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一元一次方程组范文1
1、能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解。
2、通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系。
3、通过对以上知识点的学习，提高分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。通过问题情境得出二元一次方程，通过探究代入数值检验来学元一次方程的解。
教学重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；
教学难点：二元一次方程组的解的概念，弄清对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解。以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解。
教学方法：
讨论法、练习法、尝试指导法。
学生学法：
理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础。
解决办法：启发学生理解概念，多举一系列的反例来说明。
教具学具准备：小黑板
教学过程：
（一）创设情境、复习导入
（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？
回答老师提出的问题并自由举例。
学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学元一次方程做铺垫。
（二）二元一次方程（组）的概念
我们来看一个问题：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
思考：
以上问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：[1]
[1]这里所说的条件，是等量关系。下面的文字所组成的等式和方程，以不同形式表达了问题中的两个等量关系，而这两个等量关系是同时成立的。
胜的场数+负的场数=总场数，
胜场积分+负场积分=总积分，
这两个条件可以用方程
x+y=22
2x+y=40
表示。
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程[2]。
这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
[2]这是二元一次方程的定义，它是根据方程的形式，特别是其中未知数的形式给出的，可以对照一元一次方程的定义，理解这种定义方式以及两种方程的区别与联系。
注意：
1.定义中未知数的项的次数是1，而不是指两个未知数的次数都是1
2.二元一次方程的左边和右边都应是整式
我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习。
判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由。
2x+y=40
[3]由于问题中包含两个必须同时满足的条件（等量关系），所以未知数x，y必须同时满足方程①，②，也就是说，我们要解出的x，y必须是这两个方程的公共解。
上表中哪对x，y的值还满足方程②？
[5]设计这个探究的目的是，让学生通过对具体数值代人方程的过程，感受到满足一个二元一次方程的未知数的值有许多对。由于要考虑实际意义，所以满足方程①的未知数的值有23对（未知数为0～22的整数）。
既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。
联系前面的问题可知，这个队应在全部比赛中胜18场负4场。一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。[7]
[7]二元一次方程组的解，既是方程组第一个方程的解，又是第二个方程的解。
（四）课堂练习：
习题8.1：第1、2题
（五）课堂小结
1.谈谈这节课你的收获有哪些？
2.教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
（六）作业（略）
一元一次方程组范文2
本节课是在学生学习了用代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元法。本节课注重学生探索知识的形成过程，让学生通过自主探究、小组合作交流和全班交流的方式，使学生自己发现加减消元法，并掌握用多种方法解二元一次方程组，激活学生的思维，培养学生发现和探索的精神，提高学生的思维能力。
二、教学过程
师：（小组内交流后）下面，请第三小组展示活动一。
生1：活动一的题目是请认真观察下面的方程组，你发现了什么？并尝试用一种或多种方法解这个二元一次方程组。
生2：这个二元一次方程组是 2x+y=5
2x-y=3，我把2x+y=5看成第①式，把2x-y=3 看成是第②式，因为第①式x 的系数和第②式 x的系数相等，所以，我把①和②相加，等于4x=8 ，因为第一个式子是y ，第二个式子是-y ，所以，解得4x=8 ，所以，x=2 。把 x=2代入第一个式子，就是2 ×2+y=5，解得y=1 ，所以这个方程组的解是x=2
y=1 ，谁有与我不同的解法？
生3：我想和你交流一下，你刚才说的正数加负数为零，应该是同一个数的相反数相加为零。如果只是正数的话，那么-3+1=-2 ，你说得不够仔细。
生4：应该是互为相反数的两个数相加，和为零。
生5：这回补充完整了。
生6：我还想和你交流一下，把2x+y=5 看成第一个式子，把2x-y=3看成是第二个式子，因为第一个式子和第二个式子 的系数都相等，所以，把它们相加，①加②等于4x=8，x=2 ， 。
生7：等一下，你刚才说的是两个方程未知数 的系数相等。
生6：哦，我知道了，应该是未知数y的系数互为相反数，所以相加，而不是x的系数相等才相加，x的系数不相等也能相加。
师：孔令旭这点提得非常好，同学们给点掌声鼓励一下，给孔令旭加分。
生8：我前面的式子都和于若楠相同，在第三步的时候，把x=2 代入第二个式子， 2×2-y=3， y=1。
师：武黉，我能不能给你提个问题？你为什么把这两个式子相加？能回答这个问题吗？
生8：两个方程中未知数的系数相等或互为相反数时，这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去一个未知数。例如2x+y=5
2x-y=3 ， y和-y 是互为相反数，所以，把两式相加消去 。
生9：我们小组继续展示。根据活动一，我们小组发现，把x=2代入第一个式子或者代入第二个式子，都可以，都能求出另一个未知数。
生10：我们小组总结的方法是加减消元法。当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程相加或相减，就能消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法。
师：好，把你们得到的这个结论写到黑板上，你们组还有没有要展示的？
生9：没有了。同学们有没有什么想要与我们小组交流的？
生11：我想与你们小组交流一下，既然是加减消元法，那能不能用减法进行消元？我是用减法做的。2x+y=5 为方程①， 2x-y=3为方程②，然后用方程①减方程②， 2x减 2x，等于零，然后y 减 -y，减去一个数，等于加上这个数的相反数，所以y 减-y 等于2y ，所以就等于2y=2 ， y=1，再把y=1 代入式子①，解出x=2 ，所以这个方程组的解是x=2
y=1 。同学们同意我的做法吗？
生：同意。
师：刘岩太聪明了！很好，给刘岩加分。现在我们来看看第一个活动，共有几种解决方法？
生12：两种。用加减消元法解的，一个是加法，一个是减法，都能实现消元。
师：那么我们一起看看刘岩用减法和第三组用加法消元，消去的都是哪个未知数？
生：用减法消去的是 x，用加法消去的是 y。
生9：下面我来总结一下，通过活动一我们小组的发现，是当未知数的系数相反或相等时，可以用加减消元法解二元一次方程组。
生13：我给你纠正一个错误，应该是同一未知数的系数相反或相等时，可以选择用加减消元法解二元一次方程组。
师：这个错误纠得非常好，看来同学们听课非常认真，达到了数学的严谨性，希望同学们都能向孙嘉名学习。
师：下面请第四组展示活动二。
生7：活动二的题目是请你认真解下列方程组。我们小组解决的是第一个问题，解方程组 4x-3y=25
5x+3y=11。我用的是加法，把4x-3y=25 看成方程①，把 5x+3y=11看成方程②，用方程①加方程②得的是 9x=36，把未知数y 消下去了，最后得的是x=4 ，再把x=4 代入式子①，就能求出y 的值，y=-3 ，所以，这个方程组的解是 x=4
y=-3。
生12：（第一组展示）我们小组展示活动二第二题，解方程组3x+5y=4
3x+3y=2 ， 3x+5y=4我把它命名为①，然后3x+3y=2我把它命名为②，这个只能用减法，不能用加法，因为用加法消不去未知数，所以，我用②减①，然后用3x 减3x得零，用 3y减5y 得-2y ，右边得-2，所以，y=1 ，把 y=1代入②，然后 x=-，所以，这个方程组的解为
x=-
y=1。同学们，谁还想和我交流？
生8：我和刘岩方法不同。我是用①减②得 y=1，3x+5y-3x-3y=4-2 ，然后这步， 3x减3x 等于零，5y 加3y 等于 8y等于2 。
生13：不对，我认为应该是括号3x 减3x ，加上括号 5y减 3y。
生8：可以，因为她说是①减②，用①式的 3x减②式的 3x，然后用①式的 5y减②式的 3y，然后 3x减3x 得零， 5y减3y 得 2y， 4减2 得2 。然后再把 y=1代入②，解这个方程得x=- ，所以，这个方程组的解为
x=-
y=1 。同学们，谁想与我交流？
一元一次方程组范文3
1.A、B两列火车同时从相距400千米的甲乙两地相向出发，2.5小时后相遇，如果同向而行，A列火车需经过12.5小时追上B列火车，求两列火车的速度.
解：设A列火车的速度是x千米/时，B列火车的速度是y千米/时。
根据题意，得：
2.5x+2.5y=400
12.5x-12.5y=400
2.某体育场的环行跑道长400米，甲乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次。如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次。甲、乙的速度分别是多少?
解：设乙的速度是x米/秒，甲的速度是y米/秒。
根据题意，得：
30x+30y=400
80x-80y=400
3、客车和货车分别在两条互相平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米。如果两车相向而行，那么两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟;如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒，求两车的速度。
解：设客车的速度是x米/秒，货车的速度是y米/秒。1分40秒=100秒
根据题意，得：
10x+10y=150+250
100x-100y=150+250
4、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度。
解：设船在静水中的速度是x千米/时，水流的速度是y千米/时。
根据题意，得：
3x+3y=36
3x-3y=24
小结：以上4题虽然题设情境不同，但解题思路相同，前三题属于相遇追击问题，分别列两个方程式，一个是相向而行，一个是同向而行。相向而行为两者路程之和，同向而行为两者路程之差。第四题可以把静水中船速和水流速度看作前三个题目中所设的两个速度，把顺流而行看作相向而行，逆流而行看作同向而行，因此可以归纳成同一方程组如下：
解：设两个未知数分别是x,y
ax+ay=m
bx-by=n (其中a、b、m、n是正数)
一元一次方程组范文4
化归思想，就是指在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而获得解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。这也是辩证唯物主义的基本观点。
法国著名数学家笛卡尔有句名言：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解！”这把数学中的化归思想方法体现得淋漓尽致。
二、化归思想在有理数中的应用
显然，在经过一阵简单的转化之后，一个看似很难的问题就变得很容易上手，再次体现化归思想的妙处。当然，在平时的练习过，得不断去强化和加深对这个思想方法的理解和应用。
三、化归思想在方程中的应用
我们之前学习过一元一次方程，也对其解法进行了详细的讲解。那我们来想办法看能否将二元一次方程组化成一元一次方程。此时，给大家介绍一种新的数学思想―消元，二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中的一个未知数，那么就把二元一次方程组化成我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。通过化归，二元一次方程组变成了一元一次方程，这样就解决了问题。下面看一个实际的例子：
一元一次方程组范文5
【关键词】 转化；整体；分类讨论；数形结合；提高
转化思想、整体思想、分类讨论思想和数形结合思想，是初中数学中应用最广泛的四种基本思想.
一、转化思想
在初中数学中，经常要运用转化思想，这一思想是上述四种思想中应用最多且伴随数学学习始终的重要思想. 转化思想就是要化复杂为简单，化未知为已知. 我们知道，一元一次方程的最简形式是ax = b，因此解一元一次方程时，就要把所给的方程逐步地转化为这种最简的形式，其一般过程是去分母、去括号、移项、合并同类项，经过这四步以后，所给的方程就可转化成一元一次方程的最简形式，即ax = b的形式，此时只要再把系数化成“1”，便可得到方程的解. 同样的道理，解二元一次方程组时，要先把不会解的二元一次方程组转化成会解的一元一次方程. 为实现这种转化，可运用代入消元法或加减消元法消去一元，得到一个会解的一元一次方程，解这个一元一次方程，即可求得一个未知数的值，把这个值代入二元一次方程组中的任意一个方程，便能求出另一个未知数的值，从而实现了解二元一次方程组的目的.
二、整体思想
在解答数学问题时，有时问题中会有多个未知数，在一定条件下，我们可以不求每个未知数的值，而只求出含有这些未知数的整体的值，或依据题意构造出一个整体，从而达到化难为易、化繁为简的目的.这种有意识地放大观察问题的视角，将要解决的问题看做一个整体，注重从全局着眼，全面地、整体地观察、分析和思考问题的思想，就是整体思想.
1. 整体思想在计算中的应用
计算7300 - 619 - 1381时，可把减数619和1381构造成一个整体，容易看出它们的和是2000，从7300中减去这个和2000，便能简便地求出其答案为5300，这相当于运用了加法的结合律. 也说明了我们从小学阶段的早期就在运用整体思想这一数学武器.
2.整体思想在二元一次方程组中的应用
例 已知二元一次方程组3x + 4y = 13，4x + 3y = 8，求（x + y）的值.
解 两个方程相加，得7x + 7y = 21，
即7（x + y） = 21，两边都除以7，得x + y = 3.
本题的解法没有按照习惯上求x与y的和，先求x和y的值分别是多少，再求它们的和是多少，而为了求x与y的值，就要先解二元一次方程组这一思路来解，而是抓住了两个未知数的系数的和相等这一特点，把x与y的和看做了一个整体，直接求出了这个整体的值，避免了繁琐的解二元一次方程组，充分地显示了整体思想在数学应用中的神奇作用. 三、分类讨论思想
分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题策略，它贯穿于整个数学教学过程之中. 经常运用分类讨论思想，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性和科学性，所以它在中学数学中占有十分重要的地位.
1. 分类讨论思想在有关三角形计算中的应用
例 已知等腰三角形的周长是7厘米，它的两条边的长分别是a厘米、3厘米，求它的腰长和底边长.
分析 已知中3厘米长的边可能是腰，也可能是底边，所以本题有两种情况.
解 略.
2. 分类讨论思想在绝对值化简中的应用
例 化简 |a + 3| + |7 - a|.
分析 有理数的绝对值可归纳为两种情况：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，因此本题应分四种情况.
解 当a + 3 ≥ 0且7 - a ≥ 0，即-3 ≤ a ≤ 7时，
原式 = a + 3 + 7 - a = 10.
当a + 3 ≥ 0且7 - a < 0，即a > 7时，
原式 = a + 3 + a- 7 = 2a - 4.
当a + 3 < 0且7 - a ≥ 0，即a < -3时，
原式 = -a - 3 + 7 - a = -2a + 4.
容易看出，a + 3 < 0且7-a < 0的情况是不存在的.
四、数形结合思想
数形结合的思想，就是将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形在方法上相互渗透，并在一定的条件下相互补充、转化的思想，也就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转化来解决数学问题的思想方法，或由数思形，或以形助数.用数形结合思想，可以化复杂为简单，化抽象为形象，因此能使许多复杂问题迎刃而解且解法简洁.
1. 数形结合思想在学习有理数中的应用
数轴是学习有理数时实现数形结合的最好工具，无论是相反数、绝对值，还是有理数大小的比较，都能借助数轴，运用数形结合思想，使学生深刻地理解并掌握这些知识，学生在学习绝对值和有理数大小的比较时，都能在数形结合思想的指引下，实现知识的迁移和内化.
2. 数形结合思想在解不等式中的应用
一元一次方程组范文6
[关键词] 支架式教学；模式；探究学习
支架式教学是建构主义的一种教学策略：学生被看做是一座建筑，学生的“学”是在不断地、积极地建构着自身的过程；而教师的“教”则是一个必要的脚手架，支持学生不断地建构知识，不断建造新的能力. 学生的学习过程其实是一个知识网络系统形成的过程，即由一个知识点出发，螺旋式上升形成一个知识板块，再螺旋式上升形成一个知识网络系统，因此，“支架”也应该分为三个层面：（1）在某一个知识点上的“支架”；（2）同一知识点跨章节的知识板块的“支架”；（3）几个不同知识板块之间的连接“支架”. 据此，“支架式教学”应该有三种不同的模式. 本文结合数学学科的特点，分别以实例对三种模式进行详细阐述.
一个知识点的支架式教学模式
数学是由一个个知识点串联起来的，每一个新的知识点的出现，学生接受时都会存在困难，如何根据学生已有的知识水平和能力搭建有效的支架是关键. 因此，一个知识点的支架式教学模式应该由以下几个环节组成：
案例1 人教版数学八年级下册“18.1 勾股定理”教学设计.
（1）创境设疑，搭建问题支架：在古老的数学王国，有一种树木很奇妙，生长速度大得惊人，请欣赏毕达哥拉斯树并回答问题（几何画板动态展示，图2）.
①这棵勾股树的结构究竟是怎样的？
②图3是取出的其中的一小部分，三个正方形面积之间有何关系？
通过动画演示毕达哥拉斯树的生成过程，搭建研究框架，激发学生学习兴趣和求知欲望，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境.
（2）使用支架，透视规律：在此设置两个活动――①利用图3“数格子”，设置梯度引导问题，找出直角三角形三边的数量关系；②利用“几何画板动态实验”， 改变直角三角形三边的长度，让学生观察和感受直角三角形三边的关系.
充分利用搭建的支架，让学生运用已有知识寻找答案，从不同角度发现直角三角形的三边关系，初步猜想勾股定理的具体内容.
（3）合作交流，追根溯源：此环节主要是以学生小组活动交流的形式进行，利用提前准备好的4个全等直角三角形纸片，拼图证明勾股定理成立. 对于学生小组在拼图中出现的问题，教师应进行实时指导，鼓励学生大胆展示自己的拼图结果，并说明构图思路. 从数、形两个方面对前面的猜想做出推理论证，这是本节课的重点和难点，发挥“教师的组织、引导和合作者”的作用，通过恰当地设置铺设性的问题，降低问题的难度，采用启发式教学方法，顺利迁移学生的思维，达成猜想的推理论证.
（4）巩固练习，汇报成果：“循序渐进”设置习题，强化学生对定理的理解、运用，培养学生解决实际问题的能力. 通过实物投影展示学生的学习成果，让学生互相进行点评，体现“学生是学习的主人”，维持学生强劲的学习热情，有力保障学习效率，达成教学目标.
（5）自我小结，体验成功：学生自主小结，回顾本节课重要的思维方法和重要知识点，加深学生对知识的理解，形成合理的知识结构.
从案例1可以发现：这种模式适合一堂课的教学，围绕着某一个知识点的内容进行展开. 它将监控学习和探索知识的责任由教师为主向以学生为主转移，突出了学习的自主性，有利于培养学生的学习能力，与新课标“以学生为主体”的理念相符.
一个知识板块的支架式教学模式
与小学数学相比，初中数学教材结构的逻辑性、系统性更强. 在教材知识的衔接上，前面所学知识往往是后边学习的基础，环环相扣，一个知识点螺旋式上升形成一个知识板块. 这种知识板块的内容一般比较分散，如绝对值，由几何和代数的两种定义，串联了点到直线的距离、算术平方根、含绝对值的不等式等内容形成一个知识板块. 如何实现跨章节的知识板块的支架式教学，最重要的就是紧紧抓住贯穿前后的这个知识点，在它的相应位置设置接口，如图4所示，同时，在后续对应知识的学习中，要与前面的接口实行对接，前后呼应，螺旋式递增地形成一个知识板块.
案例2 初中数学“方程”板块教学设计.
初中数学所学方程的类型有：一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程. 解这些方程，是数学思想（化归思想）的重要体现：多元方程通过消元向一元方程转化；高次方程通过降幂向一次方程转化；分式方程向整式方程转化. 因此，它的支架设计应以“化归思想”为主线，具体教学设计如下：
