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数列公式范文1
题记：
数列通项公式给出了数列中第n项与项数n之间的函数关系。求数列通项公式是数列中的基本问题，也是高考考查的重点和热点内容之一；掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，培养学生对知识的横向联系，促进学生对知识的掌握。其中构造等差数列求数列的通项公式 是近几年高考的又一热点，本文就如何通过构造等差数列求数列的通项公式做一归纳总结以飨读者，以期对大家在数列的学习中有一定的帮助。
一. 倒数变换 ：
例 1。 在数列中，，求数列的通项公式。
解：等式两边取倒数得，令，则，数列为等差数列，公差为，又，，
例2、已知数列中，求数列通项公式。
解：当时有，
则是以为首项，1为公差的等差数列。
又，故为所求的通项公式。
例3、已知数列的前项和，且满足，求 数列的通项公式。
解：当时有，，
，，
则是以为首项，2为公差的等差数列。
，
又，故为所求的通项公式。
归纳：形如通过倒数变换构造等差数列去求通项公式。
〖试一试〗1、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。
二. 平方（开方）变换
例4. 若数列{}中，=2且（n），求数列 的通项公式。
解 将两边平方整理得。数列{}是以 =4为首项，3为公差的等差数列。。 因为>0，所以。
例5.（2013年高考广东卷）设各项均为正数的数列的前项和为 ， 满足且构成等比数列.
（1） 证明：；
（2） 求数列的通项公式；
（3） 证明：对一切正整数，有.
（1）证明：当时，，
（2）解：当时，，
， 当时，是公差的等差数列.
构成等比数列，，，解得，
由（1）可知，
是首项，公差的等差数列.
数列的通项公式为.
（3） 略
三.分式变换
例6.（2000年全国）已知是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式
解：原递推式可化为：
=0 >0， ，=1 ，是以1为首项的常数列
即=.
【试一试】
2、已知中：，（）求数列 的通项公式。
【答案】；
3.已知函数，数列的前项和记为，点 在曲线上，且 ，
（1） 求数列的通项公式。
（2）数列的首项=1，前n项和记为，且 ，求数列的通项公式.
略解：（1）由已知得，从而
（2）由已知得，从而，进而 得
注：此题两次构造了等差数列。
归纳：形如通过分式变换构造等差数列去求通项公式。
四. 指数变换
例7.【2008全国】在数列中，，.
（Ⅰ）设.证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
解：（Ⅰ）由已知，得.
又，因此是首项为1，公差为1的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即.
，
两边乘以2，得，
两式相减得
.
例8.设数列的前n项和，求数列的通项公式。
解：由得
当n=1时， =2；
当n≥2时，即得即 是以1为首项，1为公差的等差数列，=n，带入已知条件得 ，
归纳：形如通过指数变换构造等差数列去求通项公式。
〖试一试〗
4。（2009年全国卷改编）在数列中， .
设，求数列的通项公式； （）
求数列的前n项和。 （ ）
5. （2009湖北卷理）
已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
解析：（I）在中，令n=1，可得，即
当时，，
.
. .
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是.
（II）由（I）得，所以
由①-②得
于是确定的大小关系等价于比较的大小
由 可猜想当证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设n=k+1时
所以当时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有
证法2：当时
综上所述，当，当时
五. 换元变换.
例9。已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求数列的通项公式。
解 由得：
当n≥3时，
令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。
由于
又
所以，即
归纳：形如通过换元变换构造等差数列去求通项公式。
〖试一试〗6.已知数列满足，求数列的通项.
解略：
数列公式范文2
关键词： 数列 递推公式 通项公式
一、a=a+f（n）型数列
例1.在数列{a}中，a=2，a=a+2n-1，求a.
解：依题意有a-a=1，a-a=3，…，a-a=2n-3
逐项累加有a-a=1+3+…+2n-3==（n-1）=n-2n+1，从而a=n-2n+3.
二、a=a・f（n）型数列
例2. 已知数列{a}中，a=，a=・a（n≥2），求数列{a}的通项公式.
解：当n≥2时，=，=，=，…，=，将这n-1个式子累乘，得到=，从而a=×=，当n=1时，==a，所以a=.
三、a=pa+q型数列
此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解.构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设a+m=p（a+m），展开整理a=pa+pm-m，比较系数有pm-m=b，所以m=，所以a+是等比数列，公比为p，首项为a+.二是用做差法直接构造，a=pa+q，a=pa+q，两式相减有a-a=p（a-a），所以a-a是公比为p的等比数列.
例3. 在数列{a}中，a=1，当n≥2时，有a=3a+2，求{a}的通项公式.
解法1：设a+m=3（a+m），即有a=3a+2m，对比a=3a+2，得m=1，于是得a+1=3（a+1），数列{a+1}是以a+1=2为首项，以3为公比的等比数列，所以有a=2・3-1.
解法2：由已知递推式，得a=3a+2，a=3a+2，（n≥2），上述两式相减，得a-a=3（a-a），因此，数列{a-a}是以a-a=4为首项，以3为公比的等比数列.所以a-a=4・3，即3a+2-a=4・3，所以a=2・3-1.
四、a=pa+f（n）型数列（p为常数）
此类数列可变形为=+，则可用累加法求出，由此求得a.
例4.已知数列{a}满足a=1，a=3a+2，求a.
解:将已知递推式两边同除以2得=×+1，设b=，故有b+2=×（b+2），b=-2，从而a=5×3-2.
若f（n）为n的一次函数，则a加上关于n的一次函数构成一个等比数列;若f（n）为n的二次函数， 则a加上关于n的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.
例5．已知数列{a}满足a=1，当n≥2时，a=a+2n-1，求a.
解:作b=a+An+B，则a=b-An-B，a=b-A（n-1）-B代入已知递推式中得:b=b+（A+2）n+（A+B-1）.
令A+2=0A+B-1=0?圯A=-4B=6
这时b=b且b=a-4n+6
显然，b=，所以a=+4n-6.
五、a=型数列（A，B，C为非零常数）
这种类型的解法是将式子两边同时取倒数，把数列的倒数看成是一个新数列，便可顺利地转化为a=pa+q型数列.
例6．已知数列{a}满足a=2，a=，求a.
解:两边取倒数得:=+，所以=+（n-1）×=，故有a=.
六、a=pa+qa型数列（p，q为常数）
这种类型的做法是用待定系数法设a-λa=χ（a-λa）构造等比数列.
例7.已知数列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n≥3），求{a}的通项公式.
解：令a+xa=y（a+xa）比较系数得y-x=2xy=3?圯x=1y=3或x=-3y=-1
所以a+a=3（a+a）及a-3a=-（a-3a）
a+a=3（a+a）=3×7
a-3a=（-1）（a-3a）=（-1）×13
由以上两式得
4a=3×7+（-1）×13
所以数列的通项公式是a=［3×7+（-1）×13 ］
例8.已知数列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求数列{a}的通项公式.
解：在a=a+a两边减去a得a-a=-（a-a）
{a-a}是以a-a=1为首项，以-为公比的等比数列，
a-a=（-）
令上式n=1，2，3，…，（n-1），再把n-1个等式累加得:
数列公式范文3
1、通项公式为an=a1q^(n-1)。
2、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
3、等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
（来源：文章屋网 ）
数列公式范文4
【关键词】构造法；转化；化归
给出递推关系，求数列的通项公式是历年高考的热点。在此类问题中，转化与化归的方法是最重要的数学思想之一，起着不可或缺的作用，贯穿在数列的整个学习过程中。转化是解决递推数列问题的实质所在，所以，培养学生明确的“转化”意识，深刻理解这种思想方法的内涵，并能在解题过程中灵活运用，对于学生来说至关重要，甚至是考察学生数学思维的一项重要内容。
等差数列、等比数列是数列中最基础且最重要的两类特征数列，也是高中阶段数列内容中的重点研究对象但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列，这种方法就是求数列通项公式时经常使用的构造法，体现的正是转化与化归的数学思想，将非等差和非等比数列转化为我们熟悉的等差等比数列，进而使问题得到根本解决。此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。构造的方法很多，可根据递推公式的特征而定，现将几种常见类型的问题总结如下：
第一类：构造等差数列
类型1.an+1=■类型
针对这种递推关系中存在分式的问题，经常需两边取倒数，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，通过求{■}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式。
例如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=■，求数列{an}的通项公式。
解析：an+1=■，■=■+1，又a1≠0，an≠0
所以数列{■}是首项为1，公差为1的等差数列。■=1+n-1=n，an=■.
数列{an}的通项公式为an=■.
类型2.an=pan-1+pn+k类型（其中k为常数）
这种类型可以采取等式两边同除以pn，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，进而得到数列{an}的通项公式。
第二类：构造等比数列
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，可以通过构造等比数列或等差数列求通项公式。
类型3.an+1=pan+q类型（其中p、q为常数，且p≠1,q≠0）
这类问题可用构造法化归为等比数列{an+x}，运用待定系数法求出x，通过求出等比数列{an+x}的通项公式，求出数列{an}的通项公式。这种类型的递推公式比较常见，也很重要，下面类型4、类型5的问题往往需要变形成这种类型来解决。
类型4.an+1=■类型（其中p,q为常数，且p≠0,q≠0）
此种类型需先将等式两边同时取倒数，得到■=■・■+■化归为类型3的问题来解决。
类型5.an+1=pan+f(n)型（其中p为常数，且p≠1）
当f(n)=kn+b时，可设an+1+An+B=k[an+A(n-1)+B],展开之后与给出的递推公式相同求出A、B,化归为等比数列{an+An+B};当f(n)=qn+k时，可等式两边同除以qn，得到■=■.■+■，化归为类型3的问题来解决。
类型6.an+1=pann型（其中p为常数）
此种类型需要两边取同底对数，如取以10为底的对数，得到lgan+1=nlgan+lgp，转化为类型3来解决。
【总结】
此类问题的主要方法就是根据递推关系，分析结构特征，善于合理变形，最终的目的是构造出一个与之相关的等差数列或者等比数列的形式。这种化归的思想在这类问题中随处可见。化归思想有着它的风趣描述和理论基础，它并不是孤立存在的，与我们其它的各种思想相互联系着。在高中阶段的教学过程我们可以挖掘知识发生过程的化归思想，渗透知识应用过程中的化归思想，加强解题教学，突出化归思想。“授之以鱼，不如传之以渔”，“教是为了不教”，数学思想对提高学生数学能力有着重要的作用。时代在发展，思想在更新，我们教育工作者一定要把学习的主动权化归到学生的身上去。
【参考文献】
[1]数学教学通讯(高考数学).2008年第3期.《高中数学中转化与化归思想的运用》
[2]中学生数学报.张永侠.《升华教材-习题 解决一类大问题》
数列公式范文5
【例1】在数列｛a ｝中，a = ，a = a + • （n∈N ，且n≥2）。求数列｛a ｝的通项公式。
解：a = a + •
3 •a = •3 a +
记b =3 •a ，则b = b +
设b +x= （b +x），整理得：b = b + x
x= ，即x=1
b +1= （b +1）
a = ，b +1=3 •a +1=3× +1=
数列｛b +1｝是以 为首项 为公比的等比数列
b +1= •=
3 •a +1=
a = - 即为所求。
【例2】已知数列｛a ｝的前n项的和为S =2a -3•2 +10，（n=1，2，3，…），求数列｛a ｝的通项公式。
解：S =2a -3•2 +10（1）
S =2a -3•2 +10（n≥2）（2）
由（1）-（2）得：S -S =2a -3•2 +10-（2a -3•2 +10）
a =2a +3•2
= +3
记b = ，则b =b +3
在（1）中令n=1得：S =2a -3•2 +10
S =a
a =2
b =1
数列｛b ｝是以1为首项3为公差的等差数列
b = =1+3（n-1），解得：a =2 （3n-2）。
【例3】已知数列｛a ｝的前n项的和S 满足：S -S =3-（n≥3），且S =1，S =- 求数列｛a ｝的通项公式。
解：当n≥2时，a =S -S
S =a +S ，代入S -S =3-，
得a +S -S =3•-
a +a =3•-
+ =3
记b = ，则- b +b =3，即b =2b -6
令b +x=2（b +x），则b =2b +x，解得：x=-6
b -6=2（b -6）
a =S =1
b -6= -6=-8
数列｛b -6｝是以-8为首项2为公比的等比数列
b -6=（-8）•2 ，即 -6=（-8）•2
解得：a =（-1） -4+3• 。
【例4】已知数列｛a ｝的前n项的和为S ，且对一切正整数n都有S =n + a ，求数列｛a ｝的通项公式。
解：S =n + a （1）
S =（n+1） + a （2）
由（2）-（1）得：S -S =（n+1） + a -n + a
a =2n+1+ a - a ，即a =-a +4n+2
a -2（n+1）=-（a -2n）
记b =a -2n，则b =-b
在（1）中令n=1得：S =1 + a ，
S =a
a =2，从而得b =0
b =0
a =2n即为所求。
上述例题中的数列｛a ｝所给的条件均可转化为Aa =Ba +f（n）（A≠B）这种类型，经过恰当变形后所构造的数列｛b +1｝，｛b ｝，｛b -6｝，｛b ｝都是我们所熟知的等差或等比数列，而且它们与a 有着直接的关系，从而使问题轻松获解。
数列公式范文6
关键词：数列；通项公式；方法；
中图分类号：G623.5
一、观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，...
（2）1，1/2，1/4，1/8，...
解：（1）变形为：101- 1，102- 1，103- 1，104- 1，......
通项公式为：10n- 1
（2）变形为：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，......，
通项公式为：1/2n- 1
观察法就是要抓住各项的特点，与常见的数列形式相联系进行变形，探索出各项的变化规律，从而找出各项与项数n的关系，写出通项公式。
二、定义法
例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的（q∈R且q≠1）的等比数列，若函数f（x）=（x- 1）2，且a1=f（d- 1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q- 1），求数列{an}和{bn}的通项公式；
解：（1）a1=f（d- 1）=（d- 2）2，a3=f（d+1）=d2，
a3- a1=d2-（d- 2）2=2d，
d=2，
an=a1+（n- 1）d=2（n- 1）；
又b1=f（q+1）=q2，b3=f（q- 1）=（q- 2）2，
由q∈R，且q≠1，得q=- 2，bn=b·qn- 1=4·（- 2）n-1 当已知数列为等差或等比数列时，只需求得首项及公差或公比，可直接利用等差或等比数列的通项公式的定义写出该数列的通项公式。
三、叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，...求此数列的一个通项。
解：已知a2- a1=3，a3- a2=5，...，an- an- 1=2n- 1，...
各式相加得：an- a1=3+5+...+（2n- 1）=n2- 1
an=n2+5
对于可表述成为an- an- 1=f（n）的形式的数列，即可通过叠加的方法消去a2至an- 1项，从而利用的已知求出。
四、叠乘法
例4：设数列 {an}是首项为1的正项数列，且满足（n+1）a2n+1- nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式。
解： （n+1）a2n+1- nan2+an+1an=0，可分解为[（n+1）an+1- nan]（an+1+an）=0
又 {an}是首项为1的正项数列，
an+1+an≠0，
（n+1）an+1- nan=0，
由 此 得 出 ：a1=2a2，2a2=3a3，...，（n- 1）a（n-1）=nan，这n- 1个式子，将其相乘得：a1=nan，又a1=1，an=1/n，n=1也成立，an=1/n（n∈N*）。
对于相邻的两项有确定的比例关系的递推式，可以通过叠乘法消去和，从而利用的已知求出此类数列的通项公式。
五、取倒数法
例5：已知数列{an}，a1=-1， n∈N*，求an =？
解：把原式变形得 an+1- an+1·an= an
两边同除以 anan+1得1/an=1/an+1 +1
{1/an} 是首项为 -1，d=-1 的等差数列
故an=-1/n
有些关于通项的递推关系式变形后含有 anan+1项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以 anan+1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出 an。
六、利用公式 an=Sn-Sn-1（n ≥ 2） 求通项
例 6：已知各项均为正数的数列 {an} 的前 n 项和为 Sn满足 S1> 1 且 6Sn=（an+1）（ an+2） n ∈ N*，求 {an}的通项公式。
解：由 a1=S1= 解得 a1=1 或 a1=2，
由已知a1=S1> 1，因此 a1=2
又由 an+1= Sn+1-Sn= 1/6 （an+1 +1）（an+1 +2）-1/6 （an +1）（an +2）得（an+1+an）（ an-1-an-3） =0
an> 0 an-1-an=3从而 {an} 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，
故 {an} 的通项为 an=2+3（n-1）=3n-1。
有 些 数 列 给 出 {an} 的 前 n 项 和 Sn与 an的 关 系 式Sn=f（an），利用该式写出 Sn+1=f（an+1），两式做差，再利用 an+1=Sn+1-Sn导出 an+1与 an的递推式，从而求出 an。
七、构造等比数列法
例 7：已知数列 {an} 满足 a1=1，an+1=2an+1 （n ∈ N*），求数列 {an} 的通项公式。
解：构造新数列 {an+p}，其中 p 为常数，使之成为公比是 an的系数 2 的等比数列，即 an+1+p =2（an+p） 整理得：an+1=2an+p， an+1= 2an+1 p=1 即 {an+1} 是首项为 a1+1=2，q=2 的等比数列 an+1=2·2n-1
an=2n-1。
原数列 {an} 既不等差，也不等比。若把 {an} 中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出 an。该法适用于递推式形如 an+1=ban+c 或 an+1= ban+f（n）an+1= 或an+1=ban+cn其中 b、c 为不相等的常数，f（n） 为一次式。
总之，数列是初等数学向高等数学过度的桥梁，而求数列的通项公式又是学好数列知识的关键，它具有很强的技巧性。但是由于同学们在刚刚接触数列知识时，对求数列的通项公式没有系统的方法，常常感觉无从下手，需要教师和学生共同努力，共同思考，不断的完善求数列通项公式的方法和技巧，开拓思维，创新学习，逐步树立学好数学的信心，提高自身的数学素养，并能融会贯通的运用到其他的知识学习中去。
