前言：中文期刊网精心挑选了数学竞赛试题范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
数学竞赛试题范文1
本文就2008年全国初中数学竞赛中的一道试题进行一些解法的探讨。
题目：如图，AB、AC、AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE。请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD=2∠DBE；（2）AD-AB=BD・DC。
本题的两个命题的结论比较复杂，思路不易形成。如何进行分析找到证明的途径是解决本题的难点。
一、第一问的解答
分析一：在ΔDBE中，∠DBE=∠3-∠4，因此，可考虑考虑将∠DAC也用∠3与∠4表示出来，从中找出∠DBE与∠DAC之间的关系。
证法一：AB=AC=AE
可设∠4=∠6=x，∠3=∠5=y
则∠DBE=y-x（1），∠BAE=180°-2y
又∠DBC+∠BAC=180°
2x+∠DAC+（180°-2y）=180°
2x+∠DAC=2y，即∠DAC=2（y-x）（2），
由（1），（2）得∠DAC=2∠DBE。
分析二：延长BE交O于F，显然，∠1与∠DBF是同弧所对的两个圆周角，所以∠1=∠DBF。因此，欲证明∠CAD=2∠DBE，只需转化为∠2=∠DBE，从而命题可得到证明。
证法二：延长BE交O于F，连结AF，则∠1=∠DBE。
AB=AE=AC
∠3=∠5，∠4=∠6
∠DBE=∠3-∠4=∠5-∠6=∠ADF-∠6=∠7=∠2。
∠1=∠2=∠DBE.
∠CAD=2∠DBE.
二、第二问的解答
分析一：（方法：构造辅助圆）在DA的延长线上取点G使AE=AG，注意到AB=AE，则AD-AB=AB-AE=（AB+AE）（AB-AE）=DG・DE。设BD≤DC，在DC上取点B′使DB′=DB，则命题的结论可转化为：DG・DE=DB′・DC。联想到割线定理，可构造辅助圆，从而找到证明的途径。
证法一：设BD≤DC，则在DC上截取DB′=DB（否则在BD上截取），显然B关于AD的对称点为B′，以A为圆心，AB为半径，作A交DA的延长线于G，则点B，E，B′，C在A上，由割线定理得：
BD・DC=DB′・DC=DE・DG（1）
又AD-AB=（AD+AB）（AD-AB）=（DE+AE+AE）（DE+AE-AE）=DG・DE（2）
由（1），（2）得：
AD-AB=BD・DC。
分析二：从右到左的计算分析法。
连结DF、CF，注意到DC=DN+CN
所以BD・DC=BD・DN+BD・DN
考察ΔDBE∽ΔADN可得：
BD・DN=AD・DE（1）
考察ΔDBE∽ΔCFN可得：
BD・CN=CF・BE=DF・BE
再注意到ΔABE∽ΔFDE可得：
BE・DF=DE・AE
则BD・CN=DE・AE（2），由（1）+（2）可得证明。
证法二：连结DF，CF，由（1）得:
∠1=∠2，CF=DF.
∠1=∠DBE，∠4=∠6
ΔBDE∽ΔADN
=
BD・DN=AD・DE（1）
∠8=∠DBE
AB=AC
∠4=∠9
ΔDBE∽ΔCFN
=
BD・CN=CF・BE=DF・BE（2）
又∠BAE=∠DFE，∠AEB=∠FED
ΔABE∽ΔFDE
=
BE・DF=DE・AE（3）
（1）+（2）得：
BD・DN+BD・CN=AD・DE+BE・DF=AD・DE+DE・AE
即：BD・DC=DE（AD+AE）=（AD-AE）（AD+AE）=AD-AE=AD-AB
AD-AB=BD・DC.
分析三：从BD・DC的积中寻找相似三角形，把命题简化。
连结BC交AD于M，找出含有BD与CD的两个相似三角形。
显然ΔABD∽ΔCMD。可得：
BD・CD=AD・MD=AD・（AD-AM）=AD-AD・AM.
所以只须转化为证明：AB=AD・AM，再考察ΔABM∽ΔADB即可得到证明。
证法三：连结BC交AD于M（如图）。
∠a=∠β，∠4=∠6
ΔABD∽ΔCMD
=
BD・CD=AD・MD（1）
又AB=AC
∠3=∠4，∠a=∠a
ΔABM∽ΔADB
=
AB=AD・AM（2）
（1）+（2）得:
BD・DC+AB=AD・DM+AD・AM=AD（AM+DM）=AD
即:AD-AB=BD・DC.
分析四：巧用轴对称变换，寻找BD・DC的积。
由AB=AC=AE注意到∠3=∠4，故以AD为轴把ΔABD作轴对称变换得到ΔADB′，要得到DB′・DC的积再构造过ΔAB′C的圆，交AD于F，可得DB′・DC=DF・DA=AD（AD-AF）=AD-AD・AF，从而转化为证明AB′=AF・AD即可。
证法四：以AD为轴，使ΔABC与ΔAB′D关于AD成轴对称。
AB=AC=AE
∠3=∠4
B′在DC上
作ΔAB′C的外接圆交AD于F。
则BD・DC=DB′・DC=DF・DA=AD（AD-AF）=AD-AF・AD（1）
ΔAB′F和ΔADB′中，
∠a+∠2=180°，∠β+∠1=180°
又AB′=AB=AC
∠1=∠2
∠a=∠β，∠5=∠5
ΔAB′F∽ΔADB′
=
AB′=AF・AD
数学竞赛试题范文2
关键词：大学生数学竞赛 竞赛共同体 培训模式
1.背景与问题描述
大学生数学竞赛最早出现在美国和前苏联，1981年我国各省市开始陆续组织大学生数学竞赛，有的中途中断，有的一直持续到现在。影响较大的有北京市、天津市、陕西省大学生数学竞赛，还有一些学校也举行数学竞赛，如南开大学、同济大学等。2009年中国数学学会普及委员会在全国范围内开始举办中国大学生数学竞赛，设立数学类和非数学类两组，分预赛和决赛两次进行。自从2009年全国大学生数学竞赛举办以来，关于竞赛效用、竞赛与教学及竞赛培训等方面的研究逐步展开。有些研究提出大学生数学竞赛活动是创新人才培养的重要载体之一，对培养大学生的数学思维能力、优化人才培养过程、提高教学质量、促进高校教育教学改革具有独特的和不可替代的作用[1]；有些研究指出大学生高等数学竞赛可以推动高校数学教学改革，促进教师业务水平提高[2]；有研究着眼于加强竞赛数学课程建设，提出以大学生数学竞赛为契机，不断增强数学教学实效性[3]；很多高校教师结合自身的竞赛培训工作探索与实践积累，针对普通高校大学生学习现状，设计了行之有效的培训组织模式，提出了相应的竞赛培训模式[4]。
上述研究对大学生数学竞赛发展和数学教学改革无疑有巨大的推动作用。本研究将在上述研究的基础上，从特训主体、客体及内容等方面讨论以下问题：（1）如何建设一支致力于大学生数学竞赛的教练团队；（2）竞赛共同体创建模式；（3）特训共同体学习模式研究；（4）特训内容与时间优化设计。
2.竞赛共同体的创建与活动
学习一向是心理学研究的主要课题，不同学派对学习定义各不相同，实际上是从不同侧面揭示学习本质。有人曾对学习提出这样的定义：学习是由经验引起的行为、能力和心理倾向比较持久的变化。这种经验不仅包括外部环境刺激和个体练习，更重要的包括个体与环境之间复杂的交互作用。由此可见，学习是学习者与学习环境不断相互作用的过程，这种相互作用包括三方面：（1）学习者和助学者之间；（2）学习者相互之间；（3）主体（学习者、助学者）与客体（学习内容）之间。由此不难看出学习活动是学习共同体性质的活动。在学校里创建各种学习共同体，不仅能提高学生在学科或专业方面的素养，更重要的是有利于推进高校学风建设。
2.1教练团队的创建
竞赛培训不同于一般教学，前者要求辅导教师对基本概念和基本定理及其联系有很透彻的领悟，要有敏锐的观察能力，要善于启发的学生思维，把握高等数学发展新动态。在组建教学团队之初，所有教师都没有辅导竞赛数学的经验，教练团队并不能一蹴而就。首先，自愿前提下，挑选一批长期从事高等数学教学的教师，有一定教学成果和敬业精神者优先。人数最好能固定，有退出再补充。经过三五年的发展，这个团队成员将基本稳定。
任何团队要获得成绩必须有一定的规章制度作为保证，如成员的权利与义务等，各学校有自己的做法，在此不做详细说明。主要介绍一下教练团队的活动，这些活动保证了竞赛教学质量。
2.1.1征订高等数学研究方面的期刊并让教师借阅；
2.1.2指定教材备课并编写教案、讲义或试卷；
2.1.3指定主题做教学报告并撰写教学论文；
2.1.4讨论课堂上传授赛点的时机、方式方法与度的把握等具体事宜；
2.1.5加强竞赛数学课程建设。
2.2引导学生加入共同体
创建大学生数学竞赛学习共同体，就是通过各种媒介创建一个由学习者、辅导教师共同构成的团体，彼此之间经常在学习过程中沟通、交流，分享各种学习资源，共同完成一定的学习任务，因而成员之间形成相互影响、相互促进的人际联系。实践经验表明，在引导学生加入共同体的过程中要重点把握六个原则：
2.2.1交流的互动性。学生与学生之间、教师与学生之间建立彼此信赖、和睦相处的融洽关系，每个人的感受是不仅从共同体中获益，而且为共同体作出贡献。
2.2.2参与的积极性。从“合法的边缘性参与者”逐步成为“共同体的核心成员”。这种成员间角色变化促进了身份重构，使其不再感觉自己只是被动的接受者，而是以主人翁的姿态参与学习。
2.2.3目标的一致性。拥有共同目标是共同体创建的基础，大学生数学竞赛共同体的共同目标就是提高数学分析与解题能力，在竞赛中取得好成绩。
2.2.4学习的开放性。这里每个成员都是知识的探索者、开发者，都要积极提出自己的观点，无论是对还是错，共同参与知识建构，加深对知识深层次理解。
2.2.5过程的渐进性。学习共同体的形成一定是一个渐进的过程，一般有三个时期――初级阶段、磨合阶段、成熟阶段，这个过程中成员从不了解到彼此认同，再到相互协作。
2.2.6训练的持久性。一个较高目标的实现必须把初期参与积极性转变成训练过程的持久性。国外已有研究表明，数学竞赛中那些最终成功的学生在很大概率上是训练最持久的学生。
经过几年理论和实践探索，共同体的创建过程及活动基本固定，大致进程包括：通过讲座或者课堂进行宣传全校范围内开设《竞赛数学》选修课举办校级数学竞赛（选拔赛）短期集训指导学生创建小组各小组展开研究型学习各小组报告及成果共享。
数学竞赛试题范文3
2012年中考专题复习(7)——“不等式”
2012年中考专题复习(8)——“圆”
反比例函数中考新题型赏析
双曲线背景下的最短距离问题探究
方案优化分类探究
新数学课程实施中初中学生数学学习评价问题研究
海南省2012年中考数学科模拟试题(5)
海南省2012年中考数学科模拟试题(6)
2011年天津市初中毕业生学业考试试题数学
山西省2011年中考数学试题
巧用整体运算解竞赛题
2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题
2012年中考专题复习(3)——“整式与分式”
2012年中考专题复习(4)——“尺规作图、视图与投影”
2012年中考专题复习(5)——方程(组)
一道几何题的解法探索
数学好玩——一例代数式求值的多解及其思考
通性通法突破创新——海南省2011年中考数学第24题评析
用好轴对称性,巧解折叠型中考题
浅谈求解二次函数的最值
用好多媒体教学提高数学课堂效率
海南省2012年中考数学科模拟试题(3)
海南省2012年中考数学科模拟试题(4)
海南省2011年初中毕业生学业考试数学科试题
初中数学竞赛中的一元二次方程问题
2009年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题
2009年全国初中数学竞赛试题及参考答案
运用数学思想解“数式题”研究(续)
例谈一类二次函数图象信息题的解题策略
中考数学中的流程图式的程序计算题面面观
2009年中考“轴对称、平移与旋转”的考法分析
海南省2009年初中毕业生学业考试数学科分析报告
海南省2009年初中毕业生学业考试数学科试题
江苏省2009年中考数学科试题
陕西省2009年初中毕业学业考试数学科试题
沈阳市2009年中等学校招生统一考试数学科试题
南宁市2009年中等学校招生考试
浅谈数学思维的“定向”培养
文科数学学情分析及对策
谈谈课改下的数学课堂教学
适应新课改的思路更新教学观念
激发学习兴趣,提高教学质量———浅谈培养学生学习兴趣的几种做法
议数学教学与德育渗透的和谐统一
新课程理念下的研究性学习
关于数学实施新课程标准的一点体会
让问题意识走进新课程
浅谈赏识教育对数学后进生的转变
农村初中数学教学的几点思考
浅谈新课程标准下的数学课堂教学
浅谈尝试教学法在农村小学数学教学中的运用
如何培养学生学习数学的兴趣
浅淡高中数学课堂问题的创设
学会三招,改变数学课的“感觉”
浅谈数形结合在数学教学中的实施
思维到这里“拐了弯”
数学竞赛试题范文4
关键词：数学竞赛；分式不等式；命题背景；解题办法
很多相关的学习资料上有这样一个题：若，，求证： 。此不等式的证明很容易， 中间展开，利用排序不等式简单处理即可得证，相信多数学生都会。现把这个不等式进行变形：，再把结论推广就得多数学生不是很熟悉的著名的切比雪夫不等式：
定理1：设有两个有序实数组：，，则：
（反序和）（同序和），
当且仅当任意或任意时，等号成立。由此定理可得：
推论1：若，，则：
，当且仅当任意时，等号成立。
证明：已知条件可变为：，，由定理1得，由正数（i=1、2……n）的均值不等式H(n)A(n)得：
，得，所以：·
即，当且仅当时，等号成立。
数学命题是将简单的、基本的事实逐步演绎成复杂的、非平凡的问题，而数学解题则刚好相反，即把复杂问题逐步化归转变为简单问题。这样各类数学竞赛中就频频出现以推论1为背景的分式不等式问题，现部分举例如下：
例1：对任意正数、……，，，求证：
（1976年英国数学竞赛题）
证明：由于、、……、对称，不妨设：，则
，由推论1得：=
=，当且仅当时，等号成立。现对例1稍作改装：
例2：已知：对任意正数、……，，，求证：
（1994年《数学通报》第11期925号问题）
证明：由于、、……、对称，不妨设：，则
，，由推论1得：
=，因为，，利用定理1得=，所以=
= ， 当且仅当时，等号成立。再对例2稍作改装
例3：对任意正数、……，，且，求证：
………（1）
证明：由于、……对称，不妨设：，则：
。又因为；；……；
则也有：0<…，由推论1得：（1）的左边
=
同例2一样，使用定理1若干次得：
……=，因此（1）的左边
，当且仅当时，等号成立。这样
当m=3时，即得第28届IMO预选题，例4：设、、是三角形的三边， ，
例5：设、、为正实数，且，证明
………（2） （第36届IMO试题）
证明：
不妨设>0，则有>0；也有0<abc ，从而0<由推论1得：（2）式左边
，由定理1，
则（2）式左边=
因为，所以（2）式左边==
=，当且仅当时，等号成立。
以上都是分子、分母都能分别排序的且分式字母满足“F(x、y、z)=0”条件的分式不等式问题，对于分子、分母能排序的分式非条件不等式问题，推论1同样有效。
例6：已知、、 是正数，求证…（3）
(2005年塞尔维亚奥林匹克试题)
证明：由于、、对称，不妨设：，则：0<即0<，由推论1得不等式（3）的左边
=，由幂平均不等式有：
=，所以
，因此：不等式（3）的左边
=，当且仅当时，等号成立。
参考文献：
[1]朱华伟. 从数学竞赛的竞赛数学[M]?，北京 科学出版社，2009
数学竞赛试题范文5
数学竞赛按专业性质分为数学专业与非数学专业两类。数学专业预赛与决赛内容主要包括:《数学分析》,《高等代数》与《解析几何》三门课程中的内容。非数学专业预赛内容则主要是:《工科高等数学》中的内容。但从第五届开始，初赛内容不变，决赛内容将有所增加。
参加第四届大学生数学竞赛的预报名人数达到46708人，其中非数学专业35502人，数学专业11206人。目前已成为影响范围较广、参加人数较多的国家级学科竞赛。笔者相信在未来的几年中，预报名人数还会持续增长，这门学科竞赛的影响力也会越来越大，在全国本科院校中得以普及。
本文所要阐述的是如何在普通高校本科生中建立一个长效机制来开展大学生数学竞赛。包括如何稳固参加预赛的人数、制定合理有效的培训内容、师资队伍的建设以及经费来源等。
1普通高校开展数学竞赛培训的必要与可行性分析
在高科技产品日新月异的信息时代，笔者认为:数学是科学技术发展的必备技术工具，是各门学科发展的基础和升华。因此数学教育在现化教育中所占据地位举足轻重。数学竞赛的举办和发展为数学教育增添了新的活力，提供了新的契机，发掘了新的人才。从微观角度来说，为了提高学生的创新思维和发散性思维，在数学竞赛前进行培训显得尤为重要。从宏观角度来说，赛前培训对推进教学改革和提高教学质量，有着多方而的积极意义。应与课堂教学相互配合，相互渗透，但又有着课堂教学所无法代替的重要作用。
首先，数学竞赛培训能够巩固学生在课内所学的知识、扩大学生的视野、拓宽解题思路、增强逻辑推理能力以及解题和运用数学知识解决实际问题的能力;其次，数学竞赛培训能够帮助学生掌握正确的学习方法，促使大学数学教学更好地进行;再次，数学竞赛培训对提高学生学习兴趣，促进思维能力发展，增强探索精神和创新才能皆有促进作用;最后，数学竞赛在发现和发挥大学生的特长，选拔和培养具有数学天赋的学生等方而也有着积极的意义。 参加全国大学生数学竞赛除了上述的必要条件之外，还需具备四个充分条件:如何稳固参加预赛的人数、制定合理有效的培训内容、师资队伍的建设以及经费来源等。首先，如何有效地组织大学生参加竞赛，可谓是四个条件中最重要的一项，也是下一节笔者所研究的重点;另外，作为数学竞赛的主要内容:《高等数学》是工科类学生必修的基础理论课，《数学分析》, 《高等代数》,《解析几何》等课程是数学专业的专业基础课。这些是数学竞赛得以顺利开展的基础。第三，调动部分高校专仟的数学教师组成竞赛培训团队也是一项重要的环节，笔者将会在第三节做详细的研究。最后是竞赛活动经费，笔者认为可以从以下三个方而获得:第一方而，每所高校都会有专项的创新活经费，可以从此项经费中申请一部分;第二方而，各赛区的主办方会拔给每个学校一些经费;第三方而，适当地向参加培训的学生收取(或变相地收取)一部分。这些经费主要用于:参加竞赛的学生报名费、培训教师的课时费和学生竞赛时的考试相关费用等。
基于上述分析，在普通高校开展数学竞赛培训以及组织学生参加全国大学生数学竞赛是完全可行的并具有实际意义的。
2普通高校学生现状分析
为了吸引、鼓励更多的学生参与数学竞赛活动，必须先了解现在普通高校本科生的生源现状及其学习状态。不得不承认，全国高校自扩招以来，普通高校大学生的质量普遍下降。主要原因有两个:一是大学的教育已由精英式转为大众式;二是随着扩招的进行，大多数优质生源进入了985或211这样的重点高校，这样就导致普通高校中的优质生源比例相对减少。
限于优质生源比例小的问题，再加上数学理论繁杂与深奥，学习起来困难重重，多数学生在学习数学时会产生为难情绪从而心生畏惧。还有小部分的学生在进校时数学基础就比较差，(或由此产生的)学习数学的积极性很低。还有一部分学生认为数学无实际用途，从主观上学习数学的兴趣消极。基于以上几点原因加上一些来自普通高校教学条件的限制，很多大学生的实际数学水平较低，所引发的直接结果就是学习成绩下降、考试分数偏低、补考人数增多，更有甚者一些学生因为数学不及格而无法毕业。
现阶段普通高校多数强调实践，所以在大学一、二年级基础阶段会大量调减理论课时，特别是有关数学的理论课程。这样就导致了教师在上课时会对课程进行调整，例如内容增加、进度加快等等。数学课中部分核心内容由于难以理解，权衡之下只好放弃。因课时问题，数学习题课早已名存实亡。关于这一点在文中笔者会有详尽的论述。一些普通高校强调少讲精讲，但数学本身就是一门高深抽象的学科，没有理论基础实践就无从说起。一些内容略讲或是不讲，都有可能在学生在今后的实际应用中造成影响。但即使知道删减理论会有诸多的弊病，许多普通高校还是在课程中减少了很多的数学内容。
多数普通高校的本科学生所学的数学内容少，而且掌握的不扎实不牢固。这一点与数学竞赛产生了严重的予盾。那么哪些学生适合参加数学竞赛呢?笔者认为有两类学生比较合适一类是自主学习能力强，数学基础扎实，对数学非常感兴趣的学生;另一类就是考研的学生。这两部分学生对数学的求知欲望非常强烈，因此成为是参加数学竞赛的主力军。
3稳固参赛学生群体策略
据调查显示，有的普通高校因为这个问题而放弃参加全国大学生数学竞赛。即便参加人数也少的可怜，以我校为例，我校于2011年第一次参加全国大学生数学竞赛，当时仅有一个非数学专业的学生参加了竞赛，其余29名数学专业的学生也是被志愿的。为了保障全国性的数学竞赛活动在我校顺利开展，我校实行了以利益驱动的办法。使学生有两方而的既得利益:选修学分和考研辅导。
为了稳固参赛学生的群体，我校主要从以下三方而开展了工作。
3. 1有效宣传
根据经验，通过学生(或辅导员)在学生中进行数学竞赛宣传以及在学生中发放宣传小册子的方法收效甚微。为了能够在学生中得到有效的宣传，我院在大一的第二学期末，由《高等数学》任课教师负责向自己的任课班级做大量宣传，向学生讲清楚参加数学竞赛所能获得的利益，通过自愿报名的方式鼓励学生积极参与。
3. 2设立选修课
为能够顺利进行数学竞赛辅导培训，我们开设两门40学时的选修课《高等数学选修》与《数学基础研修》(这两门课程的学分均为2学分，他们的本质是数学竞赛辅导课程)。这样我们就解决了培训的时间与教室的安排问题(当然，我们可以给教务部门一些时间安排上的建议)。由于大学生在大学期间要修满一定的选修学分，所以这两门课程的开设对学生是有一定吸引力的。另外，培训内容要尽可能让学生理解。如果内容难度过大，就会造成多数学生在课堂的注意力不集中，甚至来上课仅仅是为了走形式。这样就达不到吸引学生参加竞赛的目的。总的来说，就是用选修课的学分来吸引学生参加数学竞赛培训，在学生能够接受的基础之上对其加以培训，并弱化对选修课的考核。提高学生对学习数学信心，自主自愿报名参加数学竞赛。
考虑到普通高校的教学内容(无论是专业的还是非专业的)无法满足竞赛的要求，而且还有一小部分竞赛内容不在工科教学大纲的范围内。我校选择了开设《高等数学选修》、《基础数学研修》两门选修课《高等数学选修》是为参加数学竞赛预赛的工科类学生准备的《基础数学研修》是为专业类的本科学生而开设的。这两门选修课的授课内容严格遵从《中国大学生数学竞赛大纲》的要求。对提高学生数学素养是有百利而无一害的。
3. 3考研辅导
数学竞赛的难度大大超过了考研数学的难度，为了吸引更多考研的学生，我们的辅导以考研数学的难度为基础的。让学生在参赛的同时得到专业教师的考研辅导，加大学生对竞赛的兴趣。竞赛辅导的基础目标是考研数学辅导，重要目标是数学竞赛辅导。我们的辅导内容遵从竞赛大纲、以历年考研真题结合历年的竞赛真题的解题技巧制定讲授内容。这样既能得学分，又能得到考研数学的辅导，在帮助考研学生的同时也达到了稳定参加数学竞赛人数的目的。
笔者认为上述条件能够吸引很大一批学生选修《高等数学选修》与《基础数学研修》。快速扩大数学竞赛在学生中的影响。一方而学生会因为选修学分易得而在学生群体广泛宣传;另一方而学生会因为能满足自己的求知欲望而踊跃报名，还有一些学生会因能得到免费的考研数学辅导而进行宣传。在参加竞赛培训的人数得以保障的情况想，在参加培训的学生中选择一些较好的参加竞赛，这样就能够提高获奖率，也可以减少一些费用(比如报名费、考务费等)。
另外，我校的学生在数学竞赛中获得的奖项，在物质上是没有任何奖励的。不过，按获得的奖项的等级不同会奖励不同的创新学分，创新学分可作为选修学分。比如，在初赛中获得国家一等奖，会得5个创新学分;二等奖，4个创新学分，依次类推。在决赛中获得奖项，在我校还从未有过，但笔者相信通过我校师生的共同努力，在不远的将来一定会实现这个梦想。
4建立一支德能兼备的培训团队
为了能够更好地让学生适应竞赛试题题型，组建一支具有奉献精神和敬业精神的培训教师团队是关键。组建这样的队伍需要两个条件。首先，培训教师虽然不计报酬但不能没有报酬，否则会使培训的教师缺乏教学兴趣。由于我校的数学竞赛培训是以选修课的形式进行教学的，故大部分的报酬是由学校以课时费的形式来支付的。但是与培训教师花费大量时间和精力进行试题和教法的研究相比，他们所得的课时费与付出是无法成正比的。其次，大学生的数学竞赛培训可以看作我们日常教学的有益补充。培训教师必须有较好的数学素养，教学方法，在解题能力和表达能力有较高的水平。同时，还要求培训教师广泛地查阅课外参考书、新近的考研参考书和各省市及国家的数学竞赛试卷等。可以说培训团队业务水平及敬业精神的高低直接决定着数学竞赛成绩的好坏。
以我校为例数学专业的培训团队有五人，非数学专业的团队有四人。他们每人分别负责一部分内容。大家的同感是:任何一门课程的全部培训内容由一人完成几乎是不可能的，竞赛培训备课所需的时间与精力不是正常课程备课所能比拟的。甚至，有时我们在一学时的时间里只能讲解一道例题，不是我们的培训教师没有能力，而是我们在将知识教授给学生们的同时还要保证学生能顺利消化，扎实的掌握解题技巧。
据笔者调查，各普通高校很少有专门的数学教师来辅导将要考研学生的数学知识。由于数学竞赛的难易程度在考研数学的难度之上，故数学竞赛的培训教师完全胜任考研数学辅导。这样一个专门的考研辅导团队是学校领导和所有将要考研的学生非常期待的。所以将考研团队与数学竞赛培训团队融为一体，从各个角度上看都是可以实现的，也是具有现实意义的。
5 结语
数学竞赛试题范文6
一、运用判别式解决明显的一元二次方程、二次函数、一元二次不等式、二次三项式问题
1.一元二次方程的实数根问题或二次函数图象与 x 轴的交点问题.
例1 （第21届江苏省初中数学竞赛初三第二试试题）设关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+14-k=0有两个实数根.则 k 的取值范围为.
解：因为方程 x2+2kx+14-k=0有两个实数根，所以，Δ=4k2-4（14-k）≥0.
解得 k≥2-12或 k≤-2+12.
故填 k≥2-12或 k≤-2+12.
2.一元二次方程的整数根问题
例2 （2007年全国初中数学联赛江西省预赛试题）试求所有的整数 a，使得关于 x 的一元二次方程 x2-5a2-26a-8x-（a2-4a+9）=0的两根皆为整数.
解：设方程的两根为 x1、x2，于是5a2-26a-8=x1+x2=整数，即方程为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式必为完全平方数.
设Δ=（5a2-26a-8）+4（a2-4a+9）=n2，n 是自然数，即（3a-7）2-n2=21.
因此，（3a-7-n）（3a-7+n）=21.
又21=3×7=1×21=（-7）×（-3）=（-21）×（-1），
则3a-7-n=3，
3a-7+n=7；或3a-7-n=1，
3a-7+n=21；
或3a-7-n=-7，
3a-7+n=-3；或3a-7-n=-21，
3a-7+n=-1.
解得 a=4，6，23，-43.
因为 a 为整数，且当 a=4时，5a2-26a-8无意义，所以，只有 a=6.
此时， 原方程变为 x2-4x-21=0.它有整数根7和-3.因此，所求整数 a=6.
3.一元二次不等式的解集问题
例3 如果对于一切实数 x，不等式-x2+2x+k＜0恒成立.求 k 的取值范围.
解：依题意有：Δ=22-4（-1）•k＜0，
解得 k＜-1.故 k 的取值范围是 k＜-1.
4.二次三项式在实数范围内的因式分解问题
例4 （2006年广东省初中数学竞赛初赛试题）若 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，则 k 的值为（ ）
（A） ±1
（B） ±3
（C） -1或3（D） 1或-3
解：因为 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，所以，Δ=［-2（k+1）］2-4×4=0，
即 k2+2k-3=0.
解得 k=-3或 k=1.故选（D）.
二、运用判别式解决可转化为一元二次方程的问题
1.求参数的值或取值范围问题
例5 （2006年全国初中数学联赛试题）关于 x 的方程|x2x-1|=a 仅有两个不等的实根.则实数 a 的取值范围是（ ）
（A） a＞0
（B） a≥4
（C） 2＜a＜4（D） 0＜a＜4
解：当 a＜0时，原方程无解；当 a=0，x=0，不合题意；当 a＞0时，原方程可化为x2x-1=±a.
整理得 x2-ax+a=0，①
或
x2+ax-a=0.②
因为方程②的判别式Δ2=a2-4（-a）＞0，所以方程②有两个不等实根.又因为原方程仅有两个不等实根，因此，必有方程①的判别式Δ1=（-a）2-4a＜0.
从而，0＜a＜4.故选（D）.
2.求参数的最值问题
例6 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）实数 a、b、c 满足 a≤b≤c，且 ab+bc+ca=0，abc=1.求最大实数 k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立.
解：由已知条件知，a、b、c 都不等于0，且 c＞0.
因为 ab=1c＞0，a+b=-1c2＜0，
所以，a≤b＜0.
由一元二次方程根与系数的关系知，a、b 是 x2+1c2x+1c=0的两个实数根.
所以，Δ=1c4-4c≥0.于是，c3≤14.
因此，|a+b|=|-1c2|≥4c=4|c|.
即|a+b|≥4|c|（当 c=322，a=b=-32时取等号）.于是，使得|a+b|≥k|c|恒成立的实数 k≤4.所以，最大实数 k=4.
3.求函数的最值问题
例7 （2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题）代数式113x2+3-110x 的最小值为.
解：令 y=113x2+3-110x（y＞0），则
y2+220xy=3×223x2+3×1132，
即3×223x2-220yx+3×1132-y2=0.
因为 x 为实数，所以，
Δ=（220y）2-4×3×223（3×1132-y2）
=4×1132（y2-32×223）≥0.
所以，y≥3223.当且仅当 x=110223时，y 取最小值3223.故填3223.
4.求不定方程的整数解或实数解问题
例8 求方程 x+y=x2-xy+y2 的整数解.
解：原方程可化为
x2-（y+1）x+y2-y=0.
因为方程有整数解，所以，
Δ=（y+1）2-4（y2-y）≥0，
即-3y2+6y+1≥0.
解得3-233≤y≤3+233.
因为 y 是整数，所以，y=0，1，2.
当 y=0时，原方程化为 x2=x，所以 x1=0，x2=1；当 y=1时，原方程化为 x2-2x=0，所以 x3=0，x4=2；当 y=2时，原方程化为 x2-3x+2=0，所以 x5=1，x6=2.
于是，原方程的整数解（x，y）是（0，0），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2），（2，2）.
5.证明不等式问题
例9 （“祖冲之杯”数学邀请赛试题）如图1，设ABC的面积为S，作一条直线 l∥BC，且与AB、AC分别交于D、E两点，BDE的面积记为 k.求证：k≤14S.
证明：设ADAB=x（0＜x＜1）.
因为DE∥BC，
所以SΔABES=AEAC=ADAB=x.
即SABE=xS.
又kSABE=BDAB=AB-ADAB=1-ADAB
=1-x.
于是， k=xS（1-x）.即Sx2-Sx+k=0.
因为 x 是实数，所以，
Δ=（-S）2-4kS≥0.
又S＞0，因此，k≤14S.
三、运用判别式解决可转化为二次函数的问题
例10 （第七届美国奥赛试题）已知 a、b、c、d、e 是满足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试确定 e 的最大值.
解：设 y=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2，则y=4x2-2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2）.
因为 x2 的系数4＞0，且 y≥0，所以，Δ=［-2（a+b+c+d）］2-4×4（a2+b2+c2+d2）≤0.于是，4（8-e）2-16（16-e2）≤0.
解得0≤e≤165.
当 a=b=c=d=65时，e=165.
所以，e 的最大值为165.
四、运用判别式解决可转化为一元二次不等式的问题
例11 （2007年全国初中数学联赛试题）设 m、n 为正整数，且 m≠2.如果对一切实数 t，二次函数 y=x2+（3-mt）x-3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求 m、n 的值.
解：因为二次函数 y=x2+（3-mt）x-3mt 的图象与 x 轴的交点横坐标分别为 mt、-3，所以，交点间的距离为|mt+3|.
依题意有|mt+3|≥|2t+n|，
即（mt+3）2≥（2t+n）2（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
又 m2-4≠0，且上式对一切实数 t 恒成立，则
m2-4＞0，
Δ=（6m-4n）2-4（m2-4）（9-n2）≤0.
m＞2，
4（mn-6）2≤0.m＞2，
mn=6.
所以，m=3，
n=2；或m=6，
n=1.
注：|mt+3|≥|2t+n|转化为关于 t 的一元二次不等式（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
五、运用判别式解决可转化为二次三项式的问题
例12 （1997年五羊杯初三数学竞赛试题）如果 x2+7xy+ay2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的积，则 a=.
解：原式可化为关于 x 的二次三项式 x2+（7y-5）x+（ay2+43y-24）.
依题意Δx=（7y-5）2-4（ay2+43y-24）=（49-4a）y2-242y+121必为完全平方式.
因此，Δy=（-242）2-4（49-4a）×121=0.故 a=-18.
练习题：
1.已知 a、b、c 是ABC的三条边.证明抛物线 y=b2x2+（b2+c2-a2）x+c2 与 x 轴无交点.［提示：证明Δ＜0.］
2.（2006年全国数学联赛试题）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（a+2b+3）x+（a2+4b2+99）=0无相异两实根.则满足条件的有序的正整数组（a，b）有多少组？［答案：16组］
3.证明 x2-xy+y2+x+y 不可能分解为两个一次因式之积.［提示：假设能分解，则Δx=-3y2-6y+1必为完全平方式，但Δy=（-6）2-4×（-3）×1≠0.］
4.（2003年全国初中数学联赛试题）已知实数 a、b、c 满足 a+b+c=2，abc=4.（1）求 a、b、c 中的最大者的最小值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值.［答案：（1）4；（2）6.］
5.（1993年全国初中数学联赛试题）当 x 变化时，分式3x2+6x+512x2+x+1的最小值是.［提示：设 y=3x2+6x+512x2+x+1，则（y-6）x2+2（y-6）x+2y-10=0.由 y≠6及Δ≥0可知，分式的最小值为4.］
6.若实数 x、y 满足 x+y=x2-xy+y2+1，则 x=，y=.［提示：方程可化为 x2-（y+1）x+（y2-y+1）=0.由Δ≥0得 x=1，y=1.］
7.（江苏省初中数学竞赛试题）已知，如图2，P是O外一点，PT切O于点T，直线PN交O于点M、N，则（ ）
（A） PM+PN
(B) PM+PN>2PT
(C) PM+PN=2PT
(D) PM+PN与2PT的大小不定
［提示PM•PN=PT2，故PM、PN是 x2-（PM+PN）x+PT2=0的两个实数根.又PM≠PN，所以，Δ＞0.答案：（B）.］
8.已知实数 a，b，c，d 满足 a4+b4+c4+d4=a2+b2+c2+d2=3.求 d 的取值范围.
