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高等代数范文1
中图分类号 G642 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2015）03-0091-04
高等代数是数学专业一门重要的基础课程，为学生学习抽象代数提供了必要的基础[1-4].抽象代数是数学专业的必修课程，是对高等代数中出现的数域、多项式等概念进一步抽象概括，是高等代数的继续和高度抽象化[5-8].因此，高等代数为抽象代数提供了很多具体的模型.
高等代数和抽象代数联系紧密，但鲜有学生能领悟到它们之间的关系.学生普遍认为，高等代数比较容易接受和理解，抽象代数难以理解[9-13].作为一名教师，要利用学生熟知的高等代数知识引入定义或设为例子，使学生接受“抽象代数知识来源于熟悉的模型”这一观念.本文将从以下知识点入手，探讨如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.
1 “变换”概念的巩固
一个集合A到A的映射称为A上的一个变换.教材[8]首先给出变换的定义，随之给出3个简单例子，学生基本上能掌握这个概念.但是教材[8]中没有适合学生做的课后习题，为了巩固学生所学的知识，可布置这样一道课后习题：高等代数书[4]中也有“变换”和“线性变换”这两个概念，请同学们分析[4]中的变换和这里的变换有什么关系.到下次上课前，先帮助学生温习变换的概念，再检查其课后作业，最后总结：高等代数中所提到的变换是某个线性空间到自身的映射，线性变换是线性空间上的变换并保线性性，而抽象代数中的变换是指任何集合到自身的映射.
2 “等价关系”概念的引入
等价关系是集合A上的一个关系，并满足自反性，对称性和传递性.在教材[8]中，作者先给出关系的概念和一个关系（不是等价关系）的例子，再直接给出等价关系的概念.如果引入不当，学生比较难以接受等价关系这一概念.事实上，等价关系的例子在高等代数书中很多，可信手拈来.因此，可以提前布置学生去复习高等代数中的矩阵“合同”和“相似”等概念，看这些概念具有什么共性.在讲述“等价关系”之前，先给出实数集R上的n×n阶矩阵集合Mn（R），并分别给出该集合上的“合同”和“相似”等关系，引导学生发现它们不仅是Mn（R）上的关系，并且都具有自反性、对称性和传递性，然后自然地引出“等价关系”的概念.学生恍然大悟：原来等价关系并不陌生，在高等代数中已经接触过.如果要进一步巩固该内容，还可以引导学生分析Mn（R）上的矩阵秩相同关系，整数集Z上的模4同余关系等，让学生自己发现来自于高等代数的某些例子也是等价关系.
3 群、环和域概念的处理
在教材[8]中，作者给出群的第一定义和第二定义，并证明了这两个定义的等价性.课堂上先给出第一定义，并引导学生理解Ζ关于普通加法，非零整数集合关于普通乘法按照第一定义都是群，接着由第一定义推导出第二定义，由第二定义又推导出第三定义：一个非空集合G，对于其上的一个运算满足封闭性，满足结合律，存在一个单位元，每个元素都有逆元，则G关于该运算是群，由第三定义推导出第一定义，这样即证明了三个定义的等价性，并将重点放在第三定义.有了第三定义后，提问：Mn（R）关于矩阵加法是群吗？Mn（R）中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法是群吗？同时，让学生翻阅教材[4]中关于矩阵加法和矩阵乘法的定义及性质，学生会发现：Mn（R）关于矩阵加法满足封闭性与结合律，零矩阵是单位元，每个矩阵的逆元是其负矩阵，因此Mn（R）关于矩阵加法是群；Mn（R）中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法也构成群.进一步，引导学生发现：矩阵加法满换律，因此Mn（R）关于矩阵加法是交换群；而矩阵乘法不满换律，因此Mn（R）中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法不是交换群.接着，再告诉学生：高等代数中还有很多群的例子，请同学们把这些例子全部找出来.学生通过总结，找出了一元实系数多项式集合R[x]关于多项式加法是群、实数集R上的n维行（列）向量的全体关于向量加法构成群等.
可类似地处理环和域概念的讲解与巩固，这样不仅促使学生去复习高等代数知识，让学生深刻领悟到：群、环和域等概念是对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵和线性空间等概念的进一步抽象概括，也让学生逐渐意识到抽象代数并不是那么抽象，抽象代数的模型是现实中有例可循的，更增强了学生的学习兴趣和学习积极性.
4 零因子
零因子对学生来说是个全新的概念，教材[8]中先给出了整数模n的剩余类环Zn的例子：当n是合数时，存在两个不是零元的元素相乘却是零元，接着给出了零因子的概念：在一个环里，a≠0， b≠0，但ab=0，则称a是这个环的一个左零因子，b是一个右零因子，若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称其为零因子，最后还举了一个比较抽象的例子和一个比较泛的矩阵环的例子.虽然Zn在抽象代数中经常出现，但是毕竟该环是通过模n取余运算构成的环，该运算跟学生以前学过的运算有很大的区别，对学生来说仍具有一定的抽象性，而书上列举的矩阵环的例子只说该环有零因子，并没有列举具体的零因子.如果完全按教材的编排按部就班地讲解，学生很容易忘记.这时，不妨引导学生回想：Mn（R）中两个非零的矩阵相乘会是零矩阵吗？大部分学生知道这是可能发生的，但是还有少数学生可能忘记相应的高等代数知识了，这时给出如下例子.
通过该例告诉学生A是环S的左零因子而B是环S的右零因子，这样学生基本上知道零因子这个概念了.接着，再提问：“一个环上的左（右）零因子是零元吗？一个环内的左零因子一定是右零因子吗？一个环内的右零因子一定是左零因子吗？”可继续利用例1，让学生在环S里面找个矩阵C使得BC=02×2，学生通过简单的计算发现C必须为零矩阵，所以B是环S的右零因子但不是环S的左零因子，也就是说一个环内的右零因子并不一定是左零因子，反之，一个环内的左零因子并不一定是右零因子，再进一步强调一个环上的左（右）零因子一定不是零元.
通过例1的讲解，学生对零因子已经不陌生了，这时采用启发式教学，引导学生去解答：一个环里面哪些元可能是零因子，哪些元一定不是零因子.先给出如下例子.
例2 环Mn（R）中的可逆矩阵是零因子吗？
学生通过计算发现，可逆矩阵不是环Mn（R）的零因子，好奇的学生自然会问：为什么会出现这种情况呢？不妨适时地提醒学生：可逆矩阵是环Mn（R）中具有逆元的元素，是不是只要有逆，这个元素就一定不可能是左（或右）零因子呢？一些学生可能还持怀疑态度，给出下面的结论：
结论1 设a在环R中有逆元a-1，则a一定不是环R的左（或右）零因子.
下面证明这个结论：设b∈R使得ab=0，则a-1ab=a-10=0b=0，则a不是环R的左零因子，同理a不是环R的右零因子.
通过前面的教学，学生对零因子这个概念已经有了深刻的理解，但还有可挖掘的内容，学生暂时想不到，但是只要一个提问，学生就能自己找到新的结论，所以进一步提问：下列陈述对吗？
环内有左零因子环内有右零因子；
环内有右零因子环内一定有左零因子.
利用例2，还可以启发学生发现零因子与消去律的关系，让学生真正掌握零因子这一概念的内涵与外延.
5 环上的运算规律
在环上有两种运算：一种称为加法；另一种称做乘法.当然这些加法和乘法并不一定是普通的加法和乘法，关于加法构成交换群，关于乘法满足结合律和封闭性，这两种运算通过分配律联系起来.对应地，有一些环内的运算规律，这些运算规则繁多，学生一下子难以理解和消化，不妨采用列表的方式将环内的运算规律和Mn（R）上的矩阵运算规律加以比较，见表1.通过表1的比较，学生发现：环内的运算规律和Mn（R）上的矩阵运算规律类似，因为学生已经熟悉Mn（R）上的运算规律，学生可以利用表1的比较来加深对环内的运算法则的理解.
总之，高等代数为抽象代数提供了很多例子，作为一名教师，利用好这两门课程之间的关系，架构从高等代数到抽象代数的桥梁，能够帮助学生跨越从高等代数到抽象代数的鸿沟.
参考文献：
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[7] 吴品三.近世代数 [M]. 北京： 人民教育出版社，1982.
[8] 张禾瑞. 近世代数基础（修订本）[M]. 北京：高等教育出版社，2013.
[9] 李志慧. 高等代数研究问题的基本方法的教学实施[J]. 数学教育学报， 2013，22（2）：95-98.
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高等代数范文2
关键词： 创新教学 高等代数 知识结构 教学内容
高等代数是数学各专业的重要基础课程，课程内容可分为多项式理论和线性代数理论两部分，以线性代数理论为重点。在传统的高等代数教学中，主要以知识点的独立讲授为主，常常忽视知识点的应用以及知识点的关联；高等代数课程内容从知识模块角度可分为多项式理论、矩阵及线性方程组理论和线性空间理论，传统的教学中，经常忽视知识模块的完整性；传统的高等代数教学对于学生的主体地位体现不够，不能很好地调动学生的思维积极性。针对传统高等代数教学的不足，笔者结合两年的教学实践，以下从三个方面探讨高等代数课程的创新教学。
1 对知识结构的合理调整
我校高等代数课程使用的教材为北京大学数学力学系的《高等代数》第三版，讲授时间为一年。以往的教学中，从第一章多项式知识开始讲授，两个问题：其一，大一的学生学习高等代数的同时还学习解析几何，而解析几何课程一开始就要用到行列式相关理论，这就使得教师不得不在解析几何课程中讲授行列式的基本理论，浪费了课程资源；其二，第一学期只能讲授前三章，这样作为矩阵理论知识模块的二、三、四章就不能系统讲授。所以现阶段的教学把第一章多项式放到第二学期讲授，这样第一学期就集中教授矩阵和线性多项式理论模块二、三、四章，既满足了学生学习解析几何对行列式知识的需求，也保证了知识模块的完整性，同时方便了知识点的集中系统讲授。
针对高等代数课程课时比较紧张的现状，同时结合学生对知识的接受规律，对一些章节的讲授做了适当调整。首先，对于相对比较抽象而冗长的证明，主要布置给学生作为课后作业进行阅读和理解，让学生主要以了解证明思路为主，例如代数基本定理的证明，矩阵的行秩与列秩相等等问题和定理的证明。其次，教材中所有带*号的内容都不在课堂上讲授，把那些相对重要的内容作为学生的课后读物，例如最小多项式以及λ―矩阵相关内容。同时，把第四章等的内容进行调整，把初等矩阵的知识放在分块矩阵的前面，主要是希望学生能通过初等矩阵的学习，了解矩阵的行或列的整体性，从而帮助学生理解分块矩阵。
2 充分挖掘和利用知识点的关联
高等代数知识以线性代数理论为重点，而在线性代数中，矩阵理论是核心，所以以矩阵理论为主线，高等代数各知识点之间有着密切的关联。如何利用这些知识点的关联帮助学生理解高等代数的知识结构是高等代数教学的关键，在实际教学中，可以抓住以下几个关系：
2.1 向量理论与矩阵理论的关联
向量可以看作只有一行或者只有一列的矩阵，同时矩阵的行或者列都分别可以看作行向量或者列向量，于是矩阵就可以看作一个行向量组或者列向量组；反过来，一个向量组又可以“拼凑”成一个矩阵。抓住这样的关系，向量与矩阵的知识就可以相互关联，例如：
例1：求向量组α =(1，0，0，a)，α =（0，1，0，b），α =（0，0，1，c）的秩，其中a，b，c为任意常数。
2.2 矩阵理论与线性方程组理论的关联
矩阵理论与线性方程组理论的关联是很明显的，比如与线性方程组密切相关的系数矩阵和增广矩阵，可以通过系数矩阵和增广矩阵的秩的关系判断线性方程组的解的情况，但利用方程组的理论解决矩阵问题却经常被忽视，比如下面的问题：
例2：若A B =0，证明：r(A)+r(B)≤n，其中r(A)表示矩阵A的秩。
证明思路：首先对矩阵B进行分块得到(β ，β ，…，β )，可得：
从而Aβ =Aβ =…=Aβ =0，这样矩阵B的每一个列向量都是齐次线性方程组AX=0的解，由齐次线性方程组的相关理论容易证明r(A)+r(B)≤n。
2.3 其它知识点的关联
高等代数中其它知识点的关联还有很多，比如：（1）矩阵理论与线性变换理论的关联，因为任何一个线性变换在一组基下都有一个矩阵和它对应，同时线性变换的运算和矩阵运算有对应关系；（2）多项式理论与矩阵理论的关联，一个矩阵是否可对角化与它的最小多项式是否有重根有关系；（3）欧氏空间理论与对称矩阵理论的关联，等等。
3 通过思考题调动学生的思维积极性
数学的理论是抽象的，不容易引起学生的思维兴趣，要想达到一个良好的教学互动和教学效果，通常有两种做法：第一，介绍知识点的应用；第二，应用大量的思考题。下面就通过几个例子介绍高等代数课程中的思考题的设立。
在高等代数的学习中，学生对很多知识点的理解经常是片面的，这时候如果能够适当地提出一些思考题，同时纠正学生的错误回答，可以帮助学生更全面地理解知识。
思考题1：f(x)，g(x)，u(x)，v(x)∈P［x］，且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，那么d(x)是否为f(x)，g(x)的最大公因式？
分析：这个问题是在学习完第一章第4节最大公因式的知识之后提出的，最初看到这个问题的时候，很多学生会认为答案为“是”，原因是学生知道f(x)，g(x)的最大公因式d(x)都有表达式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教师最后给出否定的回答，并给出反例，让学生了解不是所有问题的逆命题都是正确的。
思考题2：f(x ，x ，x )=(x ，x ，x )123132133x x x 是否为二次型？
分析：这个问题是学习完二次型第一节后提出的，当最初接触二次型的知识的时候，学生经常对这个问题犹豫不决，主要原因是学生了解二次型的矩阵是对称矩阵，但是这个式子中间的矩阵不是对称矩阵，那这个不是一个二次型？如果我们回到二次型的定义，只要是一个二次齐次多项式，就是一个二次型。所以这个思考题的回答是肯定的，而且这个二次型的矩阵为13/223/235/225/23。最终通过这个思考题让学生真正了解二次型的本质结构就是二次齐次多项式。
思考题还可以帮助调动学生的积极性，帮助学生加强对知识的理解，更重要的是帮助学生发现新的问题，思考新的问题。
思考题3：在二次型研究中，为什么我们只关注非退化的线性替换？
分析：这个问题是在学习了二次型第二节以后提出的，让学生通过对这个问题的思考了解非退化的线性替换赋予了二次型之间“相互”变化的能力，即若f(x ，x ，…，x)经过非退化的线性替换X=CY，|C|≠0变为g(y ，y ，…，y )。由于|C|≠0，C 存在，则g(y ，y ，…，y )可经过非退化线性替换Y=C X变为f(x ，x ，…，x )。
如何提高高等代数的教学质量是每一位教师不断思考的问题，以上的一些方法是笔者在近两年的教学实践中不断思考和总结出来的。在以后的教学中，我们应在课后作业、学生科研等方面寻求教学改革突破。
参考文献：
［1］北京大学数学力学系.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.
高等代数范文3
关键词: 《高等代数》学习障碍排除对策
《高等代数》是数学专业的核心课程之一,其教学目的是使学生初步掌握比较系统的代数知识与严格的代数方法,培养和发展学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,为进一步学习其它专业课程打下基础。这门课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和完整的系统性三大特点,因而大一学生刚接触时有较难学、不易掌握之感。
一、学习障碍的具体表现及原因
学习障碍具体表现为:在课堂听讲时基本概念理解不清,定理内容不明,性质的推导和证明不懂;阅读教材时认为前后衔接不上,不明意思,形成不了整体认识;在做习题时,对证明题找不到思路或缺乏明确思路,导致无法动笔或不能完整证明,对求解题,不会运用所学知识,或因基本技能不熟练而不能完整解答。出现这些障碍的原因是多方面的,除了学生数学基础的牢固程度与主观学习积极性外,很重要的一点是客观上《高等代数》比《初等代数》中研究对象更多,抽象化、形式化程度更高,运算与推理也更繁杂,而此时学生刚走出中学大门,他们的学习习惯和思维方式还是中学阶段固有的模式,比如听课时许多同学把重点放在“解题方法和步骤”而不关注“知识的发生过程”,做题时对类型、套模式,不能迅速适应大学课程的学习。
二、排除对策
1.注意《高等代数》与初等数学间的联系与区别。
在学习内容上,教师要在多项式、线性方程组、矩阵及二次型中充分发挥初等数学的源头作用,让学生找到高度抽象的《高等代数》概念的初始源头,在联系对比中辨别其异同,从而加深印象。通过这种比较,学生能体会和理解到《高等代数》研究问题着眼于一般化、普遍性问题的整体解决,而初等数学通常只注重具体问题的个别解决。从学习方法上,教师要指导学生从中学的被动接受过渡到大学的主动获取,主动发现问题、主动查阅资料、主动探求解决问题的方法;从习惯具体的一招一式的方法步骤到掌握本质,领悟其思想内涵。
2.学习《高等代数》,首先要学好概念。
《高等代数》中的概念,突出的特点是高度的概括性与高度抽象性。如“向量空间”定义中的加法与数乘不只是通常的加法与数乘,所给的向量空间也不是简单的几何模型所能体现出来的。这就要求学生在学习概念时,首先要深刻体会,反复琢磨,挖掘出每个概念的关键含义。其次要弄清概念与概念之间的联系。《高等代数》中,有时概念之中有概念,比如向量空间中不变子空间的概念,就包含向量空间、线性变换和子空间三个概念。如果其中一个概念不清楚,势必影响对不变子空间这个概念的理解。再次还必须知道一些实例。《高等代数》中概念的给出,常常引入一些实例作为抽象概念的引导,这可使学生了解这些概念的实际背景。而通过实例学生学生还可了解这个概念出现的具体简单场合和一些重要的特殊情况,进而明确其应用范围和定义中关键所在。最后要弄清概念的结构,一般分为基本条件、特点和结论三部分,这有助于学生加深对概念的理解与记忆。
3.学习《高等代数》,要掌握好定理。
定理是概念之间的规律性联系,是《高等代数》的核心部分,在这门课程中所获得的规律性认识,主要来源于定理。学生要学好定理,一方面要深入理解定理中所包含的内容,记住结论,搞清定理成立的前提条件,会运用定理进行论证,另一方面要认真弄懂定理的证明过程。有些定理的证明,对培养学生的分析问题能力与逻辑推理能力方面的作用比定理本身的意义还要大。一般来说,初学者要读懂一个定理的证明,需要反复阅读几遍,并认真思考,从中理出证明的思路与方法。这个严格的数学训练过程对提高学生的思维能力和解题能力是大有裨益的。
4.学习《高等代数》,要做一定数量的习题。
学习《高等代数》只看书不做题肯定不行。《高等代数》内容前后联系紧密,互相渗透,学生在做题时要注重知识点的衔接与转换,知识要成网,使所学知识融会贯通,这样思路才会开阔。《高等代数》教材中的习题包括计算题和证明题两部分,计算题能巩固和加深学生对概念的理解,其中有些计算量比较大,如求最大公因式,求线性方程组的通解,求矩阵特征值与特征向量等。《高等代数》中习题的主体是证明题,它有助于培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,因此学生要重视它,多花时间与精力去提高解答证明题的能力,当然,这需要一个积累的过程。除了教材上的一般习题,笔者建议学生选择性地做一本配套的有选择及填空题型的参考资料上的课外习题。
5.学习《高等代数》,要注重归纳总结,使知识系统化。
学习《高等代数》,要善于归纳总结。一方面,对每一章,在教师指导下,学生及时完成知识的系统化整理是必要的。这样学生自己可检查对知识的掌握情况,及时查漏补缺。另一方面,所谓“站得高可看得远”,对全书来说,学生还必须注意弄清章与章、节与节之间的内在联系,理清来龙去脉,这样可从宏观整体上理解和把握教材。
参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
高等代数范文4
【关键词】化归；转化；认知结构
【基金项目】该文为河北省高等教育教学改革研究项目（104081）的研究成果之一
化归，就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答.化归如同“翻译”，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来，若是等价转化，则所得的解就是原问题的解；若是非等价转化，必须对转化以后问题的答案作必要的修正才能得到原问题的解.“横看成岭侧成峰”，从不同的特征出发可把问题转化为不同的形式.在高等代数这门课程充分体现了化归这一思想，它不论从总体内容的安排，还是到具体问题的解决上，到处都体现着化归的思想.因此，在高等代数教学过程中，渗透化归思想对培养学生思维的深刻性、灵活性、敏捷性和独创性有很大的帮助，同时还可以优化学生的数学认知结构.
一、教学中运用转化促进化归
现代认知学习理论认为：学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中，伴随着同化和顺应的认知结构不断再构建的过程.高等代数教学的目标就是促进学生良好认知结构的形成，而这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的.实际上，无论是同化还是顺应，都是在原有认知结构和新的教学内容间，改造一方去适应另一方，这种改造就是转化.下面讨论在高等代数教学中如何运用转化促进化归.
1.通过抽象与具体的转化产生化归
具体是与抽象相对的概念，抽象是以具体作为基础，具体则是把抽象概括出的性质应用于具体的过程.高等代数是一门严谨的基础学科，其基本概念、定义、定理等内容是非常抽象的，而每一道数学问题又是具体的.我们要正确把握抽象知识与具体问题之间的逻辑关系，不但学会从具体到抽象的转化，还要学会将抽象的定理、问题具体化.
在高等代数中，体现这一转化思想的内容有很多，比如：抽象的因式分解理论与具体多项式的因式分解，抽象的初等变换与具体的行列式，抽象的线性方程组与具体的矩阵，抽象的二次型与具体的对称矩阵，具体的线性空间与抽象的线性空间，抽象的向量与具体的坐标，抽象的线性变换与具体的矩阵，抽象的线性变换形成具体的线性空间，抽象的内积与具体的度量矩阵，具体的欧氏空间与抽象的欧氏空间等等.以下以抽象的向量与具体的坐标以及抽象的线性变换与具体的矩阵为例，说明抽象与具体转化思想的渗透.
例如，设V是数域P上的n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是该线性空间的一组基，对于V中任一向量ξ与它在该基下的坐标（x1，x2，…，xn）之间建立了一个一一对应，即ξ=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.
这使得对抽象向量的讨论化归为对具体n元有序数组的讨论.无独有偶，取定V的基ε1，ε2，…，εn，对V的任一线性变换σ，按
σ（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn）A.
都对应一个矩阵A，这一对应不仅使V的所有线性变换组成的线性空间与n阶矩阵空间建立了同构映射， 而且这一对应还保持线性变换的加法、乘积、数量乘积对应于矩阵的加法、乘积、数量乘积，以及可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵等一些很好的性质.这样我们通过坐标， 可以把任一线性变换化归为“阵乘变换”σ（ξ）=Aξ来讨论.
对这种应用把抽象转化为具体处理问题方法的学习，可以使学生透过事物的表面现象而抓住它的本质，有利于培养他们的创新能力.
2.通过一般与特殊的转化实现化归
特殊与一般是对立的统一，在高等代数的学习与研究中，常通过特殊去探索一般，从一般研究特殊，特殊与一般在一定条件下可以相互转化、相互作用.特殊与一般相互转化的主要途径有：特殊到一般，一般到特殊，先特殊后一般，先一般后特殊.
高等代数中很多概念、基本理论与方法的建立体现了由特殊到一般的思想方法和一般到特殊的思想方法，如：n维向量引入是对二维向量、三维向量的推广， n维线性空间是对向量空间的推广， n维欧氏空间是对几何空间的推广，这些都是由特殊到一般的转化；在解题时，任意数域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函数与根的问题转化到常见数域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函数与根的问题，消元法将一般的线性方程组求解化简成特殊的阶梯形线性方程组，利用初等变换把矩阵化简成其阶梯形、标准形、合同标准形、相似对角形，在实线性空间上定义内积的运算得到欧氏空间理论，因此欧氏空间作为实线性空间，其中有基，也有特殊的基——正交基、标准正交基等，这都体现了一般转化为特殊的思想.另外，教材中的许多定理的证明都渗透了这种思想.
例如，在证明定理“每经过一次对换都改变排列的奇偶性”时，先证明特殊情形：被对换的两个数码在排列中是相邻的；再考虑一般情形：被对换的两个数码在排列中不相邻.把一般情形中不相邻数码的对换看成经过奇数次相邻数码的对换达到目的，这样把一般情形转化为特殊情形的证明，从而证明了该定理.
3.通过高维向低维转化进行化归
为使所讨论问题的数量关系更易把握，把复杂问题简单化是解决数学问题的常用方法，这其中一个很重要的方面是低维数化问题，即将需要解决的高维问题化为低维问题解决，高维转化为低维的表现方式主要有：（1）n维转化为三维；（2）高阶转化为低阶.通过上述转化，将对“高维”知识、问题的解决，转化为用“低维”的知识、方法、技能来解决.
在高等代数中，最能反映这一转化思想的内容有两部分，一是高阶行列式的计算，如利用按某一行（列）展开法则、递推法、行列式的Laplace展开定理将高阶行列式化为低阶行列式；二是高阶矩阵的运算，利用分块矩阵将高阶矩阵化为低阶矩阵.以下以高阶矩阵为例，说明从高维向低维转化思想的渗透.
例如，若求n阶可逆矩阵M的逆矩阵，可通过降阶公式M=A1B
C1D，其中D可逆，利用分块矩阵的初等变换计算以及对n×m矩阵A和 m×n矩阵B，λ≠0 时的基本公式|λEn-AB|=λn-m|λEm-BA|等的应用使得高维向低维转化思想的应用显得更精彩.
一般地说，低维问题比高维问题简单，通常是将高维问题化归为低维问题去解决，但有时却相反.例如，在计算行列式Dn=1111…11
x11x21…1xn
x211x221…1x2n
…1…1…1…
xn-211xn-221…1xn-2n
xn11xn21…1xnn时，需要增加一行一列，转化为n+1阶范德蒙行列式计算更为简单.
4.通过构造固定模式进行化归
数学从某种意义上来说是关于模式的科学，实际问题多种多样，千变万化，量与量之间的关系错综复杂.我们可以通过观察分析，将需要研究的、未知的问题转化为固定模式来讨论.
在高等代数中，这一思想有着极其广泛的应用.如，利用初等变换将n阶行列式化成的上三角形或下三角形；利用消元法解线性方程组时将其增广矩阵化成的阶梯形；在非退化的线性替换下，一个二次型化成的平方和；实对称矩阵的相似标准形、对称矩阵的合同标准形、复方阵的若尔当标准形、λ矩阵的标准形以及欧氏空间的标准正交基等均属于此范畴.这里以对称矩阵的合同标准形为例，说明固定模式化思想的渗透.
例如，设A∈Cn×n，A′=A，则存在可逆矩阵T，使得
T′AT=Er1
1O，其中r为矩阵A的秩.
对称矩阵的合同标准形保持了矩阵的“秩、对称性”不变.因此，只要给了对称矩阵的秩，它的标准形也随之确定.许多关于对称矩阵关系问题的讨论中，根据问题的结构特点，利用其合同标准形进行处理，这样做也符合化归目标的简单性原则.
例设A为n阶复对称矩阵且rA=r，求证：A可分解为A=T′T，其中T是秩为r的n阶阵.
证明因为A为对称阵，故存在可逆矩阵C，使得
A=C′BC=C′c111111
11111
11cr111
111011
11111
111110C，其中ci≠0，
于是又有A=C′c111111
11111
11cr111
111011
11111
111110
c111111
11111
11cr111
111011
11111
111110C=C′D′DC=DC′DC，取T=DC即可，该题中固定B为合同标准形使问题得到圆满解决.
二、利用化归优化数学认知结构
作为科技基础的数学，将作为一个有力的工具来从事科技的学习和研究.如何使学生具备良好的认知结构是极其重要的.下面说明如何利用化归使高等代数的认知结构优化.
1.揭示知识内在联系，掌握知识内在结构
根据同化理论，数学学习主要是有意义的学习，如果原认知结构中的某些观念与新知识具有实质的、非人为的联系，可根据新旧知识的逻辑关系，把原有的认知结构主动地与新知识相互作用，形成新的认知结构，而作用的方式主要是“同化”或者“顺应”，即在原有认知结构和新的数学内容间，改造一方去适应另一方，这种改造就是转化.在数学教学中，教师要充分利用“转化”这一数学思想方法，以它为主线，启发学生找到教材中的核心内容，掌握知识的内在结构的相互联系，这样既可简化知识，又可灵活运用知识和产生新知识.
2.把握学生现有数学认知结构，从教材的呈现程序方面促进化归
高等代数范文5
关键词： 高等代数 中学数学 行列式 矩阵
高等代数在大学数学学习中占有重要的地位，其与数学分析、解析几何是大学数学里最基础的三门学科，三者相互联系，相互渗透。不仅如此，高等代数对中学数学也有着很重要的指导作用。高等代数中的方法和思想灵活多变，涵盖的知识面较广。在面对中学数学的问题中，联系一定的高等代数知识，往往可以分类、整理、简化中学数学中所碰到的难题。
1.高等代数与中学数学观念方面的联系
数学研究的对象有很多，单从基本研究对象来说，从简单的中学代数研究的数、代数式方程、函数、多项式等到中学几何研究的点、线、面、圆等常见图形的内容，很容易得到，初等数学中研究的绝大部分对象是现实世界的数量之间的关系和空间位置与形式。然而这种研究观念在高等代数等后继逐渐对知识的深化的课程中却发生了许多变化。例如，多项式与多项式之间的整除关系、集合元素之间的包含关系、不同向量间的线性关系、矩阵的相似、合同关系等许多高等代数中研究的关系，已不再是在中学数学中所接触到的数量关系[1]。其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于平常的空间形式，《高等代数》和《近世代数》等许多大学里所学的课程都说明了数学是一门应用抽象化、具体化的方法研究元素之间关系和研究对象结构的科学。这一新的观念对于指导现在所提倡的中学教改是至关重要的[2]。
作为数学专业的高校教师，我们最重要的责任是致力于培养和发展学生解决问题的能力、在教学和学习中树立理论的应用意识，总结和归纳理论的应用方法。同时深入发掘最近几年大学里高等代数的教学实践，结合中学课程特点及对教师示范性的要求，突出高等代数的理论应用特点和优点，将抽象的理论概念与相应层面上的具体问题结合，加深学生对理论的理解，同时培养学生应用理论分析、解决具体问题的能力。
2.高等代数与中学数学应用方面的联系
高等代数课本中的某些知识，在指导中学数学中相对比较困难的一些问题时会发挥很好的作用，为解决问题提供捷径。首先，谈到高等代数，就不得不提到其中三个最基础的概念：行列式、矩阵、线性方程组。这些概念是高等代数中研究的主要内容和重点，它们相互联系、彼此有着重要的指引关系，且对中学数学解题有重要作用。
2.1行列式在中学数学解题中的应用
行列式是高等代数中运用比较广泛的一个概念。行列式可以应用于中学数学中的因式分解，同时也可以把行列式应用到不等式的证明上。如果能在中学数学中构造适当的行列式，就会达到事半功倍、简化问题的效果。
2.2矩阵在中学数学解题中的应用
矩阵是由方程组的系数及常数项组成的方阵，行列式和矩阵具有很多关系，矩阵是由数值组成的，而行列式的值是按可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数性质和概念。根据矩阵的基本定义，可以自然想到能够利用引入矩阵的方法解决中学数学里经常碰到的问题――求数项通项。又由矩阵和行列式在概念和计算方面有很多近似的地方，类比上述利用行列式对等式因式分解，同样的，可以发现利用矩阵也可以对等式因式分解。矩阵的乘积和矩阵的逆对中学数学具有指导作用。
2.3线性方程组在中学数学解题中的应用
线性方程组无疑是高等代数知识中的另外一个重要组成部分，其与行列式、矩阵共同构成高等代数的重要部分，矩阵的出现可以解决线性方程组的求解问题，而行列式又可以看成矩阵的内部。运用线性方程组解决某些复杂的函数问题中，在对于研究中学数学中求函数的取值问题中有重要作用。
结语
随着现代教学开放性程度的提高，高等代数的思想理论方法在中学数学中渗透得越来越深[3]。作为高校教师，我认为把高等代数课程思想与中学数学相融合，从更高的角度研究中学数学中的重难点，将教会学生以更开阔的眼界看待中学数学问题，从而会提高学生对高等代数的兴趣。
参考文献：
[1]李珍珠.在高等代数习题课教学中培养学生能力的探讨[J].湖南科技学院学报，2011，10（12）：1-2.
[2]方次军.浅析高等代数与中学数学的关联[J].新校园（理论版），2013，12（4）：23-24.
[3]阮国利.高等数学方法在中学数学中的应用研究[D].内蒙古：内蒙古师范大学数学系，2008.
高等代数范文6
关键词：高等代数；统计学；教学改革
一、统计学类专业高等代数课程教学的基本情况
统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。1998年高等学校本科专业目录中首次将统计学专业分为理科统计学和经济统计学，分别授予理学和经济学学士学位，前者属于数理统计方法与应用范畴。2012年9月，统计学类成为理学门类下的一级学科，并在其下增加了应用统计专业。为了适应统计学类专业“宽口径、厚基础”的需要，统计学类专业要求学生打下扎实的数学基础，其课程体系中数学基础必修课包含数学分析、高等代数与几何学等。但随着社会的发展，统计学类专业在应用方面的作用日渐突出，统计软件、实习、实践课程等培养统计应用能力的课程得到了强化，理论课程的课时受到一定程度的压缩，高等代数课程也受到课时减少的影响。然而，高等代数课程是统计学类专业重要的基础课程，也包含理工类大部分专业的考研数学知识点，本课程的教学效果不仅影响着统计学类专业其它核心课程的教学，也影响着该专业学生的自身发展。在这种情况下，如何对高等代数的教学进行改革，在有限的课时下保证高等代数课程的系统性，又能够突出重点，保证它们的高等代数知识能够满足后续课程的教学需要，使其更适合统计学类专业的需求，是我们面临的一项新课题。
二、统计类专业高等代数改革内容
（一）根据专业需求调整高等代数课程的教学内容
统计学类专业以培养理论基础扎实，专业应用性强的学生为目标。在高等代数的教学中，对重要知识点深入讲解，使学生理解其思想，并通过例题与应用加深体会；而对过于繁杂的证明可适当降低要求。目前，国内专门针对统计学类专业的高等代数教材非常少，大多数院校采用数学专业相同的教材。然而，统计学类专业大部分学生的数学基础比数学类的学生薄弱，对高等代数这样高度抽象的课程学习起来倍感吃力。为了改变这一状况，在一些高等院校中，统计学类专业开设线性代数课程替代高等代数课程，这样会使学生学习本门课程的时候感到相对轻松，但统计学类专业的后续主干课程的教学，如多元统计分析、时间序列分析、统计建模等，会由于没有充分具备相关数学基础而受到影响。因此，我们需要根据统计学类专业需求与学生情况，对高等代数的教学内容进行调整。具体来说，高等代数中的行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、二次型、特征值与特征向量这些知识相互联系紧密，是高等代数的基础部分，是统计学类专业后继课程的基础，同时也是国家研究生招生考试知识点，必须包含在教学内容中。
线性变换、欧式空间等内容不属于通常意义下线性代数知识点，不在研究生招生考试统考数学的范围内，但其思想与统计学的主要方法联系紧密，略去将对后继主干课程的教学造成一定的影响。因此，这两部分内容也需要重点讲解。而高等代数课程中的多项式理论、λ-矩阵、双线性函数等内容，不属于通常意义下线性代数的知识点，与统计学类专业的主要方法也没有直接联系，不讲或者略讲这几部分内容不会对本专业的后继课程的学习造成大的影响，我们可以根据学生的基础与课程总课时情况灵活选择。例如，大多数高等代数第一章是多项式理论，该章定义、定理多，逻辑推理强，大一新生普遍感觉抽象难懂，而这一章的内容、方法与接下来的几章几乎没有联系，只是在特征值与特征向量这一章才会用到几个因式分解定理。我们可以在即将讲授特征值与特征向量这一章时，简单介绍因式分解定理以及其应用方法。这样安排一方面是由于统计学类专业的学生对数学理论证明的要求并不是很高，另一方也可以避免学生在前期因繁杂的证明而失去信心和兴趣，而且可以在有限的课时内讲解更多的例题，以及高等代数知识在统计学中的应用。
（二）渗透高等代数知识在统计学中的应用
作为统计类专业的专业基础课，高等代数的方法在统计学中有着广泛的应用。我们在讲授相关知识点时，尽量结合其实际背景，特别是统计学方面的背景，渗透高等代数知识在统计学中的应用。例如，我们可以在欧式空间后，讲解投影法在最小二乘法中的应用。最小二乘法是一种重要的求极值的方法，在统计学中求解线性模型参数估计问题的基本方法，具有鲜明的统计学背景。我们提出有实际应用背景方面的问题，如以脚长与身高的关系为背景，利用投影定理求出一元线性回归问题的最小二乘解，并结合学生的脚长与身高数据，求出身高与脚长的经验公式，并介绍该经验公式在刑事侦查等领域的应用。这一问题与统计学联系紧密，与学生紧密相关，且容易理解，可以很好的吸引学生的兴趣。虽然统计学类专业的其他课程如数学分析、多元统计分析等会再次讲授最小二乘法，但这些课程中一般是采用偏导数的工具求极值，在教学内容上没有重复。此外，我们在高等代数中讲解最小二乘法，会使学生在其他课程再次学习该方法时更容易接受，达到以旧促新的效果。在讲授“特征值与特征向量”这一部分内容后，可以通过例子讲解其在求解数列通项公式、微分方程、马尔科夫链中的应用。
特别的，数列通项公式求解问题看起来是一个初等数学问题，与学生的高中知识联系紧密，容易被学生理解，而该问题的解决却需要借助特征值与特征向量的方法，让学生体会到抽象的矩阵相似对角化在分离变量中的作用，可以极大地激发学生对高等代数的学习热情。这一问题实际上是一个差分方程求解，是统计学类专业的主干课程时间序列分析研究的内容之一。我们此时讲解这一部分内容，可以为后续相关课程的学习打下基础。将这一问题做简单变换，就可以变成一个微分方程问题，采用的分离变量的方法与差分方程完全一样。而马尔科夫链中的讲解，可以以人口流动模型为背景，利用特征值与特征向量的性质，求出人口模型的稳定状态。这三类例子背景不同，但其处理方法却是极为相似的，可以让学生体会抽象思想的魅力。在讲授对称矩阵正交相似对角化与二次型之后，我们可开设“对称矩阵正交相似对角化在主成分分析中的应用”这一个专题，通过几个具有实际背景的若干个例题，如身多个学生的身高体重问题分布散点图、体会线性变换在处理实际问题中的作用，启发学生理解主成分分析的思想。通过这些渗透，既锻炼了学生的数学建模能力，又使学生加深了对代数方法的掌握，同时为后续相关统计课程的学习打下了坚实的基础。
（三）改革教学模式
传统的高等代数教学方式以板书为主，原因之一是高等代数的教学内容含有大量的计算和证明，板书可以加深学生对计算和证明过程的理解。然而，板书的书写速度较慢、信息容量小、表现等缺点，使其在高等代数教学中的局限性日益突出。随着社会的发展与教育技术的进步，各种教育工具不断涌现，多媒体、翻转课堂、等精彩纷呈。作为一名高校青年教师，需要积极学习如何运用这些新的教学工具，改革教学模式。但任何教学工具都不是万能的，我们需要根据教学内容与学生特点，采用适当的教学策略，扬长避短，形成优势互补。多媒体可以极大地节约板书时间，提高授课效率，在一些板书量特别大的章节，我们可以采用多媒体的方式。但正是由于多媒体授课效率高的特点，容易造成学生思维跟不上课堂进度，学生的思路也容易随着多媒体翻页的变化而断掉，不能对课堂有一个整体把握。这时候我们必须采取多媒体与板书相结合的方式，在利用多媒体教学的同时，将教学框架、教学重点、教学难点以及一些重要的定义、定理、公式等内容板书在黑板上，强化学生对教学内容的理解与记忆。翻转课堂是指重新调整课堂时间，学生在课外自主完成知识的学习，教师采用各种途径满足于促成学生的学习，课堂变成了老师学生之间和学生与学生之间互动的场所。这一模式可以打破时间与空间的限制，让学习变得更加灵活。但现阶段地方院校学生自主学习意识普遍较弱，翻转课堂不适合作为高等代数这类趣味性弱且高度抽象的课程的主要教学模式。我们注意到一部分学生求知欲强，学习兴趣浓，课堂教学内容不能满足他们的需要。我们可利用翻转课堂来实现分层教学，将一些扩展内容，以微课、电子书、论坛等形式提供给学生，为学有余力的同学拓宽和加深知识体系。这些新的教学方式可以打破时间与空间的限制，构建新的教学模式，促进师生沟通及交流，提高教学效果。
三、结束语
作为一名统计学类专业基础数学课的教师，要着力思考如何使基础课的教学更好地服务于学生的发展，为本专业后继课程的教学打下坚实的基础；要着力思考如何讲基础课的教学与本专业的背景联系起来，加深学生对定义、定理方法的理解，调动学生的学习积极性；要着力思考如何改革教学方式与方法，将重要的教学内容，以学生容易接受的形式，系统化的呈现出来。教师是教学改革的主体，教学是教师的立足之本，要在实践中发现问题、解决问题，努力提高教学质量。
参考文献
[1]贾俊平.统计学基础[M].北京：中国人民大学出版社，2010.
[2]教育部统计学类专业教学指导委员会.我国统计学类专业本科教育现状的调查与分析[J].统计研究，2015，32（2）：104-108.
[3]张美娟.统计学专业数学基础课程改革的研究[J].教育教学论坛，2015，40：99-101.
