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微积分教学范文1
关键词 指导性 操作性 探究性学习 评价体系
中图分类号：G424 文献标识码：A
1 教学思考
目前三本院校学生大多数学基础较薄弱，学习微积分积极性不高，数学教学内容应用性不大等普遍现象，教师该合适地处理教学内容，认真地组织教学内容，让师生关系变得和谐、融洽，使学生更好地学习微积分。我们应该关心尊重学生，有效地与学生交流和沟通，善于激励学生学习，指导学生在合作交流中学会探究性学习，在具体操作中收到良好的课堂效率，也让高等数学更好地为今后的学习及工作服务。因此，开展独立学院微积分教学课题研究具有十分重要的现实意义。
2 微积分教学的指导性和操作性探讨
2.1 注意由“引例”向问题情境的过渡
从引例向问题情境的过渡是上好一节数学课的基本前提。数学教学的基本模式是：问题情境建立模型解释、应用与拓展。这是教学活动展开的起点，是我们为了实现教学目的而营造的教学背景，是学生操作兴趣产生的具体条件。
例如：数列极限是微积分教学中的一个重点和难点。教师讲授这一部分内容时感觉困难、效果不好；而学生学习这一部分内容时迷茫重重、似懂非懂。注意由“引例”的过渡，尤其一些准确的数字和图例，可以提高学生学习的兴趣，进而提高学习操作的效率。中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）。刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，其思想与古希腊穷竭法不谋而合。总所周知，古希腊数学取得了非常高的成就，建立了严密的演绎体系。然而刘徽的 “割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。所以吴文俊得到研究成果：“近代数学起源于中国数学”。在数学发展史上，我国劳动人民作出了卓越的贡献，教育学生学习和发扬为科学献身的精神，增强学生的爱国热情，激发学生学习兴趣，提高学生操作的信心和决心。
2.2 注重对基础知识的透彻理解
在教学中，一定要重视对基本东西的深入理解，很多同学觉得微积分中的一些基本概念不容易掌握。如果对于一些难以准确理解的概念、定义、定理，用通俗语言或学生感兴趣的话题，学生就会更容易接受。例如：西游记中的内容对微积分知识给予解释，以“讲故事”的方式把内容描述的有声有色，才能受学生欢迎，取得良好的教学效果。
微积分中定义：以0为极限的变量，称为无穷小量，亦即对于任意给定的正数，如果在变量的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式恒成立，则称变量为无穷大量，或称变量趋于无穷大，记作 = 。其中金箍棒在另外一个极限过程中就是一个无穷大量：猴王叫：“大！大！大！”手中那棒，上抵三十三天，下至十八层地狱。例如：对同一个函数 = ，当时， = 。这里把无穷大的两种+和，都解释得很形象了。基本概念掌握清楚了，就可以让学生在操作中，区别无穷大与无穷小是跟数的大小不同之处，少犯把当成无穷小的错。
2.3 关注差异实现全员参与
在大班授课的情况下，教师不可能针对每个学生的特点施教，要提供适合大多数学生学习风格的教学，同时尽量照顾到不同层次学生不同的学习风格。例题和习题的设计上，应该对于各个层次的学生都富有挑战性，以唤起学生强烈的求知欲。教师需根据学生的个别差异设置不同的教学目标，注意到既兼顾到学习有困难的学生，避免总给他们以失败的体验，挫伤他们的学生自信心和学生兴趣，防止扼杀他们的学习热情，又不影响学习成绩优秀生的求知欲望和上进心，使他们在“最近发展区”发挥最大的潜能。
2.4 联系实际生活，培养学生的操作的能力
要引导学生通过数学活动了解数学与生活的广泛联系，引导学生从不同的角度发现实际问题中所包含的丰富的数学信息，探索多种解决问题的方法。学会综合运用所学知识和方法解决简单的实际问题，获得运用数学解决问题的思考方法。老师应注重老教材新教法，善于处理教材，调整教材；充分挖掘了教材的有利因素，增强教材内容的现实性。
最好的讨论应该是班级里很多学生都参与发言并彼此讨论。例如课本例题：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最少？首先让学生要掌握判别极值存在的条件，会利用条件极值的方法解决问题。接下来可以提问：“如果是圆柱体呢？选择怎样的尺寸？”“如果没有限制容器的形状，选择怎样的形状和尺寸？”“如果是一个饮料公司，该如何综合考虑？” 多样化的探索性问题能够激发学生不同的认知过程，诱导学生进入一个发现问题，想解决问题的境地，真正使学生全身心投入到新知识的学习和操作之中。
2.5 构建多元评价机制
学习评价关系到学生未来发展，会对学生产生积极或消极的影响力。学生参与学习的热情、操作的效率与数学学习评价有着直接的关系。学生既是评价的主体，又是评价的客体。教师可以根据教学目标的需要设计学生学业评价的结构，指导学生通过师生评价，自我评价、生生评价等方式，提高课堂学习和操作性的效果。微积分学习中评价应重视学生的探究精神和创新精神，教师应尽可能地使用公平、精确的评价和测量方法来评价学生的学习效果。在课堂中不仅仅是教师对学生的评价，还要引导学生自我评价和相互评价，目的是让学生认识自己的优势和弱点，有助于及时发现问题，对教学方案做出适当的调整。如：当同学在课堂练习或者板演时，当学生想出一个思路或一个答案后，鼓励他们自我检查、自我评价。当有同学做错题时不能嘲笑否定他人的成果；对同学提出的简单问题也不能说三道四；当同学不会解答时真诚地给予帮助。相互评价是对自我评价的一种非常重要的补充，有利于激发评价对象的竞争意识，增进学生间的多向交流，在与同伴学习的比较中认识自我、完善自我。
3 结语
由于不同学生基础水平、兴趣爱好、潜在能力、学习动机、学习方法等存在差异，接受教学内容的情况也就有所不同。我们要制定合理的教育教学目标、运用恰当的教育教学方法、建立适合的教育评价体系、最大限度地提高学生学习的主动性和操作的积极性，使不同层次的学生学有所得、学有所获。通过教师的指导，让学生体验数学活动充满着探索和创造，感受微积分的严谨性以及结论的确定性；通过教师指导，让学生成为具有初步微积分思想和方法的明智使用者，学会在操作性活动中提出问题，并能通过操作性活动中获得微积分思想、知识技能和方法，分析解释并解决一些简单的现实问题。最终实现大面积提高教育教学质量的目的。
参考文献
[1] 赵树.微积分[M].中国人民大学出版社，2009.6.
[2] 吴承恩.西游记[M].岳麓书社，2010.10.
微积分教学范文2
关键词：教学策略；高等数学；微积分
【中图分类号】G718.5【文献标识码】A【文章编号】2236—1879（2017）16—0033—01
在我国大学教学内容体系组成上，高等数学是涉及专业最广的基础学科之一，同时也是多年来挂科率最高的学科，其中高等数学微积分又是高等数学中难度最大的部分，需要教师基于学生的实际情况以及高等数学微积分的内容特点采取合理的教学策略展开教学，才可以保障最终的教学效果。基于此，文章在对高等数学微积分进行简单概述的基础上，提出了三点高等数学微积分的教学策略，希望可给我国高等数学微积分教师在教学的过程中一定参考，提升高等数学微积分教学水平。
一、高等数学微积分的发展、内容
（一）高等数学微积分的发展。高等数学微积分的诞生与发展可以说是人类对自然进行不断探索的一个过程。在十七世纪中叶德国数学家莱布尼茨和英国科学家牛顿在对前人探索知识进行总结的基础上，首次提出了微积分的学说。到十九世纪柯西等法国数学家则是进一步在莱布尼茨和牛顿的微积分学术说的基础上发展出了极限理论，最终相对完善的微积分理论得以建立，正式形成微积分学科。
（二）高等数学微积分的主要内容。高等数学微积分可分为微分学和积分学两者。其中微分学包括求导以及微分的计算，主要用于对曲线斜率、加速度以及函数问题的计算；积分学则又分为定积分和不定积分两者，主要用于对面积、定义体积的计算。随着微积分的发展，在大学物理力学、几何学以及天文学中也有一定的学习内容，可以说高等数学微积分是整个微积分学科中十分重要的一个组成部分。
二、高等数学微积分教学策略
（一）注重数学符号及数学语言的应用。对于数学类课程而言，其都是一堆特殊数学符号之间的变换，也可以说是一个数学符号的系统，每一个数学符号都对应着一个相应的数学语言，对于高等数学微积分而言也同时如此。因此，在进行高等数学微积分的教学中，首先便需要教导学生注重对数学符号以及数学语言的应用，这是保障学生学好高等数学微积分的基础。例如在高等数学微积分公式f（x）（b（=F（b）-F（a）中，这一串数学符号便表达了一个连续函数在[a，b]区间内定积分与其任意一个原函数在[a，b]区间上的改变量相等的意涵。教师教学过程中，也需要重点对该公式所揭示的信息进行讲解，让学生清楚的认知到该公式不仅仅将被积函数的原函数与定积分之间的联系进行了揭示，同时也会为定积分的计算打下了一个良好的基础。此外，帮助学生掌握且熟练的使用数学符号和语言，在提升学生对高等数学微积分微积分概念理解的基础上，还有助于学生课后作业的完成。例如在高等数学微积分中不定积分的换元积分法难度很大，教师在教学的过程中便可以通过数学语言表达的方式向学生进行讲解，帮助学生更好理解。
（二）注重对教学方法的归纳与总结。高等数学微积分中计算很多，同时可解题的方式和途径也很多，灵活多变是高等数学微积分的特点之一。因此，教师在高等数学微积分的教学中还应当避免照本宣科的仅仅依照教材进行讲解，而应当将各种教学方法进行归纳和总结，让学生知其然，更知其所以然。例如在不定积分部分积分法的教学中，例题引导便是最为可取的一种教学方法：
首先明确教学的目的为让学生理解如何选择u，v，通过公式uv’dx=uv-u’vdx将不易积积分uv’dx转换为求积分u’vdx。推导原则为第一步明确v是易求得量；第二步明确u’vdx为易求得量，直接采用导数运算法则或是基本求导公式便可以求出。具体方法如下：
当被积函数是一个多项式x的弦函数时，选择u为多项式；
当被积函数为一个多项式x的指数函数时，选择v为多项式；
当被积函数是一个指数函数x的弦函数时，选择u为弦函数或则指数函数，保障一致性；
当被积函数是一个多项式x的反函数时，选择u为反函数；
当被积函数含有arccosf（x）、arcsinf（x）、Inf（x）、arccotf（x）、arctanf（x），选择u=Inf（x）；
通过以上的方式进行部分积分公式的讲解，摆脱单一的教材教学方法，进行多种教学方法的归纳使用，可以更好的帮助学生理解部分积分公式，并合理使用。
（三）注重对各个知识模块间的联系教学。数学是一个紧密的体系，在数学知识体系中任何一个知识模块都不是单一存在的，而是和其他知识模块之间存在着紧密联系。从目前我国使用最广的同济大学所编制的高等数学微积分教材上观察，受到整体编制内容体系的限制，在对很多高等数学微积分知识点进行陈列时，大部分重要概念之间都是单向的，逆向联系并没有完整的展现出来，而这就导致学生在学习某一个知识点时，难以对已经学习过的知识点之间进行联系，学习的效果也就难以保障。因此，教师在教学的过程中，对于某一个高等数学微积分知识点进行教学的过程中，概念的讲解应当将其实际背景进行阐述，将一个概念和另一个概念之间的区别和联系进行讲解，将知识点化为知识网，提升学生的学习效果。
微积分教学范文3
关键词：微积分，教学改革，实践
独立学院属于公益性教育事业，是民办高等教育的重要组成部分，有效地缓解了我国长期以来的高考升学压力，截至2016年5月30日，全国共有独立学院266所。当前，独立学院的发展建设从加快发展到提升质量的重要过渡期，其中教学质量的提升任务艰巨，而微积分课程作为一门重要的公共基础课程，其重要性不言而喻。本文将根据独立学院学生的实际特点，结合作者近十年来的独立学院的教学工作实践，分析独立学院微积分教学过程中主要障碍和应对方法，分享行之有效的教学经验，推动微积分课程教学改革。
一、独立学院微积分教学的现状分析
与校本部微积分教学相比，独立学院的微积分教学过程中，教与学之间的矛盾更加突出。一方面，学生是教学活动的主体和中心，学生掌握的程度直接决定微积分教学的成败。但独立学院学生高中数学知识掌握程度相对薄弱，这就要求授课教师必须适度降低难度要求，这样容易导致教师常常局限于教研室所指定的微积分教材。另一方面，，因为所采用的教材理论性太强，概念和定理叙述的很抽象，与现实生活距离较远，如果仅仅局限于教材，又难以激发学生的学习的自信心和积极性。
所以教师首先需要解决的问题是弄清为了满足不同专业的学生后继学习的需要，在微积分授课过程中需要讲授多少、多深的知识，同时需要弄清学生在微积分学习过程中的兴趣点。例如，针对学生对微积分课程的关注点，作者在2016年6月在经管类专业大二学生中开展了调查问卷，其中设计了16个调查项目，根据调查结果，筛选了其中主要的几个指标列举如下图：
从上图可以看出很多值得探讨的问题，比如学生对定理的证明比较排斥，比较倾向于对定理结果的记忆和应用，这与独立学院学生的知识储备密切相关的，尽管如此，作者认为在具体的教学过程中，为了让学生知其所以然，同时汲取必要的高等数学的数学素养，一部分有代表性的关键定理仍需详细讲解，如三大中值定理、微积分基本定理、正项级数三大判别法等。同时可以看出在授课过程中需要加强贴近生活的具体应用。还有，实时通讯手段可以提供学生和老师之间课后的沟通和互动，随时解答学生的学习问题。
二、独立学院微积分教学改革的途径
针对独立学院微积分教学的种种不足，作者通过分析论证，并结合自己的教学实践，给出如下建议。
1. 与高中数学有效衔接
2003年，教育部基础教育司开始实行《普通高级中学课程标准（实验）》，并逐步在全国试用和推广。函数、数列、解析几何、数列极限、三角恒等式等知识点的要求，在课改前后都有不同程度的变化。作者在微积分每个章节的教学过程中，首先熟悉高中数学相对应部分的知识背景，结合独立学院学生的高中数学知识水平，这样才能有效地把握所讲内容的深度和广度。
比如，在第二章函数导数部分，高中数学要求学生掌握常见函数的导数公式，并要求学生熟练掌握导数符号与函数单调性的关系，所以在微积分教学中适当减少有关导数在函数单调性上的应用的课时。
2. 熟记公式
督促学生熟记基本的、重要的数学公式，其中一部分是中学所学过的，同时在微积分课程中要常用的公式，如三角函数公式、均值不等式、数列相关公式等。另一部分公式则是微积分课程中的重要结果，如导数基本公式及求导法则、不定积分基本公式和衍生公式、基本函数级数展开式等重要公式。
公式的记忆应该在学生对相关知识理解的基础之上，记忆的好处是大大提高掌握知识的效率。
3.增加生活中的实例
微积分的应用在实际生活中很常见，例如，提问学生为什么水桶通常都是圆柱形，而且水桶的高和底圆直径相等？再比如，为什么水渠的横截面是等腰梯形，而且腰边的倾角接近60度？诸如此类的例子贴近生活，能有效地激发学生的学习兴趣。
4.数学建模
鼓励基础较好的学生积极参加国内外各类数学建模比赛，不仅激发学生的学习热情，锻炼学生实际应用数学理论的综合能力，同时还可以增强学生的团队意识和集体精神。
5.丰富教学模式
独立学院的微积分教学一贯注重教师板书、讲解、互动的教学模式，因为每一步的结果都有非常清晰的前后逻辑关联性。
而另一方面，如果需要反映数学知识动态演变的过程时，单一的板书却不能清晰的展示，需要借助数学软件，如几何画板、matlab等。比如在讲定积分定义的概念时，借助于动画，可以很清晰的反映出，在积分区间上随着插入点的增多，小矩形面积的和与曲边梯形的面积差会越来越小。
6.引入数学史
所有的数学符号、定义、定理、推论、公式，都有其明确的历史演变的轨迹，必要的数学史的讲解，不仅增加学生与数学之间的情感连接，而且可以减轻学生对数学的枯燥印象。比如，著名的“洛必达法则”的真正发现者不是洛必达；我们习惯上把“微分”排在“积分”的前面，其实从微积分的萌芽角度，“积分”是早于“微分”的，而且从微积分理论的成型角度，“积分”仍然是早于“微分”的。
7.建立数学微信群和QQ群
每次授课的核心知识点通过文字或图片形式放在群中，方便学生加强巩固。下一次课的重点和难点部分也提前在群中通知，提醒学生提前预习。通信群的另一个重要作用是，学生有问题及时解答，不留死角。
三、结束语
作者从独立学院学生的实际情况出发，结合自己多年的教学实践，分析探索了独立学院教学改革的途径，并给出了具体的建议，旨在推动独立学院微积分教学的改革与创新，提高独立学院学生的竞争力，为社会输送更多的综合应用型人才。
参考文献：
[1]郑瑞根.高职高等数学教学的认识与实践[j].中国林业教育，2005（3）：69―71.
[2]严永仙.高等数学学习情况的调查与分析[J].浙江师范大学学报：自然科学版，2003（2）：202―205.
微积分教学范文4
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）04（c）-0171-01
在当今的大学里，微积分的教学几乎已经进入了一切专业的课堂，其作为基础素质课的地位越来越高，而微积分在教学上的困难，却并不因为其重要性和地位的加强而有所改善，多年来，许多数学教师在实践的基础上做出了很多改革的尝试，比如将数学建模的思想与方法融入数学课程的教学中，这虽然增强了课程的实用性和应用性，但是由于学生的数学基础不均衡和理解力差别的因素，课堂教学效果仍不是太理想，本文试图从发散思维的角度来指导微积分的教学，以点到面的选取教学素材，从一点进行发散，深入思考，提出各种不同的问题，使学生参与课堂教学，充分调动学生学习的积极性，让学生对所学课题理解更加透彻，使课堂教学更为有效。
发散思维又称“扩散思维”或“求异思维”，它是指从事物的某一中心或定点出发，多路扩展，四面散射，展开联想，提出多种设想并沿着各种不同的途径去思考，探求多种合乎条件答案的思维。因此，它具有求异性与发散性，是创造性思维的一种重要方式。从宏观的角度看，在微积分的学习中，最重要的是抓住一条主线：函数―― 极限―― 导数（微分）―― 积分。对每一块内容，需要我们通过发散思维的方式串联起其具体内容及理清各知识点之间的关联，如极限的学习是在理解概念的基础上，围绕如何求极限展开，学完这章之后应学会将求极限的方法加以总结与归纳，归纳时发散程度越广，效果就越好。其它章节可类似使用发散思维进行学习或复习。
在具体的微积分教学中，教师应该充分利用课题素材，运用发散思维的手段，培养学生多角度思考问题、进退互化和选择最优的三种能力，为以后参加工作打下良好的创新思维基础。（1）多角度思考问题的能力。在一个数学问题中尽可能多地提出较多设想、多种解决问题途径与多种有价值的答案。向多方位、多角度进行思考，解决问题时要善于另辟新径，以期殊途同归，这能提升我们思维的流畅度，能使我们迅速理解知识的内涵，拓宽现有的思维方式。如数学教学中的一式多变、一题多问、一题多解、一题多变等训练都是为了提升多角度思考问题的能力。又如在讲解第二个重要极限的应用时，引入连续复利问题，可进一步考虑房屋的抵押按揭贷款模型，引导学生从商业贷款，公积金贷款及组合贷款的三种不同利率的条件下，从等额本金，等额本息的角度计算出各种贷款情形下的还款情况，让学生自主多角度的探索不限于房贷的各种贷款模式，知其然也知其所以然，也可以写成小论文加以总结和归纳，相互交流，这不仅能提升学生学习的兴趣，学以致用，为以后工作中的银行贷款提供更有效的指导，更加能提高课堂教学效果，达到学好微积分的目的，为后续学习相应的专业课打好坚实的数学基础。（2）进退互化的能力。通常一个问题是由多种因素及其相互关系决定的，如果改变其中某一因素，或改变因素之间的位置、地位、联想方式，常常可以产生新的想法和思路。将问题进行进退互化能提高思维的变通性。数学中的变量代换、几何问题代数化与代数问题几何化、几何变换等都属于这个范畴。对命题而言，可以改变命题的条件或结论；也可以减弱条件，加强结论；或予以特殊化、一般化；还可以进行类比、推广等，如在讲解微分中值定理时，可以引导学生思考当条件改变为函数不连续或函数不可导或改变区间的开闭性质时，结论是否成立，如果不成立，试举反例说明，这样学习有利于加深学生对定理的理解。又如在讲解用导数的方法求一元函数的最值时，提出具体问题：已知三角形的周长为定值，求其面积的最大值。利用求最值的方法不难得出结果，按进退互化的特点，我们可作出另一些猜测，如：这三角形的面积有最小值吗？若四边形的周长为定值时，它的面积有最大值吗？若封闭平面曲线的周长为定值时，它的面积有最大值吗？我们也可以突破二维空间的约束因素，提出问题：直平行六面体各棱长之和为定值时，它的体积有最大值吗？四面体的各棱长之和为定值时，它的体积有最大值吗？表面积一定时，凸几何体体积有最大值吗？还可以逆向思考问题：若三角形面积为定值时，它的周长有最小值吗？若四面体体积为定值时，它的各棱长之和有最小值吗？等等。（3）选择最优的能力，即要求千方百计寻求最优答案以及探索最佳解决问题的途径，方法要独特，内容要新颖与简洁。数学史上许多重大发现正是实现选择最优的能力的体现。数学教学中寻找简便证法（如：勾股定理的证明等）、反常规解法以及独特解法的训练正是为培养选择最优的解决问题的能力。如在微积分的教学中，可以充分发动学生的智慧，对极限，导数和积分计算及具体的应用问题，进行一题多解和多题一解的探索，比较得出最优解决问题的方案，这不仅能使学生将各种公式与解题方法融汇贯通，灵活运用，而且有利于学生养成勤于动脑和积极探索，从多种角度去思考问题并解决问题的良好习惯，它能帮助学生在参加工作后提升工作效率。
总之，发散思维能够使我们串联起更多的思路与方法，使我们既快又优的提出问题和解决问题。实际上，数学学习往往会由于“思维定式”的强烈作用，使我们总是在一个固有的思维框架中挣扎，而发散思维的运用，则能使我们摆脱思维定式。因此，在具体的微积分的教学中，要鼓励学生多使用发散思维方法，这不仅可以提升记忆力与理解力，使学习更为牢固，而且可以培养学生的创造力，避免“思维定式”，使微积分的学习显得更加的生动有趣。
微积分教学范文5
【关键词】极坐标；教学方法
一、极坐标概念的引入
目前的各种高等数学教材中在一元微积分学中几乎没有极坐标的影子，如果在教学中能由浅入深，逐步引导学生理解极坐标的思想，并让他们经常体会到极坐标的有效作用和在许多情况下的方便之处，圆的方程在直角坐标系下表达式比较复杂，但是在极坐标下就变得简单多了。基于以上原因，在介绍预备知识的时候就引入极坐标，然后在后面的各章中适当举一些例子，一方面使学生对极坐标不再陌生，另一方面，随着学习的逐步深入，学生对极坐标的理解会逐步加深，从而逐步把极坐标作为解决问题的一个有力工具。此外，在三重积分的计算中，柱面坐标和球面坐标也是学生的难点，学生理解了极坐标的思想和方法，接受柱面坐标和球面坐标就变得容易了。
二、平面曲线在极坐标下的方程
在利用极坐标求平面区域的面积、平面曲线的弧长以及计算重积分时，都需要知道其中相关曲线的极坐标方程，这个问题对于老师来说当然是非常简单的问题，但是学生却常常不能正确地给出曲线的极坐标方程，当然，如果由于学时的问题，我们不可能做到很严谨的去从理论上完全进行推导，但是基本的思想和几何说明可以在十几、二十分钟之内完成。对于圆心在原点，半径为R的圆周来说，我们可以从几何上利用动点的轨迹解释为“到原点距离等于常数R的动点的运动轨迹”――即极径等于常数R的动点的运动轨迹，因此，其极坐标方程为r=R。另一方面若记形成该圆周的动点的直角坐标为（x，y），极坐标为（r， ），则由于二者之间始终满足关系x=rcos ，y=rsin ，在直角坐标方程下动点满足的方程学生都很熟悉，是x2+y2=R2，故将该关系式带入其中就得到动点的极坐标所满足的方程式，即极坐标方程r=R。如果是圆心在（a，0），半径为a的圆周，那么在直角坐标下，我们仍然可以用动点轨迹的方法来得到其方程为x2+y2=2ax，但此种情况下就不好用动点的轨迹来得到其极坐标方程了，但是我们不难发现，后一种办法仍然是适用的。类似的，对于一般的平面曲线而言，如果知道其直角坐标方程y=f（x）或f（x，y）=0，只要利用两种坐标之间的关系式x=rcos ，y=rsin ，直接带入并进行整理化简就可得到曲线的极坐标方程r=r（ ）。
三、在极坐标下计算二重积分时的积分定限问题
如何定限有两点注意：1.遇到圆域时不要把极角和圆心角搞混了；2.在确定R的变化范围时，不能简单地求出最小值和最大值。
如半圆域{}，在计算该区域上的重积分时，我们需要用极角和极径满足的一组不等式把这个区域表示为{}的形式，那么这里 和 ，r1（ ）和r2（ ）如何确定？事实上，有同学会把极角 的范围确定为[0， ]，极径r的范围确定为[0，a]。在定势思维的作用下习惯性地把极角和圆心角等同起来。关于二重积分的计算，关键的一个问题就是确定化作累次积分时的积分限，在授课时的方法：对于极点不在区域D内部的情形，先做两条从极点出发的射线，极角分别为 和 ，使得积分区域D恰好落在这两条射线所夹的角形区域内且D的边界与这两条射线均相切或部分重合（如图所示），则有 < < ；此时，这两条射线与D的边界的交点（或者是重合的部分）把D的边界分成了两部分，设靠近极点的部分（不妨称为内半边界）方程为r=r1（ ）， 距离极点较远的部分（不妨称为外半边界）方程为r=r2（ ）， 则区域D内的点显然都在内半边界之外，而在外半边界之内，故其极径的取值范围应为r1（ ）
四、在极坐标下计算二重积分时的积分区间问题
利用极坐标计算重积分时，如果能把积分区间化成[0， /2]，则计算起来比较方便。在介绍定积分的换元法时，有几个公式如果强调一下会使利用极坐标进行计算更为方便。比如：，，，n≥2，其中若n是奇数，k=0，若n是偶数，k=1。在利用极坐标计算重积分时，对极角 的积分限常常为[0， /2]、[0， ]或[0，2 ]，此时如能利用上述结果和积分的对称性等，把区间化成[0， /2]常常会使计算更加简洁。例如，====。此类例子在计算积分时常常会见到，这些例子来给学生展示极坐标简单、方便的特性，体现极坐标的优点，对提高极坐标的教学效果会有一定好处。
以上是本人在几年的教学实践中积累的一些经验，其中难免有不妥之处，望同行批评指正，以期共勉。
参考文献：
微积分教学范文6
关键词：微积分；数学建模思想；教学案例
一、微积分教学中存在的问题
众所周知，微积分起源于实际问题，从创立之初到后期发展无不与实际问题紧密相连.但是，在当前的微积分教学过程中却偏重理论体系的完整性和推导过程的严谨性，一味灌输理论知识，不仅缺少实际案例，更没有与微积分紧密相关的大型案例，使得微积分与现实世界的实例相脱节，既没能显示微积分的应用价值，也没能让学生感受到微积分的魅力，反而让学生感到枯燥、难懂，甚至厌学.很多学生学完微积分后，只记得有很多定义、定理和计算公式，根本搞不清楚为什么要学习微积分，也不知道微积分究竟有没有用.
二、数学建模思想
在知识经济时代，数学科学的地位正发生巨变，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿.数学建模思想就是把现实世界中的实际问题转化为数学模型的一种思想方法.数学模型是一种模拟，是用数学语言对实际问题的内在规律的抽象刻画，它的建立需要对实际问题做深入细致的研究，并且要结合相关专业知识（工程、生物、经济等）、数学知识和数学工具.它不仅能解释某些客观现象，还能预测其发展规律，或者提供某种意义下的最优策略.
通过体验数学建模过程，不仅能激发数学学习兴趣，增强数学应用意识，还能培养团结协作精神，提高发现、分析和解决问题的能力.我们需要为学生创设一个学数学、用数学的环境，注重将数学建模的思想和方法引入到相关课程中去，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，使学生在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实际体验，加深对数学的理解.
三、数学建模思想在微积分中的应用
如果能在微积分的教学中充分融入数学建模的思想，在讲授有关知识点时与相应的数学模型结合起来，这样就架起了看似枯燥的数学理论与丰富多彩的现实实例之间的桥梁，既不增加额外学时，还丰富了课堂教学，增强学生的应用意识.那如何将微积分与数学建模思想结合在一起呢？下面通过几个实例说明.
1.一元微积分教学案例
（1）简单的蛛网模型
问题引入：市场经济中的循环现象.若去年的猪肉生产量供过于求，猪肉的价格就会降低；价格降低会使今年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不应求，于是肉价上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，造成新的供过于求…….据统计，某城市2010年的猪肉产量为30万吨，肉价为18元/公斤，2011年生产猪肉25万吨，肉价为20元/公斤.已知2013年的猪肉产量为28万吨.若维持目前的消费水平与生产模式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年以后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够稳定，请求出稳定的生产量和价格.
模型解答：设第n年的猪肉生产量为xn，猪肉价格为yn，由于当年产量确定当年价格，故yn=f（xn），而当年价格又决定第二年的生产量，故xn+1=g（yn）.在经济学中，yn=f（xn）称为需求函数，xn+1=g（yn）称为供应函数，产销关系呈现出如下过程：
x1y1x2y2x3y3x4y4…
令p1坐标为p1（x1，y1），p2坐标为p2（x2，y1），p3坐标为（x2，y2）， p4坐标为（x3，y2），…，P2k-1坐标为（xk，yk），P2K坐标为（xk+1，yk），k=1，2，…将点p1，p2，p3，…描在平面直角坐标系中，会发现p2k都满足 x=g（y），p2k-1都满足y=f（x），画出图形，这种关系很像一个蛛网，故被称为蛛网模型.
（2）海鲜店的订货问题
问题引入：某海鲜店离海港较远，其全部海鲜采购均需通过空运实现.采购部经理每次都为订货发愁，因为若一次订货太多，所采购的海鲜卖不出去，而卖不出去的海鲜死亡率高且保鲜费用也高；若一次订货太少，一个月内订货批次比较多，这样造成订货采购运输费用高，另一方面还有可能会丧失商机.如果你是李老板的助手，请问你打算怎样帮助他选择订货批量，才能使每月的库存费与采购订货运输费用的总和最小.
模型解答：现假设该海鲜店每月消耗海鲜a（kg），一个月分若干批进货，每批采购订货运输费为b元，并设该海鲜店客源稳定，均匀消费，且上批海鲜消费完后，下一批海鲜能立即运到，即平均库存量为批量的一半，设每月每千克海鲜保鲜库存费为c元.问如何选择批量，才能使每月的库存费与采购订货运输费用的总和最小.设批量为x，采购订货运输费与海鲜保鲜库存费的总和为p（x）.首先，求出函数p（x）， 2.多元微积分教学案例
（1）射击命中概率问题
问题引入：炮弹射击的目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标的中心发射时，在纵多因素的影响下，弹着点与目标中心有随机偏差.可以合理地假设弹着点围绕中心呈二维正态分布，且偏差在x方向和y方向相互独立.若椭圆区域在x方向半轴长120 m，y方向半轴长80m，设弹着点偏差的均方差在x方向和y方向均为100 m，试求炮弹落在椭圆形区域内的概率.
模型解答：由于弹着点与目标中心的偏差服从二维正态分布，且在x方向和y方向相互独立，设目标中心为（0，0），则弹着点（x，y）的 （2）消费者均衡问题
问题引入：当一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时，分别用多少钱买甲和乙能得到最大的满意度.经济学上称这种最优状态为消费者均衡.
模型解答：记p1为甲商品的单价，q1为购买甲商品的数量，p2为乙商品的单价，q2为购买乙商品的数量，当消费者占有甲、乙两种商品的数量分别是q1、q2时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，是q1、q2的函数，记作u（q1，q2），称为效用函数，显然u（q1，q2）=c的图形是无差别曲线族.
上面的实例说明将数学建模思想融入微积分教学是十分必要的.但是，这种数学建模思想的融入不是一朝一夕就能完成的，需要贯穿于微积分教学的全过程.在教学过程中应根据数学理论循序渐进的特点，辅以由易到难的数学模型，二者有机结合，于潜移默化之中提高学生的数学应用能力.
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]张琪.微积分在数学建模中的应用[J].太原城市职业技术学院学报，2013（06）.
[3]汪凯.微积分课堂教学与数学建模思想[J].科技信息，2011（03）.
基金资助：山东省高等学校教学改革项目（2012484），山东省教育科学规划2010年重点课题（2010GZ021）。
