前言：中文期刊网精心挑选了向量平行公式范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
向量平行公式范文1
1 承德医学院 河北省承德市 067000 2 北京大学护理学院 北京市 100084
3 承德市中心医院 河北省承德市 067000
【摘 要】目的：探讨承德市社区老年人认知功能水平和生活质量的相关性。方法：采用便利抽样的方法，运用一般情况调查表、蒙特利尔认知评估量表（MOCA）、世界卫生组织生活质量测定量表简表（WHOQOL-BREF）对330 例老年人进行问卷调查。结果：社区老年人处于轻度认知障碍水平，认知功能总分及各个方面与生活质量总分各个维度均呈相关性（P<0.05）。结论：老年人认知功能与生活质量具有相关性，社区医护人员应注重提高老年人的认知功能水平，进而改善其生活质量。
关键词 老年人；老龄化；认知功能：生活质量
为了解老年人认知功能、生活质量状况及其二者之间关系，本研究以承德市社区老年人为研究对象探讨二者之间的关系，现报道如下：
1 研究对象
2014 年5 月-7 月选取承德市社区60岁及以上老年人350 人作为调查对象，进行问卷调查。纳入标准：
（1）年龄≥ 60 岁。
（2）在承德市社区居住1 年以上。
（3）无严重听力、视力和语言障碍，且自愿参加。
排除标准：
（1）在承德市社区居住不足1 年的老年人。
（2）不合作、语言表达不清者。
（3）特定原因引起的认知功能减退者( 抑郁、 血管性)。
（4）已确诊患有老年痴呆者及精神疾病者。
2 研究方法
2.1 研究工具
（1）一般情况调查表：主要包括年龄、性别、文化程度、婚姻状况等。
（2）蒙特利尔认知评估量表[1]：包括视空间/ 执行能力、命名、记忆等8 方面。
该量表具有良好的信效度。
（3）世界卫生组织生活质量测定量表简表[2]：该量表共26 个条目组成，采用5分评分制，部分条目反向记分，得分越高，说明生活质量越好。该量表具有良好的信效度。
2.2 统计方法
采用spss 19.0 软件进行统计分析。
分析变量相关性时，若两个变量服从正态分布，采用Pearson 相关分析；若不呈正态分布，则采用Spearman 相关分析。
3 结果
3.1 一般资料
本调查研究共发放问卷350 份，回收有效问卷330 份，有效率为94.3%。具体情况详见表1。
3.2 老年人认知功能与生活质量之间的相关性（见表2）
4 讨论
本调查研究显示， 社区老年人认知功能水平与其生活质量呈正相关，即老年人认知功能越好，其生活质量水平越高。Abrams[3] 等对社区老年人的研究中得出轻度认知功能障碍的老年人生活质量较正常老年人群低。潘惠英[4] 等对社区老年人轻度认知障碍患病率及其生活质量的调查中，得出了类似的结论。认知功能水平较差的老年人，由于其感知觉减退、记忆力明显下降、思维能力减退、反应迟钝，不能正常参加社会活动，与家人及外界接触较为被动，不能充分利用周围的社会资源，进而导致其生活质量的下降。反之，正常老年人群的生活质量较轻度认知障碍的老年人高。提示社区医护人员对老年人进行健康教育的过程中应注重中老年人认知功能的干预，提高其生活质量，积极促进“健康老龄化”的战略目标的实施。
（通讯作者：洪查理）
参考文献
[ 1 ] N a s t r e d d i n e Z S , P h i l l i p sNA,Bedirian V,et al.The montrealcongnitive assessment,MOCA:A briefscreening tool for mild cognitivei m p a i r m e n t [ J ] . J A m G e r i a t rSoc,2005,53(4):695-699.
向量平行公式范文2
1．有向线段的定义
线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向.像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：.
2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度.
3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和方向.
(2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示.
4.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||.
5．相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=.
6．相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-.
7．向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量平行于向量，记作//.规定： //.
8．零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量.
9．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量.
10．向量的加法运算：
(1)向量加法的三角形法则
11．向量的减法运算
12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系
对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||.
13．数乘向量的定义：
实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作.
向量()的长度与方向规定为：(1)||=|
(2)当0时，与方向相同;当0时，与方向相反.
(3)当=0时，当=时，=.
14．数乘向量的运算律：(1))= (结合律)
(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)
15．平行向量基本定理
如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.
如果与不共线，若m=n，则m=n=0.
16．非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的单位向量，通常记作.
=||，即==(，)
17．线段中点的向量表达式
点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+).
18．平面向量的直角坐标运算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，则
+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).
19．利用两点表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).
20.两向量相等和平行的条件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，则
=a1=b1且a2=b2.
//a1b2-a2b1=0.特别地，如果b10，b20，则// =.
21．向量的长度公式：若=(a1，a2)，则||=.
22．平面上两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.
23．中点公式
若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= .
24．重心公式
在ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，ABC的重心为G(x，y)，则
x=，y=
25．（1)两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p.
当=0时，与同向;当=p时，与反向
当= 时，与垂直，记作.
(3)向量的内积定义：=||||cos.
其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.
(4)内积的几何意义
与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在 方向上的正射影数量的乘积
当0，90时，0;=90时，
90时，0.
26．向量内积的运算律：
(1)交换率
(2)数乘结合律
(3)分配律
(4)不满足组合律
27．向量内积满足乘法公式
向量平行公式范文3
[关键词]向量平行 向量垂直 向量平移
引言：向量相关知识一直以来都是高中数学的重点内容之一，也是每年高考的必考内容。近年来向量部分在各省高考数学试题中，主要侧重于对向量概念及性质，向量的基础运算如空间图形和平面图形中的向量应用等进行考查。但同学们由于未能正确理解向量基础知识，导致在解题和学习过程中容易出现各种各样不易察觉的错误，进而使解题思路进入各种误区，造成极大混乱。本文对向量学习中必须加以注意的事项进行列举，以期能帮助高中同学更好地理解向量。
一、 零向量与实数零的区别及有关运算
向量■代表零向量，它的方向只有一个，且是任意的，大小为0。零向量平行于任意向量。而0只是一个实数，并没有方向的概念。零向量在向量运算中经常出现，也是最容易出导致计算错误的知识点，这主要还是因为同学们在学习过程中未能加速对零向量的理解所致。例如，对于两个向量的乘机■·■=0，直接推导出■或■=0是最典型的错误。这是因为在实数运算中，两个数相乘结果为零，那么表示两个实数至少有一个为零是正确的，但在向量的数量积运算中除了表示两个向量至少有一个为零向量外，还存在另一种可能性，那就是两个向量如果方向垂直的话，其乘积也为零。
二、 向量积运算
向量积运算容易出现的错误是简单地套用实数积运算中的消去率和结合律。例如，由■·■=■·■，■≠0直接推出■=■。很明显这是错误的。会出现这种错误，原因在于个别同学未能真正理解向量的定义。
另一个在向量的数量积运算中容易出现的误区就是错误运用结合律。在实数运算中，（a·b）·c=a·（b·c）很明显是成立的，但两两相乘的向量积运算如（■·■）·■=■·（■·■）则是错误的。原因就在于，两个向量相乘如（■·■）或（■·■）的结果是实数，而三个向量相乘如（■·■）·■或■·（■·■）则是向量，两个向量相等的条件是两者的大小相等，方向一样（即共线）。
三、向量坐标与点坐标
向量的坐标是将所表示向量的字母用等号与坐标相连接，而点坐标是直接在所表示点的字母后面直接写。例如，某题给出三角形三个顶点的坐标分别是A（-3，5），B（-5，2），C（1，-2），要求对三角形的形状进行判断。错误解法是将点的坐标与向量坐标搞混，导致出现概念性错误：因为-3×1+5×（-2）=-13
此外，在向量坐标和点坐标知识点的学习过程中还应该注意区分点平移和向量平移。平移公式并不适合向量平移的规律，它揭示的是沿着向量方向平移点坐标之后，前后坐标之间的变化关系；而向量平移并不会改变自身大小，其大小和方向依然与原向量相等。因此，我们在运用平移公式时必须对平移前后的坐标加以认真区分。
四、向量平面性质及几何性质
向量具有方向性，因此两个向量不能直接比较大小；规定任意向量都与零向量平行；单位向量有无数个，是指长度为1的向量；两个向量平行也称两个向量共线，平行公理在对于向量平行情况并不适用。例如，某题要求找出以下四个命题中的假命题，分别是1.假设平面上所有单位向量都拥有共同的起点，那么将这些向量的终点连接起来构成的图形是一个圆；2.如果向量■平行于向量■，向量■平行于向量■，那么向量■平行于向量■；3.如果向量■大小为7，向量■大小为8，那么向量■小于向量■；4.如果两个向量■、■共线，那么可用一条直线将A、B、C、D四点连接起来。根据平面向量的有关性质，向量不只有大小还有方向，很明显第三个命题错误。
五、结论
综上所述，高中数学相对于初中数学来讲深化了许多概念，在很多知识点的运用上更为强调对其使用条件和性质的深入了解。高中学生在每一章节的教学习中，只有对每一个概念都进行深刻理解，并注意抓住它们与其它知识点之间的联系，举一反三，注重区分和对比，才能避免陷入不必要的学习误区，从而提高学习效率和学习质量。
参考文献：
[1] 姚洪琪. 空间四点共面充要条件的应用与探究[J]. 中国校外教育. 2011（07）
[2] 高明生.平面向量的基本功，你掌握了吗[J].中学生数理化（高一版）. 2008（04）
[3]李昭平.学习向量八注意[J].数学大世界（高中辅导）.2003（05）
[4] 刘显伟. 例谈平面向量数量积公式的常见应用[J]. 新高考（高一语数外）. 2011（01）
向量平行公式范文4
1向量的数量积的研究
有关向量的数量积的研究。王仁明对“课本中的两个公式”加以证明，引出了向量数量积在代数中的应用。这个证明对于求线面角、二面角、线线角有很大的帮助综上所述，目前国内研究向量在解析几何中和立体几何中的应用的文章见于诸多报刊杂志，但是把它运用到代数方面的更少。至于研究向量法在中学数学中的应用的文章则更少。因此，本课题从在几何和代数方面入手进行探讨和研究，力求把这些方法运用到中学数学中去。
2向量法的应用
目前对向量法在中学数学中的应用涉及到四个方面：在平面几何中的应用，在平面解析几何中的应用，在立体几何中的应用，在代数中的应用。2.1在平面几何中的应用在证明某些几何问题时，往往需要作辅助线，去证明三角形全等、相似等情况，做起来非常复杂。但是如果运用向量法这一工具，将会使问题简单。例1[2]证明：连接三角形两边中点的线段，平行于第三边且等于第三边的一半。证明：设ABC两边AB，AC之中点分别为M，N（如图1）那么：MN=AN-AM=12AC-12AB=12（AC-AB）=12BC所以MN//BC且|MN|=12|BC|这说明三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半。评注：诸如此类问题很多，如证明：共点、共线、平行等问题，都可应用向量的线性关系来解决。向量的线性关系包括线性相关、线性无关、线性组合等。例2证明平行四边形对角线的平方和等于它的各边的平方和。分析：要证明边与边之间的关系，我们可运用正弦、余弦定理来证明。但是比较复杂，如果运用向量这一工具就有新的面貌出现。证明：[2]如图2在平行四边形OACB中设两边为OA=a，0B=b，对角线OC=m，BA=n那么m=a+b,n=a-b于是n2=(a-b)2=a2-2ab+b2所以m2+n2=2(a2+b2)即|m|2+|n|2=2(|a|2+|b|2)评注：向量法还可用于证明三角形的中位线交于一点，高线交于一点。从例1，例2中可以看出用向量法解平面几何中的共点、共线、平行等问题时，向量的线性关系起着极为重要的作用。2.2在平面解析几何中的应用例3已知：[3]抛物线y2=2px(p>0)，若有过动点M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A，B|AB|≤2p（1）求a的取值范围。（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：利用两向量共线的充要条件，a//b有且只有一个实数λ使a=λb(b≠0)解：（1）设则评注：解析几何中有关动点、动直线、动弦、动角、动轨迹的最值问题，往往覆盖面广，综合性强，解法灵活，不易掌握，这类问题常用向量法去求解或证明。从例3，可以看出利用向量知识解决解析几何问题的基本思路是：根据题意巧构向量或把题目中有关线段看作向量，利用向量中的有关公式列出方程求解。思路清晰，方法简洁规范。2.3在立体几何中的应用例4[6]如图4正方体的棱长为a，F是CC1的中点，O是下底面中心，求证：A1O平面BDF分析：要证明直线L与平面垂直，只需证明这条直线L与平面a的法向量n满足L=λn的关系即可，其中λ为非零常数。证明：建立如图4所示的空间直角坐标系D——XYZ则D（0，0，0），B（a，a，0），F（0，a，a/2），A（a，0，0），O（a/2，a/2，0）设n=（x，y，z）为BDF的法向量容易计算n=（1，-1，2）[1]A1O平面BDF评注：此问题还可以推广，证明线面平行、面面平行、面面垂直的问题都可以转化为用向量法来证明。从例4可以看出利用向量法这一工具解立体几何问题，有利于避开立体几何传统解法的繁琐的推理。从而降低思维难度，使解答过程流畅、简洁，易于掌握。2.4在代数中的应用例5[7]求证：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ证明：如图5，在单位圆上取两点A、B，使∠XOA=α，∠XOB=α-β，则∠AOB=α-β所以OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ故cos（α-β）=cosαcosβ+sinsinβ评注：此题用了两矢量的数量积。此问题还可以推广到求两直线的夹角。从例5可以看出用向量证明两角和、差的余弦公式和证明不等式，可以省略许多环节，使学生也较容易理解。从以上几个例子可以看出，利用向量知识解决中学数学中的问题的基本思路是如何科学合理的把题中的某些元素向量化，或根据题意巧构向量。利用向量法不仅可以求解或证明几何问题，还可以求解或证明代数问题，尽管向量的概念简单，但是我们如果细心体会，深刻挖掘，就可以发现在简单的概念后潜藏着巨大的意义和作用，因此，当代大学生和教育一线的教师把握好向量法中学数学中的应用这一点，这有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识和创新精神有着十分重要的作用。
作者：王盛 单位：云南省巧家县二中
向量平行公式范文5
一、三角函数式求值
重难点剖析化简三角函数式，关键在于灵活运用公式． 化简变形过程中一定要关注角的统一性、函数名称的一致性，以及变形的严谨性． 解决求值问题，特别是解决有条件的求值问题时，应认真分析已知条件（包括隐含条件）和结论之间的结构特征，把所求的三角函数式进行适当变形，使之与已知条件的形式一致，充分发挥条件的整体功能，为整体代换创造条件，或把条件式和所求的三角函数式都进行适当变形，以便逐步架设沟通两者的桥梁．
例1已知cosα
－+sinα=，则sinα
+的值是（）
A． －B．
C． －D．
简析因为cosα
－+sinα=cosα+sinα=，所以sinα
+=，而sinα
+= －sinα
+=－，故选C．
点评在处理条件求值问题时，首先要观察条件式和所求式中角的特征，再恰当地进行角的配凑，把题目中的角化成同一个角（注意整体的思想），为求出待求式的值创造条件. 三角函数的变形要遵循“统一角，统一名称”的原则，而且常常运用“降次”“切弦互化”等基本变形技巧．
二、三角函数的简单性质
重难点剖析三角函数的性质主要包括周期性、单调性、奇偶性、对称性和最值，在研究三角函数的性质时，首先要把三角函数解析式变形成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，换句话说，y=Asin（ωx+φ）+B是三角函数解析式变形的方向，然后根据公式求解，并注意结合三角函数的图象．
例2已知函数f（x）=（sinx－cosx）・sinx，x∈R，则f（x）的最小正周期是________．
简析f（x）=sin2x－sinxcosx=－=－sin
2x+・，此时可得函数的最小正周期T==π．
点评把函数变形成y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）后，可以分别由2kπ－≤ωx+φ≤2kπ+，2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+（k∈Z）得出y的递增区间、递减区间；由公式T=得到周期；由公式ωx+φ=kπ+得到对称轴．
三、图象及图象变换
重难点剖析由y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一段图象求函数的表达式时，首先要正确理解三角函数的概念，一般由图象可知周期T，再由T求出ω；要确定φ可以通过图象最高（低）点的坐标. 由y=sinx的图象通过变换可得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，变换的顺序通常有如下两种：
（1）y=sinx[相位变换]y=sin（x+φ）[周期变换]y=sin（ωx+φ）[振幅变换]y=Asin（ωx+φ）；
（2）y=sinx[周期变换]y=sin（ωx）[相位变换]y=sin（ωx+φ）[振幅变换]y=Asin（ωx+φ）.
值得指出的是，若对调相位变换与周期变换的顺序，则平移的单位一般是不同的． 先相位变换后周期变换，应平移φ个单位；先周期变换后相位变换，应平移个单位．
例3把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）
简析y=sinx[向左平移个单位]y=sinx+
[横坐标缩短到原来的倍]y=sin
2x+，故选C．
点评一定要注意在对函数y=sin（ωx）平移变换时，需要将x前面的系数ω与x分离，即将y=sin（ωx）向右平移φ个单位所得解析式为y=sin（ω（x－φ））．
四、向量的概念及运算
重难点剖析平面向量的加法、减法、数乘和数量积及其运算律既是向量部分的基本运算，又是向量部分的核心内容． 复习时应从几何、代数（坐标）两方面注意定义、性质、法则、定理，熟练地进行平面向量的四种基本运算，处理好有关长度、角度、平行（包括三点共线）及垂直的问题．
例4关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a・b=a・c，则b=c．
②若a=（1，k），b=（－2，6），a∥b，则k=－3．
③非零向量a和b满足
，则a与a+b的夹角为60°．
其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）
简析①a・b=a・c⇒a・（b－c）=0，向量a与b－c垂直；
②a∥b⇒b=λa⇒=⇒k=－3；
⇒a，b，a－b构成等边三角形，a与a+b的夹角应为30°，所以真命题只有②．
点评可以类比解析几何中的直线平行与垂直公式来记忆向量平行与垂直的坐标公式；两个向量的数量积是一个实数，不是向量，其符号由夹角所处范围决定，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角（0≤θ≤π），两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量的始点符合要求，在向量的数量积的运算中要注意：①a・b=0未必有a=0或b=0；②数量积不适合结合律，即（a・b）・c≠a・（b・c）；③a・b=a・c不一定能推出b=c．
五、利用向量知识解决平移问题
重难点剖析向量意义上的函数图象平移问题的本质是前后两个图象的每个对应点构成的向量相同，基本方法有待定系数法和向量的几何意义法（结合三角函数图象的平移等知识）．
例5将y=2cos
+的图象按向量a=
－，－2平移，则平移后所得图象的解析式为（）
简析解法1，由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P ′（x′，y′），P（x，y），a=
－，－2==（x－x′，y－y′）⇒x′=x+，y′=y+2，带入到已知解析式中即可得到答案，选A．
解法2，由a=
－，－2平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．
点评本题主要考查向量与三角函数图象平移的基本知识，以平移公式切入，易错点是将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背成先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选C. 所以了解向量意义下函数图象的本质是正确解决这类问题的关键．
六、综合性问题
重难点剖析三角和向量与函数、不等式、解析几何、平面向量（三角函数）交汇命题是近年高考考查三角和向量的一种趋势，重点考查三角和向量的基本知识、基本技能和基本方法. 解决向量与三角综合问题的关键是用向量运算的有关法则及公式等，把问题转化为三角函数问题．
例6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=3．
（Ⅰ）求cosC；
（Ⅱ）若・=，且a+b=9，求c．
简析（Ⅰ）因为tanC=3，所以=3. 又因为sin2C+cos2C=1，解得cosC=±． 因为tanC>0，所以C是锐角， 所以cosC=．
向量平行公式范文6
关键词： 向量内积 立体几何问题 距离 夹角
距离和夹角（两条异面直线之间的距离、点到平面的距离和异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等）是立体几何中的计算难点，也是考试热点.用传统知识和方法解决这些问题，往往要对图形做过多的分析，需要作辅助线和一些烦琐的拼凑技巧，对学生而言不易掌握.利用向量内积知识一般可将上述的问题转化为代数问题来解决，可避免许多繁难的图形分析，将问题的解决程序化和公式化，易于操作，学生也容易掌握，可大大降低思维难度，提高学生的解题能力.正如张奠宙教授说的，利用向量许多几何命题迎刃而解……比起综合方法需要“个别处理”的技巧，它是一个“一揽子”解决的手段.
1.求点到平面的距离
立体几何中的几种距离：两条异面直线之间的距离、直线与平面之间的距离、两平行平面之间的距离等一般都可化为求点到平面的距离.在无法（或难以）判断所引垂线的垂足位置时，利用公式
（1）（是平面法向量，P是平面外的点，O是平面内的点）求点到平面的距离，的确是解决问题的有力工具.
例1.（2010年全国高考理科数学试题江西卷20题（Ⅰ））如图（略），BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，，求点A到平面MBC的距离.
解：几何法需作多条辅助线，还以棱锥不同的面为底面通过求棱锥体积来求（技巧性强），找法向量较简单.
取CD中点O，以O为原点，直线OC、OB、OM分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则，设为平面MBC的法向量，由易求得一个代入公式（1）得所求距离
例2.（2005年全国高考文科数学试题重庆卷20题（Ⅰ））如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC，已知：求异面直线PD与EC的距离.
解：以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，作P′C∥PD，且使 |P′C|=|PD|，则因P′C∥CE、P′C确定的平面α，D点到α的距离即为异面直线PD与EC的距离.
不难求出相关点及相关向量的坐标：设α的法向量由易求得一个又代入公式（1）得所求距离
例3.（2009年全国高考文科数学试题重庆卷18题（Ⅰ））如图（略），在五面体，四边形ABFE为平行四边形，FA平面 求直线AB到平面EFCD的距离.
解：以A为原点，AB、AD、AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，因AB∥平面EFCD，A点到平面EFCD的距离即为直线AB到平面EFCD的距离.不难求出相关点及相关向量的坐标：A（0，0，0），C设平面EFCD的法向量由易求得一个代入公式（1）得所求距离
2.求异面直线所成的角
两条异面直线既不相交，且又有所成的角，这对初学立体几何的学生是难以理解的.求异面直线所成的角是学生在学习立体几何中碰到的计算度量方面的第一个难点，因为用几何法求无现成公式可套，一般要找出（作出）所要求的角，这需要一定的技巧.利用公式
（2）求面直线所成的角较几何法有明显优势.
例4.（2005年全国高考理科数学试题湖北卷20题（Ⅰ））如图（略）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面，E为PD中点，求直线AC与PB所成的角的余弦值.
解：以A为原点，直线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则，所成的角为θ，则由公式（2）得直线AC与PB所成的角的余弦值
3.求直线与平面所成的角
求直线与平面所成的角，是学生在学习立体几何中碰到的计算度量方面的又一个难点.直线与平面所成的角的定义比异面直线所成角的定义更抽象、更难理解，首先要会作出斜线在平面上的射影，在不易找出（作出）所要求的角的情况下，应会利用公式3）（是平面法向量，∥斜线）来求.
例5.（2011年高考数学试题（全国卷）（理科·必修+选修（Ⅱ）19题）如图（略），四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）证明SD平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小.
解：AB与平面SBC所成的角不易找出（作出），用几何法解要经过转换求出AB上的点到平面SBC的距离（较难求），再用锐角的正弦定义求出.用公式（3）较简单.
在证明（Ⅰ）SD平面SAB的条件下，以C为原点，直线CD、CB分别为x轴、y轴建立坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），由得设平面SBC的法向量由易求得一个2），代入公式（3）得所以AB与平面SBC所成的角的大小为4.求二面角的大小
二面角的大小是用它的平面角来度量的，而平面角有无穷多个（都相等），可能是高中立体几何中学生最难理解的一个概念，但几乎是多年来数学高考的必考题，据笔者了解所知，大部分高中数学一线教师都要求学生会利用公式 分别是两个半平面的法向量）求二面角大小，传统的方法逐渐被淡化，部分原因可能是为了应试，但不可否认，在实际操作上较传统的方法的确是有明显优势的.
例6.（2011年全国高考（课程标准卷）数学（理科）试题18题）如图2，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD.若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.
解：要找出二面角A-PB-C的一个平面角显然不易.在证明BD平面PAD后，以D为原点，直线DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则分别为平面PAB、平面PBC的法向量，由易得代入公式（4）得由图知（图略），所求的角是钝角，所以二面角A-PB-C的余弦值是
由上面分析和实例可知，利用向量内积知识解决立体几何中的难点问题的优势，是传统知识和方法无法代替的，更主要的是通过对向量内积知识的学习和应用，对培养学生的思维品质和数学能力是大有裨益的.一线教师在教学中应对这部分知识给予足够的重视.要让学生掌握向量的思想方法，并且借助于向量，应用联想的观点，运动的观点，审视的观点，进行纵横联系，广泛联想，将几何、代数、三角函数等数学知识、数学方法进行合理重组和整合，体验向量法解（证）题的简单美和结构美及数学价值，激发学生的学习积极性，对学生进一步学习空间解析几何等高等数学也很有必要.
参考文献：
