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大学线性代数知识点总结范文1
关键词 线性代数 应用型本科院校 数学软件
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2015.09.037
Explore Applied Undergraduate Colleges Linear Algebra Teaching
YANG Wei
（Department of Mathematics and Physics， Shanghai Dianji University， Shanghai 201306）
Abstract Based on the characteristic of application-oriented college and university， the current situation of education of Liner Algebra and the practical teaching experience， this paper discusses how to further improve the teaching quality in teaching process， and shares the teaching experience and result.
Key words Linear Algebra; application-oriented college and university; mathematical software
线性代数同微积分、概率论与数理统计等一样，是大学数学的一部分，是一门具有实用价值的工具学科。线性代数主要处理线性关系问题，即数学对象之间的关系，是以一次形式来表达的，它的理论与方法已经渗透到数学的很多分支，同时也能应用到物理学、计算机科学、密码学、力学、经济学等学科。①因此，在大多数高校中，不管是理工科学生还是文科商科学生，线性代数是安排在大一或者大二上学期，这样安排既能使学生慢慢适应大学课程的学习节奏，为后续课程打好基础;又非常有益于提高学生抽象思维能力和逻辑思维能力，为提高学生的创新能力做好铺垫。因此线性代数的教学既担负着传授知识的责任，又起到培养学生理性逻辑思维能力的重要作用。
线性代数的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换和有限维的线性方程组等。②③向量空间是大学数学的一个重要课题，而且被广泛地应用于抽象代数、泛函分析、物理学、导航等;含有多个未知量的一次方程称为线性方程，关于变量是一次的函数称为线性函数，线性关系问题简称线性问题，解线性方程组的问题是最简单的线性问题。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
在一些新建的理工类本科院校中，学生水平参差不齐，学生对数学的需求由于专业的不同而存在差异，这就给数学课的教学增加了难度。下面介绍这些年作者在应用型本科院校线性代数教学实践中所得出的一些想法和体会。
1 提高教师自身知识水平
教好一门课的首要前提条件是教师能够深刻理解和把握教学内容。教师在上课之前备课的过程中，要深刻理解所授知识，知道它的来龙去脉、推导过程、演变原因等等。对于线性代数来说，就要深刻理解矩阵和行列式的意义，从实际应用出发，将这些定义介绍给学生，并要认真贯通地讲解行列式计算方法、矩阵求逆的方法等，并比较所有方法的优缺点。如果教师对自己所教的内容缺乏深刻的理解，或者处于似懂非懂的状态，则在教学过程中，将无法把教学内容最本质的东西交给学生。线性代数是数学的一部分，具有很强的逻辑性，是一门要用心去思考的课。教师能够真正理解它的每个知识点和这些知识点之间的关系，才能在教学的时候游刃有余，把其中的难点、重点用通俗易懂的语言全部点到，缩短学生思考领悟的时间，并且有利于提高学生的学习兴趣。④
2 帮助学生树立学好数学，尤其是线性代数的信心
由于数学的抽象性、逻辑性以及运算的复杂性等原因，使得很多学生在没有学学数学之前就对它产生了畏惧和抵触心理，学习过程中，更是有多数学生感觉学习较困难，以至于没有学好数学的信心。
针对这种情况，教师在教学时，就要逐步加强学生学好数学，尤其是学好线性代数的信心。首先，在教学过程中，摆脱刻板的形象，改变教师的衣着、语气等外在形象，使学生眼前一亮，引起他们的注意力。其次，在讲课的过程中，尽量用他们听得懂的专业语言。作为数学专业的老师，对线性代数都非常熟悉，讲课时很容易用到一些学生并不掌握的数学用语或者符号，此时若不加以说明，学生便会很茫然。在例题的选取过程中，一定要针对学生的接受程度选择，而且要做到先易后难，循序渐进，切不可揠苗助长，操之过急，使学生感觉无从下手，甚至使得有些学生产生“即使学了也学不会”的想法。再次，教学过程中，应以鼓励为主，批评为辅。尤其是对那些自暴自弃的学生，更要多鼓励，从简单的题目入手，如计算两阶行列式，使其慢慢增加学好线性代数的信心。在证明一些重要结论等讲解理论的时候，不能让学生产生挫败感，让他们自认为很难不可能学会，适时适量地鼓励督促往往能起到事半功倍的效果。
3 解决实际问题，提高学生学习兴趣
随着现代传播技术的发展，学生感观方面越来越挑剔，单纯的理论讲解证明不能吸引大多数学生的注意力，而一些实际问题，尤其是与学生专业相关的实际问题能极大地提高学生的兴趣。另一方面，线性代数本身就是一种应用工具，授课过程中，可以将一些日常生活问题或者与学生专业相关的问题作为例子在课堂上讲解，并应用线性代数予以解决，以满足非数学专业学生的需要。⑤此外，可以将一些实际问题甚至一些趣味问题作为实验的例子建立数学模型，综合运用线性代数、微积分、概率论等数学知识，并结合计算机软件的使用，让学生得出结果，解决问题，做综合实验是很有益的。当学生看到线性代数有这么多适合他们专业的应用时，便提高了他们学习线性代数的兴趣。
4 简化理论证明，加强计算能力，学习数学软件解题目
和高等数学一样，线性代数中也有较多的理论需要详细讲解和证明，证明的过程较复杂。对于应用型本科院校的学生来说，他们更加想要学的是用现有的方法又快又准确地解决问题，并不是这些解决问题方法的由来与证明，因此教学过程中，可以讲解一下证明的思路与方法，并不需要详细的证明。
线性代数的许多知识点都需要较复杂的计算，比如，计算矩阵的秩、求逆矩阵、行列式计算、求伴随矩阵等等，这些计算既复杂又容易出错，是教学的重点，又是学生学习的难点，考试时的易错点，因此教学过程中，需要着重讲解这些计算方法，让学生掌握计算过程以及容易出错的地方，通过例题和课后作业，加强学生的计算能力。事实上，对于上述计算问题，数学软件都能既快又准确地解决，比如Matlab等，因此，在学生学会笔算之后，可以围绕线性代数的知识点介绍如何使用Matlab解决这些计算问题。
5 布置适量且难度适中的课后作业;布置开放作业以给学生自由发挥的空间
线性代数的知识点较多，而且每个知识点的计算方法有很多种，故需要大量针对性的练习以巩固所学的内容。结合人们学习过程中的“先快后慢”的遗忘规律，一定要在上完新课后马上布置对应的作业，让学生有针对性的练习。但是，布置的作业除了使学生尽可能地记住所学知识，还需要照顾到大多数学生的学习能力和知识水平，尽量布置题量适量且难度适中的作业。促使学生及时复习，提高学生的时间利用率。
另外，结合线性代数在实际应用中的广泛性，以及学生渴望解决时间问题的愿望，应当布置一定难度的开放作业，例如简单的建模问题等，这些问题能够吸引学生自觉自主地复习所学内容，而且学会查阅资料，与同学讨论共同进步。
6 精简内容
在一般的非重点大学、应用型本科院校中，由于越来越重视实践技能，导致理论课程的学时不断减少，因此线性代数在教学内容上应当尽可能地简化与提炼，以适应这种变化趋势。而且在应用型本科院校中，学生的素质也相对弱一些，学习氛围并不是太浓厚，若按照重点大学的课程内容授课通常行不通，学生不易接受，教师讲解费时费力，到最后，学生的学习兴趣被磨没了，教师的教学热情也逐渐减弱，而学生能够真正掌握的东西却很少。解决这一问题的一个方法就是将线性代数简化提炼。着重突出讲解定义、内涵原理等，让学生掌握矩阵、行列式、线性方程组系数矩阵的由来、定义等，学会计算矩阵的初等变换、矩阵的秩、逆矩阵、行列式的计算和线性方程组解的情况以及解的求法等。另外，要了解上述内容的计算机软件如Matlab等的求解方法。
7 总结
线性代数是一门陶冶情操、增强逻辑能力又很实用的一门学科，在教与学的过程中，我们都能体会到它的力量与魅力。作为大学数学教师，自身也要不断地扩充学习，用心体会线性代数教学的乐趣。总之，作为新建应用型本科院校数学系的老师，要学会把握理论教学与实践的关系，不断探索线性代数教学的教学思想，改进教学新方法与手段，充分利用现代传播演示技术，为我国培养更多合格的应用技术型人才而努力提高教学质量。
基金项目：本文系上海电机学院重点教研教改项目（项目编号：A1-0212-00-010-06）的研究成果
注释
① 同济大学数学系.工程数学线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
② 王海侠，孙和军，王青云.改进线性代数教学方法的几点想法[J].高等数学研究，2010.13（6）：13-15.
③ 黄玉梅，李彦.非数学专业线性代数教学改革探讨[J].重庆文理学院学报（自然科学版），2009.28（5）：87-89.
大学线性代数知识点总结范文2
关键词：线性代数；研究性学习；创新能力
线性代数课程是大学的一门基础数学课程，它是学习本科阶段数学课程，比如矩阵论、最优化理论与方法、运筹学以及专业课程，比如自动控制原理、线性系统理论等课程的基础，是学好这些后续课程的前提条件，也是学生进一步深造进入研究生阶段学习的前提。然而，由于该课程抽象枯燥容易造成学生学习兴趣不浓，学习热情不高，学习动力不足，再加上很多高校该课程的课时紧等诸多因素，往往致使学生学习效果差。因此，探讨提高线性代数课程的教学效果尤为必要。
20世纪60年代以来，欧美等发达国家在国家教育战略规划下，提出了基于问题的学习模式，产生了良好的效果。基于问题的学习是一种发现探索式的学习，是一种促进创造性思维发展的研究性学习方式。20世纪60年代以来，美国一流大学为本科生提供机会，让他们积极参加本科生科研项目的研究活动。20世纪80年代中后期，“本科生参与研究”逐渐被美国的教育界所重视。“本科生参与研究”成为了本科生教育改革中的一个重大举措，美国研究型大学一般都设有校级本科生科研管理机构。清华大学也提出了“创建研究性的本科教学体系”，是在国内进行研究性学习的一个初步尝试。教育部在“985”“211”高校推行本科生创新计划，目的在于高年级本科生参与科研，养成科研创新意识。
所谓研究性学习，是指在教师指导下，学生根据各自的兴趣、爱好和特长，选择不同研究课题，独立自主地开展研究，从中培养创新精神和创造能力的一种学习方式。
教师讲授、学生听讲，是当前大学课堂的主要教学方式，而且很多高校线性代数课程课时少、进度快，采用大班教学，课堂开展研究性学习比较困难。我们选择在平时将研究性课题的题目布置给学生，将学生分组，让学生利用课余时间做研究，最后形成研究报告。
为了保证研究性学习的顺利进行，教师根据教学的具体情况创设问题情境，促进学生思考，使他们发现问题，并激发他们探索的动机。教师要提供有关文献资源，以供学生检索研究。笔者认为，我们可以根据教材的主要内容、知识、方法来设立研究课题，也可以根据近年来相关领域研究的热点，比如从近两年来的国际数值代数会议的内容，了解与线性代数课程相关的热点来确立研究课题。笔者曾在教授线性代数课程时提供如下课题：（1）概念定理的延伸；（2）教材中相关知识点设成的专题；（3）图像处理中的矩阵计算；（4）线性方程组的常见数值计算算法；（5）大规模线性方程组的数值算法、稀疏线性方程组的求解算法。课堂上概念或定理的引申，可以巩固基础还可以培养学生的创新能力；对相关知识点形成专题性的研究性学习，可以培养学生搜集资料，再进行归纳总结的能力，有助于启迪学生从熟悉的知识点上探索出新的问题。对后四个课题的研究性学习，激发了学生的学习兴趣，促进了交叉学科的学习，拓展了知识视野，学生学会了一些科研方法，综合提高了全面素质。
矩阵是线性代数课程中的一个重要概念，矩阵的秩、矩阵的初等变换是线性代数中研究线性方程组的重要工具。在讲矩阵时常常会介绍财务报表，学生的成绩表就是一个矩阵。图像处理是近几年来研究的热点，矩阵是图像处理中的一个基本工具，因此可以将图像处理中的矩阵计算问题作为一个研究课题。
线性方程组是线性代数的重要内容，教材中研究线性方程组的解的结构、通解的求法。大多线性代数教材没有介绍线性方程组的数值计算，线性方程组的数值计算可以作为一个研究课题。近年来压缩传感是一个研究的热点，该领域研究线性方程组的稀疏解的计算，而且往往是大规模的线性方程组。大规模线性方程组的求解是近年大数据时代研究的一个热点，大规模线性方程组的数值算法、稀疏线性方程组的求解算法都可以作为研究的课题。
教师要引导学生通过对问题的分析、探索，进行假说、讨论或归纳等一系列再发现的认知操作过程，寻找解决问题的方式。另外，学生在研究性学习中占有主体地位，所以要求学生具有一定的数学以及其他各学科的知识基础，具有较高程度的学习自主性。同时，学生还要有能力安排自己的研究活动，并利用可用的学习资源。
另外，在课外开设新生研讨课是开展研究性学习的有效形式。清华大学、南京大学、浙江大学等高校引进新生研讨课，大部分学生认为研讨课讨论气氛活跃、主题深入，拓展了知识视野，提高了口头表达能力。他们在研讨课上学会了一些科研方法，学习方式也从被动学习变为了主动学习。哈佛大学认为，从大学生一入校，大学的主要努力方向就是使他们能够成为参与发现、解释和创造知识或形成新思想的人，这彰显了大学研究性学习最基本的价值观，也是研究型大学在发展学术、开展科研过程中应当要确立的目标。
参考文献：
大学线性代数知识点总结范文3
关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）22-0226-02
《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。
一、线性相关性与线性无关性
线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。
对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。
二、极大线性无关组及向量组的秩
由于极大线性无关组和向量组的秩的概念比较抽象，学生较难理解，所以这一知识点也是《线性代数》教学的重点和难点。我们所用的教材是在讲述了线性相关性和线性无关性之后，直接给出极大线性无关组及向量组秩的概念，学生很难理解并掌握这两个抽象的概念。针对这一情况，在教学中可以通过一个例子提出问题，在解决该问题的过程中总结归纳出极大线性无关组和向量组秩的概念，用简单具体的实例阐明抽象的概念。这样一来，教师在教学过程中会轻松些，学生学起来也不那么枯燥无味。
例如：判断向量组β1=100，β2=010，β3=121，β4= 1 0-1的线性相关性。首先我们可以根据前面所学的知识判断出向量组β1，β2，β3，β4是线性相关的。紧接着，让学生找出向量组β1，β2，β3，β4中线性无关的子组。通过分析，学生们会发现，在线性相关的向量组β1，β2，β3，β4中，存在线性无关的子组，且这些线性无关的子组所含向量的个数都为2。在此基础上，进一步引导学生总结出，向量组中的线性无关子组并不是唯一的，但是所含向量的个数是相同的，都是2，并且其余向量都可以由线性无关的子组线性表示。最后总结出向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念。向量组β1，β2，β3，β4的线性无关的子组β1，β2；β1，β3或β3，β4等称为向量组β1，β2，β3，β4的极大线性无关组，极大线性无关组所含向量的个数2称为向量组β1，β2，β3，β4的秩，记为R（β1，β2，β3，β4）=2。然后再将这两个概念推广到更普遍的情况，归纳总结出向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念。
若向量组的一个子组线性无关，但将向量组中任何一个向量添加到这个线性无关子组中去，得到的都是线性相关的子组，则称该线性无关子组为向量组的极大线性无关组。一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。通过恰当的例子引出新的概念，此种方法化抽象为具体，学生更容易接受并掌握相关概念。
由此可见，在《线性代数》的教学过程中，对于一些抽象的概念，直接阐述很难达到理想的教学效果。面对这些教学难点，我们可以结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念；或者通过引入恰当的例子，在解决问题的过程中把要讲述的新概念归纳总结出来。总之，在《线性代数》的教学过程中，要灵活运用多种教学方法，才能发挥最好的教学效果，达到教学设计的目标。
参考文献：
[1]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第三册）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1990.
[2]同济大学数学系.工程数学，线性代数[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.
[3]王新艳，林恒强.向量的线性相关性与线性无关性在平面和空间上的几何解释[J].郑州工业高等专科学校学报，2000，16（1）：30-32.
大学线性代数知识点总结范文4
关键词：线性代数；解析几何；第一堂课；学习兴趣；杜勒魔方
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0076-03
线性代数与解析几何是大学生知识结构的重要组成部分，相关课程是高等院校各专业重要的通识教育课程之一。随着计算机技术的飞速发展，线性代数理论在科学研究、工程技术和社会经济等领域中的作用日益突出，因此对于本课程的学习成效很大程度上影响到学生的学习能力和实践能力。由于课程具有知识点繁多以及抽象性和逻辑性强的特点，很多学生认为这是一门枯燥难学的课程，甚至对其庞大的研究对象——矩阵、向量空间等产生畏惧心理，更谈不上喜欢这门课程。俗话说“好的开始是成功的一半”。每门课第一堂课的一个目的是要使学生对课程的概况有个初步的了解，而对于本课程来说，第一堂课尤其重要，这是因为线性代数与学生对数学已有的认识有很大不同。首先是研究对象不再是单一的数，而是矩阵和向量这样的高维数组；其次是所涉及的概念不再是直观具体的，而是基于直观的抽象；再则课程理论的表述与学生所熟悉的方式有很大差别。这些差别可能会成为学生学习的困难，但是，如果能在第一堂课上处理好上述问题，反而可使学生更加认同这门课并对课程的学习产生浓厚的兴趣。本文根据多年来在教学实践中的思考，介绍我们第一堂课六个方面的内容：课程的重要性、与中学数学的联系与区别、与“高等数学”的联系与区别、课程的基本思想、主要内容以及学好本课程的关键。
一、课程的重要性
1.众多学科的广泛基础。线性代数是讨论数学中线性关系经典理论的课程。掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法，可以为解决理工医管科各专业的实际问题奠定必要的数学基础。线性代数在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域都有广泛的应用。高校中许多专业的后继课程都以此为基础。尤其重要的是，很多工程领域的科学问题在离散数值求解时实际上就是一个线性方程组的求解问题。
2.数学思维的训练。本课程的教学目的不仅仅是讲授课程的理论，更重要的是向学生传授课程特有的思维方式，给予他们一种熏陶、训练和磨炼，这些素质会使他们受益终生。
二、本课程与中学数学的联系与区别
现行中学和大学数学教育有密切联系，理念上又有很大差别，大学数学基础课教师要在教学中发掘中学数学与大学数学学习方法的多种联系与区别：大学数学基础课在知识上是中学数学知识的延伸和拓展，思想方法上是中学数学的因袭和扩张，观念上是中学数学的深化和发展。换言之，很多大学课堂里貌似困难的新问题都可以在中学数学中找到原型。这些准备工作可大大降低学生学习数学基础课的畏难情绪，为实现学生由中学数学学习到大学数学学习的平稳过渡打下坚实的基础。大学新生要完成两个转变。一是完成学习目的从“应试”向“应用”的转变。当今大学主要培养应用型创新性人才已成为共识，这就要求学生能够将学到的理论知识应用于实践，提高自身观察问题、分析问题和解决问题的实际能力，增强自己日后的就业资本和竞争能力。二是完成学习方式从“被动”向“主动”的转变。在教学过程中，教师是施教的主体，学生是学习的主体。学习主体性是学生作为学习活动的主体所具有的独立性、自觉能动性和创造性的内在特性，它是学生主体得以确立的内在依据和根本标志。为配合学生的这两个转变，在第一堂课上应该向学生讲清楚本课程的考核方式。我们采用由期末成绩、期中成绩、平时成绩、数学实验、学术小论文等按一定比例构成的综合考核方式。这样的考核更强调学生在学习中的主体地位，教师应该充分调动学生的积极性，指导学生合理分配时间。教师要起好引导作用，为学生创造好自学和讨论的环境，并选取既能激发学生兴趣又能开拓学生思维的题目作为思考题和学术小论文的选题。
三、本课程和“高等数学”的联系与区别
一般来说，大一学生同期学习的数学课程是“代数与几何”与“高等数学”，这两门课既有联系又有区别。总体而言，代数是数量关系的科学，有序思维占主导，培养计算与逻辑思维能力；几何是空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力和洞察力；分析是数形关系的科学，量变关系占主导，函数为对象、极限为工具，培养周密的逻辑思维能力和建模能力。这两者的区别体现在多个方面。“高等数学”主要研究实数及关于实数的函数，侧重于处理单变量的问题，“线性代数”则主要研究向量和矩阵，侧重于处理高维对象的问题。“高等数学”所涉及的数量是连续型的，“线性代数”所涉及的数量是离散型的，计算机技术的发展使得处理离散型关系数学理论的重要性日益突出。“高等数学”中诸如导数、积分等重要概念直接来自几何，其许多理论也可以直接用来刻画几何现象，而线性代数中诸如n维向量及其线性相关性等重要概念只是借助几何为之提供直观，其中大部分都是借助这一直观经过提炼抽象出来的，这就使得线性代数的理论更具抽象性。“高等数学”重数学原理的分析，“代数与几何”则更侧重于建立分析问题的框架。
四、“线性代数与解析几何”的基本思想
1.解析几何的基本思想——从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起。法国的数学家、哲学家笛卡尔（Descartes）引进了直角坐标系，创立了用代数方法研究几何问题的解析几何学。直角坐标系的伟大功绩是实现了两个几何与代数之间的一一对应：平面上的每一个点P与一对有序实数（x，y）之间的一一对应；动点的轨迹产生一条曲线与一个含有两个变量的方程之间的一一对应。从此，解析几何揭开了变量数学也即近代数学的新篇章。解析几何的一个成功的例子是解决了古典几何作图的三大难题。几千年以来，许多卓越的数学家都未能解决这三大难题，既不能找到它的解答，又不能证明它的不可行性。然而，解析几何仅通过提出并从代数的角度回答了三个问题就轻而易举地解决了这些难题，将几何作图的本质归结为求一系列二元一次或二元二次圆方程的根；将几何作图有解的充要条件归结为这些方程组的根一定可以由原方程的系数经过加、减、乘、除及开平方这5种运算表示。经检验三大难题都不满足这个充要条件，从而解析几何用这精彩的三问将困扰数学家几千年的三大难题化解在无形之中，展现了解析几何在解决该问题时的科学发现的过程，呈现了新的思维方式，即将一类问题作为一个整体加以考察，而不是对每个问题单独进行研究。通过大一新生熟悉的平面解析几何知识来揭示解析几何的基本思想，将使学生认识到用代数方法研究几何问题的重要作用，从而激起学生学习空间解析几何的欲望。
2.线性代数的基本思想——从两个游戏谈起。①从动物连连看谈等价分类。学生喜爱的一些游戏的设计思想与线性代数的思想本质上是吻合的。例如，动物连连看游戏蕴含着等价分类的思想。虽然现在大多连连看游戏都只是将完全一样的动物头像连起来消掉，但只要将游戏规则改为将同一种类动物连起来消掉就是等价分类。从理论上看，线性代数的一个重要的任务就是将矩阵不同的等价关系进行分类，这些等价关系主要是指矩阵间的相抵关系、相似关系和相合关系。这些分类方法的共同特征就是找出相应的不变量和最简形式。这就揭示了线性代数的一个重要思想——化繁为简。②从数独游戏谈向量空间。数独游戏是学生非常喜欢的数学智力游戏。数独游戏又称数字九宫格，即3格宽3格高的正方形，每一格又细分为一个九宫格。在每一个小九宫格中，分别填上数字1至9，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。不妨尝试解析几何带来的新思维方式：将一类问题作为一个整体加以考察。下面以杜勒魔方为例来阐述其主要思想。杜勒魔方是指一个4×4数字方满足每行、每列、每一对角线、每一个小方块上的数字和相等且是一确定数。作为例子，不难构造如下两个杜勒魔方：
我们不禁要问：杜勒魔方一共有多少个？如何构造所有的杜勒魔方呢？容易看到任意两个杜勒魔方的和仍是一个杜勒魔方；任意一个杜勒魔方的任意数乘还是一个杜勒魔方。因此，如果杜勒魔方的元素允许取任意实数，且将每个杜勒魔方元素首尾相接构成一个16维列向量，那么所有杜勒魔方的集合就构成了一个向量空间。从而，上述两个问题就不难回答了：杜勒魔方有无数多个，只要构造杜勒魔方空间的一组基就可得到所有的杜勒魔方。杜勒魔方的魅力还不仅仅局限于引出向量空间和基的概念，它还可以在以后的课堂教学中引领我们揭示线性代数一个又一个的抽象概念：基于化繁为简的思想，构造由0，1构成的和为1的八个基本杜勒魔方，但它们线性相关，而去掉任何一个就是线性无关的，从而找到了7维杜勒魔方空间的一组基；当增强或者放松杜勒魔方中“和相等”的限制条件时，就可得到向量空间的子空间和扩张。用学生喜爱的游戏来揭示线性代数的基本思想——等价分类和化繁为简，使学生感受到数学的神奇，从而激发学生学习线性代数的兴趣。我们在课堂教学中的这一尝试收到了很好的效果。
3.线性代数与解析几何的联系——从勾股定理说起。解析几何为线性代数提供几何直观，许多线性代数的概念和方法都有其几何原形。比如说，勾股定理是一个众所周知的几何特征，其实在n维空间中，结论仍然成立，即当n维向量α，β垂直时，有||α±β||2=||α||2+||β||2。在实践中常用的最小二乘法就是建立在此基础上的。线性代数也为解析几何提供代数方法。比如说，平面上的二次曲线和空间中的二次曲面的分类在几何上是比较困难的问题，但是，如果借助于代数上矩阵的特征值和二次型的惯性定理，该问题就可以轻松圆满地获得解决。
五、本课程的主要内容
“线性代数与解析几何”的主要内容顾名思义分为线性代数和解析几何两部分，但是不同教材讲授的内容不尽相同，讲授顺序也各有差别，这里仅以教材为例介绍内容。线性代数的核心工具是初等变换，主要任务是求解线性方程组，为此要研究各个方程之间的关系；每一个方程对应一个向量，因此要研究向量组的线性相关性、极大无关组和秩以及向量空间的基和维数；一个向量组构成一个矩阵，又要研究矩阵的各种运算，矩阵中行列数相等的方阵还有一个特殊的行列式运算，因此最先研究的应该是行列式的各种性质和计算。知识点环环相扣，而学习的过程要按照上述从后向前的顺序进行。线性方程组的一个主要应用就是计算方阵的特征值和特征向量，从而研究方阵的相似对角化问题。空间解析几何包括用代数方法研究三维空间的直线、平面和二次曲面。基于向量的数量积、向量积和混合积，可以得到直线、平面的各种方程，并能研究直线、平面间的夹角、距离等位置关系；基于实对称矩阵的合同关系的等价分类，通过可逆线性变换特别是正交变换将一般二次曲面转化为标准形，从而判别二次曲面的类型。课程的重点和难点是向量组的线性相关性、极大无关组；矩阵的秩；向量空间的基和维数；二次曲面的类型判别等。
六、学好本课程的关键
学好本课程的关键是要解决学什么及怎样学的问题。学什么？课程知识是一个方面，更重要的是课程带给我们的数学思维方式以及应用数学知识解决问题的意识和能力。在学习过程中应当力求弄清知识产生的背景和课程内容前后的联系，增强知识的整体感、系统性和连贯性，以免淹没在知识点的海洋之中。怎么学？第一掌握三基，即基本概念（定义、符号）、基本理论（定理、公式）、基本方法（计算、证明）；第二做好预习复习，课上体会思路，课下学会总结；第三多看多练多想，深入体会思想方法，提高逻辑思维能力；第四培养自主学习能力、独立分析问题和解决问题的能力。要做好教学工作，需要我们在各个环节上认真细致的努力，作为其中一环，第一堂课的成功与否对整个课程教学有直接的影响。这几年的教学实践让我们越来越感受到努力的成效。现在，常有学生告诉我们这样的话，“原本以为这是一门比较枯燥的课程，但是在第一堂课上的杜勒魔方和连连看的例子彻底颠覆了我们原有的认识，原来看似单调的矩阵里也是一个数字的舞台，在其中向我们展示着数学神奇的魔力，也因此对这门课程产生了浓厚的兴趣”。
参考文献：
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[9]周建华，陈建龙，张小向.几何与代数[M].北京：科学出版社，2009，6.
大学线性代数知识点总结范文5
1 抽象内容具体化、直观化
线性代数课程基本概念和定理多而抽象，学生不容易深刻理解和把握，针对独立学院学生形象思维较强这一特点，对抽象概念、定理及例题的讲解尽量由特殊到一般，由具体到抽象。
在对抽象概念的讲解中，尽量用最直观的方式引入，例如在讲解向量空间的概念时，可以这样处理[2]：给出一个具体的线性方程组x1111+x2123=b1b2b3，学生都已经知道并不是对任意的三维向量（b1 b2 b3）T，方程组都有解，也就是说使得方程组有解的向量（b1 b2 b3）T只是三维向量全体所成集合的子集合，是形如：
的向量全体，其中x1，x2是任意常数，（1）式中的向量是由两个三维向量经线性运算得到的，从几何上看，这些向量的全体形成三维几何空间中过原点的一个平面。我们知道平面上任意两个向量的和还在这个平面内，平面上任意一个向量的数量乘积也还在这个平面内，从而自然地引出向量空间的概念。
参考文献[3]中定理3.4的叙述很抽象，学生不易理解，在教学过程中可以先给一简单的例子：向量组101，202线性相关，则10，20必线性相关，这一点学生不仅很容易理解，而且还能将此定理简化为：“相关组的截短组必相关”，从而也可理解其逆否命题：“无关组的接长组必无关”，收到事半功倍的效果。
在行列式这一章中，大部分教材都会选择证明n阶范德蒙（Vandermonde）行列式的值这一典型例题，但在初次给独立学院学生上课时，这个例题讲了将近一节课，才让学生明白，而且还有大部分学生对用连乘号表示的n阶范德蒙行列式的值不能正确的理解，所以在后来的教学过程中就先选用了一个三阶范德蒙行列式来证明，鼓励学生尝试求解四阶五阶范德蒙行列式的值，最后根据规律写出n阶的结果。
2 对比教学
行列式和矩阵是线性代数的两个重要基础章节，学生在学完行列式后，紧接着就学习矩阵的知识，而这两部分内容有很多容易混淆的地方，比如在矩阵的初等变换过程中，将变换过程中的“”写成“=”。在教学过程中可将矩阵与行列式进行比较教学，首先从本质上说明行列式是一种运算，它是通过规定的一种算法，把n×n个数做运算得到一个结果，最终行列式就是一个数或一个值，而矩阵是一个数表，是由多个数据元素组成的一个阵列，m×n矩阵就是m×n个数阵列的整体。再从外形、表示符号、性质、运算等方面列表比较。这样就使得学生能比较清楚地理解这两部分的内容。
矩阵的运算法则也是学生感到头疼的一个知识点，也可以将矩阵的运算与数的运算进行比较，列表写出其异同点，而且对于矩阵逆的定义也可以类比数的除法进行讲解。同样矩阵逆、矩阵转置和矩阵伴随的性质也可类比进行教学，而且会很容易的发现这三种运算可两两交换次序，即：
这样，利用对比法将各知识点串联起来。有利于学生更好的掌握知识，使所学知识更加条理化、系统化。
3 抓住重点，善于总结
线性代数课程看似概念多，定理多，不易掌握，学生复习时感觉无从下手。实则重点概念和方法较集中。首先，矩阵的秩是这门课程最重要的概念之一，用矩阵的秩可以解决求向量组的秩、逆矩阵、讨论线性方程组解的结构等运算和理论问题。其次，线性代数课程的培养目标也要求学生具有一定的计算能力和逻辑推理能力，而矩阵的初等行变换法是最简捷、最普遍的方法，它可以用于求逆矩阵、求矩阵的秩、求向量组的秩、求向量组的极大无关组、解矩阵方程、矩阵特征值与特征向量的求解等，并且这种方法学生最容易掌握，所以训练学生熟练运用矩阵的初等行变换法，也能增强学生的成就感，从而提高学生的学习兴趣。最后，解线性方程组是线性代数课程的起源，线性代数中几乎所有内容都和解线性方程组有关，例如行列式定义的引入、矩阵、向量组的线性相关性，方阵的特征值和特征向量等。所以按照矩阵的秩、矩阵的初等行变换和解线性方程组这三个主线对线性代数课程的内容进行总结，梳理，会得到很好的效果。
4 重视应用，激发学生的学习兴趣、调动学生学习的主动性
大学线性代数知识点总结范文6
关键词 知行合一 线性代数 教学模式 应用
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）21-0004-02
线性代数是求解线性方程组的一个有力工具，几乎渗透在生活中的各个领域，同时伴随着计算机技术的飞速发展，这门古老的数学分支其重要性和实用性日益显著。关于它的教与学的研究也已有时日，但时至今天仍然是一个备受关注的问题。王阳明的“知行合一”理论，阐述了理论与实践的关系，而线性代数作为一门综合了数学理论、实际应用、计算机技术的数学基础课程来说，恰好完美地阐释了“知行合一”理论。实践证明，当“知行合一”理论应用到线性代数教学中，极大地激发了学生的学习兴趣，形成了良好的师生互动，取得了不错的教学效果。
一、当前线性代数教学中存在的问题
（一）在大类招生的环境下，学生的主体发生改变。以我校为例，学生的公共基础课程几乎都安排在大一，线性代数课程一般安排在大一下半学期，学生的课业繁重，同时线性代数的教学时数少（32学时），教与学的时间相对紧张，如何真正消化理解教学内容是一个大问题。
（二）就教学内容而言，我国传统的线性代数教材一般偏于理论知识的讲授，强调知识体系的逻辑性和完整性，这对于培养学生的数学素质是非常有益的；但由于缺少针对学生专业的应用，学生会因知识的抽象而丧失学习兴趣，进而在学业上裹足不前。
（三）就教学效果来看，线性代数是一门系统的学科，但在教学过程中，教师由于学时的原因，课上滔滔不绝生怕完不成教学内容，而学生接受到的主要就是知识碎片，形成不了认识上的连贯性、系统性，只见树木不见森林，整个线性代数学下来总是糊里糊涂。
（四）就教学关系来看，传统的教学模式中教师是主体，主要采取讲授为主的教学方式，学生被动接受知识，兴趣不高，又由于知识本身的抽象性，很容易在听课过程中分散精力，造成听课的效率低下。
二、“知行合一”教学模式
王阳明的“知行合一”主张：“知中有行，行中有知”“以知为行，以行为之”。这里的知，我们指科学知识，行指应用实践。王阳明主张知行是一回事，反对知行脱节甚至知而不行，这在今天，特别是在线性代数的教学过程中，都具有积极意义。线性代数来源于实践，最终也要回归于实践。“知行合一”这一特点恰好完美地在线性代数教学中得到验证。
（一）教学过程中紧紧围绕求解线性方程组这个核心
大多数学生更容易接受形象化的概念，通过以解简单的线性方程组为引例，对于学生来说比较直观，可以自然地过渡到到行列式和矩阵的章节。比如在讲授行列式的时候，由于开篇就导入了线性方程组这个大的背景，所以尽管学生有不同的数学基础，但都很容易产生强烈的兴趣，在好奇心的驱动下，一般一个题目都会主动寻求多种方法求解。
例1
解：（法1：化三角形法）
（法2：降价法）
（法3：改进后的化三角形法）
（法4： 拆列法）
由此可见，当学生真正清楚原理之后，在实践中会自觉地、灵活地去运用，而通过不同解法的比较，会更好地理解各种方法的优缺点，只是理解上会更系统，应用起来也更加灵活，而只有真正会用，才是真正的“知”。
（二）重点强调几何特点
线性代数的来源之一是解析几何，而学生们又刚刚学完了微积分课程，所以在教学时把线性代数知识和微积分的解析几何部分联系起来，既可以培养学生把代数和几何、微积分联系起来的能力，同时对于理解线性代数中的一些复杂概念有所帮助。比如利用施密特正交化方法由线性无关的向量组得到等价的正交向量组，这个内容学生普遍感觉抽象，教学中引入几何的例子就比较好理解。
例2 设线性无关的三维向量组 1， 2， 3，利用施密特正交化得到正交向量组。
图1
解：令 1= 1， 2= 2+l 1，
（ 1， 2）=0=（ 1， 2+l 1）
l=- 2= 1- 2
同理可得 3= 3- 1- 2。
（三）强调实际引用
线性代数当中充斥着大量概念和定理，教师如果照本宣科，学生容易厌烦，理解起来也有一定难度。在实际授课时，尽量和学生的专业相联系，结合学生的专业特点广泛取材，利用工程学、生物学、遗传学、经济学等学科中的例子解释基本原理和算法，使学生对所学能有一个直观的认知，意识到每个知识点都可以转化为实际应用，从而由被动学习转变为主动学习。
例3 下图所示是某地区一些单行道路在某时段的交通流量图：
图2
写出该流量的线性方程组
，用相应的矩阵表示为
A=。
显然可见，各路口的流入流出情况从矩形表中一目了然。通过此例，大家对矩阵概念的导入就易于理解了，并会积极思考如何用矩阵知识求解线性方程组的解（即此网络中的车流量）。
（四）优化配置习题
1.配置适量的课后习题，便于巩固、验证课堂学到的理论知识；要考虑到习题的深度和启发性，学生不是在机械地模仿教师解题，而是主动思考理解所学的内容。
2.积极参加课程改革实践，编写相应的习题指导书。在《线性代数学习指导与习题解答》书中，根据学科特点，总结了各章节的重点、难点、典型方法和题目，为了适应分层教学的需要，在题目设置上，既有适合初学者的基本题目，还有较难的考研题目，对学生理解和应用所学知识很有帮助。
3.结合应用数学软件Matlab布置习题，体现时代特色。计算机的快速发展直接影响到了线性代数的发展和实践，利用计算机和线性代数的理论结合起来，可以解决一些实际问题，但考虑到教学时数限制，课上不可能深入讨论，我们进行了考核方法上的改进：结合学生的专业特点，布置一定量的拓展作业，既巩固了基础知识，又锻炼了动手能力，深受学生欢迎。
三、小结
线性代数是大学非数学专业的一门非常实用的数学基础课，地位十分重要，它既有严谨的数学理论，还包含丰富的实际应用，再结合应用数学软件，可以帮助学生掌握后续课程所需要的基本理论和基本技能，对学生来说是最有帮助的一门数学课程之一。当把“知行合一”理论带入到我们的课堂，线性代数的三个特征完美地体现出来。虽然学时数目有限，很多问题只能浅尝辄止，但已经把学生的兴趣调动起来，整个教学过程都生动活泼，教学也变被动为主动式，学习也不仅仅局限于课堂上。当给学生的心灵插上翅膀时，他们就能赋予未来无限可能。
参考文献：
[1]汪雷，宋向东.线性代数及其应用[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]钟志贤.大学教学模式改革的十大走向[J].中国高教研究，2007，（01）.
