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离散数学答案范文1
一、由于审题不清导致没有将分类讨论的思想融进解题的过程中
图1例1已知，如图1所示，在三角形ABC中，若AB=AC，三角形的周长为16厘米，且AC边的中线BD将三角形ABC划分成了具有4厘米周长差的两个三角形，试求三角形ABC各个边的长度.
分析：因为AD=DC，如图1可得，分成后的两个三角形的周长之差相当于AB和BC之差，则有AB-BC的绝对值等于4，然而，由于题中并没有交代AB和BC之间的大小关系，所以实际解答时需要分两种情况对其进行讨论.
剖析：（1）在解答本题的过程中容易发生两种相对来说比较常见的错误，一种是由于在解答过程中考虑的问题不够全面，导致出现了顾此失彼的现象，具体来说就是只考虑到了AB>BC或者AB
正解：因为AD=DC，所以三角形ABD和三角形BCD的周长之差就等于AB和BC之间的差.（1）当AB>BC时，AB-BC=4厘米，我们设BC的长度为x厘米，则由题可得，AB=（x+4）厘米，所以2（x+4）+x=16，所以x=8/3，故BC=8/3厘米，AB=AC=20/3厘米.（2）当AB
二、由于知识点的掌握程度不够导致错用知识点的某些性质
图2例2已知，如图2所示，在四边形ABCD中，已知AB=AC，且∠B=∠C，试证明：BD=CD.
错证1：先连结AD，在三角形ABD以及三角形ACD当中，因为AB= AC，AD =AD，且∠B =∠C，所以三角形ABD全等于三角形ACD，故BD=CD.
错证2：先连结AD，由于在三角形ABD以及三角形ACD当中，因为AB= AC，AD =AD，且∠B =∠C，所以三角形ABD相似于三角形ACD，故BD=CD.
剖析：对于那些刚刚才接触几何试题的学生来说，上述两种错误是在日常解题过程中比较容易发生的.通过具体的证明过程我们可以看到，错证1所犯的错误主要原因是由于学生仅仅注意到了书写格式为SAS，却忽视了各个条件间的相互关系，随意采用了SAS，最终导致只求了表面而忽视了实质的现象；错证2所犯的错误主要是由于对全等的三角形所具有的判定方法在理解上产生歧义，从而没有将其正确运用于题目中.
图3正解：如图3所示，先连结线段BC，由于AB=AC，所以∠1=∠2，又由于∠ABD =∠ACD，所以∠3=∠4，故BD=CD.
通过以上叙述，我们知道了两种有关于初中数学三角形问题解答易错的原因，然而，由于科学的复杂性以及严谨性，除了上述两类原因以外，还有很多原因导致初中数学三角形问题的解答非常容易出现错误，例如对某一知识要点的性质没有理解清导致无法对其进行正确地运用、没有抓住文字题所具有的要义导致解题的过程留有遗漏、没有能够抓住知识性质的使用范围导致解题出现错误等等.掌握初中数学三角形问题解答易错的原因，有助于对三角形的理解和运用.
参考文献：
[1]陈光.初中数学三角形问题解答易错案例剖析初探[J].数理化学习，2011（12）.
[2]王晶莹.平行四边形性质的灵活运用[J].商情，2009（25）.
离散数学答案范文2
摘 要：本文结合作者对计算机专业学生多年离散数学教学经验，介绍了在教学中结合计算机领域背景实际问题改革教学方法和教学内容的经验，并总结了该方法在实际教学中的效果。
关键词：离散数学；教学方法；实践教学
中图分类号：G642 文献标识码：B
1 引言
在我国目前高等教育体系中，离散数学课程一般由计算机专业教师负责教学，有别于其他公共课类数学，如高等数学、线性代数等。然而对计算机专业学生来说，往往意识不到离散数学与计算机科学之间的关系，误将其看作公共数学课，学习兴趣不高，而且主动性较差，不能将课程内容与计算机领域实践相结合。
针对这种情况，应改进离散数学的教学方法，加强实践环节，使学生对离散数学的认识不仅仅停留在“数学课”的基础上，而是掌握数学思维、数学方法，解决计算机领域问题，如何开展实践教学成为实现上述目标的关键。很多高等院校计算机专业教师提出了自己的教学方法，本文作者在教学工作中，借鉴了上述方法，并结合自身对计算机专业本科生多年离散数学教学经验，在教学中结合计算机领域背景实际问题，改革教学方法和教学内容，激发了学生的学习兴趣，而且加强了学生解决实际问题的能力。
2 教材选取与教学内容安排
目前，国内出版的高等院校离散数学类教材，一般包含四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统和图论。国内教材的特点是数学性强，结构明确，偏重概念、定理、数学推理证明等，但是缺少实例讲解。而国外经典离散数学教材，其特点往往从解决问题的方法入手，如Discrete Mathematics and Its Applications一书，结构为：逻辑集合函数基础、算法整数矩阵基础、数学推理、计数、高级计数技术、关系、图、树、布尔代数、计算模型。国外教材的特点是篇幅较长，对数学概念和定理的着墨较少，而侧重于问题的解决，实例精彩，但是易使学生难以把握重点。
国内、国外两类教材各有千秋，但是针对学生特点和教学目标，我们还是选择了尤枫、颜可庆编写的《离散数学》(机械工业出版社2005年版)。该教材知识点清晰，便于学生掌握。虽然欠缺实例，但是实例部分可以由教师讲课时补充，理论和实例二者互为补充，又有所区别，学生可以在掌握关键知识点后，根据自身情况举一反三，训练理论联系实际能力。
基于上述考虑选取教材后，仍旧按照教材结构安排教学内容，但是讲义中保证每个重要知识点均辅以实例。就教学时间的安排来说，减少概念、定理的讲解时间，这样可以在有限的课时中保证一定的时间用于实例扩展讲解。目前，离散数学传统课时安排不提供上机实验课时，因此，鼓励学生以课外作业的方式，结合知识点，完成相关计算机程序模拟、课程设计等实践作业，作为平时成绩考核指标。因此，在这种教学安排下，如何选择实际案例，是保证学生兴趣、提高教学质量的关键。
3 教学中案例选取
在有限的教学时间内，既要保证学生对离散数学知识点的理解掌握，又要培养学生使用离散数学解决计算机领域实际问题的能力，这就对教学案例的选取有较高要求。根据每个知识点的侧重点不同，在教学过程中作者尽量选择与计算机领域新技术、实际问题相关联的问题，以课堂讲解、课外作业的形式完成实例教学。以下以离散数学的主要内容为例，介绍了作者在教学中设计、选取的实际案例。
3.1 数理逻辑
数理逻辑是以数学化方法研究推理规律的学科，研究的中心问题是推理，离散数学课程介绍了数理逻辑最基本的内容。计算机科学的基础就是布尔逻辑，逻辑更是人类日常思维的体现，但是数理逻辑中的众多数学符号、定义定理往往使学生将其当作枯燥繁复的数学知识点看待，缺少学习兴趣，因此有效的实例是激发学生兴趣、培养学生联系实践的关键。在此部分教学中，我们选择计算机领域实例：如布尔检索、逻辑电路图设计、专家系统原理等，结合到教学过程中，取得了较好的效果。同时还注意增加相关数学发展史介绍，增加教学的趣味性。
逻辑联结词是数理逻辑中的基本知识点，就其本身概念来说，属于易于掌握的知识点。但是这作为学生学习离散数学的开端，合适的实例能使学生认识到该课程在计算机领域中的实际作用，能启发学生对后续课程的思考。因此，教学过程中设计了布尔检索实例。
布尔检索技术目前广泛用于网络资源、Web页面搜索中，大多数学生都使用过类似于google，baidu这样的搜索引擎，部分同学还使用过高级检索功能，了解各种查询条件可以根据需要以并且、或者等方式组合。在这种背景下，引入布尔检索概念中，联结词AND用于匹配包含两个检索项的记录，联结词OR用于匹配两个检索项之一或者两项均匹配的记录，而联结词NOT用于排除某个特定的检索项。布尔检索中的这些概念紧密地与合取、析取、否定联结词知识点联系起来。例如，让学生设计如下检索语句：
例题1：用布尔检索查找关于Linux下查看进程和杀进程的命令
答案：Linux AND (查看进程 OR 杀进程) AND 命令
通过上述实例教学，不仅使学生加深了对逻辑联结词的认识，更重要的是，使他们进一步掌握使用联结词组合查询条件以精确细化定位所需的信息的方法。学生们面对Internet上纷繁海量的信息，如何快速准确找到有用信息，这不仅是大学学习中必备的技能，也是日后工作科研中不可或缺的环节。作为本课程的第一个实例，马上能使学生感觉到实用性和趣味性，便于后续课程的展开。
此外，为了培养学生认识到数理逻辑与计算机实践的联系，综合利用命题翻译、命题推理知识，还增加了逻辑电路图设计实例。只需要向学生介绍最简单的三种逻辑门：非门、与门、或门，即可完成具有实际功能的逻辑电路设计。如下例：
例题2：本校网络中心机房装有自动报警装置。仅当控制开关打开时它才工作。如果开关合上，那么当机房温度超过26℃或者有人进入机房时，就会发出警报。请设计这个控制线路。
答案：第一步：设输入信号：
C1：控制开关打开(T-打开 F-关闭)
C2：机房温度大于等于26 ℃( T-大于等于26 ℃ F- 低于26 ℃ )
C3：机房内有人( T-有人 F-无人)
输出结果：
S：报警器响( T-响 F-不响)
根据题意画出真值表(略)。
第二步：根据真值表得到表达式S的命题公式：
C1 ∧ (C2∨C3)
第三步：根据命题公式画出电路图(略)。
虽然学生在学习离散数学前尚未学习过数字电路、数字逻辑等相关课程，但是电路设计直观性强，对预备知识要求较少：只需要掌握三种逻辑门电路的输入、输出特性即可，无需关心内部电路原理，所以电路设计实例的引入效果较好，不仅训练了学生综合运用命题翻译、分析的知识点，还为以后学生学习数字电路奠定了基础。教学中不仅课堂上引入电路设计实例，还布置了课外作业，供有兴趣的学生选作，该课外作业的考核成绩记入平时分，从而也达到了鼓励学生自主学习的目的。
3.2 集合论
此部分内容中朴素集合论的知识较容易理解，但是涉及到“关系”知识点时，由于新的概念、定义较多，学生往往接受困难。针对该知识点，教学中的首要目标是让学生把握关系的实质，选用的实例多用来说明关系在计算机领域的应用。如关系数据库，以常见关系数据库SQL Server为例，使学生意识到关系的本质就是一些n元组的集合。
关系的运算本质可转化为矩阵运算，学生先期已在线形代数课程中接触过，对其兴趣不高。因此举实例时，先介绍矩阵运算在计算机加密解密、压缩、图像处理等方面的应用，激发兴趣，而后介绍相关矩阵运算的计算机实现方法。而且本章的重要知识点，计算关系传递闭包的Warshall算法，可以鼓励学生自己编程实现，这些都促进了学生对知识点的掌握。
本部分内容中，另一个令学生难以理解的抽象知识点是可数集合与不可数集合的概念，教学时实例选择了趣味性的“希尔伯特旅馆”：
例题3：希尔伯特旅馆中有无穷多个房间，房间号码为1，2，3，4，……。有一天开大会，所有房间都住满了。第二天，旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。该如何为客人安排房间呢？
答案：让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。
此外还鼓励学生设计计算机程序，以计算机图形方式显示可数集合(如自然数集合)中的元素如何一一有序排列。这些都有助于学生理解抽象概念。
3.3 图论
图论是离散数学中的重点，也是难点。但是图论与计算机科学的联系更明显、重要，而且又是后续课程如数据结构的基础，因此在进行此部分教学时，学生能主动意识到图论与计算机学科的联系。但是，因为图论内容抽象、相关算法虽然可以使用计算机程序实现，但算法实际用途对于低年级本科生来说还意识不到。因此，此部分的实例多为趣味性问题，如旅行推销员问题、代价最低网络通路等问题。通过这些问题，提高了学习兴趣，学生可根据个人情况选作一些课外实验，实现部分算法的编程。
4 多媒体运用与课外实验设计
针对重要知识点设计了与计算机领域相关的实例仅仅是改进教学效果的一个方面，采取何种教学方式使学生更好地接受、更投入地深入学习也是影响教学效果的重要因素。我们考虑教学方式的改进主要集中于两个方面：多媒体课件的改进和课外实验的设计。
4.1 多媒体课件在教学中的应用
多媒体课件已经在高等教育中应用多年，目前大多数高校中相当大比例的课程均使用多媒体课件，但在数学课中，传统板书授课方式却仍然占很大比例。数学课往往注重推导，传统板书与课件相比，更容易集中学生注意力，并且板书速度符合学生接受新知识的反应速度，效果较好。但是课件的优点是相同课时内，提供的信息量更大，而且如果能有效引入图片、音频、视频素材，能更好地激发学习兴趣。
为了在有限的离散数学课时内引入更多计算机领域实例，教学过程中，我们在保证板书仍然占据一定比例的前提下，采用了多媒体课件。关键定理证明、例题推导，仍然使用传统板书，而课件不仅提供课堂全部信息，还增加了趣味性的背景知识(如相关数学家生平介绍、相关领域知识发展简史等)、图文并茂的实例。这些内容如果不借助计算机课件，既不能在短时间内完整呈现给学生，也无法调动学生兴趣。
4.2 课外实验设计
前面已经介绍过，目前离散数学传统课时安排不提供上机实验课时，而在讲课中引入的众多实例，大多是可以在计算机上操作模拟、或者编程实现的。如果仅仅让实例停留于上课时的讲解，还是无法进一步调动学生的自主性和动手能力。因此，鼓励学生以课外作业的方式，完成相关计算机实验，并且该课外成绩作为平时成绩考核的指标之一，这样就激励了学生参与的热情。
具体实行上，我们编写了课外实验指导讲义，在课堂上讲解相关知识点时简单介绍，供学生自由选择。根据知识点分布，共设计了10个课外实验，依次如下：
实验一：练习使用布尔检索。使用google(google
.com)的高级搜索，或者中国国家图书馆()的书目检索系统，使用布尔检索组合各种查询条件；
实验二：自动投币售货机的电路图设计；
实验三：编程实现Warshall算法计算关系的传递闭包；
实验四：编程实现构造一个偏序集合的哈斯图；
实验五：编程实现由偏序集合构造全序集合(即拓扑排序算法)；
实验六：利用计算机图形表示可数集合中成员的排列方法；
实验七：从网上下载NAUTY软件，做实验检查其判断两个图是否同构的效率，并加以分析；
实验八：编程实现弗留利算法构造连通多重图的欧拉回路；
实验九：编程实现Dijkstra算法求最短路问题；
实验十：编程实现利用深度优先搜索构造图的生成树。
其中，图论部分的程序题较多，而且题目难度对于正在学习离散数学的计算机专业低年级本科生来说过于偏难。但是考虑到图论是后续课程数据结构的基础，数据结构课程将涉及到这些算法与编程实现，所以将其选编入课外实验中，供学有余力且成绩优秀的学生课外选作。这样题目难度层次拉开，有难有易，不仅可以供不同层次学生选作，而且可以激发学生的挑战意识。
上述课外实验题目是在教学过程中不断调整、增加的，目前的题目规模已经经过两届教学实践，学生的参与率逐年升高，反应较好。以2008年春季学期的一个教学班为例(约150名大学一年级本科生)，大部分同学至少选作一道题，均提交了源代码或实验报告的电子文档。小部分同学提交了较多课外实验结果，并且程序代码水平较高，在期末考试中，这部分同学的成绩普遍处于优秀级，也体现了课外实验对增加学生学习兴趣，促进学习成果所起的积极作用。
5 教学效果总结
离散数学教学的最终目的是为学习计算机科学专业的学生提供必需的数学基础，使其理解数学概念的重要性以及这些概念为什么对应用而言是重要的。在这个目标的驱使下，我们教学中融合了尽量多的实例，设计配套的教学多媒体课件，同时设计了课外实验供学生选作，以期激发学生的学习兴趣和自主性，能够主动思考如何将数学应用于计算机实践中。
在这套教学方式下，我们的考核标准也作了相应调整。期末考试仍然采用传统闭卷考试方式，题目也集中于对关键知识点、基本题型的考察。但是总成绩构成中，加大平时成绩所占比例，平时成绩除了基本作业、考勤考核之外，加大学生选作课外实验的奖励分数。在这样的激励考核标准下，学生学习兴趣有所提高。并且采用这种教学方式和考核体系后，经过对部分学生的跟踪询问发现，进入高年级后，学生自主感觉到离散数学所学习的数学知识对后续课程“有作用”的比例增大。这也表明在教学中引入实例收到了较好的效果。
不过随着计算机学科的不断发展，在离散数学教学方式也需不断完善，与计算机实践结合，课堂教学中引入实例，课外增加实践实验的方式，是离散数学教学中的有益尝试，对培养学生以数学方法解决问题的能力起到了积极的作用。
参考文献
[1] 尤枫，颜可庆．离散数学[M]．北京：机械工业出版社，2005.
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[3] 翁梅，刘倩，冯志慧，闾素红．“离散数学”课程教学实践与探索[J]．计算机教育，2004，(12):62-63.
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[7] 刘光洁．谈谈离散数学的教学[J]．计算机教育，2007，(12):62-64.
离散数学答案范文3
【关键词】虚拟创新教学 离散数学 概率论与数理统计 高等数学 创新能力
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0103-02
一、大学数学虚拟创新教学的总体思路、操作步骤和特点
本文提出的虚拟创新教学模式下，教师要做的是：根据教学内容提前撰写虚拟创新教案，为学生提供课程需要的课件、教具，给学生介绍知识背景，并提出需要解决的问题，然后让学生根据教案自学并进行深入讨论，根据学生表现，教师适时提供指导和帮助，促使学生主动思考、深入探究、自主学习，达到培养学生创新能力的目的。笔者将该教学模式引入大学数学课堂教学，通过具体教学过程中的实践，总结出大学数学虚拟创新教学的总体思路、操作步骤和特点如下：
1.总体思路
在大学数学课堂教学中，以学生为主体进行自主创新学习，达到教会学生学习，学会创新的目的。本着“2结合+2讨论+1指导”的思路进行虚拟创新教学。2结合：教师提供的虚拟创新教案与教材相结合；2讨论：通过学生之间及学生与老师之间的讨论进行合作学习；1指导：教师根据学生遇到的问题适时为学生提供必要指导，帮助学生最终解决问题。
2.操作步骤
大学数学虚拟创新教学模式主要包括三个步骤：（1）学生自学阶段。此阶段老师要为学生提供并创造必备的教学环境和教具，通过熟悉课程背景为学生编写虚拟创新教案，并按照学习水平将学生分成不同的学习小组，学生即可根据虚拟教案自学教材，若自学过程中遇到困难，学生可以重新自学教材和寻求教师的指导。（2）讨论创新阶段。通过第一阶段的自学，会形成很多不同观点和答案，因此学生自然进入了合作讨论阶段。教师要引导学生在和谐的氛围中，各抒己见，同时对于学生疑难问题，教师可通过点拨和精讲等方式进行辅导，启发学生构建知识网络结构，从而培养学生分析和解决问题的综合能力。此外，由于是小组学习，所以学生间必须通过互相协作和合作学习，找到解决问题的方法，最终得到共同意见，分享学习成果。这也为学生培养创新思维创造了最佳时机。（3）总结测验阶段。通过前两个阶段的学习，学生初步掌握了利用自己所学知识去发现、分析和解决问题的技巧，但教师有必要通过一份测试题来了解学生对本节课知识的掌握情况，需要指出是这份测试题不同于考试题，测试主要目的是及时反馈学生自学过程中出现的错误，再由教师适时进行纠正，最后根据测试结果总结分析、归纳知识重点，形成完整的知识结构。
3.主要特点
（1）改变了传统的数学知识的传授途径（2）有利于学生体验知识探索过程领会创新的方法（3）有利于学生合作学习、创新意识和情感的培养。（4）有利于建立新型的师生关系。
二、大学数学虚拟创新教学的实践可行性
如何在虚拟创新教学模式下提高大学数学的教学质量，培养学生的创新能力是一个值得探讨的问题，我们就以下三个方面进行讨论。
1.教学内容方面
虚拟创新教学模式强调教师指导策略下学生进行自主创新学习的过程。考虑到大学数学内容繁多、课时有限，这就要求教师做到精选授课内容、保证内容层次分明。在教学内容的取舍上做到分清主次、取精去糙、不面面俱到，结合实际和后续课程需要，以够用为准、有所取舍。同时结合虚拟创新教学， 注重基本概念及基本方法的讲解， 适当引入模块化的阶段性复习、强调计算方法弱化理论证明，结合计算机学科中的典型应用实例，让学生从切身的具体感悟中探究出深刻抽象的理论，在学生创新能力培养上达到事半功倍、立竿见影的效果。
2.教学方法方面
（1）大学数学虚拟创新教学的概念教学。教师按照“相近概念找区别，不同概念找联系”这两个原则来进行概念教学。以高等数学为例。高等数学中概念很多，概念不清这门课就无法学好。因此教师可在诸多概念之间找到它们的关联，引导学生触类旁通，将相关概念掌握好。比如在第一章函数极限这节，学生在学习定义时，教师可在虚拟教案中引导学生，去联想数列极限那节中已学过的定义，只要将定义中的正整数“”，通过条件变动变为区间半径“”，就可以轻松掌握新概念，可谓事半功倍。以概率论课程为例。结合该课程应用背景强烈的特点，我们将基本概念形象化通俗化，更易于学生进行创新学习。例如在指导学生学习“随机现象和小概率事件”这组概念时，可以打比方告诉学生：“抱有侥幸心理的逃课行为”就是小概率事件，“每次课点名，结果可能是全到，可能是缺席1人、2人、3人等结果”这就是随机现象。以离散数学为例。在学习第六章集合运算这节内容时，可以与高等数学中集合论的内容联系起来，将两门学科中相同部分指出后，应重点强调离散数学中独有的：对称差、幂、广义并和广义交四种运算，它们是高等数学课程中未曾学习过的，应重点学习，找到知识点间的区别和联系有利于学生对重要知识的理解和掌握。
（2）大学数学虚拟创新教学的命题教学。数学命题主要包括数学公式和数学定理。数学命题掌握不好，就会导致各门数学课程之间和每门课程的各个知识点之间彼此孤立，无法真正形成完整的数学知识结构。因此，在大学数学教学过程中，必须强调对数学命题的创新教学。以高等数学为例。在第三章学习拉格朗日中值定理时，教师可在虚拟教案中引导学生思考先前学过的罗尔定理，因为这个条件的特殊性，使得罗尔定理应用受到限制，若取消这个条件，而保留其余两个条件，并相应改变结论就可以得到拉格朗日中值定理。以概率论为例。在学习条件概率公式这节时，教师可以在虚拟教案中引入抓阄的公平性这一案例：班里有30名同学，现在决定用抽签决定仅有一张参加《中国好声音》节目门票的归属。通过学生的自主学习及深入讨论，最后得到中签概率与抓阄顺序无关的结论，明确条件概率公式的正确性。教师引入问题，学生带着浓厚兴趣自己解决问题，既突出了教学重点，又弱化了繁杂的计算过程，有利于学生自主创新能力的培养。以离散数学为例。在学习欧拉图的判断定理时（无向图G为欧拉图当且仅当G是连通图且无奇度顶点），教师可以在虚拟教案中引入“哥尼斯堡七桥问题”，让学生通过讨论，亲自动手找到哥尼斯堡七桥问题无解的原因，进而理解该定理的正确性。
3.教学手段方面
目前，在大学数学的课堂教学方面，普遍采用“黑板+粉笔”的传统授课方式。长期以往，不利于学习效果的提高和学生创新能力的培养。教师可以根据大学数学课程知识点多的特点，在教学中采用传统教学方式为主，多媒体辅助教学为辅的教学手段。此外，鉴于数学软件具有简单易学、简洁规范等特点，教师可在课堂中引导学生利用matlab等数学软件去解决课程中遇到的难题，提高学生解决问题的动手能力，将多媒体教学的强大辅助作用发挥到淋漓尽致。
参考文献：
[1]王强.离散数学的教学体会与实践[J].内蒙古师范大学学报，2004（5）.
离散数学答案范文4
立体几何
第二十三讲
空间中点、直线、平面之间的位置关系
2019年
1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则
A．BM=EN，且直线BM、EN
是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN
是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN
是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN
是异面直线
2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
4.（2019北京文13）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①lm；②m∥；③l．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BEC1E．
6.（2019全国II文17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.
（1）证明：BE平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
7.(2019全国III文19）图1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积.
8.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
9.（2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
10.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BEC1E．
11.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
12.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
13.（2019全国1文16）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
14.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
15.（2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
16.（2019浙江8）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则
A．β
B．β
C．β
D．α
17.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．
B．
C．
D．
2．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是
4．（2017新课标Ⅲ）在正方体中，为棱的中点，则
A．
B．
C．
D．
5．（2016年全国I卷）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，∥平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1
A1=n，则m，n所成角的正弦值为
A．
B．
C．
D．
6．（2016年浙江）已知互相垂直的平面
交于直线l．若直线m，n满足m∥α，nβ，则
A．m∥l
B．m∥n
C．nl
D．mn
7．（2015新课标1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．斛
B．斛
C．斛
D．斛
8．（2015新课标2）已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为
A．
B．
C．
D．
9．（2015广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都不相交
B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交
D．至少与，中的一条相交
10．（2015浙江）如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则
11．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是
A．
B．
C．既不垂直也不平行
D．的位置关系不确定
12．（2014浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面
A．若，，则
B．若，则
C．若则
D．若，，，则
13．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
14．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）。若，，则的最大值
A．
B．
C．
D．
15．（2014四川）如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线
与平面所成的角为，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
16．（2013新课标2）已知为异面直线，平面，平面．直线满足，，则
A．且
B．且
C．与相交，且交线垂直于
D．与相交，且交线平行于
17．（2013广东）设是两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若,,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
18．（2012浙江）设是直线，是两个不同的平面
A．若∥，∥，则∥
B．若∥，，则
C．若，，则
D．若,
∥，则
19．（2012浙江）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
20．（2011浙江）下列命题中错误的是
A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面，平面，，那么
D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
21．（2010山东）在空间，下列命题正确的是
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
二、填空题
22．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_____．
三、解答题
23．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥中，，
，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离．
24．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
25．（2018北京）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，=，，分别为，的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)求证：∥平面．
26．（2018天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．
(1)求证：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
27．(2018江苏)在平行六面体中，，．
求证：(1)平面；
(2)平面平面．
28．(2018浙江)如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
29．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．
(1)证明：直线∥平面；
(2)若的面积为，求四棱锥的体积。
30．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，．
(1)证明：；
(2)已知是直角三角形，．若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比．
31．（2017天津）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
32．（2017山东）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面，
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）设是的中点，证明：平面平面．
33．（2017北京）如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）当∥平面时，求三棱锥的体积．
34．（2017浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
35．（2017江苏）如图，在三棱锥中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）ADAC．
36．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．
分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．
现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．
37．（2016年山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；
（II）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
38．（2016年天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.
(Ⅰ)求证：FG平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED平面AED；
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
39．（2016年全国I卷）如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连结并延长交于点．
（I）证明：是的中点；
（II）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积．
40．（2016年全国II卷）如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，交于点，将沿折到的位置.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若,求五棱锥体积．
41．（2016年全国III卷）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求四面体的体积．
42．（2015新课标1）如图四边形为菱形，为与交点，平面．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．
43．（2015新课标2）如图，长方体中，，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
44．（2014山东）如图，四棱锥中，，，
分别为线段的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
45．(2014江苏)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点．已知，
求证：（Ⅰ）直线平面；
（Ⅱ）平面平面．
46．（2014新课标2）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．
47．（2014天津）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,,,分别是棱,的中点．
（Ⅰ）证明:
平面；
（Ⅱ）若二面角为，
（ⅰ）证明：平面平面；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
48．（2013浙江）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD面APC
；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC面BGD，求
的值．
49．（2013辽宁）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设为的中点，为的重心，求证：平面．
50．（2012江苏）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．
求证：（Ⅰ）平面平面；
（Ⅱ）直线平面．
51．(2012广东)如图所示，在四棱锥中，平面，，是中点，是上的点，且，为中边上的高．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积；
（Ⅲ）证明：平面．
52．（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．
求证：（Ⅰ）直线EF∥平面PCD；
（Ⅱ）平面BEF平面PAD．
53．（2011广东）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F分别是BC,PC的中点．
（Ⅰ）证明：AD平面DEF；
（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．
54．（2010天津）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面，∥，=1，=，∠＝∠＝45°．
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．
55．（2010浙江）如图，在平行四边形中，=2，∠=120°．为线段的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，为线段的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．
专题八
立体几何
第二十三讲
空间中点、直线、平面之间的位置关系
答案部分
2019年
2019年
1.解析
如图所示，联结，.
因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，
所以，，
所以．故选B．
2.解析
（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.
由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得，，所以DE平面，故DECH.
从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.
从而点C到平面的距离为.
3.解析：对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；
对于B，内有两条相交直线与平行，则；
对于C，，平行于同一条直线，则与相交或，排除；
对于D，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．
故选B．
4.解析
若②，过作平面，则，又③，则，又，同在内，所以①，即.
5.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BEC1E.
6.解：（1）由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，
故.
又，所以BE平面.
（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知RtABE≌RtA1B1E，所以，故AE=AB=3，.
作，垂足为F，则EF平面，且.
所以，四棱锥的体积.
7.解析（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．
又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．
（2）取的中点，联结，.
因为，平面，所以平面，故.
由已知，四边形是菱形，且得，故平面.
因此.
在中，，，故.
所以四边形的面积为4.
8.解析（Ⅰ）因为平面ABCD，且平面，
所以．
又因为底面ABCD为菱形，所以．
又平面，平面，，
所以平面PAC．
（Ⅱ）因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以PAAE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，
所以AECD．
又，所以ABAE．
又平面，平面，，所以AE平面PAB．
又平面，所以平面PAB平面．
（Ⅲ）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF∥平面PAE．
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
因为，分别为，的中点，则FG∥AB，且FG=AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE=AB．
所以FG∥CE，且FG=CE．
所以四边形CEGF为平行四边形，
所以CF∥EG．
因为CF平面PAE，EG平面PAE，
所以CF∥平面PAE．
9.解析
（Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.
（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，
因为为等边三角形，且为的中点，所以.又，
故在中，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
10..证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BEC1E.
11.（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.
又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E平面ABC，则A1EBC.
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.
所以BC平面A1EF.
因此EFBC.
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.
由于O为A1G的中点，故，
所以．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．
12.解析（Ⅰ）因为平面ABCD，且平面，
所以．
又因为底面ABCD为菱形，所以．
又平面，平面，，
所以平面PAC．
（Ⅱ）因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以PAAE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，
所以AECD．
又，所以ABAE．
又平面，平面，，所以AE平面PAB．
又平面，所以平面PAB平面．
（Ⅲ）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF∥平面PAE．
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
因为，分别为，的中点，则FG∥AB，且FG=AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE=AB．
所以FG∥CE，且FG=CE．
所以四边形CEGF为平行四边形，
所以CF∥EG．
因为CF平面PAE，EG平面PAE，
所以CF∥平面PAE．
13.
过点P作PO平面ABC交平面ABC于点O，
过点P作PDAC交AC于点D，作PEBC交BC于点E，联结OD，OC，OE，
则
所以又,
故四边形为矩形.
有所做辅助线可知，
所以，
所以矩形为边长是1的正方形，则.
在中，，所以.
即为点P到平面ABC的距离，即所求距离为.
14.解析
（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.
由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得，，所以DE平面，故DECH.
从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.
从而点C到平面的距离为.
15.解析
（Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.
（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，
因为为等边三角形，且为的中点，所以.又，
故在中，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
16.解析：解法一：如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，
作于E，易得，过P作于F，
过D作，交BG于H，
则，，，
则，可得；
，可得.
解法二：由最小值定理可得，记的平面角为(显然)，
由最大角定理可得；
解法三特殊图形法：设三棱锥为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，
易得，可得，，，
故选B．
17.（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.
又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E平面ABC，则A1EBC.
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.
所以BC平面A1EF.
因此EFBC.
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.
由于O为A1G的中点，故，
所以．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．
2010-2018年
1．C【解析】如图，连接，因为，所以异面直线与所成角等于相交直线与所成的角，即．不妨设正方体的棱长为2，则，，由勾股定理得，又由平面，可得，
所以，故选C．
2．A【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．
3．A【解析】由正方体的线线关系，易知B、C、D中，所以平面，
只有A不满足．选A．
4．C【解析】如图，连结，易知平面，所以，又，所以平面，故，选C．
5．A【解析】因为过点的平面与平面平行，平面∥平面，所以∥∥，又∥平面，所以∥，则与所成的角为所求角，所以，所成角的正弦值为，选A．
6．C【解析】选项A，只有当或时，；选项B，只有当时；选项C，由于，所以；选项D，只有当或时，，故选C．
7．B【解析】由得圆锥底面的半径，所以米堆的体积，所以堆放的米有斛．
8．C【解析】三棱锥，其中为点到平面的距离，而底面三角形时直角三角形，顶点到平面的最大距离是球的半径，
故=，其中为球的半径，
所以，所以球的表面积．
9．D【解析】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A．
10．B【解析】解法一
设，，则由题意知．
在空间图形中，连结，设=．
在中，．
过作，过作，垂足分别为．
过作，使四边形为平行四边形，则，
连结，则就是二面角的平面角，所以．
在中，，．
同理，，，故．
显然平面，故．
在中，．
在中，
=
，
所以
，
所以（当时取等号），
因为，，而在上为递减函数，
所以，故选B．
解法二
若，则当时，，排除D；当时，，，排除A、C，故选B．
11．D【解析】利用正方体模型可以看出，与的位置关系不确定．选D．
12．C【解析】选项中均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选．
13．B【解析】对于选项A，若，则与可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若，，则或，C错误；对于选项D，若，，则或或与相交，D错误．故选B．
14．D【解析】作，垂足为，设，则，
由余弦定理，
，
故当时，取得最大值，最大值为．
15．B【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是，
由于，，
所以的取值范围是
16．D【解析】作正方形模型，为后平面，为左侧面
可知D正确．
17．D【解析】A中可能平行、垂直、也可能为异面；B中还可能为异面；C中
应与中两条相交直线垂直时结论才成立，选D．
18．B【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∥，，则．如选项A：∥，∥时，或∥；选项C：若，，∥或；选项D：若,
，∥或．
19．B【解析】过点作，若存在某个位置，使得，则面，从而有，计算可得与不垂直，则A不正确；当翻折到时，因为，所以面，从而可得；若，因为，所以面，从而可得，而，所以这样的位置不存在，故C不正确；同理，D也不正确，故选B．
20．D【解析】对于D，若平面平面，则平面内的某些直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其余选项易知均是正确的．
21．D【解析】两平行直线的平行投影不一定重合，故A错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知、均错误，故选D．
22．【解析】由题意画出图形，如图，
设是底面圆的直径，连接，则是圆锥的高，设圆锥的母线长为，
则由，的面积为8，得，得，在中，
由题意知，所以，．
故该圆锥的体积．
23．【解析】(1)因为，为的中点，所以，且．
连结．因为，所以为等腰直角三角形，
且，．
由知，．
由，知平面．
(2)作，垂足为．又由(1)可得，所以平面．
故的长为点到平面的距离．
由题设可知，，．
所以，．
所以点到平面的距离为．
24．【解析】(1)由题设知，平面平面，交线为．
因为，平面，所以平面，故．
因为为上异于，的点，且为直径，所以
．
又=，所以平面．
而平面，故平面平面．
(2)当为的中点时，∥平面．
证明如下：连结交于．因为为矩形，所以为中点．
连结，因为为
中点，所以∥．
平面，平面，所以∥平面．
25．【解析】(1)，且为的中点，．
底面为矩形，，
．
(2)底面为矩形，．
平面平面，平面．
．又，
平面，平面平面．
(3)如图，取中点，连接．
分别为和的中点，，且．
四边形为矩形，且为的中点，
，
，且，四边形为平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
26．【解析】(1)由平面平面，平面∩平面=，，可得平面，故．
(2)取棱的中点，连接，．又因为为棱的中点，故∥．所以（或其补角）为异面直线与所成的角．
在中，，故．
因为平面，故．
在中，，故．
在等腰三角形中，，可得．
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
(3)连接．因为为等边三角形，为边的中点，故，
．又因为平面平面，而平面，
故平面．所以，为直线与平面所成的角．
在中，．
在中，．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
27．【证明】(1)在平行六面体中，．
因为平面，平面，
所以∥平面．
(2)在平行六面体中，四边形为平行四边形．
又因为，所以四边形为菱形，
因此．
又因为，∥，
所以．
又因为=，平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
28．【解析】(1)由，，，，得
，
所以．
故．
由，，，，得，
由，得，
由，得，所以，故．
因此平面．
(2)如图，过点作，交直线于点，连结．
由平面得平面平面，
由得平面，
所以是与平面所成的角．
由，，
得，，
所以，故．
因此，直线与平面所成的角的正弦值是．
29．【解析】（1）在平面内，因为，所以∥，
又平面，平面，故∥平面．
（2）取的中点，连结，．由及∥，
得四边形正方形，则．
因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面．因为底面，所以．
设，则，，，．取的中点，连结，则，所以．
因为的面积为，所以，解得（舍去），．于是，，．
所以四棱锥的体积．
30．【解析】（1）取的中点连结，.因为，所以．
又由于是正三角形，所以.从而平面，故BD.
（2）连结．
由（1）及题设知，所以．
在中，．
又，所以
，故.
由题设知为直角三角形，所以．
又是正三角形，且，所以．
故为BD的中点，从而到平面的距离为到平面的距离的，四面体的体积为四面体的体积的，即四面体与四面体的体积之比为1:1．
31．【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD平面PDC，所以ADPD．在RtPDA中，由已知，得，故．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
（Ⅱ）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD．又因为BC//AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC．
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC –BF=2．又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
32．【解析】（Ⅰ）取中点,连接，，
由于为四棱柱,
所以，，
因此四边形为平行四边形,
所以,
又面,平面,
所以∥平面,
（Ⅱ）．，分别为和的中点，
，
又平面，平面，
所以，
，所以，，
又，平面，
所以平面
又平面,
所以平面平面．
33．【解析】（Ⅰ）因为，，所以平面，
又因为平面，所以．
（Ⅱ）因为，为中点，所以，
由（Ⅰ）知，，所以平面．
所以平面平面．
（Ⅲ）因为平面，平面平面，
所以．
因为为的中点，所以，．
由（Ⅰ）知，平面，所以平面．
所以三棱锥的体积．
34．【解析】（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连结EF，FB．
因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF∥AD且，
又因为BC∥AD，，所以
EF∥BC且EF=BC，
即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，
因此CE∥平面PAB．
（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连结PN交EF于点Q，连结MQ．
因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，
在平行四边形BCEF中，MQ∥CE．
由为等腰直角三角形得
PNAD．
由DCAD，N是AD的中点得
BNAD．
所以
AD平面PBN，
由BC∥AD得
BC平面PBN，
那么，平面PBC平面PBN．
过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．
MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．
设CD=1．
在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，
在PBN中，由PN=BN=1，PB=得，
在中，，MQ=，
所以
，
所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．
35．【解析】证明：（1）在平面内，因为，，所以.
又因为平面，平面，所以∥平面.
（2）因为平面平面，
平面平面=，
平面，，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
36．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，
所以平面平面，．
记玻璃棒的另一端落在上点处．
因为，．
所以，从而．
记与水平的交点为，过作，为垂足，
则平面，故，
从而．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.
(
如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
（2）如图，，是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义，平面
，
所以平面平面，.
同理，平面平面，.
记玻璃棒的另一端落在上点处.
过作，为垂足，
则==32.
因为=
14，=
62，
所以=
，从而.
设则.
因为，所以.
在中，由正弦定理可得，解得.
因为，所以.
于是
.
记与水面的交点为，过作，为垂足，则
平面，故=12，从而
=.
答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
37．【解析】（Ⅰ）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为
为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，．
（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面．
38．【解析】（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）证明：在中，，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面．
（Ⅲ）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．
39．【解析】（Ⅰ）因为在平面内的正投影为，所以
因为在平面内的正投影为，所以
所以平面，故
又由已知可得，，从而是的中点.
（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.
理由如下：由已知可得，，又,所以，,因此平面，即点为在平面内的正投影.
连接，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.
由（Ⅰ）知，是的中点，所以在上，故
由题设可得平面，平面，所以，因此
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得
在等腰直角三角形中，可得
所以四面体的体积
40．【解析】（Ⅰ）由已知得，，
又由得，故
由此得，所以
（Ⅱ）由得
由得
所以
于是故
由（Ⅰ）知，又，
所以平面于是
又由，所以，平面
又由得
五边形的面积
所以五棱锥体积
41．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为．取的中点，连结.由得，
.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积.
42．【解析】（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以，
因为平面，所以，故平面．
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）设=，在菱形中，由=120°，
可得=，=．
因为，所以在中，可得．
由平面，知为直角三角形，可得．
由已知得，三棱锥的体积．
故．
从而可得．
所以的面积为3，的面积与的面积均为．
故三棱锥的侧面积为．
43．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图
（Ⅱ）作，垂足为，则，，．因为为正方形，所以．
于是，，．
因为长方形被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（也正确）．
44．【解析】（Ⅰ）设，连结OF，EC，
由于E为AD的中点，，
所以,
因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点，又F为PC的中点，
因此在中，可得.
又平面BEF，平面BEF，所以平面.
（Ⅱ）由题意知，，所以四边形为平行四边形，
因此．又平面PCD，所以，因此．
因为四边形ABCE为菱形，所以.
又，AP，AC平面PAC，所以平面．
45．【解析】（Ⅰ）为中点，DE∥PA，
平面DEF，DE平面DEF，PA∥平面DEF，
（Ⅱ）为中点，，
为中点，，
，，DEEF，
，，
，DE平面ABC，
DE平面BDE，平面BDE平面ABC．
46．【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。
又E为PD的中点，所以EO∥PB。
EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.
（Ⅱ）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，
则.
设，则。
设为平面ACE的法向量，
则即，
可取．
又为平面DAE的法向量，
由题设，即，解得．
因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为．
三棱锥的体积．
47．【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，
故MF//BC且MF=BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E为AD中点，
因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，
所以EF//AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，
所以EF//平面PAB.
（Ⅱ）（i）证明：连接PE，BE．因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，
故PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，
由，可解得PE=2．
在三角形ABD中，由，可解得BE=1．
在三角形PEB中，PE=2，BE=1，，
由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB，
又BC//AD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC．又BE平面ABCD，
所以平面PBC平面ABCD．
（ii）连接BF，由（i）知BE平面PBC．所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，
由PB=，PA=，AB=得ABP为直角，而MB=PB=，可得AM=，
故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，
所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．
48．【解析】（Ⅰ）设点O为AC，BD的交点，
由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．
所以O为AC的中点，BDAC．
又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，
所以PABD．所以BD平面APC．
（Ⅱ）连结OG.由(1)可知OD平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．
由题意得OG＝PA＝.
在ABC中，AC＝＝，
所以OC＝AC＝.
在直角OCD中，OD＝＝2.
在直角OGD中，tan∠OGD＝.
所以DG与平面APC所成的角的正切值为.
（Ⅲ）连结OG.因为PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.
在直角PAC中，得PC＝.
所以GC＝.
从而PG＝，
所以.
49．【解析】（Ⅰ）由AB是圆O的直径，得ACBC．
由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC，
又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，
所以BC平面PAC．
（Ⅱ）连OG并延长交AC与M，链接QM，QO.
由G为∆AOC的重心，得M为AC中点，
由G为PA中点，得QMPC.
又O为AB中点，得OMBC.
因为QM∩MO=M，QM平面QMO．
所以QG//平面PBC．
50．【解析】（Ⅰ）因为是直三棱柱，所以平面ABC，又平面,所以，又因为平面，所以平面，又AD平面ADE，所以平面ADE平面.
（Ⅱ）因为，为的中点，所以．因为平面，且平面，所以又因为，平面，
，所以平面，所以AD．又AD平面，平面，所以平面．
51．【解析】（Ⅰ）平面，面
又面
（Ⅱ）是中点点到面的距离，
三棱锥的体积
，
（Ⅲ）取的中点为，连接，，
又平面面面面，
点是棱的中点
，
得：平面．
52．【证明】：（Ⅰ）在PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF//PD．
又因为EF平面PCD，PD平面PCD，
所以直线EF//平面PCD．
（Ⅱ）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，
所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD．
因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，
所以BF平面PAD．又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD．
53．【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．因PA=PD，有，在中，，有为等边三角形，因此，所以平面PBG
又PB//EF，得，而DE//GB得AD
DE，又，所以AD
平面DEF。
（Ⅱ），为二面角P—AD—B的平面角，
在，
在，
，
法二：（Ⅰ）取AD中点为G，因为
又为等边三角形，因此，，
从而平面PBG．
延长BG到O且使得PO
OB，又平面PBG，PO
AD，
所以PO
平面ABCD．
以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
设
由于
得
平面DEF．
（Ⅱ）
取平面ABD的法向量
设平面PAD的法向量
由
取
54．【解析】（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以//.故为异面直线与所成的角.因为平面，所以.故.
在中，=1，=，==3,
故==.
所以异面直线和所成角的余弦值为.
（Ⅱ）证明：过点作//,交于点，则.由,可得,从而,又,=,所以平面.
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得=，即为的中点.取的中点，连接，则,因为//,所以//.过点作，交于，则为二面角--的平面角。
连接，可得平面,故.从而.由已知，可得=.由//,,得.
在中，,
所以二面角--的正切值为．
55．【解析】
(Ⅰ)取的中点G，连结GF，CE，由条件易知
FG∥CD，FG=CD．BE∥CD,BE=CD．所以FG∥BE，FG=BE．
故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG．
因为平面，BF平面，所以
BF//平面．
（Ⅱ）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=，则AB=CD=2，AD=AE=EB=，
连CE，因为．
在BCE中，可得CE=，
在ADE中，可得DE=，
在CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CEDE,
在正三角形中，M为DE中点，所以DE.
由平面平面BCD,
可知平面BCD,
CE.
取的中点N，连线NM、NF，
所以NFDE，NF.
因为DE交于M，
所以NF平面，
则∠FMN为直线FM与平面新成角．
在RtFMN中，NF=,
MN=,
FM=，
离散数学答案范文5
【关键词】数学建模思想；高职；数学教学
将数学建模思想融入高职数学教学中具有重要的实际意义.高职数学老师将数学建模的思想引入数学教学中,可以用来培养学生的数学建模意识和数学建模能力以及运用数学建模的方法解决现实生活问题的能力.高职教育在人才培养过程中具有工具性和基础性的作用，因此，在教学的过程中应该坚持适度地融入数学建模思想，培养学生的建模意识，提升建模能力，在指引学生进行实际应用的过程之中，重视对能力的培养，将实际生活中的问题作为载体，对传统使用的教材进行改革.教师在对公式、原理和概念教学的过程中，应该向学生渗透相关的数学建模思想和数学建模方法，尤其是在对导数、极限和积分等概念进行阐述的时候，应该将新的数学问题向以往解决过的问题进行转化.
一、数学建模思想的阐述和意义
我们通常所说的“数学建模”就是在解决现实世界中的问题时，运用数学理论及工具构建出一个数学的模型，这个模型的本质是一种数学结构，可以是若干数学式子，还可以是某种图形表格，能够用来解释现实对象的特性和状态，推测对象事物的未来状况，提供人们处理事物的决定策略以及控制方案.数学建模的思想就是对数学的应用思想，将其融入高职数学教学中，充分体现了数学的真正价值——从现实出发再应用于现实.
在高职数学教学中融入建模思想，有利于激发学生的数学学习兴趣，让学生在解决问题的同时，发现自己数学知识的欠缺，从而回到课堂寻求数学知识，这样循环反复不仅促进了数学教学，更提升了学生的实际应用能力和动手能力.数学建模中涉及的问题往往是多种多样的，解决方法也是新奇个性的，将其思想融入数学教学是对学生的创新能力的锻炼与激发，使得课堂更加丰富多彩，教学更加热情积极.
二、建模思想的培养策略
1丰富数学教学内容，突出数学思想
对于高职院校的数学教学要融入数学建模思想，就要对教学的具体内容作出必要的变通，在教学数学的理论时，转变以往重视推导证明的教学过程，在推导的过程中不必追求过高的完整性和严密性，将教学的重点移向基本概念的深入理解，熟练掌握和应用技术、技巧与方法.针对各个专业的特征，设置有侧重点的数学课程.如理科方面的电子电气专业，就可以多重视学生的微分、极限、重积分变换等教学;在经济方面的专业应强调如数理统计学、线性代数学以及线性规划学的教学内容,而且在微积分方面最好简略；计算机类型的专业就可以适当增加像离散数学的教学内容.总体上强调实际应用价值高的教学部分，同时增添教学素材，融入新的技术来开阔学生的观念.
2培养建模意识，用建模的思想指导课程
高职数学教学的数学建模思想要从灌输意识开始，和以往教学略有不同的是，要在教导学生学习基本数学知识技巧时，用数学建模的思想指导他们理解概念，认识本源.很多问题都可以用建模去讲解，比如最优化、最值问题、导数问题、极限问题、微分方程问题、线性规划问题等.
这就要求我们高职数学老师要精心设计课程教学方案，充分发挥数学建模的思想，培养学生的建模意识.如老师在讲解《函数》一章时，不能按照以前的方法只讲解函数是一种关系，而要在其基础上赋予它更新的内容，以数学建模的思想，将函数公式应用到实际问题中，这样让学生能够有更深的理解，开阔学生的思维.举例如下：
给出一个函数式子：s=12gt2.
这是一个描述不同变量之间的联系而建立起来的函数关系，我们在教学中就可以构建具体的数学模型，这就是自由落体在整个运动过程中的下降距离s和时间t之间存在的函数关系，经过这样的简单设计之后再讲解给学生，会使教学的积极性有很大改善，也会使这种建模思想慢慢植入学生以后的学习之中.
3提升建模能力，将建模的思想融入学生的习题
注重培养学生“数学模型的应用能力”和“数学模型的建立能力”.能力培养重点放在平时学生的数学习题设计上，可以使用“双向翻译”的培养方式，这就要在讲解习题之前做好准备工作，在课堂上为学生讲解清楚概念的来源、公式的实际内涵和可用的几何模型，举例说明它们之间可以转换，从而布置“翻译”习题，培养建模能力.例如，可以出类似下面的习题：
函数关系式f(x,y)=(x-2)2+y2+x2+(y-1)2，请说明函数所能表示的具体含义，并求其最小值.在做具体解答的时候学生会寻找课堂所学，找出答案.这就是通过翻译激发其建模能力，对于这个问题就是求算一动点与两定点之间的距离之和，学生自然在求算最小值时联系实际寻找到两定点的中点就是最小的值所在点，从而简单地解决问题.也可以给出实际问题而不是公式，让学生去求解，以达到“双向翻译”，增强数学建模能力.
4增设数学实验的教学，将数学软件纳入学习之中
高职数学教学中大部分都是微积分，具有抽象性和复杂性的特征，不容易求算和解决，学生在课堂上学习到的知识和方法的所用之处少之又少.作为高职院校，学生学习数学的目的是应用所学去处理实际问题数学软件在微积分的学习中可以起到很大的作用.对于一些微积分中的问题，教师可以运用实验来指导教学，这样既可以使实践大为缩减，更能使学生学习理解的程度加深，还能应用数学软件Matlab及Mathematica使复杂的求算不再困扰学生，在数学教学上是很大的进步，充分体现数学建模思想的重要作用.
离散数学答案范文6
关键词：数据结构；理论教学；实验教学；教学方法；算法演示程序
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2011)35-0000-0c
Study on Reformation of Teaching Content and Methods on Data Structure
FU Yun-fang
(Computer Department, Shijiazhuang College, Shijiazhuang 050035 China)
Abstract: According to the situation of the course of DATA STRUCTURE, the new teaching methods are explored to reform. In order to guide students to learn, teaching content of the course is improved, and four different levels of experimental teaching types are designed, that is, Basic training, Skills training, Integrated training and the Development training. At the same time, teaching effect is being emphasized by using appropriate teaching method and algorithm demo program.
Key words: data structure; theoretical teaching; experimental teaching; contents; teaching method; algorithm demo program
《数据结构》课程是高等院校计算机系多媒体技术专业学生的一门专业基础课程，是介于数学、计算机硬件和计算机软件之间的一门计算机科学与技术及相关专业的基础课，具有非常重要的地位和作用。数据结构技术广泛应用于信息科学、系统工程、应用数学以及各种工程技术领域。本课程的任务是通过学习，培养计算机专业的学生结合实际应用，设计有效的算法和数据结构的能力。然而，由于该课程涉及的知识面较为广泛，学生除了需要一定的程序设计语言基础外，还需要多种数学理论基础。因此，如何对《数据结构》教学内容有效地进行组织与对教学方法进行适当的改革，是当前数据结构教学的首要任务。
1 教学现状分析
1.1 课程较为抽象，应用范例少
《数据结构》课程理论性较强。因此，对于学生来说，该课程较为抽象，难以理解原理的精髓。尽管通过实践教学对课本上的一些基础算法的进行验证性实现，但在实际生活或工作中的无法灵活应用。因此，种种原因让学生产生了该门课在今后的软件开发中是极少用甚至是用不到的错觉[1]。进而导致学生降低对该课程的重视,以至于失去学习积极性。
1.2 先行课程掌握不扎实
《数据结构》涉及的知识面较广。要掌握该课程，学生必须掌握一定的编程能力和具备一定的数学理论基础。例如，在分析算法的时间、空间复杂度时需要高等数学的知识，在分析树、图结构时需要离散数学中图论部分关于树和图的知识等等。而课程中的算法描述大都是用C或者C++语言，少部分甚至是JAVA语言来描述。因此要求学生具备C或者C十十语言的编程基础、高等数学和离散数学是必要的。
然而，作为该课程的前导课：《计算机导论》/《C语言》/《C++语言程序设计》/《JAVA语言》等，大部分学生学习后只是比较熟悉简单数据类型和结构化程序设计中的三种基本结构的应用。对前导课的难点内容，例如：多维数组、结构体(或者类)和指针这三种数据类型的认识和理解不但不深，而且还不会用。然而，正是此部分内容才是数据结构课程的重要基础和灵活运用的知识点，并且贯穿整个数据结构课程学习的始终。因此，这种现状必然导致许多学生在实现数据结构中的算法时不能得心应手，从而止步不前，产生畏难情绪，严重影响了学习效果和学习进度。
2 教学方法改革初探
2.1 理论与实践结合，课内与课外结合，全面提高学生综合素质
在课堂教学内容中，大量引入科研与工程实际案例。将这些问题以深入浅出的方式，以理论与实践结合的方式，使得学生更好地理解树型结构和图型结构，以及排序算法、查找算法在其中的成功应用，加强了学生对于理论的理解，以及将所学理论知识综合应用于实际问题的认识。另外，将课堂教学与课外的竞赛考试相结合，组织和辅导学生参加程序员、高级程序员证书考试和各类大学生创新竞赛，能够进一步培养学生的探索和创新能力。我系领导在这方面给予了大量的支持，同时也取得了显著的成效：08级软件工程（本科）学生在2011年全国软件大赛中有十名学生获全国三等奖，同时还获省一等奖； 09级计算机多媒体技术（专科）学生在2011年河北省挑战杯大学生课外学术科技作品竞赛获三等奖。
2.2 改进实验教学环节，实施 “基础训练+技能训练+综合训练+开发训练”的实践教学体系
2.2.1 基础训练
对教学内容中的每一种数据结构，其基本操作即基本实验，即一次实验解决一个问题，使初学者易于接受。比如，顺序表及其运算，链表及其运算；栈和队列的运算；串的运算；二叉树的应用；图的存储与遍历；排序与查找等等。
基础训练是教学中一项必要的教学环节，基本能够达到实验课的教学目的，但是存在下列缺陷：
1）实验内容由教师根据教学要求对一些基础算法进行验证，无法与生活中的应用联系；
2）实验内容往往限制了学生的思路，使其局限在某几个领域的实验项目上，对学生提高与扩展各门课程理论知识之间的联系不利；
3）使学生局限在严格遵从既定实验步骤的基础上，缺乏主动和独立性的训练；
因此，要使学生达到本课程实验教学目标，只有加强后续的技能训练、综合训练和开发训练，才能真正让学生掌握、提炼所学知识。
2.2.2 技能训练
技能训练是在学生掌握了基本训练的基础上，训练解决实际问题的应对技巧，从而将理论知识更加灵活运用到实际问题中，达到技能训练的目的。比如，统计文章中的文字，数字，空格的个数，存储结构用的是什么结构；宿舍管理查询软件中查询功能可用什么查找方法效率比较高；跳舞搭配问题中可采用什么存储结构等等。
技能训练培养了学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。而且能生活的应用连接得更加紧密，让学生在学此课程的同时，不仅仅与其它课程能联系，而且还与专业应用领域靠拢。激发了学生的兴趣。但是技能训练也有一些不足，比如，没有综合运用数据结构知识和技能等等。
2.2.3 综合训练
综合性实验是建立在技能训练的基础上的实验过程，是指实验内容涉及本课程的综合知识或与本课程相关的课程知识的实验。课程的教学内容过半后，即可对学生进行综合性练习（课程设计大作业），大作业题目中的设计性问题即属此类。
实验内容包括综合运用数据结构的知识内容，有针对性对计算机专业的应用领域，设计一些与生活应用相关的小型管理系统。例如，旅游景点介绍管理系统，学生信息管理系统等等。通过这些实验，使学生能够将数据结构的理论知识灵活地贯穿于实际应用当中。
一般而言，综合性实验具有实验内容的复合性、实验方法的多元性。实验内容的复合性旨在培养学生知识对知识的综合应用能力。实验方法的多元性目的在于培养学生运用不同的思维方式分析问题、解决问题的能力，通过这种方式，让学生掌握不同的实验方法。
2.2.4 开发训练（即设计性训练）
开发训练的主要目的是通过所掌握的诸多知识层面，实现一类应用软件的开发。教育部高教司关于《普通高等学校本科教学工作水平评估方案》（试行）文件中明确定义：“设计性实验是指给定实验目的要求和实验条件，由学生自行设计实验方案并加以完成的实验。”根据定义，设计性实验不但强调教师所给实验题目及目标的合理性、学生的完成实验的独立性，更强调实验设备和必要实验材料的可用性[2]。
在实施此实验过程中，就注意以下几个环节：
1）实验要求和实验目标的确定：开发训练的目的在于培养学生系统分析和设计的能力、在实践过程中发现问题并不断解决问题的能力，从而让学生加深对数据结构理论知识的理解。因此，目标的和要求的设定非常重要，同时也要需要考虑到专业的不同性、学生的差异性。
2）学生分组：设计是一门实践艺术。同一个主题，不同的设计人员可能因为想法不同，从而得到不同的结果。因此，让学生自由分组对同一个主题的不同设计方案进行讨论。
3）查阅资料、选择实验题目
一定要让学生选择自己擅长的主题，同时要保证所选主题能够找到丰富的参考资源。另一方面，任课教师可根据经过多年的教学实践经验，将积累的一些经典的题目供学生选择。
4）进行调研及系统分析设计：该阶段很重要，是学生出现问题最多的阶段。需要指导教师随时跟进，进行适当的指导和监督：一方面可以帮助学生分析实验中出现的问题，另一方面可以针对问题进行启发、引导学生，让学生正确面对各种问题，进一步去思索和解决问题的办法，在实践中寻找问题答案。
5）撰写设计报告：撰写设计报告是学生完成每一项实验必须填写的，也是应该掌握的技能。通过撰写设计报告，无益于是一次对学生设计过程、思维方式的再认识与提高的过程。通过处理实验中遇到和发现的问题还能够进一步深入思考，锻炼了学生的创新能力。
6）教师审定设计报告：教师进行及时审核和点评学生的设计报告，并中肯地指出报告中值得肯定的部分和可以改进的地方的方式，可以进一步加深学生对数据结构设计的理解。
3 改进教学方法，利用多媒体技术，开发算法演示程序。
3.1 以问题作引导，激发学生的求知欲
在理论教学中，应按照学生的认知规律，遵循先简单后复杂，先具体然后抽象的原则，以具体的问题，通过观察、分析、理解、总结进行教学[3]，让学生自己在直观上先观察、分析具体问题，领悟所涉及的相关概念，然后再归纳总结。比如，在讲解栈和队列的知识点时，我首先以生活中的实例--排队买票与火车进、出站为例让学生观察它们的特点，然后再引出它们的概念，特点和相关的数据操作，然后引导学生再次思考这些操作在计算机中如何进行采用相应的数据结构进行存储和实现？让学生意识到生活的案例完全可以用所学知识进行实现，从而激发了学生学习的主动性和创新能力，形成对知识的科学态度和对问题进行分析的兴趣。
3.2 以问题为中心，促进学生的学习能动性
问题是学习的引导者，没有问题，学习就不会深入。所以，在教学中教师针对问题，要能启发学生自主地发现问题，形成让学生主动去分析问题和解决问题，并且能够进行总结规律的习惯。通过这种方式，能够使学生就更容易掌握所学知识。比如，在讲解排序时，我给了一组数据，让同学们用四种排序算法实现，并比较它们的效率（时间与空间的效率），最后得出结论，什么情况下用哪种排序方法好， 效率高等等。这种以问题为中心的互动式教学，改变了传统教学中以教师为主、学生为辅的教学状况，通过教与学互相结合、互相渗透，使学生能对知识掌握得更加透彻，进而促进了学生的学习能动性，并培养并锻炼了学生分析问题和解决问题的能力。
3.3 使用多媒体技术，开发并制作算法演示程序
开发并制作算法演示程序的目的是使抽象的“数据结构” 中的典型算法通过动态画面模拟演示给学生。制作的意义在于制作教学内容的动态演示程序，能够使抽象的知识形象化，使学生更深刻的理解要掌握的知识[4]，进而激发学生的学习兴趣和主动性。但是，使用多媒体技术开发并制作的演示程序因为具有生动的画面、动听的音乐，因此容易分散学生的注意力，所以，这种教学手段使用一定要适度。
4 总结
《数据结构》是计算机专业的骨干、核心课程, 也是大多数学校研究生入学考试的必考课程。本人通过对该门课程理论与实验教学的摸索和尝试，提出了理论与实践结合，在课堂教学内容中，大量引入科研与工程实际案例；并设计了“基础训练+技能训练+综合训练+开发训练”四个不同层次的实验形式引导学生学习，通过改进教学方法，利用多媒体技术，开发算法演示程序，激发了学生的兴趣，调动了学生的主动性和能动性，增强了对《数据结构》课程的学习兴趣，进一步有效地提高了学生的分析问题、解决问题的能力和团体合作意识。具体实验设计中充分考虑专业的不同性和学生的差异性，紧密结合当前专业市场需求，设计针对性强的各类管理系统实验，让学生在学习中提高对本行业的认识了解，为今后学习工作打下良好基础。
参考文献：
[1]肖颖.《数据结构》教学改革思考与实践[J].福建电脑,2010,(9):214-215.
[2] 朱静.陈新兵.谢斌盛.设计性实验教学的探索与思考[J].科技资讯,2007,(12):149-150.
