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三角形中线定理范文1
又旋转.把DEF分别绕DF、DE、EF的中点顺或逆时针旋转180°，经历图ⅠⅡⅢⅣ；每次旋转后都标示角度、边长以利于数据凸显与逻辑思维的展开！由基本事实2依次得到：平行四边形ADEF、平行四边形BDFE、平行四边形DFCE.
注意到已知的DEF中有α+β+γ=180°，故A、D、B共线，B、E、C共线，A、F、C共线，即构成了一个大三角形且其边长分别为a、b、c，见图Ⅳ.
显然，它就是与原已知的ABC全等的三角形！
教学启示 （1）初等数学研究的空间虽然很小很小了，但只要我们不断挖掘仍会有意想不到的创新的收获，特别是几何引进数学变换的观点下，无论是知识上还是教学上都会有突破！（2）利用此基本观点（变换观）可进一步改善八年级特殊四边形的教学：湘教版八年级下册第三章平行四边形一章内容多、繁、杂，如何有效“穿针引线”？
受“基本事实2”的启发：充分利用湘教版的“变换”特点，由“任意三角形绕一边中点旋转180°后与原图形组成一个平行四边形”结论出发，依次按边、按角、按边角条件不断强化引出菱形、矩形、正方形课题！
具体：从“边条件强化”，一般三角形变为等腰三角形绕底边中点顺（或逆）时针旋转180°后与原图形组成一个平行四边形吗？为什么？此平行四边形还有何特点？得出“一组邻边相等的平行四边形”是菱形的课题！再依次从“三大方面”（定义、性质、判定）、“四条线索”（边、角、对角线、对称性）等仿平行四边形展开菱形的学习！
从“角条件强化”，一般三角形变为直角三角形绕斜边中点顺（或逆）时针旋转180°后与原图形组成一个平行四边形吗？为什么？此平行四边形还有何特点？得出“一个内角为直角的平行四边形”是矩形的课题！从菱形单元的启发，也依次从“三大方面”（定义、性质、判定）、“四条线索”（边、角、对角线、对称性）等展开矩形的学习！
最后从“边和角条件同时强化”，一般三角形变为等腰直角三角形绕斜边中点顺（或逆）时针旋转180°后与原图形组成一个平行四边形吗？为什么？此平行四边形还有何特点？得出“一组邻边相等、一个内角为直角的平行四边形”是正方形的课题！从菱形、矩形单元学习的启发，也依次从“三大方面”（定义、性质、判定）、“四条线索”（边、角、对角线、对称性）等展开正方形的学习！
三角形中线定理范文2
本课题组成员陈丹媛借助史宁中教授等人的课程难度量化分析的模型，撰写了文章《三角形课程难度的定量分析比较》，并于2014年10月12日在《考试周刊》发表，以此作为基础，分析初中几何课程三角形的课程难度变化对初中教师的教学实践的指导。
根据已发表的前文，比较2011年版《义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）与2000年版《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》）。《大纲》中课程广度系数、课程深度系数、课程事实时间、课程难度系数分别为G1=39，S1=88，T1=45，N1=131；而《标准》中对应的系数为G2=41，S2=91，T2=50，N2=126。
二、教学指导
三角形是常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用。教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念。本文借助陈丹媛文献所得到的数据进行分析，可得到《标准》与《大纲》相比，课程难度降低了005，虽然课程广度、课程深度有所增加，但是因为课程实施时间较长，使得课程难度有所降低。接下来，我将分析课程广度、课程深度、课程实施时间、课程难度这四个影响因素的变化对初中教师的教学实践的指导。
1课程广度变化对教学实践的指导
根据对陈丹媛文献的分析可以得到，《标准》与《大纲》相比，三角形的知识点从概念方面来说，增加了等腰三角形、直角三角形、三角形的重心三个内容，而且删除了相似比；从技巧方面来说，增加了会作三角形的外接圆，删除了作三角形的角平分线、中线和高。总体上说，《标准》下“三角形”的课程广度有所增加。当知识点既有增加又有减少，初中教师在进行授课时，又应该如何把握授课技巧和改变授课方法呢？接下来，我将逐一说明我自己的观点：《标准》中新增加了等腰三角形、直角三角形的概念，其实也是从另一方面告诉我们等腰三角形、直角三角形越来越重要。还有就是，在《大纲》中只有三角形的内心和外心，《标准》下增加了三角形的重心，内心是三角形角平分线的交点，外心是三角形垂直平分线的交点，重心是三角形中线的交点，这三个知识点是非常重要的，我们必须牢牢记住。再者，《标准》下增加了作三角形的外接圆，删除了作三角形的角平分线、中线和高，其实作三角形的外接圆必须先找出圆心，要找出圆心必须找出三角形的外心，也就是垂直平分线的交点，也就要求我们会作三角形的高和中线，而《大纲》与《标准》都有要求会作三角形的内切圆，也就是找出圆心，就是找出三角形的内心，也就是会作角平分线。初中学生好奇心强，特别是对新鲜事物，所以要尽量避免知识点的重复性，保持学生的这种好奇心，使学生更好更快地学好知识。
2课程深度变化对教学实践的指导
基于对三角形课程的分析，可以知道，《标准》相比较于《大纲》，其对课程深度的赋值有些知识点有所增加，例如三角形顶点、边、内角、外角、角平分线、中线和高，全等三角形、锐角三角函数的概念要求和三角形的边长关系、直角三角形的全等判定、勾股定理的逆定理这些定理部分；同时有些知识点的课程深度赋值却有所降低，例如相似三角形的概念要求和三角形相似的判定定理、三角形相似的性质定理这些定理部分。那课程深度赋值的增加或减少，对于教师的授课有何影响呢？
由对比可知，三角形的全等判定的课程难度赋值没有变化，说明全等三角形这一内容是非常重要的，而直角三角形的全等判定作为一个单独的知识点，再增加其难度赋值。相似三角形与全等三角形的内容有些许相同，但相对而言，相似三角形的内容难度较大，为控制《标准》下的三角形的课程难度，所以减少难度较大的知识点的难度赋值是十分必要的。因其难度的降低，三角形的相似判定定理或性质定理不再单独作为一道题目，例如：
如图，DE是ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则SCEF∶S四边形BCED的值为（）
A1∶3 B2∶3
C1∶4 D2∶5
由题目可知，首先，我们可以证明ADE≌CFE（SAS），得到SADE=SCFE；再因为DE是ABC的中位线，可知ADE∽ABC，得到SADE∶SABC=1∶4，因此可以知道所求的结果为A选项。从这道题知道，该题目主要的考点：相似三角形的判定性质、全等三角形的判定性质、三角形的中位线定理。就这个题目而言，对于相似三角形这个知识点我们可以很清晰地看出来，既让我们必须学会了解三角形的定义和定理，又不会出现太过刁钻的问题，降低了相似三角形该知识点的难度，从而使得一道题目可以出现好几个知识点又不至于难度太大，让学生无法解答。因此，教师在讲解的时候需要多注意知识的系统性，在教新知识的同时也要注意新旧知识的联系。
3课程实施时间的变化对教学实践的指导
由数据分析可知，《标准》中的三角形的课程实施时间较长，增加了五个课时。课时的增加一方面是因为课程广度、课程深度的增加，所以需要增加课程实施时间来辅助教师的授课，以避免教师对新课的讲解不够具体，学生对知识点的理解不够彻底；另一方面需要注意的是，因课时的增加，教师不应过多地补充难题、怪题，而是应该多注意帮助学生理解新旧知识的联系，使学生形成一个系统的知识面。
4课程难度变化对教学实践的指导
三角形中线定理范文3
知识结构
重点、难点分析
相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点．
它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．
它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂，全国公务员共同天地直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．
教法建议
1.教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等
2.教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答
3.在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比
（第1课时）
一、教学目标
1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．
2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．
3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1．教学重点：是性质定理1的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
［复习提问］
1．三角形中三种主要线段是什么？
2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？
3．什么叫相似比？
［讲解新课］
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽，
，
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．
分析示意图：结论∽（欠缺条件）∽（已知）
∽，，全国公务员共同天地
BM=MC，
∽，
以上两种情况的证明可由学生完成．
［小结］
本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．
三角形中线定理范文4
一、截取(延长)线段，构造全等三角形
例1如图1，AD是ABC的中线，DE、DF分别是ABD、ACD的角平分线，求证：EF
分析利用角平分线的条件，分别构造两对全等三角形，转移BE、CF，使三条线段构成一个三角形.
证明在DA上截取DN=DB=DC，连结NE、NF.
由DE平分∠ADB，知∠1=∠2.
又BD=ND,ED=ED，
所以BDE≌NDE，
得BE=NE.
同理可得CF=NF.
而在EFN中，NE+NF>EF，
故BE+CF>EF，
即EF
点评当有角平分线时，截取相等线段，为解题开通道路.本例也可延长ED到N，由全等三角形得BE=CN,EF=NF.
二、截取(延长)线段，构造等腰三角形
例2如图2，在ABC中，∠ACB=2∠B，求证：2AC>AB.
分析本题关键是如何构造出2AC.利用角的二倍关系，构造以AC为腰的等腰三角形，该等腰三角形的底边恰与AB相等.
证明延长BC到D，使CD=AC，连结AD.
则∠CAD=∠D.
而∠ACB=∠CAD+∠D，
所以∠ACB=2∠D.
而∠ACB=2∠B，
所以∠B=∠D，得AB=AD.
在ACD中，AC+CD>AD，
所以2AC>AB.
点评本题也可以在BC上取点E，使∠AEC=∠ACB.连结AE，可类证.
三、延长中线构造平行四边形
例3如图3，AD是ABC的中线，求证：AB+AC>2AD.
分析由2AD想到延长AD至等长，构造出平行四边形，就可把有关线段转移到一个三角形中.
证明延长AD到E，使DE=AD，连结BE、CE.
又DB=DC，所以四边形ABEC是平行四边形，得AC=BE.
在ABE中，
AB+BE>AE，
所以AB+AC>2AD.
点评如果没学到平行四边形，也可证明EBD≌ACD.
四、构造中位线
例4证明：三角形任两条中线之和大于第三条中线.
已知：如图4，AD、BF、CE是ABC的三条中线，它们相交于N.
求证：BF+CE>AD.
分析利用三角形重心N将各中线三等分的性质，取AN的中点M，使EMN的三边分别是各中线的三分之一.
证明取AN的中点M，连结ME.
因为AD是中线，N是重心，
所以MN=13AD.
又E是AB中点，
则EM=12BN=13BF.
因为EM+NE>MN，
而NE=13CE，
所以13BF+13CE>13AD，
从而BF+CE>AD.
点评本题也可延长ND到G，使DG=DN，得平行四边形BNCG，再利用BNG的三边不等关系.
五、移动线段
例5如图5，D是ABC的边BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且∠EDF=90°，求证：BF+CE>EF.
分析利用直角∠EDF，构造等腰三角形以及全等三角形，将三条线段转移到同一个三角形中.
证明延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG.
由∠EDF=90°，知EFG是等腰三角形，则EF=EG.
又FD=DG，BD=CD，∠1=∠2，
则BDF≌CDG，
得BF=CG.而CG+CE>EG，
所以BF+CE>EF.
点评本题的关键是对直角DEF条件的利用.一般有两种方法：一是作出斜边上的中线，二是加倍直角边.本例采用的是后一种方法.这样将目标式中的三条线段转移到同一个三角形中.
六、截大补小
当已知条件中，一个角大于另一个角时，可采用“截大补小”法，即在大角内作一个角等于小角，或将小角补成与大角相等的角.
例6在ABC中，∠C>∠B，求证：AB>AC.
证法1如图6-1，在∠C内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D，则BD=CD.
在ADC中，AD+CD>AC，
则AD+BD>AC,即AB>AC.
证法2如图6-2，作∠CBE=∠C，BE与CA的延长线交于点E，则BE=CE.
在ABE中，AE+AB>BE，
则AE+AB>CE=AE+AC，
即AB>AC.
点评本例结论实际上是有关三角形边角不等关系的一个重要定理.即在三角形中，大角对大边，大边对大角.
练习题1.在ABC中，AB>AC，M是角平分线AD上一点，求证：BM-CM
三角形中线定理范文5
一､受“勾三股四弦五”的影响,忽视分情况讨论
例1 一个直角三角形的两边长分别为3和4,求第三边长的平方.
错解: 因为两边长分别为3和4,所以由“勾三股四弦五”可知,第三边的长为5,所以第三边长的平方为25.
剖析: 题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边的长.造成错误的原因是思维定势,受“勾三股四弦五”的影响而忽视了分情况讨论.
正解:应分两种情况:
(1)若已知的两边长是直角边长,则第三边是斜边.
根据勾股定理,得斜边长为= 5,所以第三边长的平方为25.
(2)若已知的两边长是一条直角边长和斜边长,则较大的是斜边长.第三边是另一条直角边.
根据勾股定理,得另一直角边长为=,所以第三边长的平方为7.
综上,第三边长的平方为25或7.
二､忽视勾股定理的应用条件
例2如图1,ABC中,AB = 10,BC = 12, BC边上的中线AD = 8.求证:AB = AC.
错解: 因AD为中线,所以CD =BC = 6.又AD = 8,所以在RtACD中,由勾股定理可得AC = = = 10.而AB = 10,所以AB = AC.
剖析: 由于受结论及题图的影响,加上AD为中线的条件,很多同学不进行推证,便直接认为ACD为直角三角形,从而导致了错误.
正解:因为AD为中线,故BD = CD =BC = 6.又AB = 10,AD = 8,并且62 + 82 = 102,即BD2 + AD2 = AB2,所以ABD为直角三角形,即ADBC.所以在RtACD中,由勾股定理,可求得AC = 10.所以AB = AC.
三､忽视勾股定理表达式的结构特点
例3 在ABC中,∠A = 90°,∠A､∠B､∠C所对的边长分别为a､b､c,a =13,b = 5.求c.
错解: 由勾股定理,得a2 + b2 = c2,所以c = =.
剖析: 错解的原因在于忽视了勾股定理的本质特点,只注意到了表面形式.当∠C = 90°时,勾股定理的表达式为a2 + b2 = c2.而当∠A = 90°时,勾股定理的表达式应为b2 + c2 = a2.
正解:因为在ABC中,∠A = 90°,所以由勾股定理,得b2 + c2 = a2.
所以c = = = = 12.
四､忽视对图形的讨论
例4 已知ABC中,AB = 20,AC = 15,BC边上的高AD = 12,求ABC的面积.
错解: 如图2,在RtABD中,BD === 16.在RtACD中,CD = == 9.所以BC = 16 + 9 = 25.
所以SABC = × BC × AD =× 25 × 12 = 150.
剖析: 错解中只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,实际上,高还有可能在三角形外.
正解: 当AD在ABC内部时,如上解,BC =BD + CD = 25.
SABC = × BC × AD = × 25 × 12 = 150.
当AD在ABC外部时,如图3,由勾股定理可求出BD = 16,CD = 9.故BC = BD - CD = 7.
SABC = × BC × AD = × 7 × 12 = 42.
三角形中线定理范文6
[关键词]三线合一；等腰三角形；运用
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20003001
等腰三角形在初中几何里很基础，等腰三角形的性质在实际的应用中非常普遍，尤其是“三线合一”这一重要定理.等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合，简称“三线合一”.不少教案中都是把它和“等边对等角”放在一起讲.我觉得等腰三角形的“三线合一”性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位.学生既需要知道它的由来，又要知道它的用途，还要能在图形不全的情况下补全“三线合一”所在的基本图形.因此，教师在教学“三线合一”定理时应该给予学生恰当引导，适时启发，做到“授人以鱼，不如授之以渔”.教师如果把握好“三线合一”定理在辅助线教学中的应用，把握好化归思想方法的渗透，将有助于学生把握解题的关键，更好地培养和发展学生的思维能力，突破解题的难点，探明解题的方法，从而帮助学生提高解决问题的能力.
【例1】如图1，点D在ABC的边BA的延长线上，过点D作DFBC，交AC于E，垂足为点F.若AE=AD，求证：AB=AC.
分析：本题有三种证明方法.
方法1：根据AE=AD，得到∠D=∠DEA，再借助垂直关系，以及∠CEF=∠DEA，把∠D=∠DEA转化为∠B=∠C，从而得证.
方法2：看到AE=AD的条件，我们马上想到等腰三角形的底边上“三线合一”定理，于是尝试着过点A作AH垂直DE，交DE于H，得到底边上的高AH，那么线段AH身兼三职：
底边上的高、底边上的中线和顶角平分线.于是，问题迎刃而解！证明：如图2，过点A作AHDE，交DE于H，则AH∥BC.
AD=AE（已知）AH平分∠DAE.（等腰三角形底边上“三线合一”）
∠DAH=∠EAH，而∠DAH=∠B，∠EAH=∠C.
∠B=∠C，AB=AC.
方法3：将“三线合一”定理逆过来用，即若有一个三
角形一边上两线合一，通过证明必可得三线合一，并且推出这是个等腰三角形.
故本题也可以从“求证AB=AC”这个求证的结论得到提示与启发.
证明：如图3，过点A作AGBC，则AG∥DF，
AD=AE，∠D=∠AED.
∠D=∠BAG，∠ADE=∠CAG，∠BAG=∠CAG.
∠B=∠C，AB=AC.
通过以上例题，我们有了这两个思路：若题目给出等腰三角形的图形环境，我们会不由自主地想到“三线合一”定理，从而尝试着预算出“三线合一”定理能否给解题带来便利；题目中三角形里有一条线段身兼三线中的二线，我们也应该想到是否能促成等腰三角形的存在，毕竟等腰三角形是个特殊三角形，它带来的结论不少.
【例2】如图4，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，CEBD的延长线于点E，求证：BD=2CE.
分析：如图5，线段BD既是∠ABC的平分线，又是CE的垂线，让我们联想到“三线合一”定理.延长CE交BA延长线于F，则CBF为等腰三角形，于是问题变得简单了许多.
证明：延长CE交BA延长线于F，
BD平分∠FBC，BECF，BC=BF，且EC=EF=1/2CF，即CF=2CE.
