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数学模型范文1
【关键词】数学模型；小应用；案例
案例：椅子问题
把椅子置于地面时，如果只有三只脚着地，椅子经常放不稳，通常需要调整几次方可将椅子放稳，试用数学语言对此问题给以表述，并用数学工具说明椅子能否在地面上放稳？若能，请给予证明并给出做法，否则说明理由。
【问题分析】
为了构造距离函数和设定相关参数，让我们实际操作一下，从中搜集信息，弄清其特征。要想四只脚同时着地，通常有四种方法：其一是将椅子搬离原地，换个位置试验；另一个做法是原地旋转试验，由于前一种方法需要研究的范围可能要很大，这里我们采取第二种做法。通过实地操作，易得出结论：只要地面相对平坦，没有地面大起大落的情况，那么随着旋转角度的不同，三只脚同时落地后，第四只脚与地面距离也不同（不仅如此，旋转中总各有两个脚同时着地，另两个脚不稳定）。也就是说，这个距离函数与旋转角度有关，是旋转角度的函数，于是一个确定的函数关系便找到了，不仅如此，我们的问题也顺其自然地转化为是否存在一角度，使得四个距离函数同时为零？
综上分析，问题可以归结为证明函数零点的存在性，遂决定试用函数模型予以处理。
【模型假设】
根据前面的分析，我们可作如下假设：
1）椅子的四只脚同长。
2）将椅子的脚与地面接触处看成是一个几何点，四角连线为正方形。
3）地面相对平坦，即在旋转所在地面范围内，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
4）地面高度连续变化，可视地面为数学上的连续曲面。
【建立模型】
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
依据假设条件，四只脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便可表示椅子位置的改变，于是可以用旋转角度的变化表达椅子的不同位置。为此，我们以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时（角度θ=0）四个椅脚点A，B，C，D中的A点和C点位于x轴上，B点和D点位于y轴上。旋转角度θ后，点A，B，C，D变到点A′，B′，C′，D′（图1）。显然，随着θ的改变，椅子的位置也随着改变，从而椅脚与地面距离也随之改变。尽管椅子有四只脚，有四个距离，但对于每个角度，总有点A、C同时着地而点B、D不同时着地或点B、D同时着地，而点A、C不同时着地，故只要设两个距离函数即可。因此设A、C两脚与地面距离之和为fθ，B、D两脚与地面距离之和为gθ，且作为距离函数的fθ、gθ均为非负函数。由假设（3）可知，对任意角度θ，恒有fθ=0，gθ0或gθ=0。故fθgθ=0对任意θ成立。
要证明存在角度θ0，使fθ0=0，gθ0=0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置（θ=0）处，有f0=0，g0>0或f0>0，g0=0，而旋转90°后，两组条件恰好交换。因此，椅子通过旋转改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题，即
已知fθ、gθ是θ的连续函数，对任意θ，fθgθ=0且f0=0时g0>0，fπ2>0时gπ2=0。
求证：存在θ0∈0，π2，使fθ0=gθ0=0。
这就是椅子问题的数学模型。由此可见只需引进一个变量θ及其一元函数fθ、gθ，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来，从而形成所需要的数学模型。
【模型求解】
容易看出本模型属于一元连续函数的零点存在性问题，使用介值定理便可轻松证明它。
数学模型范文2
数学向学生传达的是一种“模型”的思想，数学模型源于原型、又高于原型。课堂教学中，教师要引导学生充分经历从数学原型到数学模型的知识创造过程，消除数学原型对概念学习的干扰，深化数学理解。
一、注重问题设计
为了促进学生数学理解，必须精心设计问题，让设计直触问题要害。引导学生进行聚焦式思考，鼓励学生在重要的概念上。花更多的时间深入持久透彻地理解。这就要求教师能分析出教材中的重点，突出重点中的精华。例如，平行线的画法是教学的难点，为此教师精心设计了问题串，引发学生思考：①摸底：你准备怎样画平行线?(想到描和移。但发现用移的方法容易移歪)②质疑：怎样移，画出来的就一定是原直线的平行线呢?(学生感到困惑无助)③原型启发：(观看纱窗平移)是什么保证窗户边平移前后所在的直线一定互相平行?(靠着轨道滑行)④移植：能不能在画平行线时也安装个轨道，让它有个依靠?怎么安装?安装时要注意什么?⑤定位：画平行线要经历哪些步骤?(对、靠、移、画)这一环节由“为什么要靠”到“用什么靠”，再到“怎样靠”，构成了一条主题鲜明、各环相融、对话引证的问题串。其中，把“窗户轨道”这一生活原型提炼成了数学模型。更好地突出了重点，突破了难点。
二、丰富表象积累
从学生已有的知识经验来看，原型是有丰富的相关活动经验作支撑的数学事实或现实材料。便于学生能自然地从头脑中产生数学问题，比较顺利地完成从原型到模型的认识过程，沟通经验世界与数学世界的联系。
“三角形的认识”一课，三角形“高”的定义和画法是本课教学的难点。为此，教师将“两个人比高矮”之类的情境置换成两个三角形比高矮，既保留了生活原型中“水平为底、竖直为高”这一关键特征，又满足了三角形高的教学这一要求。通过提问“不转动三角形，你能把高画出来吗”。促使学生从“水平方向的底、竖直方向的高”这一生活原型中，抽取“垂直”这一本质特征，在“非水平方向的底”上作出“非竖直方向的高”，从而，使学生对高的认识产生了由生活原型到数学概念的飞跃。
同时，教师引导学生全面考察了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中高的各种表现形式，进一步深刻理解高的概念。当学生的认识遇到困难(尤其在认识钝角三角形外高)时，可以利用高的原型(如将求作高的底边转到水平位置)，在变化的情境中认识高的意义和画法。这种不断穿梭于原型和模型之间的学习，不仅能帮助学生形成对当前知识的深刻理解，并将有效地促进后续相关知识的学习。即使从最坏的情况看――学生忘记了高的意义和画法，只要还有原型存留脑中，还有从原型到模型――这种对数学发生发展规律的认识和学习方法存留脑中。就有可能借助原型重新发现这些遗忘的知识。
三、适时抽象本质
小学数学教材中，有许多概念属于描述性概念，即通过描述的方法，借助具体图像、实例来说明概念的内涵。但由此带来的结果往往是学生对概念内涵的认识始终停留在一种模糊表象的层面上，对数学的本质并没有十分清晰的把握。
苏教版二年级上册“认识线段”一课，以“毛线”作为线段的生活原型引入概念。例题呈现了把一根线放在桌上是弯曲的，用手捏住线的两端拉紧，它就直了。一教师组织了相应的活动，但由于没有适时揭示概念的本质属性“线段是直的，有两个端点，线段有长短”，从而导致学生只关注毛线的物理属性，闹出了笑话，认为线段就是“有颜色的”，“线段可以用来补衣服”等。
由实物的感知开始，通过观察、操作、语言描述逐步建立概念，是“线段”教学的基本步骤。教师应先引导学生对“线段”这一概念的生活原型――拉直的线进行观察和操作，再借助形象揭示概念。通过描述性的定义适时抽象出线段的数学意义，引导学生建立线段的正确概念。儿童的概念学习要经历具体――表象――抽象的过程，教师要善于引导学生在直观物体和抽象概念之间搭建桥梁，正如苏霍姆林斯基所言，“直观手段应当使学生把注意力放在最主要、最本质的东西上去”。
四、突破原型框架
原型不但能启发学生在正确理解和解决数学问题上找到捷径。更为学生创造想象的发展提供了广阔的空间。它的意义绝不仅仅在于被当作模具来完成塑像任务，它是创造、创新的“点金石”。正因为有了原型的启发，人们才插上联想的翅膀，把知识不断完善，把技术不断更新。而这种突破原型框架、优化解题方案的过程。正是创造性思想形成和发展的过程。我们在教学中，应积极引导学生利用原型启发找到更多、更好的解决方法，变被动为主动，使学生真正成为学习的主人。
例如，在讲“正比例的意义”时，课前让学生观赏了泰勒斯测量金字塔高度的方法。用“杆高和影长成正比”的关系引入课题。讲完正比例的意义后，又提出了一个问题：“泰勒斯的方法是不是最好?你有更好的解决办法吗?”学生们热烈的发表意见：泰勒斯只在“杆高=影长”时才能测量，有一定的局限性，而根据“杆高和影长成正比例”的关系，我们在任何有太阳的时候都可以测量!
数学模型范文3
关键词：小学数学；模型思想；建模；步骤；方法
一、教学模型的含义
所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，用数学形式语言把纯粹的数量关系从现实世界的纷繁复杂的事物联系中抽取出来加以概括。简单地说，在小学数学阶段，用数学形式符号建立起来的数量关系式，以及各种图表、图形等都是数学模型。2011年修订的《义务教育数学课程标准》将数学“双基”发展成 “四基”； 新增了“数学模型思想”，在10个核心概念中，唯独其被冠以“思想”称呼，对比中彰显标杆意义。
二、小学数学建模教学的现状与分析
传统模式和理念下的教学设计，多是注重“知识与技能”这一目标维度。“就事论事”式的简单教学，起于铺垫再到新授，止于练习，亦步亦趋，更多的是学科内部纯粹知识之间的演绎。学生缺乏生活的原型操作，缺少规律的探究、方法的寻求、思想的体验，师其意而不师其辞，更谈不上思想方法的内化和强化。集体无意识状态下的教学，鲜有建模思想渗透，难见“建模”和“用模”的痕迹，无视建模价值。由于建模意识的淡薄，教师很难具有高屋建瓴的教学观念与方法研究，建模教学是一方沃土，需要人师们不断开拓。
三、小学数学建模的一般步骤
数学建模每一个环节的衔接，就像一根精美的逻辑链条，丝丝入扣。首先是情境再现，准备模型。发挥现代技术媒介优势，利用信息技术或情境展示等手段，从学生已有的生活经验出发，给学生呈现一个形象的情境问题。其次是选择策略，假设构建。学生的数学建模涉及学科知识、概念、规律、问题、方法。教学过程经过假设、推理、简化，然后让生活信息初步抽象成数符、文字解决问题，最终用数学思想方法抽象成数学模型。最后是问题回归，验证应用，在生活中寻求解释、验证和应用，让学生真正体验到所学知识的用途和益处，实现建模的真正价值。
四、小学数学建模的基本方法
1.立足数学课堂主阵地开展建模教学
（1）解读教材。教科书中的一些课程内容编排贯穿建模的思路。教师要充分挖掘书本中蕴含的建模思想，深度解读，精心设计和优化选择，在教学内容中寻找现实问题情境。使学生置身于“寻找实际问题―数学化―建立模型―解答问题―解决问题”情境中，获得丰富的情感和体验。
（2）挖掘素材。作为教师，要有意识地去创造数学模型的材料，寻找教材中数学模型的素材，利用一切数学模型的教育因素。要在看似没有数学建模内容的问题中，挖掘建模素材，拓宽建模空间，开辟出能训练学生建模能力的“新天地”，让数学模型再现、再生，给学生提供和创造更多的数学建模机会和空间。
（3）革新教学。一方面，教师以有关理论为指导，以教学实践为基础，革新教学模式，形成教与学、教与研相结合的新型教学方法。另一方面，树立以学生发展为主体的新理念，在课堂教学中大胆实践、探索，开展观察、实验、分析等活动。
2.借助数学综合与实践活动平台开展建模教学
小学数学综合与实践也可以理解为“数学建模或数学实际应用”。 鼓励师生共同参与教与学，帮助学生积累数学活动经验，以问题为载体，借助数学综合与实践活动平台，培育学生发现、探究、解决问题的能力。数学模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的路径，可以结合教材内容，适当对各种知识点进行整合，并使之融入生活背景，生产出好的“建模问题”作为综合与实践活动的主要题材。
3. 依托习题载体开展建模教学
教材上许多习题并不是实际问题的原形，教学不能仅仅是满足于得出答案， 而是进一步深度挖掘，使其成为建模的有效素材。例如以下的习题1、习题2和习题3都是正方形与圆有关题材的问题，只是变换了圆与正方形的位置关系。教师开发这类变式题，集中形成序列进行教学，寻找其内在联系，目的正是引导学生在解题时能够运用一定的数学思想。
习题1：正方形的面积是12平方厘米， 圆的面积是多少？ （图1）
习题2：正方形的面积是20平方厘米， 圆的面积是多少？（图2）
习题3：正方形的面积是16平方厘米， 圆的面积是多少？（图3）
模型思想作为一种思想，要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程。在素质教育行走的大道上，数学学科建设、课程改革方向、学生个体发展都必将与数学建模教学活动一路同行。
参考文献：
[1]习赵静，但 琦.数学建模与数学实验[M]. 北京：高等教育出版社，2008.
数学模型范文4
【关键词】数学模型；函数；问题
数学已被称为模式的科学，数学概念和数学命题已经具有超越特殊对象的普遍意义，它就是一种模式，数学问题和方法也是一种模式.我们把数学理解为是概念、命题、问题和方法等多种成分组成的复合体，模式就有助于领悟数学的本质，在高中数学中常被称为“数学模型”.数学模型就是利用数学语言（包括符号、图形、公式）模拟现实问题的模型，把问题原型进行抽象、概括、假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构是完全形式化和符号化的模型.
一、数学模型是联系客观世界与数学的桥梁
在学习初等代数的时候，我们就已经接触过数学模型了.当然，那些问题是老师为了教会学生，而人为特意设置的.如我们以前解过这样的所谓“航行问题”.
例如：甲乙两地相距750 km，船从甲到乙顺水航行需要30 h，从乙到甲逆水航行需50 h，求船速、水速分别是多少？
设：用x，y分别表示船速和水速，可以列出方程：
（x+y）·30=750，（x-y）·50=750.
这组方程就是上述航行问题的数学模型，列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题，方程的解x=20 km/h，y=5 km/h，最终给出了航行问题的答案.
所以，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据内在规律作出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.数学模型是用数学语言来模拟空间形式和数量关系的模型.广义上讲，一切数学概念、公式、理论体系、算法系统都可称为数学模型，如：算术是计算盈亏的模型，几何是物体外形的模型等.狭义地说，只有反映特定问题的数学结构才称为数学模型，如一次函数是匀速直线运动的模型，不定方程是鸡兔同笼问题的模型等.
二、在探究问题的过程中运用数学模型
数学的思维方式和方法包括对数学问题的认识和解决问题的过程，并在知识的增长过程中发展了思维.在对数学问题的探究中，我们要注重领会用数学模型来优化数学过程，培养学生解决问题和创新思维的能力.
例如：要把数量不限的小球放在同一型号的箱内，每个箱内有10个格子，每一格放一个小球，这些箱子有的格子放有小球，而有的却空着.如果有两个箱子，它们至少一个对应的两个格子，一个有，另一个没有，那么，我们就认为这两个箱子不同.每个箱子最多放10个，最少放0个，问可能有多少个这样的箱子？
模型1 某建筑物装有10盏灯，在同一时刻的每盏灯都可以开或关.现在用各种方法开灯，两种开关方法只要有一盏灯的状态不同（开或关）就认为是不同的开法，所有的灯都关着也是一种开法.问有多少种开法？
模型2 现有一个十列格子组成的长方形表格，在每一行格子中都记有“+”号或“-”号，而行中只要有一个对应格的符号不同，就认为它们不同，问计有不同符号的行有多少种？
模型3 数字0和数字1能组成多少不同的“十位数”（包括数字左边出现的0的数也作为“十位数”）？
模型4 这个问题解决已显而易见，“十位数”的每一个位置只能是0或1两种可能，共有210=1024种不同的可能.模型2中的表格最多有1024行.模型1中的电灯的开法共有1024种.例子中箱子共有1024个.例1可以用三个模型来转换方式，使问题由难变易，是一种行之有效的解题方法.
在高中数学教学中进行数学模型训练，有助于学生加深对数学知识系统的学习，有利于培养学生的创新思维能力和实践能力，并为下一步利用数学模型解决实际问题打下坚实的基础.
三、函数f（x）=ax+b（a，b>0）模型
对于这类模型应用问题，首先根据题意得出目标函数，再把目标函数变形为f（x）=ax+b（a，b>0）的形式，最后根据ax+b≥2ab（a，b>0）求出最优值.
例如：假设森林发生火灾，火势以每分钟100 m2速度顺风蔓延，消防人员接到警报立即派消防队员前往扑救，在火灾发生后五分钟到达现场，现已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟100元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
这样的模型应用题出现频率较高，常常通过均值定理或函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到，必要时要讨论求之.
高中数学模型思维方法包括了高中数学问题的学习和解决问题过程，并随着知识的不断增长逐步培养创新思维.数学模型化思维来探索知识的过程，通过对知识原型的分析、提炼、加深，不断对原型的理解和概括，归纳原型的内在特质，再通过进一步演绎推理来求解，深化了对原型的本质特征和数量关系的理解.在数学教学中，必须领会和应用数学模型的方法来优化教学过程，从而培养学生的创新思维和实践能力.
【参考文献】
[1]张玫.数学建模在中学教学中的认识[J].考试（高考数学版），2011年Z3期.
数学模型范文5
【关键词】数学的作用；数学模型
数学到底有什么用？很多人，尤其是很多学数学不多的人会有这个疑问.在这里不妨反问一下，要是没有用为什么还会有这么多人学习和研究数学呢？先看一个例子，数论，即关于自然数的理论，在很长一段时间里被一些人看成是没有实际应用价值，只有理论意义的数学，哥德巴赫猜想（每一个大于等于6的偶数总可以表示为两个奇素数的和，即所谓“1+1”）有什么用？素数有无穷多个又有什么用？然而，随着科学技术的发展，数论也开始找到了它的用武之地，成为我们设计密码的工具（见密码学中的RSA公开密钥体制）.在对保密的需求程度越来越高的今天，智慧的人类开始研究如何设置密码，于是自然地产生了“密码学”.
在近代科学发展中，牛顿建立了万有引力定律，麦克斯韦建立了电磁场理论，这些都是数学模型取得成功的典型范例.近百年来，人们通过建立数学模型，在认识世界、改造世界方面取得了更多的成绩.在力学、物理学等领域中，人们建立了空气动力学方程组、黏性流体的NavierStokc方程组、弹性力学方程组等等，在其他领域，通过建立数学模型来研究实际课题的实例也层出不穷，美国经济学家列昂杰夫的投入产出模型、马尔萨斯的人口模型、Logistic模型、兰切斯特关于军备竞赛的模型、天气预报中的正压模式和斜压模式模型等等.总之，模型化方法已成为研究问题的基本方法.下面，我们拟从一个简单的问题出发，展示用模型化的方法来解决实际问题的意义.
（一）问题的提出
一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校.假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿.一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间.但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略.试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度.
（二）模型的建立与分析
1.建模准备
建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小.主要因素：
淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度.
2.模型假设及符号说明
（1）把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米.
淋雨总量用C升来记.
（2）降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降水的厚度.在这里可视其为一常量.
（3）风速保持不变.
（4）你以一定的速度v米/秒跑完全程D米.
这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度.而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C，而C=C（v），于是问题便归结为确定速度v，使C（v）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定.
有了确定的建模目的，自然引出与C（v）有关的量的设定与简化假设.一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.
【参考文献】
数学模型范文6
一、数学模型思想的意义及表征方式
数学模型是“针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出一种数学结构”，且应该是一种“借助于数学概念和符号刻画出来某种系统的纯关系结构”。数学模型思想，即是以数学概念和符号刻画数学结构为内容的，在扬弃一切非本质属性的同时，逐步抽象、提炼出数学结构的思维过程。研究表明，建立数学模型的过程一般分为三步：一是提出问题并用精确语言表达；二是分析数量关系并进行数学抽象；三是求解并解决实际问题。
从模型思想的概念及数学模型建立的过程来看，小学数学中许多知识的学习均体现了数学模型思想。笔者现以《加法的认识》为例，具体分析数学模型思想的意义及表征方式。
首先，加法的产生源于实际问题的解决。如下图，用“2个方块与3个方块合成一个长方体”的问题情境：
其间，“2个”方块和“3个”方块分别作为两个不相交的有限集合A和集合B中的元素，在合并成一个新的集合C（即集合A与集合B的并集）后，成为一个大长方体。这个过程，当我们用精确的数学语言来表达时，便产生了“2＋3＝5”这样一个数学模型。显然，“2＋3＝5”是有限集A（2个元素）和B（3个元素）合并成并集C（5个元素）的过程的抽象与提炼，是一种形式化的表达。而当有了“2＋3＝5”这样一个模型来表达“‘2个’元素与‘3个’同类元素合并产生了‘5个元素’”的新形式之后，以下类似问题便同样有了解决的依据及表达的形式。
（1）小军扎了2朵小红花，小英扎了3朵小红花，两人一共扎了几朵小红花？
（2）爸爸出差，坐火车用了2个小时，坐汽车用了3个小时，一共用了几个小时？
（3）保安叔叔要用绳子捆扎废品，扎旧报纸用了2米，扎硬纸板又用了3米，一共用了多少米的绳子？
……
二、数学模型思想的教学策略
在教学实践中，数学模型无论是思维表征的过程，还是形式表征的归纳，均需要有以下两个基本的教学过程作支持。
（一）从“境”到“型”，通过抽象归纳，感悟、理解数学模型结构化、简约化的特征
“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的联系的基本途径”，其过程中最基本的路径是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题或数学事实，然后用数学语言表示出数学问题中的数量关系或变化规律。这也是数学模型思想建立的第一个层次。实践中，我们可以从以下两个方面来引导学生去体验。
综上所述，我们不难发现，在从“境”中提炼出“型”的过程中，无论是思维表征，还是形式表征，学生思维的介入及其从隐性思维层面到显性思维表达的活动设计，是帮助学生感悟、理解数学模型结构化、简约化的必要条件。
（二）从“型”到“境”，通过演绎解构，深化理解数学模型包容性、应用性的特征
以数学模型的形成来看，从“境”到“型”的过程，更多是数学模型从思维模型状态向形式模型状态转变的过程；而从“型”到“境”则是数学模型从形式模型状态再次回到思维模型状态，是帮助学生进一步积累模型经验，从而提升数学模型的应用水平的过程。教学中，这样的过程一般实现在两个应用水平层次上。
