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指数函数练习题范文1
三角函数与解三角形
第十一讲
三角函数的综合应用
2019年
1.(2019江苏18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P､Q,并修建两段直线型道路PB､QA.规划要求:线段PB､QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A､B到直线l的距离分别为AC和BD(C､D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P､Q两点间的距离.
2010-2018年
一､选择题
1.(2018北京)在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当,变化时,的最大值为
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2016年浙江)设函数,则的最小正周期
A.与b有关,且与c有关
B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关
D.与b无关,但与c有关
3.(2015陕西)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为
A.5
B.6
C.8
D.10
4(2015浙江)存在函数满足,对任意都有
A.
B.
C.
D.
5.(2015新课标Ⅱ)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数,则的图像大致为
A
B
C
D
6.(2014新课标Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为
A.
B.
C.
D.
7.(2015湖南)已知函数则函数的图象的一条对称轴是
A.
B.
C.
D.
二､填空题
8.(2016年浙江)已知,则=__,=__.
9.(2016江苏省)
定义在区间上的函数的图象与的图象的交点
个数是
.
10.(2014陕西)设,向量,若,
则_______.
11.(2012湖南)函数的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.
(1)若,点P的坐标为(0,),则
;
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC内的概率为
.
三､解答题
12.(2018江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.
(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.
13.(2017江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm.
分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.
现有一根玻璃棒,其长度为40cm.(容器厚度､玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;
(2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.
14.(2015山东)设.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)在锐角中,角,的对边分别为,若,,求面积的最大值.
15.(2014湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)的变化近似满足函数关系:,.
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温?
16.(2014陕西)的内角所对的边分别为.
(I)若成等差数列,证明:;
(II)若成等比数列,求的最小值.
17.(2013福建)已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.
(1)求函数与的解析式;
(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.
(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.
专题四
三角函数与解三角形
第十一讲
三角函数的综合应用
答案部分
2019年
1.解析
解法一:
(1)过A作,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.＇
因为PBAB,
所以.
所以.
因此道路PB的长为15(百米).
(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,联结AD,由(1)知,
从而,所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设为l上一点,且,由(1)知,B=15,
此时;
当∠OBP>90°时,在中,.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+(百米).
解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,−3.
因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(−4,−3),直线AB的斜率为.
因为PBAB,所以直线PB的斜率为,
直线PB的方程为.
所以P(−13,9),.
因此道路PB的长为15(百米).
(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(−4,0),则EO=4
②若Q在D处,联结AD,由(1)知D(−4,9),又A(4,3),
所以线段AD:.
在线段AD上取点M(3,),因为,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设为l上一点,且,由(1)知,B=15,此时(−13,9);
当∠OBP>90°时,在中,.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(−13,9),Q(,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离
.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(百米)
2010-2018年
1.C【解析】由题意可得
(其中,),,
,,
当时,取得最大值3,故选C.
2.B【解析】由于.
当时,的最小正周期为;
当时,的最小正周期;
的变化会引起的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选B.
注:在函数中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍数.
3.C【解析】由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C.
4.D【解析】对于A,当或时,均为1,而与此时均有两个值,故A､B错误;对于C,当或时,,而由两个值,故C错误,选D.
5.B【解析】由于,故排除选项C､D;当点在上时,.不难发现的图象是非线性,排除A.
6.C【解析】由题意知,,当时,;当时,,故选C.
7.A【解析】由,
得,所以,所以,
由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同,
令,则,所以函数的图象的对称轴为
,当,得,选A.
8.
【解析】,所以
9.7【解析】画出函数图象草图,共7个交点.
10.【解析】,,,,
.
11.(1)3;(2)【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时;
(2)曲线的半周期为,由图知,
,设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,
由几何概型知该点在ABC内的概率为.
12.【解析】(1)连结并延长交于,则,所以=10.
过作于,则∥,所以,
故,,
则矩形的面积为,
的面积为.
过作,分别交圆弧和的延长线于和,则.
令,则,.
当时,才能作出满足条件的矩形,
所以的取值范围是.
答:矩形的面积为平方米,的面积为
,的取值范围是.
(2)因为甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,
设甲的单位面积的年产值为,乙的单位面积的年产值为,
则年总产值为
,.
设,,
则.
令,得,
当时,,所以为增函数;
当时,,所以为减函数,
因此,当时,取到最大值.
答:当时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.
13.【解析】(1)由正棱柱的定义,平面,
所以平面平面,.
记玻璃棒的另一端落在上点处.
因为,.
所以,从而.
记与水平的交点为,过作,为垂足,
则平面,故,
从而.
答:玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.
(
如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)
(2)如图,,是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义,平面
,
所以平面平面,.
同理,平面平面,.
记玻璃棒的另一端落在上点处.
过作,为垂足,
则==32.
因为=
14,=
62,
所以=
,从而.
设则.
因为,所以.
在中,由正弦定理可得,解得.
因为,所以.
于是
.
记与水面的交点为,过作,为垂足,则
平面,故=12,从而
=.
答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)
14.【解析】(Ⅰ)由题意
.
由(),可得();
由(),得();
所以的单调递增区间是();
单调递减区间是().
(Ⅱ),,
由题意是锐角,所以
.
由余弦定理:,
可得
,且当时成立.
.面积最大值为.
15.【解析】(Ⅰ)因为,
又,所以,,
当时,;当时,;
于是在上取得最大值12,取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为,最低温度为,最大温差为
(Ⅱ)依题意,当时实验室需要降温.
由(Ⅰ)得,
所以,即,
又,因此,即,
故在10时至18时实验室需要降温.
16.【解析】(1)成等差数列,
由正弦定理得
(2)成等比数列,
由余弦定理得
(当且仅当时等号成立)
(当且仅当时等号成立)
(当且仅当时等号成立)
即,所以的最小值为
17.【解析】(Ⅰ)由函数的周期为,,得
又曲线的一个对称中心为,
故,得,所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
(Ⅱ)当时,,,
所以.
问题转化为方程在内是否有解
设,
则
因为,所以,在内单调递增
又,
且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,
即存在唯一的满足题意.
(Ⅲ)依题意,,令
当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,
现研究时方程解的情况
令,
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
,令,得或.
当变化时,和变化情况如下表
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
指数函数练习题范文2
一、信息技术整合使学生由“被动地接受知识”转向“主动构建新知识”
由于信息技术的发展，使得在信息工具所营造的认知环境中，学生可以从一种新的角度去探究数学问题，在一种动态变化的过程中去认识数学概念的本质。信息技术的参与使得学生所面对的数学对象和数学过程的性质发生了改变，这样必然会引起学生对数学概念本质的认识过程变化。在这样的认知环境中，操作、试验、猜想、发现等过程都变得具体而清晰，数学思维的目的性大大增强，这就使得学生通过自主的、积极主动的数学思维，成功地构建数学概念、解决数学问题的可能性大大增加。
［案例一］
利用 TI图形计算器研究指数函数的图形和性质。
［问题提出］
研究指数函数的图像和性质。
［研究过程］
1．教师分配任务、组织教学。
教师：今天我们的主要任务是研究指数函数的图像和性质。研究的方式是分组讨论，前后排四个同学一组，先讨论研究的方案，然后具体实施，最后由一个同学汇报研究的结果。汇报的内容包括：（ 1）研究方法；（2）研究结果；（3）研究过程中的问题。
2．学生代表汇报。
（ 1）研究方法：我们组的研究方案是先对指数函数的底数赋予几个特殊值，然后利用TI图形计算器画出它们的图像，观察图像，猜想指数函数的性质，然后再设法证明结论。
令 a＝2，3，0.9，0.1，4.5，函数y＝a x 的图像如下（图 1）：
图 1
（ 2）研究结果（表1）。
表 1指数函数的图像特征和性质分析
（ 3）研究过程中的问题。
①个别学生的研究选择具体函数太少，难以达到从特殊事例猜想出一般规律的效果。
②个别学生在选择参数的值时，只考虑了 a＞1一种情况，从而使研究陷入片面的状况。
（ 4）意外收获。
①有的学生在考虑参数 a的取值时注意选取数据之间的关系。比如有的小组选取a的值为2和，6和，由于互为倒数，结果画出图像之后发现除了刚才的结论还有一条规律：底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称（图2）。
图 2
②有的学生发现指数函数的图像虽然都在 x轴上方，但它们对于x轴的倾斜程度是不一样的。这与底数a的取值有关。结果又发现一条规律：在第一象限，随着底数a的取值的增大，指数函数的图像越来越陡。有些学生操作几何画板的技术比较高，能演示当底数a连续变化时指数函数的变化情况，这更容易观察出这个规律。
3．在教师启发下，利用所学的知识证明结论。
［案例小结］
在本案例中，教师在信息技术的支持下摒弃了传统的“教师讲、学生听”的“被动式接受知识”的模式，组织了一堂生动活泼的学习活动课。学生通过自己操作图形计算器，亲身经历了知识的发生过程，再通过同学之间的“协作”“交流”，完成了对指数函数的认识──意义建构。从始到终教学活动充分体现了学生的主体地位。不仅如此，通过学生主动的认知活动，除了发现课本上已有的结论，还有其他一些额外的收获，这是传统的教学方式所不能达到的效果。在信息技术环境中，设计开放性的教学过程，可以在真正意义上实现学生的学习方式从“听讲式”“接受式”到“探究式”“研究式”的转变。
二、信息技术整合使学生由“学数学”向“用数学”转变，为学生进行数学建模活动提供了有力的保障
数学建模活动是由对实际问题进行抽象、简化、建立数学模型、解释验证等步骤组成的过程。在中学开展数学建模活动势必会对学生的数学学习方式产生深远的影响。首先，学生生活中大量的实际问题被转化为数学模型，使学生感受到数学无处不在，改变了过去为“学”而“学”的观念，重视数学知识的应用。其次，鲜活的实际问题、变化多样的数学模型大大地激发了学生的学习兴趣，使得数学学习更具挑战性。最主要的是从学习方式看，作为建模活动的参与者，学生不再满足于充当被动接受的角色，而是主动地设计和建构自己的数学模型，在实践中展示自己驾驭数学解决问题的勇气、才能、个性和创造性。数学建模活动给学生们再现了一种微型的科研过程，它对学生的能力和素质提出了更高层次的要求。
信息技术的发展为学生进行建模活动提供了有力的保障。在数学建模活动中有很多工作需要信息技术的参与，如需要强大的计算功能、数据处理功能、模拟功能、资料检索功能……通过信息技术与数学教学的整合，使学生可以顺利地完成数学建模活动。
三、信息技术整合使学生由“接受式学习”转向“研究性学习”
“研究性学习”是与“接受式学习”相对的一个概念。传统的“接受式学习”最大的弊端就在于缺乏对学生的主体性与探究性的培养，而“研究性学习”注重培养学生独立思考、自主学习的能力，它使学生积极主动地去探索、尝试，去谋求个体创造潜能的充分发挥。它将学生的需要、动机和兴趣置于核心地位，鼓励学生自主选择、主动探究。“研究性学习”使学生学习的重心不再仅仅放在获取知识上，而是转到学会学习、掌握学习方法上。这种全新的学习方式对于培养学生创新精神和实践能力，完善学生的基本素质具有重要意义。
研究性学习的一种常见模式是问题探讨模式，它分成四个阶段，即确定问题情境、提出解决方案、搜集资料验证假设、得出结论。信息技术的参与，可以帮助学生开展这四个阶段的活动。计算机网络、图形计算器、几何画板软件等强大的资料搜集功能、作图功能、动画演示功能、数据处理功能、计算功能，使得学生比较容易从某个问题的情境中发现研究的目标，解决方案的提出、搜集资料验证假设更离不开信息技术的参与。基于信息技术的研究性学习模式是一个新的命题，它是信息技术与研究性学习的整合，它可以真正实现自主探究、协作学习、个性化学习的共同完成。
［案例二］
利用 TI图形计算器研究抽象函数图像的对称性以及它与周期性之间的关系。
［问题提出］
练习题：设函数 y＝f（x）定义在实数集上，则函数y＝f（x－1）与函数y＝f（1－x）的图像关于对称。
学生在学完函数图像的知识后解决这类问题仍感到困难，在教师的提示下学生找了 f（x）的一个具体模型：令f（x）＝2x，然后用TI图形计算器画出y＝f（x－1）和y＝f（1－x）的图像，接着观察这两个图像的对称性，得出结论后，再寻找理论依据（图3）。
这个问题解决了，是否其他抽象函数图像对称性的问题也能顺利解决呢？为了让学生真正弄懂有关抽象函数图像对称性的问题，我将此课题留给学生研究。
图 3
［问题研究］
学生在课后积极开动脑筋，主动探索，他们从上述练习题的解决入手，通过讨论将问题加以延伸，得到以下问题：
设函数 y＝f（x）定义在实数集上，那么：（1）函数y＝f（x－2）与函数y＝－f（2－x）的图像关于 对称。（2）函数y＝f（x－a）与函数y＝f（b－x）的图像关于 对称。（3）函数y＝f（x－a）与函数y＝－f（b－x）的图像关于 对称。（4）若函数y＝f（x）满足f（1－x）＝f（1＋x），则函数y＝f（x）的图像关于 对称。（5）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图像关于 对称。（6）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（b－x），则函数y＝f（x）的图像关于 对称。（7）若函数y＝f（x）有两条对称轴，则函数y＝f（x）有什么性质？若函数y＝f（x）有一条对称轴和一个对称中心，则函数y＝f（x）有什么性质？
［问题解决］
借助图形计算器的帮助，学生们将上述问题一一解决。
1．研究方法。对于问题（1）（2）（3），学生按照解决引例的模式来做，先寻找y＝f（x）的具体模型，然后用TI图形计算器或计算机作出上述函数的图像，再观察或通过测算得出结论。对于含字母系数的问题，学生通过对参数赋特殊值转化为具体问题来解决，然后由特殊到一般总结规律。
对于问题（ 4），学生通过观察等式的代数特征可知当函数自变量关于1对称时函数值相等，得出函数图像的对称轴，将这个结论一般化即可解决问题（5）（6）。
问题（ 7）的代数推理模式学生很难想出，他们借助TI图形计数器或计算机画出满足条件的函数图像，即可直观地得出结论（图4．图5）。
图 4
图 5
3．证明结论（略）
［案例小结］
指数函数练习题范文3
一、对定义、概念型问题的教学变式
如：高中数学人教A版必修（1）中指数函数及性质的教学。课上，学生学习了指数函数的（描述性）定义后，引导学生对y=ax（a>0）进行深化变式。
变式1：y=-2.3x还是指数函数吗？
变式2：y=（■）-x是指数函数吗？
以上老师通过对y=ax（a>0）变式，使学生进一步发现指数函数的本质属性，把指数函数的概念放到一定的系统、关系和结构中来学习，使学生不断完善指数函数的认知结构。
再如讲授函数周期时，对于函数f（x），存在非零常数T使得函数f（x+T）=f（x），则T为函数的周期。
变式1：对于函数f（x）存在非零常数a（a≠0）使得函数f（x+a）=f（x-a），则函数的周期是什么？
变式2：对于函数f（x）存在非零常数a（a≠0）使得函数f（x+a）=-f（x），则函数的周期是什么？
二、对定理、结论型问题的教学变式
如：高中数学人教A版必修（5）中：均值不等式■≥■，其中a>0，b>0（当且仅当a=b时取“=”号的教学。原题：（耐克函数）已知x>0，求函数f（x）=x+■的最小值，并求此时x的值。
变式1：（对勾函数）已知x∈R，求函数f（x）=x+■的最小值。
变式2：已知x>2，求函数f（x）=x+■的最小值。
均值不等式是高中阶段的一个重点，但学生在使用时很容易忘记定理使用的条件――“一正二定三相等”。通过变式训练，使学生由浅入深地理解和掌握了条件，为定理的正确使用打下了坚实的基础，为高效课堂创造内涵。
三、对例题、练习题型问题的教学变式
如：高中数学人教A版选修2-1中已知椭圆C：■+■=1，和直线l：4x-5y+40=0，在C上求一点使它到直线l的距离最小，并求其最小值。
变式一：（数形结合）与l平行的直线系4x+5y+m=0中有两条直线l1，l2分别与椭圆相切，两平行线l与l1，l与l2间的距离分别为椭圆上的点到直线l的最大值和最小值。易得d=■。
变式二：（换元法或参数法）可设椭圆上任意一点P（5cosα，3sinβ），则点P到直线l的距离由点到直线距离公式可求。
在变式教学中，充分重视对教材例题的挖掘，采用多样化教学方法和教学模式，提高课堂教学的有效性。
四、对探究型问题的教学变式
如：在椭圆C：■+■=1上求一点，使它与两焦点F1，F2的连线互相垂直。
变式1：满足题中条件的点P对任意椭圆是否都有4个？（c>b时，这样的点P有4个，c=b时，这样的点P有2个，c
变式2：满足题中条件的点P恒在椭圆内部，试求离心率的取值范围。课堂教学中，教学方法和教学模式是多样化的。我们在探究、研究问题时，应该让学生发现问题变式的角度与思考的方法，这是授学生以“渔”的重要方法。
指数函数练习题范文4
关键词：高中数学教学隐性分层教学
在一个班集体中，学生各方面都存在着一定的差异.在高中数学教学中，如果教师使用统一的教学方式，就无法满足不同层次学生的学习需求，对每个学生的发展有着一定的影响.在高中数学教学中，教师应根据学生的实际学习情况分别在小组讨论、授课过程、作业布置等方面进行分层教学，从而提高教学效果.下面就在高中数学教学中开展隐性分层教学谈点体会.
一、在备课时分层
备课是开展教学的基础工作.在备课时，教师要将学生学习基础和能力的差异分为三个层次，使每个学生学习内容符合自身的实际水平.这样，教学中教师可以及时了解优等生、中等生和后等生对知识的掌握程度.在备课过程中，教师要明确不同层次的学生学习的重点内容，根据不同层次学生设计出不同的教学目标，引导优等生学习，激发中等生和后进生对数学的兴趣.例如，对“指数函数”备课时，教师可以将学生分成优等生、中等生和后等生，然后对每个层次的学生进行备课，中等生的学习目标是掌握函数的定义域、值域、图象，能够证明指数函数的单调性；后进生的学习目标是掌握函数的基础知识；优等生的学习目标是对指数函数的变式内容进行了解.
二、在教学过程中分层
在数学教学中，如何进行隐性分层式教学是每个教师所关注的问题.在教学中，对中等生的教学主要以掌握基础知识为主，对后进生要适当降低难度，而对于优等生就需要拓展教学内容，使学生能够获取更多的知识.在课堂提问环节中，让优等生回答思维难度较高的问题，中等生回答难度适中的问题，后进生回答简单的问题，让每个学生都能获得成功的喜悦.例如，在讲“生活中的优化问题举例”时，教师要让学生掌握导数知识，并利用导数知识解决生活中问题.教师可以给出如下题目：制作一个圆锥型漏斗，其中母线长为30cm，要使其体积最大，则其高应为多少厘米？在学生解这道题时，教师先让学生掌握函数导数，然后进行提问，主要让学生描述函数求导的过程.比如，求导y=2x2+4ex.教师可以提出问题，让学生思考函数求导的过程.对中等生提问：在这道题中怎么引入函数，设置哪个未知数比较有利于函数的建立；对于优等生，就需要让学生详细描述这道题的解题思路.在讲解过程中，教师要针对不同层次的学生进行讲解，使教学效果从整体上得到提高.
三、在小组讨论中分层
小组讨论是提高学生自主学习能力的有效方法.由于学生的各个方面存在着一定的差异，教师要进行分层教学，使每个学生的数学知识得到提高.在小组讨论教学中，教师要根据学生的个体差异设置不同的讨论目标，使每个学生都能展示自身的优势.教师要设置平等、民主的教学方案.在小组活动中，教师要鼓励学生互帮互助，使每个学生都能提高自身的数学水平.在学生完成小组任务后，教师要给予学生相应的鼓励，提高学生学习的积极主动性，并对学生的错误及时进行纠正，从而提高数学教学效果.
四、在布置作业时分层
布置作业也能体现分层教学的有效性，可以检测学生掌握知识的程度.在布置作业时，教师要根据学生的基础水平与学习能力进行作业的布置，使每个学生都能达到训练的目的.教师要注意练习题的难易程度，对后进生布置较为简单的题目，中等生以完成基础知识为主，优等生以培养思维为主.例如，在讲“圆锥曲线”后，教师要对不同层次的学生布置相应的作业.对于后进生，主要对椭圆、双曲线以及抛物线的基本公式进行练习，能够识别这三种圆锥曲线的各种变形；对于中等生，主要要对圆锥曲线的基础知识进行训练，掌握理论知识，并能够解答圆锥曲线和直线的结合题型；对于优等生，主要练习关于圆锥曲线的综合题型.
综上所述，在高中数学教学中，隐性分层教学是一种有效的教学方法.在备课时分层，根据学生的实际水平制定不同的教学目标；在教学过程中分层，使学生全面掌握数学知识；在小组讨论中分层，提高学生自身的数学水平；在布置作业时分层，使每个学生都能得到训练.只有这样，才能提高高中数学教学效果.
参考文献
指数函数练习题范文5
【关键词】新课程；问题情境；创设
随着《普通高中数学课程标准（实验）》的实施，《课程标准》理念也在广大师生中逐步深入。新的课程标准强调：“学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者”。教师要从一个支配者的权威地位，向数学活动的组织者、引导者、合作者的角色转换，表面上看似乎压缩了教师的“空间”，实际上是对教师提出了更高的要求。现在要求“从学生实际出发，创设有利于学生自主学习的问题情境”，引导学生实践、思考、探索、交流，经历数学知识的形成和应用的过程，并在这个过程中鼓励学生自主探索和合作交流，促进学生个性发展。在这一过程中，关键在于创设合理的问题情境，让学生置身于问题的情境之中，营造一个激励探索和交流的氛围，促进学生主动获取知识，并且不断地丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习。
一、导入新课时创设情境
1.以旧引新，复习与新课有联系的旧知识，引入新知识。
当新旧知识联系较紧密时，用回忆旧知识来自然的导入新课。这种方法导入新课，既可以复习巩固旧知识，又可把新知识由浅到深、由低层次到高层次地建立在旧知识的基础上，从而有利于用知识的联系来启发思维，促进新知识的理解和掌握。
2.借助计算机多媒体教学手段，直观演示、探索、发现，调动学生的思维和学习兴趣。
在新知识教学引入时，根据教学内容，重视直观演示、实验操作，就会使学生感兴趣，就能较好地为新知识的学习创设思维情境。如利用《几何画板》、《PowerPoint》等软件动态的演示函数图象，形象直观的效果，调动起学生的学习兴趣。
例如：分析函数y= +x的性质：
由于此函数不是基本函数，我们没有对其进行系统的学习，只能结合其图象进行分析，用几何画板绘出该函数的图象通过图象分析总结函数的性质：
单调增区间：（-∞，-1）（1，+∞）；单调减区间：（-1，0）（0，1）
最值性：当x∈（-∞，0），x=-1时，ymax=-2；当x∈（0，+∞）时，x=1时，ymin=2。
二、教学过程中创设问题情境
在教学过程中问题情境的创设尤为重要。教学过程中创设问题情境可采用以下方法：
1.从学生的知识经验出发创设问题情境
“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上”。
学生的知识经验出发创设问题情境，既可以复习巩固旧知识，又可以强化新旧知识的联系，培养新知识的增长点，形成良好的认知结构，并在这个由简单到复杂的知识发展过程中，培养学生的探索和合作交流能力。
例如在《对数函数的图象和性质》教学设计中，一般先复习指数函数的图象和性质，然后让学生自己研究。大多数同学类比指数函数性质的研究方法，观察图形特征，总结出对数函数的一般性质。教师为了启发学生突破思维定势，让学生探讨：不作图象能否得出对数函数的性质？这是一个很有挑战性的问题。根据指数函数的性质直接映射出对数函数的性质，这一方法展示了学生对知识的深刻理解，反映出更高层次的思维水平。发现学生思想的火花，激发学生思考，培养学生的创新思维，这正是我们追求的教学目标。
2.从学生的生活经验出发创设问题情境
中国著名的教育家陶行知先生说过“生活即教育”。利用学生听说过的，看见过的或者亲身经历过的生活素材创设问题情境，学生感到亲切，对提出的问题往往都会跃跃欲试，从一开始就能充分调动学生的学习积极性。
例如在《直线与平面垂直的判定》教学设计中，让学生们讨论如何确保旗杆与地面垂直，畅所欲言，都积极地投入到探索之中，充分调动学生的学习积极性。最后大家一起总结“直线与平面的判定定理”。这一方法通过设计问题情境，为学生提供实践的机会，搭建活动，使学生对知识的理解和应用都有很大的好处，展示了学生的主观能动性，培养了学生的创造性思维，加深了对知识点的理解和运用，这也正是我们的教学目标。
三、在练习和小结中创设思维情境
学生在练习中出错当然不是我们所希望的，但学生出错又很难避免。学生练习中的错误，尤其是较为共性的错误，往往反映教学中的疏漏或学生认知上的缺陷。从学生练习中的错误出发，创设问题情境，往往能更有效的加深学生的印象，改正错误。因此要有目的，有选择性地安排课堂练习，一是通过“制错找因”，创设问题情境。练习中，根据所讲内容选编一些选择题或判断正误题，并要学生找出错误原因。二是编选变式题，使学生在不同的情境中把握概念的本质属性。三是编选的课堂练习要体现出一定的思维层次性，先浅后较深。
例如：在《椭圆的标准方程》的教学设计中，练习题：椭圆 + =1的焦距是2，则实数m的值是____。
很多同学的答案是5，他们往往不考虑椭圆的焦点的位置，默认在轴上，这显然是不正确的，考虑不全面，产生了漏解。正确的答案是5或3。
以上仅是在教学中创设问题情境的点滴体会，事实上，创设问题情景的方式很多，不管用哪种方式来创设，只要在教学中贯切了启发式的教学思想，激发了学生的学习信心，让学生积极主动地参与教学活动，这就是我们数学教学所应努力追求的目标。
指数函数练习题范文6
[关键词]启发思维 师生互动、由浅入深、深入浅出 课堂教学等
技工学校的生源状况：普通高中逐年扩招，学生生源也逐年减少，造成初三学生中成绩中等以上（个别地区甚至是中下生）的学生都进入了高中学习，余下的下层生就是技工生了。技工学校学生的数学基础状况：这些学生在中学阶段成绩最差的就是数学和英语，学生数学基础起点低，差异大，厌学现象严重。大批数学基础薄弱的学生“望数生畏”，游离于数学学习之外。去年有一个学生曾对我说；“我以为读技工没有数学课上的，早知还要学数学， 就不来读了”，由此可见技工生的“恐数”心理有几严重。所以技工数学教育正面临着前所末有的困惑和挑战。我经过几年的技工学校数学课堂教学的研究探索，得出以下几点体会：
一、用具体、生动的例子或悬念吸引学生注意
上一堂课等于演一场戏，要让观众能够专注地从头看到尾，首先开场就要能够引起观众的注意，吸引观众。课堂教学，就是老师导演的一场戏，学生就是观众。学生能否沿着老师的指挥棒上好这节课，开头能否把学生的注意集中到老师身上是致关重要的第一步。文科类老师常用谈话、讲故事、提问、放电教片等手段来实现；物理化学老师会用实验、放电教片等手段来实现；而数学课因为它自身的特点，用上述方法难以奏效。如何把学生引上数学学习舞台上呢？用与本课堂知识有关的具体、生动的例子或者设置一个悬念去吸引学生的注意力，使学生开始就产生一种新鲜感、求知欲，从而等待新知识或往下追。例如：讲集合的概念时，可以这样：同学们，现在把我们班的全体同学集中在一起或者把所有的三角形放在一起，这是一个什么样的数学问题？我们能正确地用数学语言描述它吗？这时学生会集中注意想或小声议论，同学集中在一起易理解，但如何能把所有的三角形放在一起呢？三角形有无数个呀（自问）？学生产生了抽象感、有异问、有好奇。这样有的学生就会耐心等待答案、有的学生就会往下想（猜）。又如：学习幂函数、指数函数内容时，向学生提出这样一个既现实又末解的悬念：同学们，几年后我们都会成家立业，供房养车。现设一房子，价值五十万元，第一期付款二十万元，余款分十年供养，房贷月利率为0.58%，问平均每月需要供多少元？这样会立时吸引学生的注意和兴趣，正当学生议论纷纷时，老师给他们一个末解的答案：这与我们现在学习的幂函数、指数函数问题有关。悬念会引带学生学习完幂函数、指数函数部分。
二、用幽默的语言提起学生的精神
著名的艺术大师候宝林、黄振英等的相声节目深受国民的喜爱，百看不厌，为什么？就是因为他们的语言幽默。这种幽默很能给观众带来笑声，提起观众的精神，给观众一个愉。课堂教学也是一场戏，这场戏的导演是教师，演员是学生和老师。观众是学生，能否给观众提起精神，就要靠导演（老师）了。我们作为课堂上的导演兼演员，在课堂教学过程中适时地带点幽默语言，适时地把学生分散了的注意（学生在课堂上很容易分散注意的）再度集中起来，提起学生的精神，为课堂增加一点气氛，对本课堂的教学效果会产生较大的作用。这个幽默不是固定在某个时段，而是贯穿于整个课堂。但要适时适“候，”不要勉强、哗众取宠，整堂课闹笑话，否则，不但得不到我们要的效果，还会使学生产生厌恶感。
三、用提示、疑问、点到即止的方法启发学生思维
在课堂教学中，大多数老师只是在课堂上把要讲授的知识、方法简单直接地“灌输”给学生，把结果直接告诉给学生，即是授之以鱼，不是授之以渔。特别是对基础较差的技工学生，往往如此，认为只要求学生能记住知识就行，其结果恰恰相反。这样长期下去，学生就会产生一种依赖思想，不愿意用脑子思考问题。同时，学生靠“灌输”得来的知识会很快忘记，并且学生的学习能力得不到培养。所以，要使整个课堂教学处于活跃状态，在40分钟内不让学生有“闲”，要激发学生的的学习情绪，培养学生的思维能力 ，就要在讲授知识时不急于“灌”，而重于“钩”、“引”，适时提出疑问、适时提示，点到即止，充分让学生去思考，引导学生去“追”、去寻求答案。让学生多体验下自己的“成功”感，唤起学生的自信心、自尊心。例如：为使学生理解集合的概念，我给出以下练习：判断下列语句是否构成集合。1、12春汽修2班体重不少于50公斤的同学；2、12春汽修2班体重较重的同学；先让学生思考 ，再提问，提问后我还不作出结论，而是提示学生回顾描述集合概念时，集合中的对象应满足什么条件（确定性）？这两个语句中的对象是否符合这个条件？这样点到即止，让学生自己去讨论、思考 、判断。还末明白的，留下疑问。让他们继续讨论。
四、师生互动，活跃课堂气氛
一堂课的成功与否，课堂效果的大小，与本课堂
教学过程中课堂气氛程度分不开的。要活跃课堂气氛，必须要师生互动，就象演戏，主角与配角互动配合，戏才能演得精彩。技工学生本来就基础差，怕学习、懒学习，如果还用过去的传统的教学模式---老师“灌”完知识，就让学生练习。会造成老师授课他听不懂，要他练习他不会，咬住笔头无从下手，渐渐地把他们带到“周公”哪里（即睡觉），老师的“表演”成为学生的催眠剂。师生互动其目的就是使学生在40分钟内保持活跃状态，不让学生的脑休息。师生怎样互动？我个人认为：就是老师在授课时不是只顾罗列知识、滔滔不绝地“灌”，而是适时留有空间让学生疑问、思考、消化，老师适时提问（不是简单的一问一答），让学生探索、追寻。使学生的思维沿着老师的指挥“棒”转；在堂上练习时，适时提示，下到座位督导、辅导等活动。在心理上给学生一种关心、鼓励；在学习上给学生一种启发；在行为上给学生一种帮助。例如，我在讲授指数函数图象和性质时，先由学生用描点法作出函数y=2x和y=（ ）x的图象，再让学生草画函数y=3x和y=（ ）x的草图，并与y=2x和y=（ ）x的图象比较，问有什么结果？通过观察比较，再帮助学生分析、归纳出y=ax（a﹥1）和y=ax（0﹤a﹤1）的图象的形状；然后让学生观察这两图象，一个个问题提问学生，让他们回答函数图象的几个特征，最后得出函数的性质；接着给出练习：比较下列两个数的大小；1、30.3与30.4；2、（0.3）-2与（0.3）-3；3、3-2与0.1-1，由学生练习运用；并提示学生注意同底与不同底应如何运用知识解决。整个教学过程充分让学生动起来，使学生无机会在课堂上睡觉。
五、用由浅入深，深入浅出的方式帮助学生理解知识
技工学生数学基础甚低，“望数生畏”现象突出，对数学知识很难理解和掌握。“畏”来自于“难”，所以要解决学生的“畏数”现象，就要千方百计帮助学生理解数学知识，使他们觉得学习数学不难、可学、能学、想学，在数学上有成功体验。要达到这个目的，在课堂教学中老师对数学知识的引入要做到：由浅入深导出新知识，再深入浅出帮助学生理解新知识。即给他们一点“甜头”把学生“诱”进数学迷宫，在迷宫里锤炼一下，再把学生从迷宫中带出来，让学生感觉学习数学轻松，从而提高他们对学习数学的自信心，逐步消除“畏数”心理。例如，在讲授函数概念时，我设计这样的问题“诱”学生入“宫”：我们到果摊上买萍果，萍果单价是每斤3.5元，买2.5斤要多少钱？ 买4.5斤呢？这个买卖过程有哪两个变量？这两个变量有什么关系？这样“诱”出函数概念，对函数概念正确描述（这时学生对函数概念还末正确理解），然后再由函数表达式y=f（x）设置习题：已知函数f（x）=2x2-1，求：f（-1），f（0），f（3），把学生从抽象的函数概念中带出来，使学生理解函数概念。
六、用严谨、简炼的语言帮助学生归纳、总结知识；用恰当、生动、形象的比如，帮助学生巩固、记忆知识
在课堂教学中，对知识的归纳总结是课堂教学的重要环节，是评价课堂教学的标准之一。为使学生对本课时学习过的知识系统理解，必须引导学生用严谨、简炼的语言，用恰当、生动、形象的比如对知识进行归纳、总结（不是老师课后把知识结论对学生直接给与）。其目的不仅如此，更是为了帮助学生巩固、记忆知识，令他们过耳不忘。例如，在学习不等式（组）解集时，对型如： （a﹥b） x≥a； （a﹥b） x≤b； （a﹥b）
b≤x≤a的公共解集，编成这样一个顺口流：大大取大，小小取小，一大一小（指不等号）取中间，使学生易学易记。
七、设置层次性、科学性的练习，让每个学生都学有所得
技工学生数学基础差异大，几年来我对他们进行了调查得到；数学基础稍为好点的只有10%左右；50%的技工生数学基础差；40%的学生无数学细胞。要想提高技工生的数学素质，使各层次的学生都能学数学、学有所得，在课堂教学中，必须要因材施教。在课堂上分层教学，合理设置层次性练习，使各层次的学生都有得学、能够学、学得会，使每个学生都无“懒”可偷。例如，我在讲授函数单调性证明时，给出例题，证明：y=x2在（-∝，0）上是减函数。然后布置分层次练习，一部分模仿例题证明y=x2在（0，+∞）上是增函数，另一部分同学（基础稍好部分）增加练习：证明y=x3在（-∞，+∞）上是增函数，这样各层次学生都有“工”做，既使基础较差的同学能够学到一点知识，又能使个别基础较好的同学有进一步的学习空间，各有所得。
通过课堂教学提高技工学生的数学教育素质，是我们数学教师的一个重要研究课题。我五年的技工数学教学探索到以上几点心得，仅供同行们参考，并敬请同行斧正。
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