进行了细致的讲解，并进一步剖析了这些概念之间的联系和区别，从而帮助学生加深理解，对这些概念产生更形象的认识。
参考文献
概率论范文4
关键词：高等数学;概率论;教学方法
概率论作为数学的分支，主要研究一些随机现象的数量规律。多数高等数学题目难度较大，步骤繁琐且较困难，但是如果巧妙把概率论的知识代入其中，能够化难为易，使复杂的过程变得简单，进而激发学生对高等数学的学习兴趣。
一、概率论
在17世纪的时候，人们就已经开始对概率论进行研究了。然而一直到18世纪，它才得到了快速发展。概率论发展的奠基人是瑞士著名数学家雅克比・伯努利，他在自己的论著中提出了伯努利定理――严格按照规定进行多次实验，某些事件发生的频率会朝着逐步稳定的趋势发展。伯努利这一定理的提出对概率论的发展具有直接的推动作用。从此，概率论逐步被应用到不同领域中。
19世纪初，法国数学家普拉斯通过概率论分析理论著作，完成了对整个概率论学科体系的构建。他在自己的著作中明确阐述了概率论的定义：假设一个整体共由N个事件组成，假如每一事件发生的相同程度是肯定的，情况E由n个事件组成，那么情况E发生的概率就是n/N。
概率论的知识从17世纪开始被研究到发展至今，已逐渐完善并逐步成熟。它在许多领域内被广泛应用，如物理学、生物学、军事技术、农业技术、医学等。人们对概论的研究水平也不断提高，为社会的进步打下了基础。
二、概率论在高数中的运用
高等数学是一个难度较大的学科。如果只是一味地运用传统思路答题做有些高难度的高等数学题目，就会造成答题过程繁琐，最后得出正确答案的几率也很小。这时如果能够把概率论的知识运用到具体的解题中，就往往可以快速、准确地算出结果。下面就通过一些不同的数学题目探讨分析概率论在高等数学中的应用，为学生答题提供答题思路。
1.利用概率分布简化解题步骤
概率论的基础知识是概率分布，在解题时利用概率分布的知识可以简化解题过程，提高解题的效率。在具体答题时可以把0～1之间的数字作为事件发生的概率，利用概率分布得到最后的答案。同时，这种答题方法可以使题目变得简单，提高了结果的正确率，也节省了学生的时间，使学生更能够理解高等数学和概率论之间的联系。
概率论的知识也可以用来求极限问题。例如，求极限。在答这道题时，先假设ξ符合λ=6的泊松分布，那么P（ξ=a）=e-6=1，最后根可以据级数收敛必要性的有关知识得出。这种答题方法同样适用于一些难度较大的题目，同样可以使用概率论的知识简化答题步骤。
2.概率论在计算广义积分和级数中的运用
在概率论知识中，数学期望和方差是随机变量所特有的特征。在解高等数学题时，利用方差与数学期望的随机变量的关系，可以计算高数中求广义积分和求级数等类型的题目。
在高等数学中，求解级数类型的题目可能会遇到很多问题，因此在解决这类题目时，应该更加注重方差和数学期望的引入。只有这样，才能使题目化繁为简，得出正确结果。
所以很容易就得出该题的最终结果是45。
概率论范文5
1 数学与生活的辩证关系
1.1 在概率论课堂教学中让数学问题生活化
生活中处处有概率，概率离不开现实生活，二者如影相随。在现实生活中，各种图表、数据充斥着我们的生活，需要我们去分析判断然后做出合理的决策。某些经济效益的问题，也需要我们去计算预测，比如：买彩票，抽奖等活动；某些事件最优化问题，比如：比赛得分计算等情况。著名的拉普拉斯说过“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题。”[1]因此这就要求我们将枯燥的理论知识变化成与学生在实际生活中常见的问题。可以简单理解为将一道推理复杂的概率计算题先降低难度，让学生通过生产生活经验初步感悟概率的算理，其次，将难度还原，让学生用刚才的算理推导出最终的结果。总而言之，概率论课堂教学中要注意把数学问题转化成与学生实际生活联系密切的生活化事物。
1.2 在概率论课堂教学中让生活问题数学化
生活问题的数学化是指由生活中具体事物中抽取出量的方面、属性和关系，并形成相对独立的数学对象。[2]在高等教育中的学生已经具备了对简单的概率问题求解的能力，可是大部分是知其然而不知其所以然。
因此，在概率论教学过程中，要注意让学生在实际生活的事物中抽离出我们要的数学信息，培养学生的发现问题，分析问题并解决问题的能力，更进一步让学生感受到数学来源于生活，数学应用与生活的关系。
2.概率论教学“生活化”的意义及作用
实施概率论课程教学“生活化”有助于教师改变课堂教学单一的模式，焕发课堂教学的活力；有助于调动学生学习的积极性并培养和激发学生的学习兴趣；有助于转变教师的教育理念，创新课堂教学形式，培养教师的教育科研能力。
3.概率论教学生活化的关键
3.1 通过实验性学习活动解决实际生活问题
针对如何将数学问题生活化，本文建议采用实验性学习法。实验性学习是指学生在教师的引导下，通过实验性活动让学生获得知识经验、感受理论知识与实践验证的联系，进而优化学习方法。因此，在概率论教学过程中，教师要注意引导学生参与到实验求知的具体活动中去，让学生从动手操作中构建数学模型，通过实验来把握事物的发展规律。从而获得感知，感悟理论知识应用于实践，而实践是检验理论的唯一途径。这样才能让学生学以致用，学有所成。例如在讲授利用几何概率求解圆周率的近似值。
例2：π的近似值怎样用概率方法求解？
分析：π在圆的相关知识中引入，在讲解这个看似无厘头的问题时，我们可以联想到用几何概率的求解方法。而几何概率又可以转换成两个物体的面积或体积比。由此，教师可以设计一个实验，裁剪一个边长为1米的正方形硬纸板，在纸板上画一个直径为一米的圆，如图所示：
然后，将本班级学生分成十组，每组给足够的瓜子仁，每小组任意将瓜子仁仍在硬纸板上，小组内人员分工，一个人扔，一个人记录瓜子仁落在圆内的次数和总次数。实验结束后，用瓜子仁落在圆内的次数除以扔的总次数就可以求得圆的面积。而由图可知，圆的面积为
π= 。从而就可以算得π的近似值。
有人做出的实验结果是总次数3000次，瓜子仁落在圆内的次数为2358次。其实，瓜子仁落在圆内的可能性（概率）是符合几何概率型的。所以P（落在圆内）=圆的面积除以正方形的面积。因此，圆的面积=瓜子仁落在圆内的概率=瓜子仁落在圆内的次数和总次数的比值=0.786。所以π=4×0.786=3.144。
3.2 从生活情境中提炼概率问题
针对生活问题数学化，本文提出通过在生活情境中寻找概率问题，把问题情境与学生已有的知识经验相结合，这不仅激发学生的学习兴趣，让学生对知识的求知欲增强，让学生能够自主探索学习，而且还能培养学生在生活中发现问题、解决问题的能力，发现具体事物与抽象事物之间的联系，体验数学生活的价值与意义，感悟生活与数学的辩证关系。总之，教师在概率教学中要做到生活化，就要充分利用现实生活中具有代表性的材料信息处理教材，整理教材，创设生活情境，提炼概率问题。如：
男女二人相约3点至4点去购物，约定在公交车站台碰头，二人约定先到者20分钟即可离去，求两人能遇见的概率是多少？【7】（p6-7）
分析：这其实是几何概率中的约会问题，如上图所示，假设以X轴、Y轴分别表示男生和女生到达公交车站台时间，那么在3点到4点的任意时刻两人出现的可能性均是相等的，所以正方形OMNQ就是两人相遇的所有可能的结果，是实验情况的总和。而题目说二人约定先到者20分钟即可离去，那么两人相遇的结果只能出现在上图中的阴影部分中。
通过用生活中两人约会的问题激发学生的学习兴趣，用生活中可能遇见的实际问题作为题材引发学生的思考，激发学生的探索欲和求知欲，从而提高他们的学习兴趣。再通过学生主动学习活动、教师引导讲解的过程，让学生充分感受到几何概率与古典概率的异同，切身体会到几何概率在求解某些较复杂的问题时的优越性。让学生理解几何概率的定理和算法之后，再次用一个生活中的问题巩固对概念的掌握。
参考文献：
[1] 何国权・数学教学“生活化” ・课程教育研究（新教师教学）・2013.21
[2] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.1.
概率论范文6
关键词： 数学高考 概率论题型 案例分析
概率论题在高考试题中是抽象性最强、难度很大的题型，下面我从2010年我国各省的高考试题中选出部分概率论题进行分析，以飨读者。
1.第一类是选择填空题中的考题，分值只是5分、4分，难度深浅不一。
案例1：甲从正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（?摇?摇）。（安徽卷第10题）
（A） （B） （C） （D）
解析：概率论题很多是与排列组合紧密相联系的，主要是研究“事件”。此题的大前提事件就是“四个顶点选两个连接成直线”，方法共有C=6种，甲乙各六种选法。所求概率事件是“甲乙各取一条相互垂直”，形成的组数有：一组邻边垂直，共8种选法；一组对角线垂直有2种选法，共10种。所以答案为：==，选C。
注：涉及立体几何中直线的位置关系，要清楚正方形或其它几何体的各对角线的位置关系，而且需全面。此题知识性和综合性强。
案例2：一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣质。国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P和P，则：（?摇?摇）。（江西卷第11题）
（A）P=P（B）P
（C）P>P（D）以上三种情况都有可能
解析：本题的具体事件为“10箱中各取一枚，发现至少一枚劣币”、“5箱中各取两枚，发现至少一枚劣币”。由于方法一和方法二都各取出了10枚币，“至少一枚劣币”意味着“1、2、3、4或5枚劣币”；所以它们的解法最好用对立事件的方法，即“所取出的10枚币中无劣币”；所以1-p=（），1-p=（）；而>，>.则有：1-p>1-p，有：p
注：采用找对立事件的方法求解，让学生明白“事件”的转化，会起到相称相托的影响，以方便解决问题。这类题在高考解答题中常考到，有利于学生的创新能力培养。
案例3：将5位自愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有?摇?摇?摇?摇种。（江西卷第14题）
解析：方法一：先把5位自愿者分成3组，共有=15种方法；然后把这三组分到三个不同场馆，共有A=6种；答案为：15×6=90。
方法二：先是这5人中选1人出来，有C=5种；再是剩下的4人选两人有C=6种；只要这1人的定了就算分到了世博会场馆，就有3种顺序，答案为：5×6×3=90。
案例4：某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天。若7位员工中的甲乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日。则不同的安排方案共有（?摇?摇）种。（重庆卷第9题）
（A）504种 （B）960种 （C）1008种 （D）1108种
解：这道题有多种解法，第一法：①首先把甲乙的第一个安排在25号，然后这两个可互相交换，共有C×A=8种。②在甲乙分别安排在1、2号或6、7号时，共有4种，就有丙不可能在1号或丁不可能在7号了，此时先把丁或丙安排了，所受限制的即满足，共有C种；最后把剩下的4人安排，共有A=24种。③在甲乙第一个安排在25号时，可先把丙安排在除1号、7号及中间甲乙占的两天之外的三天之一有A种，再把丁安排在除7号及丙占位和甲乙占的两天之外的三天之一有A种，最后把剩下的3人安排有A=6种。④或者把丙安排在7号，此时丁就满足条件了，余下的4人安排有A=24种。所以答案为：C×A［AAA＋1×A］+4CA=4×2×［3×3×6+24］+4×4×24=1008种，选C。
第二种方法是求差法：首先甲乙第一个安排在16号，再交换，共有C×A=12种；剩下的人全排列，共有A=120种；下面得减去丙排在10月1日或丁排在10月7日的情况，①丙排在10月1日而丁不在10月7日的共有A×2×A+A×C×2×A×A=48+144=192种；②丙不在10月1日而丁在10月7日的共有192种；③丙排在10月1日丁在10月7日的共有A×2×A=48种。答案为:C×A×A-2×（A×2×A+A×C×2×A×A）-A×2×A=1440-384-48=1008种，选C。
注：排列组合类题是抽象性极大的题型。其解题方法一般有多种，如“分房问题，分堆与分给不同人的问题，插棒分组问题”等，在分类与分步中需精确找到各“小事件”的关系，进而确定计算中是用加法还是用乘除法。
2.第二类为解答题，分值一般为12分，有一定的难度，主要原因是学生不明白所求问题的“事件”是什么，或者知道“事件”而无从入手。
案例5：有编号为A，A，…，A的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：
其中直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品。（天津卷第18题）
（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（2）从一等品零件中，随机抽取2个，求这2个零件直径相等的概率。
解：（1）因为直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品，所以一等品的数量为6个，所取这一个零件为一等品的概率为：P===。
（2）由表中数据得一等品直径有：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.51共6个，因为“从6个中随机抽取2个”共有：C=15种，“两个零件直径相等”取法有：C+C=6种。
所以所求概率为：P===.
注：此题与统计学相联系，容易入手，在求解概率时难度较小。明白“零件为一等品”就是“直径在区间［1.48，1.52］内的零件”；更主要是培养学生的动手操作能力，建立起理论与实践相结合的真理观念；实际上人们在实践中还会发现更多的规律。
案例6：如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电流能通过T，T，T的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9。电流能否通过各元件相互独立。已知T，T，T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。（全国卷第20题）
（1）求p；
（2）求电流能在M与N之间通过的概率。
解：（1）因为各元件相互独立，A=“T，T，T中至少有一个能通过电流”，所以=“T，T，T中都没能通过电流”，P（A）=0.999。
而T，T，T中每个没能通过电流的概率为：1-p。
所以P（A）=1-P（），即：0.999=1-（1-p），所以p=0.9。
（2）第一法：因为B=“电流能在M与N之间通过”=“电流通过T或电流通过TT或电流通过TT”，所以P（B）=0.9+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）×0.9=0.9891。
第二法：因为B=“电流能在M与N之间通过”，所以=“M与N之间没有电流通过”，他包含下列两类六种情况都没有导通：“T，TT，T，T或”，“”（其中T表示第i个灯导通，表示未导通），所以P（）=［P（T）+P（TT）+P（T）+P（T）+P（）］×P（）=［（1-0.9）×0.9+0.9×（1-0.9）+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）］×（1-0.9）=0.0109。
所以P（B）=1-P（）=1-0.0109=0.9891。
注：这是与物理中电学相关的概率类题，概率能解决人类的活动、自然知识和社会知识相关联的事件发生程度；让读者明白事件的可行性量度。此题第二问采用宏观或微观上分析“电流能在M与N之间通过”事件，通过分类分步、事件的互斥与独立性理论解析之。让读者一目了然、心悦诚服。
