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定义与命题范文1
(1)侵害名誉权通常以造成受害人社会评价降低为前提，单纯受害人主观上的名誉感即自认为社会评价降低不构成侵害名誉权。
(2)如果侵犯从事经营的法人、非法人组织、个人的名誉，则可能构成不正当竞争。
(3)新闻报道严重失实致人名誉受损的，也按侵害名誉权处理。
(4)散布的内容真实，但是属他人隐私的话，有可能构成侵害他人隐私权。
(5)宣扬他人隐私，造成名誉受损的，构成侵害名誉权。
【法律依据】
定义与命题范文2
逻辑学是研究思维形式结构及其规律的科学，它的一个重要特点就是逻辑严密、表述严谨。但是，在当前的部分逻辑学教材中，个别定义表述不准确，影响了逻辑学教材的科学性和严谨性，引起学生理解上的混乱，使其无所适从。
一、假言推理的相关定义
1．假言推理。李小克的《普通逻辑学教程》认为:“假言推理是以假言判断为前提的推理。”［1］但其列举的推理形式有:(P→Q)∧P)→Q，(P→Q)∧Q)→P等等。这些推理的前提中或者有性质命题，或者有性质命题的负命题。所以，该定义是不准确的，定义项的外延小于被定义项的外延，犯了“定义过窄”的逻辑错误。上海人民出版社出版的《普通逻辑》是国内较早的具有权威性的逻辑学教材之一。《普通逻辑》认为，“假言推理是前提中有一个为假言命题，并且根据假言命题前、后件之间的关系而推出结论的推理……假言推理也可以分为三种，即充分条件假言推理、必要条件假言推理与充分必要条件假言推理”［2］。较多的逻辑学教材采用了类似的定义，比如说，陈树文的《逻辑学基本原理》认为，“假言推理是前提中有一个是假言判断，并且根据假言判断前后件之间的关系而推出结论的推理”［3］。这种定义存在三个问题。一是没有明确这是狭义的假言推理，还是广义的假言推理。狭义的假言推理即假言直言推理，广义的假言推理一般还包括假言易位推理和假言联锁推理等。即使教材中列举的有关推理形式都是狭义的假言推理，也应该给予简单的介绍，避免读者以为教材中列举的推理类型涵盖了所有假言推理的类型。二是对假言推理的前提的数量表述不准确。“有一个”容易被理解为“有且只有一个”。如果该定义是广义的假言推理，它的外延未能包括假言联锁推理，因为假言联锁推理的前提至少有两个假言命题。这样的话，该定义就犯了“定义过窄”的逻辑错误。三是对假言推理的前提的种类表述不准确。如果该定义是狭义的假言推理，应该明确指出其前提之一为假言命题，另一个前提一般为直言命题或者是直言命题的否定。否则，该定义就会犯“定义过宽”的逻辑错误。王汉清的《逻辑学》认为:“仅仅根据假言命题的逻辑性质或者说仅仅根据条件的逻辑性质而推出结论的推理是假言推理。”［4］“假言推理有多种形式，一般分为三种基本形式，这就是假言直言推理、假言易位推理和假言联锁推理”［5］。陈爱华的《逻辑学引论》对假言推理的定义更为精确:“从广义上说，假言推理可定义为前提中至少有一个假言判断，并且根据假言判断前后件之间的逻辑关系而进行推演的推理。它包括假言直言推理、假言联锁推理、假言易位推理、假言联言推理、假言选言推理等。从狭义上说，传统逻辑中的假言推理仅指假言直言推理。”［6］综上所述，可以把广义的假言推理定义为:它是前提中至少有一个假言命题，并且根据假言命题的逻辑性质进行推演的复合命题推理。
2．假言直言推理。王汉清认为:“由一个假言命题和一个直言命题做为前提所构成的假言推理是假言直言推理，简称假言推理。”［7］俞瑾的《普通逻辑概要》也认为:“假言推理的前提除有一个是假言判断外，另一个通常为直言判断，结论通常也是直言判断，因此又被称为假言直言推理。”［8］这两个定义基本一致，不同之处在于王汉清没有介绍假言直言推理的结论命题的种类，俞瑾认为假言直言推理的结论通常也是直言判断。事实上，他们的定义符合肯定式假言直言推理(如，肯定前件式充分条件假言直言推理和肯定后件式必要条件假言直言推理等)，却不符合否定式假言直言推理(如，否定后件式充分条件假言直言推理和否定前件式必要条件假言直言推理等)。因为否定式假言直言推理的前提之一是条件命题，另一前提和结论不是直言命题，而是直言命题的负命题，或者说包含了一个直言命题。所以，这种定义犯了“定义过窄”的逻辑错误。尽管俞瑾的定义中运用了“通常”一词，没有明确表示假言直言推理的另一前提和结论一定是直言判断，但这样表述仍然不够严密。金岳霖的《形式逻辑》是一本权威性的逻辑学教材，书中认为:“假言推理就是这样一种具有两个前提的推理，其中一个前提是假言判断，另一个前提是这个假言判断的前件(或其负判断)或者是这个假言判断的后件(或其负判断)……假言判断有三种，假言推理也相应地有三种，即充分条件假言推理、必要条件假言推理与充分必要条件假言推理。”［9］这一定义实际上对假言直言推理的定义，并且准确到位。因此，我们也可以把假言直言推理定义为:它是前提之一为假言命题，另一个前提和结论包含假言命题的前件或后件的假言推理;或者说，它是前提之一为假言命题，另一个前提和结论包含直言命题的假言推理;也可以进一步表述为，它是前提之一为假言命题，另一个前提和结论包含直言命题，并且依据假言命题的逻辑性质进行推演的假言推理。
3．充分条件假言推理。这里所说的充分条件假言推理是指狭义的充分条件假言推理，即充分条件直言推理。《普通逻辑》认为:“充分条件假言推理是一个前提为充分条件假言命题，另一个前提和结论为性质命题的假言推理。”［10］陈树文也认为:“充分条件假言推理是一个前提为充分条件假言判断，另一个前提和结论为性质判断的假言推理。”［11］必要条件假言推理、充分必要条件假言推理定义与之如出一辙。类似的定义在当前的逻辑学教材中大量存在。鉴于对假言直言推理定义的分析，笔者认为，应当将充分条件直言推理的定义更改为:它是前提之一为充分条件假言命题，另一个前提和结论包含充分条件命题的前件或后件的假言直言推理;或者说，它是前提之一为充分条件命题，另一个前提和结论包含直言命题的假言直言推理;也可以进一步表述为，它是前提之一为充分条件命题，另一个前提和结论包含直言命题，并且依据充分条件命题的逻辑性质进行推演的假言直言推理。必要条件直言推理、充分必要条件直言推理的定义可参照充分条件直言推理的定义作相应的修改。
二、直接推理相关定义
1．直接推理。《普通逻辑》认为:“由一个性质命题为前提推出一个性质命题为结论的推理叫做直接推理(包括对当关系推理和命题变形推理)。”［12］魏凤琴的《逻辑学》认为:“直接推理就是以一个性质命题为前提，推出一个新的性质命题的推理。”［13］郭彩琴的《逻辑学教程》认为:“根据一个前提判断直接得出结论的推理称直接推理。它的前提和结论都是简单判断中的性质判断。”［14］王汉清则认为:“仅由一个命题作为前提所构成的推理叫做直接推理。”［15］李小克认为:“以一个判断为前提的推理叫做直接推理。”［16］俞瑾也认为:“直接推理是以一个判断为前提推出结论的推理。”［17］“直接推理有多种，本节所讲的直接推理仅限于性质判断的直接推理”［18］。《形式逻辑》(第4版)认为根据“逻辑方阵”中命题间的真假关系，“知道一个命题的真假即可推知其他三个命题的真假情况，这也是一种直接推理”［19］。直接推理是“以一个命题为前提而推出结论的推理”。按照《普通逻辑》编写组、魏凤琴和郭彩琴的观点，直接推理的前提和结论都是性质命题，但其列举的直接推理的种概念———对当关系推理的有效形式中，大多数推理的前提或结论是性质命题的负命题，只是前提和结论中都包含性质命题。如对当关系推理中的SAP→SEP、SOP→SAP，前者的结论和后者的前提都是性质命题的负命题。可见，他们对直接推理的定义是不准确的，犯了“定义过窄”的逻辑错误。王汉清、李小克等认为直接推理前提的数量是一个，没有规定直接推理前提的种类。俞瑾认为直接推理有多种，其前提的种类不仅仅限于性质命题。《形式逻辑》(第4版)则更进一步，认为直接推理的前提和结论的种类不仅可以是简单命题，还可以是复合命题(如负命题)。以上观点的共同点是直接推理前提的数量只有一个。笔者认为，直接推理的准确定义是，它是仅以一个命题为前提所构成的推理，其前提和结论的种类不限。与直接推理相对应，间接推理是以至少有两个命题为前提所构成的推理，如三段论和混合关系推理。#p#分页标题#e#
2．性质命题直接推理。直接推理定义的准确性直接影响到性质命题直接推理定义的准确性。按照《普通逻辑》编写组、郭彩琴、魏凤琴的观点，直接推理的前提和结论都是性质命题，性质命题的直接推理自然是以一个性质命题为前提推出一个性质命题为结论的推理。刘良琼的《普通逻辑基础》认为，“直接推理是以一个判断为前提而推出结论的推理。本节只介绍以一个性质判断为前提，推出另一个性质判断为结论的直接推理”［20］，包括性质判断变形的直接推理和性质判断对当关系的直接推理。《形式逻辑》(第4版)认为，“性质命题的直接推理，即以一个性质命题为前提而推出一个性质命题的结论的直接推理”［21］。但上述教材列举的性质命题直接推理的种概念———对当关系推理的有效形式中，相当一部推理的结论是性质命题的负命题，如SAP→SEP、SAP→SOP。可见，他们对性质命题直接推理的定义也是不准确的，犯了“定义过窄”的逻辑错误。王汉清则认为，“如果仅由一个直言命题作为前提所构成的推理就是直言命题的直接推理;由两个及两个以上直言命题作为前提所构成的推理就是直言命题的间接推理”［22］。以上观点的共同点是性质命题直接推理的前提的数量只有一个，并且其种类是性质命题。所以，笔者认为，所谓性质命题的直接推理就是仅以一个性质命题为前提所构成的推理，其结论的种类不限。性质命题的直接推理包括性质命题变形直接推理和性质命题的对当关系推理。与性质命题的直接推理相对应，性质命题间接推理是以至少两个性质命题为前提所构成的推理，如三段论。
3．对当关系推理。直接推理、性质命题的直接推理的定义的准确性，也会影响对当关系推理的定义的准确性。刘良琼认为，“A、E、I、O四种性质判断之间的真假关系，就是对当关系直接推理的依据。除对当关系中那些只能得出‘真假不定’结论的不能纳入这种推理以外，其余的都可以用来进行这种推理”［23］。紧接着，刘良琼列出了4类共16种性质判断对当关系的直接推理。反对关系推理:(1)SAP→并非SEP(2)SEP→并非SAP矛盾关系推理:(3)SAP→并非SOP(4)SEP→并非SIP(5)SIP→并非SEP(6)SOP→并非SAP(7)并非SAP→SOP(8)并非SEP→SIP(9)并非SIP→SEP(10)并非SOP→SAP差等关系推理:(11)SAP→SIP(12)SEP→SOP(13)并非SIP→并非SAP(14)并非SOP→并非SEP下反对关系推理:(15)并非SIP→SOP(16)并非SOP→SIP郭彩琴认为:“对当关系推理是根据同素材性质判断的对当关系所进行的直接推理。”［24］她列举了与刘良琼相同的对当关系推理的有效形式，只是运用了不同的表述公式。值得注意的是，刘良琼在“负判断”部分还介绍了性质判断的负判断及其等值判断。他列举的等值判断有:郭彩琴也在“负判断”部分介绍了这四种推理形式。然而，这些推理形式实际上又包括了他们在对当关系推理部分列举的部分有效推理形式，即上述推理形式中的(7)、(8)(9)(10)。这些推理形式既出现在简单命题推理章节中的性质命题推理部分，又出现在复合命题推理章节中的负命题推理部分，势必令学生心生困惑，不清楚这些推理究竟是简单命题推理还是复合命题推理，是性质命题推理还是负命题推理。《普通逻辑》编写组认为:“对当关系推理是根据A、E、I、O之间的对当关系从一个命题推出一个命题的推理。”［25］并且列出了除上述(13)、(14)之外的14种推理形式。
定义与命题范文3
关键词：常用逻辑用语；或；且；非
郑毓信教授是这样描述数学的：数学应被看成一个由理论、方法、问题和符号语言等多种成分所组成的复合体. 笔者觉得“数学概念”应该是包含在“多种成分”中；数学概念对于数学的重要性犹如游戏规则对于游戏乐趣的影响，中学数学教师要加强对数学概念的教学，这是提高教学质量的基础. 本文主要对“常用逻辑用语”这部分内容中相关数学概念的教学，结合自己教学过程中的一些问题，谈谈个人的理解，以供参考.
[?] 一个错题的正确解法
有这样一个高考模拟题，命题p：若a>b，则2a>2b+1；它的否定?p是________.
考生都能这样写“若a>b，则2a≤2b+1”，试题的答案也是这样提供的.
本题是想对命题的否定的表达的考查，表面上确实达到了考查要求. 我们分析命题p及它的否定?p的真假性.容易发现都是假命题，但这与逻辑不符！因为命题p及它的否定?p的真假性肯定是相反的. 为什么会这样呢？因为这个题本身是一个错题.我们再看看命题p：若a>b，则2a>2b+1；取a=3，b=2，能得到2a>2b+1，取a=2，b=log23时，得到的是2a=2b+1，也就是对于a>b，2a>2b+1有时成立，有时不成立. 我的理解是这个陈述句若a>b，则2a>2b+1有时真，有时假，而我们课本上对于命题的定义是：可以判断真假的陈述句叫做命题，这里的陈述句时而真，时而假，也就是不能确定到底是真还是假，所以不是命题，也就更不用谈命题的否定了. 从而矛盾解决.
[?] 关于简单命题的“或”
选修1-1课本讲解“或”字联结词时，用了这样一个题：
命题p：27是7的倍数；命题q：27是9的倍数，写成“p或q”的形式是：27是7的倍数或是9的倍数.
把下面两个命题用“或”字联结，
命题p：方程x2-1=0的解是x=1；命题q：方程x2-1=0的解是x=-1.
很多学生都这样写：
方程x2-1=0的解是x=1或x=-1. 易知这样联结的命题是真命题，但是p是假命题，q也是假命题，那么p或q应是假命题，矛盾.
原因在于用“或”字联结命题时，不能够简化谓语，可以直接联结，本题中的p或q应写成：方程x2-1=0的解是x=1或是x=-1，你也可以直接写成：方程x2-1=0的解是x=1或方程x2-1=0的解是x=-1；这样矛盾就解决了.
[?] 关于简单命题的“且”
选修1-1课本讲解“且”字联结词时，用了这样一个题，
命题p：12能被3整除；命题q：12能被4整除，写成“p且q”的形式是：12能被3整除且能被4整除.
把下面两个命题用“且”字联结.
命题p：函数y=+的定义域是{xx>1}；
命题q：函数y=+的定义域是{xx≠2}，
很多学生都这样写：
函数y=+的定义域是{xx>1且x≠2}.
易知这样联结的命题是真命题，但是，p是假命题，q也是假命题，那p且q应是假命题，矛盾. 原因在于用“且”字联结命题时，不能够简化谓语而直接联结，本题中的p且q应写成：函数y=+的定义域是{xx>1}且是{xx≠2}，你也可以直接写成：函数y=+的定义域是{xx>1}且函数y=+的定义域是{xx≠2}；矛盾解决.
[?] 关于命题形式的一点总结
高中阶段考查的命题形式有以下三种：
（1）若p则q形式；（2）含量词的形式；（3）含联结词的形式.
定义与命题范文4
一、不能判断真假的不是命题
例1现有下列语句：①x
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
解： 由于不知实数x的取值范围，所以无法判断x＜-2是否成立，故①不是命题；同理，由于f（x）的定义域不可知，故函数f（x2+1）的定义域也无法判断，所以④也不是命题；②和③都是可判断真假的语句，所以是命题．选B．
评析： 判断一个语句为命题的标准有两个：一是陈述句，二是可以判断真假．在例1的语句②中，当x＜-2时x2＞4，所以结论x2≥4一定成立，即②是命题，可它的条件x＜-2不是命题，结论x2≥4也不是命题．在“若p则q”形式的命题中，p与q既可各为命题，也可不为命题. 此外，“函数f（x2+1）的定义域为R”的问题是“不知定义域，不能判断真假”，而不是“已知定义域，不能判断结论是否成立”，所以它不是命题，切不可误以为它是“假命题”．
二、复合命题真假性要符合规定
例2下列命题：①9的平方根是3或-3；②周长相等的两个矩形全等或面积相等的两个矩形全等；③对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；④菱形的两条对角线互相垂直平分．
以上①②中为“p∨q”形式的命题的代号是；③④中为“p∧q”形式的命题的代号是．
解： 命题p∨q与p∧q由逻辑联结词“或”“且”联结，应符合有关p∨q与p∧q真假性的规定．①中尽管有“或”字，但不是“p∨q”形式的命题．为了证明这点，我们可设p：9的平方根是3，q：9的平方根是-3．显然，它们都是假命题，所以“p∨q”是假命题，这与命题①为真命题矛盾．同理可知，②是“p∨q”形式的命题，③不是“p∧q”形式的命题，④是“p∧q”形式的命题．答案为②④．
评析： 复合命题的真假性总结如下：“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．
三、命题的否定要找准否定对象
例3已知p：＞0，则p是
（A） -1＜x＜3 （B） -3＜x＜1 （C） -1≤x≤3 （D） -3≤x≤1
解：由p得：x＞1或x＜-3，选D．
评析： 命题的否定是“全盘否定”，是对所指全体对象的彻底否定．一般情况下，错误地认定所指对象是引发错解的根源． 例3中p所指的对象是满足已知不等式的所有实数x，并非指不等式本身． 如果误以为p所指的对象需满足不等式≤0，就会错选B．
此外，还要注意命题的否定与否命题不同，虽都含有“非”的意义，可命题的否定是指p，在“若p则q”的形式中指“若p则q”；而否命题仅存在于“若p则q”的形式中，指命题“若p则q”．
四、若由条件能推出结论，则条件是充分条件；若由结论能推出条件，则条件是必要条件
例4已知a＞0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是
（A） x∈R，ax2-bx≥a-bx0 （B） x∈R，ax2-bx≤a-bx0
（C） x∈R，ax2-bx≥a-bx0（D） x∈R，ax2-bx≤a-bx0
解：由已知可得x0＝． 根据各选项的信息，我们可以想到函数y=ax2-bx=ax-2- ，其对应的抛物线开口向上，且当x0＝时有ymin=a-bx0=-，即由x0＝可推得A，C为真．反之，仅能由x∈R，ax2-bx≥a-bx0得到ymin=a-bx0，进而推得x0＝．选C．
评析： 解充要条件问题的关键在于明确推理方向．从定义的角度上来讲，若pq，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件；若pq，则p是q的充要条件.从集合的角度上来讲，若记由p，q确定的集合分别为P，Q，则有“p是q的充分条件即PQ”，“p是q的必要条件即QP”，“p是q的充要条件即P=Q”．故推理方向又可转化为包含关系．
【练一练】
1． 下列语句中，属于命题的是
（A） x与y之和为100 （B） a>0
（C） 2或4是素数 （D） 作∠AOB的角平分线OE
2． “若b2-4ac
（A） 若b2-4ac≥0，则ax2+bx+c=0没有实根
（B） 若b2-4ac>0，则ax2+bx+c=0有实根
（C） 若b2-4ac≥0，则ax2+bx+c=0有实根
（D） 若b2-4ac≤0，则ax2+bx+c=0没有实根
3． 命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根，命题q：方程4x2+4（m-2）x+1＝0无实根；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
4． 已知抛物线y＝-x2+mx-1，A（3，0），B（0，3），求抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件．
【参考答案】
1． C2． C
定义与命题范文5
一、单选题
1．下列四个命题中，为真命题的是（
）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】A
【解析】利用不等式的性质依次判断即可.
【详解】
对于选项A,由及“同向同正可乘性”，可得；对于选项B，令则，显然不成立；对于选项C，若，显然不成立；对于选项D,若，显然不成立.
故选：A
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，属于基础题.
2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．
【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。
3．设、是非空集合，定义且，若，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解出集合，利用交集和补集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合.
【详解】
解不等式，即，解得，则集合.
所以，，，
根据集合的定义可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的新定义运算，同时也考查了一元二次不等式的解法、交集与补集的运算，考查运算求解能力，属于中等题.
4．设集合，，,，，其中、，下列说法正确的是（
）
A.对任意，是的子集；对任意，不是的子集
B.对任意，是的子集；存在，使得是的子集
C.存在，使得是的子集；对任意，不是的子集
D.存在，使得是的子集；存在，使得是的子集
【答案】B
【解析】利用集合子集的概念，任取，可推出，可得对任意的实数，；再由，，求得、，即可判断出选项B正确，A、C、D错误.
【详解】
对于集合，，任取，，则，，所以，对任意，是的子集；
当时，，，可得；
当时，，，可得不是的子集.
所以，存在，使得是的子集.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了一元二次不等式的解法，以及任意性和存在性问题的解法，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
5．设集合，集合，若，则__________．
【答案】
【解析】由题意得出，由此可解出实数的值.
【详解】
，且，，，，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数，在处理有限集的问题时，还应注意集合的元素应满足互异性，考查计算能力，属于中等题.
6．用描述法表示所有被除余的整数组成的集合：_________．
【答案】
【解析】利用描述法和整除性质即可得出.
【详解】
由题意知，所有被除余的整数组成的集合为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查描述法、数的整除性质，考查推理能力，属于基础题.
7．设集合，，则__________．
【答案】
【解析】解方程组，求出公共解，即可得出集合.
【详解】
解方程组，得，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查集合交集的计算，同时也考查了二元一次方程组的求解，在表示集合时要注意集合元素的类型，考查计算能力，属于基础题.
8．不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】将原不等式变形为，解出该不等式即可.
【详解】
由，移项得，即，解得或.
因此，不等式的解集是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
9．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】分析：不等式的解集为，则方程的根为，利用韦达定理求参数，再解不等式即可。
详解：不等式的解集为，则方程的根为，由韦达定理可知：，，所以不等式为，所以解集为
点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式
问题的常用方法。
10．设、，集合，则__________．
【答案】
【解析】根据题意得出，则，则有，可得出，由此得出，然后求出实数、的值，于是可得出的值.
【详解】
，由于有意义，则，则有，所以，.
根据题意有，解得，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用集合相等求参数的值，解题的关键就是根据题意列出方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.
11．设全集，若，，，则__________．
【答案】
【解析】作出韦恩图，将全集中的各元素放置在合适的区域内，得出集合和集合，再根据交集的定义可得出集合.
【详解】
全集，作出韦恩图如下图所示：
由图形可知集合，，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查集合的混合运算，同时也考查了韦恩图法的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12．下列说法中：
①“若，则”的否命题是“若，则”；
②“”是“”的必要非充分条件；
③“”是“或”的充分非必要条件；
④“”是“且”的充要条件.
其中正确的序号为__________．
【答案】③
【解析】根据否命题与原命题的关系可判断命题①的正误；解方程，根据充分必要性可判断出命题②的正误；由命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”得出“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，从而判断命题③的正误；利用举反例和逻辑推理来判断命题④的正误.
【详解】
对于命题①，“若，则”的否命题是“若，则”，命题①错误；
对于命题②，解方程，得或，
所以，“”是“”的充分非必要条件，命题②错误；
对于命题③，由于命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，可知，“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，
“且”“”，取，则，所以，“”“且”，则“且”是“”的充分非必要条件，
所以，“”是“或”的充分非必要条件，命题③正确；
对于命题④，取，，则满足，但“”“且”，
由不等式性质可知，当且，有，则“且”“”.
所以，“”“且”必要非充分条件，命题④错误.
故答案为：③.
【点睛】
本题考查四种命题以及充分必要性的判断，常利用举反例和逻辑推理进行推导，考查推理论证能力，属于中等题.
13．已知集合，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】当时，不等式恒成立，可知符合题意；当时，由恒成立可得；当时，不可能在实数集上恒成立，由此可得结果.
【详解】
当时，恒成立，，符合题意
当时，，解得：
当时，集合不可能为
综上所述：
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.
14．已知集合，，且，则实数的值为_________．
【答案】或或1
【解析】解方程得，因为，所以，，，分别解得的值
【详解】
由题，，因为，所以当时，无解，；当时，；当时，，综上所述，的值为或或
【点睛】
由集合间的关系求参数时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用
15．集合，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由，结合题意得出关于的方程有负根，分和，在的前提下，分二次方程有两个相等的负根、两根一正一负以及两个负根进行分类讨论，可求出实数的取值范围.
【详解】
，，
，则关于的方程有负根.
（1）当时，即当时，原方程为，不成立；
（2）当时，即当时，设该方程的两个实根分别为、.
①若该方程有两个相等的负根，则，
可得，此时方程为，即为，解得，
合乎题意；
②若该方程的两根一正一负时，则有，解得；
③当该方程有两个负根时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二次方程根的分布问题，解题时要结合判别式、两根之和与积的符号来进行分析，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
16．若集合,集合，且，记为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，的平均值是__________．
【答案】
【解析】先归纳出集合时，集合且时，的平均值，然后令可得出的平均值.
【详解】
先考虑集合时，集合且时，的平均值.
，，则，此时，的平均值为；
，当时，，当时，，当时，，此时，的平均值为；
，当时，，当时，，时，，当时，，当时，，当时，，当时，，此时，的平均值为；
依此类推，对于集合，的平均值为.
由于，所以，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了集合的新定义，同时也考查了归纳推理，解题的关键就是利用归纳推理得出的表达式，考查推理论证能力，属于难题.
三、解答题
17．已知集合，，若，求的值.
【答案】、或
【解析】解出集合，由得出，然后分和两种情况讨论，在时，可得出或，由此可得出实数的值.
【详解】
解方程，解得或，则集合.
，则.
当时，，合乎题意；
当时，，，或，解得或.
因此，实数的取值有、或.
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求出参数，同时也考查了一元二次方程的求解，解题的关键就是对变系数的一次方程进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
18．设、且，比较两数与的大小.
【答案】见解析
【解析】将两个代数式作差，因式分解，然后对各因式的符号进行判断，可得出两数与的大小关系.
【详解】
.
，.
①当时，，此时，；
②当时，，此时，；
③当时，，此时，.
【点睛】
本题考查利用作差法比较两数的大小，在作差后依次因式分解、讨论符号，然后可判断出两数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19．已知集合，集合，，.
求：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求出集合、，利用交集的定义可得出集合；
（2）求出集合，利用并集的定义得出集合，再利用补集的定义可得出集合.
【详解】
（1），
，因此，；
（2），由不等式的性质可得，
则集合，，
因此，.
【点睛】
本题考查集合交集、并集与补集的混合运算，同时也考查了函数定义域、值域的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
20．若关于的不等式的解集为，的解集为.
（1）试求和；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求的范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【解析】（1）将不等式变形为，然后对和的大小进行分类讨论，解出该不等式可得出集合，将不等式变形为，解出该不等式可得出集合；
（2）对和的大小进行分类讨论，结合列出关于的不等式，解出即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）不等式即为.
①当时，原不等式即为，解该不等式得，
此时；
②当时，解该不等式得或，此时；
③当时，解该不等式得或，此时.
不等式即为，解得，此时，；
（2）当时，，，此时成立；
当时，，，要使得，则有，解得，此时；
当时，，，则，要使得，则，这与矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
因此，存在实数，使得.
【点睛】
本题考查一元二次不等式与分式不等式的求解，同时也考查了利用集合的并集运算求参数，解题时要注意对参数的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；
（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
【答案】（1）“上位点”，“下位点”；（2）是，证明见解析；（3）.
【解析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；
（2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论；
（3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不成立，可得出的最小值为.
【详解】
（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；
（2）点是点的“上位点”，，.
，
点是点的“下位点”，
，
点是点的“上位点”；
（3）若正整数满足条件：在时恒成立.
由（2）中的结论可知，，时满足条件.
若，由于，
则不成立.
因此，的最小值为.
定义与命题范文6
? 关于命题，初中的定义是：判断一件事情的语句叫命题；高中的定义是可以判断真假的语句叫命题．这两个定义都不严格．两个定义中使用的“判断”一词，与语文中通常的意义不尽相同．在逻辑学上，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假．所以，初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的：命题是这样一个语句，这个语句能够判断真假．例如语句“4的平方根是2”，作为一个判断，它是错误的，所以它是命题，是假命题．
? 2 关于“或”、“且”的含义
? 复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p与q，既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论．
例1 （1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1；
q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2，
写出“p或q”．
（2）p：四条边相等的四边形是正方形；
q：四个角相等的四边形是正方形，
写出“p且q”．
错解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
分析：（1）（2）两题中的p、q都是假命题，所以“p或q”、“p且q”也都是假命题，而上述解答中写出的两个命题却都是真命题．错误的原因是：（1）联结了两命题的结论；（2）联结了两命题的条件．
正确的答案是：
（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2．
（2）p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
这两个命题都是假命题．
但是，在不影响命题真值的情况下，又可省略第二个命题的主语，这是符合语言习惯的．
例2?已知p：菱形的对角线互相平分；
q：菱形的对角线互相垂直，
写出“p且q”．
解：p且q：菱形的对角线互相平分且（菱形的对角线互相）垂直．
这个命题中括号内的部分可以省略．
文［1］中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能简写成“4的平方根是2或-2”．
3 关于“非”的含义
“非”的含义有下列四条：
3．1 “非p”只否定p的结论
“非”就是否定，所以“非p”也叫做命题p的否定，但“非p”之“非”只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，这也是“非p”与否命题的区别．所以欲写“非p”应先搞清p的条件与结论．
例3 p：有些质数是奇数．写出“非p”．
错解：有些质数不是奇数．
分析：因为p是真命题，所以“非p”应为假命题，上述命题不假，故答案错．错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚．这个命题的条件是“质数”，结论是“有些是奇数”，正确的解法：先将p写成等价形式，质数有些是奇数，“非p”：质数无奇数．
不是用“不”否定“是”，而是用“无”否定“有些是”．
例4 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实根．写出“非p”?
错解：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实根．
分析：命题p的条件是“方程x2－5x＋6＝0”，结论是“有两个相等的实根”，所以“非p”应否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”应为：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实根．
3．2 p与“非p”真假必须相反
例5 写出例1（2）中命题p的否定“非p”．
错解：非p：四条边都相等的四边形不是正方形．
因为p是假命题，“非p”必须是真命题，而上述命题也是假命题，所以上述命题不是“非p”．
正确答案为
“非p”：四条边都相等的四边形不都是正方形．
“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定，此例的“是”，其含义是“都是”，故其否定为“不都是”．
3．3 “非p”必须包含p的所有对立面
逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集．假定p与“非p”的结论所确立的集合分别是a、b，则a、b必须满足a∪b=u（全集），a∩b=ф．“非p”的结论必须包含p的结论的所有对立面．这一点如果不注意，使用反证法证题时就可能发生错误．因为反证法的理论依据是欲证p为真，可证“非p”为假，如果“非p”不包括p的所有对立面，反证法就站不住脚了．
例6 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实根．写出“非p”．（与例4相同）
正像写一个集合的补集必须先搞清全集一样，这个题目也面临类似的问题．因为实系数一元二次方程的解的情况有三种，任何一种的否定都应该包含另外的两种，所以p的对立面是“方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实根或无实根”．但“非p”不能这样写，而写成等价形式：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实根．
3．4 “非p”必须使用否定词语
写“非p”时还要注意，必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定．
例7 p：方程x2－5x＋6＝0有实根．写出“非p”．
错解：方程x2－5x＋6＝0有虚根．
尽管“虚”是对“实”的否定，但“虚”不是否定词，“方程x2－5x＋6＝0有虚根”仍是简单命题，正确答案为：方程x2－5x＋6＝0无实根．
4 给定一个复合命题，写出构成它的简单命题时应注意的问题
例8 指出构成下列复合命题的简单命题：
（1）实数的平方是正数或0；
（2）4的平方根是2或-2；
（3）方程（x－1）（x－2）＝0的根为1或2；
（4）四边相等且四个角相等的四边形是正方形.
解：（1）p：实数的平方可能是正数；
q：实数的平方可能是0．
注：因为实数的平方只有正数或0两种情况，所以由p、q构成的“p或q”中，“可能”一词就可省略而成为“实数的平方是正数或0”，文［1］中认为它是简单命题，这种认识是错误的．同样，后三个小题的答案为：
（2）p：4的平方根可能是2；
q：4的平方根可能是-2?
（3）p：方程（x-1）（x-2）=0的一个根是1；
q：方程（x-1）（x-2）=0的一个根是2．
（4）p：四边相等的四边形可能是正方形；
q：四个角相等的四边形可能是正方形．
在由p、q写“p或q”、“p且q”时，有些词语可以省略，反过来由“p或q”、“p且q”写p、q时，省略的词语必须补上．而由“非p”写p时，必须先搞清“非p”的条件和结论．
结束语：命题的结构问题是很复杂的，中学只研究结构简单的命题，本文的一些观点只是笔者的一点教学体会，不当之处，欢迎同行专家指正．
参考文献
