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函数最值的应用范文1
俗话说得好：“学好数理化，走遍天下全不怕”，我们在讲解数学知识的过程中也要充分和实践相结合。综合分析多年来的单招高考试题，不难发现，试卷的重难点大多集中在函数这一章节。函数知识点灵活，和中职所学的很多知识都有关联，均值定理是中职数学的重要组成部分，在单招高考中占有一定的比重，成为单招高考的高频考点，总能以各种形式出现在单招高考的舞台上，成为考验学生综合能力素养的体现。因而，我们教师如何将均值定理运用于函数最值这一个知识点讲得通透准确显得尤为关键，下面给出常规的例题讲解和教学方法。
一、指导学生多种解题思路，避免出题陷阱
例1 求函数f（x）=+x（x
对于均值问题， 最常规的解题思路是直接套用公式，但是很多学生往往忽视使用公式的前提条件，忽视“一正，二定，三相等”这一前提，因此在解答这道题时很多初学者会犯一类错误，直接由均值定理得出答案是2，但很明显，当x
例2 如果a>b，ab=1，求的取值区间。
这类题我们首先应该观察所求表达式本身的分子与分母的关系， 通过使用配凑法以及取公因式得到新的函数，根据题目所给条件，确定a>b，a-b>0确保了“一正，二定，三相等”的使用原则，令x=a-b=a-，则f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值区间。在解决此类题的过程中，最重要的是引导学生简单地分析题目的条件，根据所给关系式运用配凑法等找出解决题目的核心，然后判断题目所给的既定条件是否符合均值定理的使用原则，找出核心的关系式是解决此类问题的关键。其实之所以均值问题会成为单招高考中的杀手锏，是因为学生不能够根据题目条件很迅速地确定答题关键，找出核心的关系式。因此，我们针对学生出现的这类问题，需要适时地调整我们的教学方法，尽量做到一题多解，并且指导学生掌握正确的学习方法，这对后期的学习会有更大地帮助。
二、明确学习目标，结合各地单招试题分析
很多学生对单招高考比较迷茫，对数学知识点更是没有很好地把握。因此，我们教师要分析各地多年来的高考试卷，结合单招改革的形式，搜集有关的试题，结合例题讲解，让学生理解并学会应用均值定理解决函数最值问题。教学过程中，我们要考虑学生的接受能力，步步为营、稳扎稳打，在学生平时的学习过程中穿插一些高考题，让他们对高考有个简单的了解，并且在讲解的过程中要注意学生的解题思路，很多学生乍一看答案都是对的，但是很多都是误打误撞的，并没有准确地理解定理运用的前提，这是解题的大忌，要做到精细和准确两手抓，确保学生明确均值定理后再开始运用。
笛С杉ê玫难生并不是老师教出来的，学习最重要的过程是反思和将知识内化，彻底理解并形成自己的思维模式才是最难能可贵的，因此我们要指导学生掌握科学的学习方法，尤其是在均值定理这一个知识点中。首先，学生得明确数学的学科性质，死记硬背是行不通的，对于均值定理虽然只有几个简单的概念，但是真正的消化并不容易，我们在上课的过程中就要帮助学生准确地理解均值定理的由来，三个条件缺一不可。其次，在我执教的过程中，我都会要求学生准备错题集，均值定理在函数最值问题中的应用范围很广，很多题目初看觉得和定理无关，其实很多解题关键都是很隐秘的，学生必然会掉到陷阱里。那么如何将这些知识做一个很好的归类呢？这就要发挥错题集的作用了，将自己经常错的和题目条件隐晦的题目整理起来，帮助自己后期系统复习，也弥补了这类知识的学习漏洞，考前将错题重新做一下相较于做新题更有价值，学习本就是不断温故知新的过程。
综合而言，均值定理的教学过程中要充分帮助学生正确地理解使用原则，并且运用不同的典型例题进行讲解，帮助学生建立基本的知识架构，并且要做到一题多解，避免学生思维单一性。最关键的是要指导学生科学的学习方法，让学生成为学习的主体，完成对知识的内化。
【参考文献】
函数最值的应用范文2
关键词：函数最值；基本方法
在中学数学中常遇到一类求函数最大值、最小值的问题，它是中学数学教与学中普遍感到困难的一类问题。函数最值涉及的知识面较广，方法也灵活多变，训练思维能力效果好，因此在数学中占有重要的地位，要学好函数最值就必须了解和掌握求函数最值的方法与技巧。函数最值的基本方法有很多，这章主要介绍代数法、导数法、构造法、数形结合法、引进复数求函数最值。
一、配方法
代数法是中学阶段应用最广泛的方法，它包括配方法、判别式法、换元法、不等式法等。首先，我们介绍配方法。
利用配方法将二次型转化为标准型求函数最值的方法不仅易于掌握，而且思路清晰，操作简单，它是求二次函数最值一种行之有效的方法。配方法及其思想在数学分析、高等代数、空间解析几何等中都有着广泛的应用。配方法的基本步骤如下：
函数y=ax2+bx+c，经配方得
y=ax+2+，
若a>0，当x=-时，ymin=；
若a
配方法是一种对数学式子进行定向变形（配成完全平方）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。掌握这一方法关键在于合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧。
二、判别式法
判别式法主要是应用方程的思想来解决函数的最值。它是我们解题时常用的方法，具体的过程如下：
将函数y=，
改写成关于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，
则它有实数解x的充要条件是其判别式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，
从而由等式（方程）转化为关于y的不等式，从而求其最大或最小值。在解题中应注意a（y）≠0。
利用判别式法求函数的最值时应注意两点：
（1）求函数的定义域；
（2）对于二次方程的二次项系数要分零和非零两种情形。
三、换元法
利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决。求函数最值的换元法主要有三角换元法和代数换元法。中学数学中较常见的是下面两种形式的换元。
（1）y=ax+b+，令t=，将y转化为t的二次函数，再求最值。
（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，将y转化为t的二次函数，再求最值。
四、不等式法
中学数学中利用均值不等式求函数最值是一种基本的、常用的方法。灵活运用均值不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值。均值不等式的运用有三个严格的限制条件，即（1）各项均为正数；（2）积或和是定值；（3）等号能否取到，简言之“一正二定三相等”，三个条件缺一不可。以下是有关均值不等式两个定理。
定理1：当a，b∈R+时，则≥，当且仅当a=b时等号成立。
定理2：当a，b，c∈R+时，则≥，当且仅当a=b=c时等号成立。
五、导数法
导数法一般用来解决一类高次函数的最值。
用导数法求函数最值的步骤为：
第一步：找出fx在a，b内所有可能的极值点，即驻点和一阶不可导点；
第二步：求出fx在上述点和两个端点a与b处的函数值；
第三步：将函数值进行比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值。
综上可知，函数最值内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，应注意选择最优解法。以上就是本文整理出的有关于求函数最值的一些解法。当然求函数最值的方法不止这些，这里只是对求函数最值的方法作部分的归纳，具体的方法还有待去进一步的发现和总结。
六、结语
函数最值的方法是数学解题中既重要又实用的技巧。因此，深刻理解函数最值，熟练掌握求解函数最值的方法并在实践中灵活运用，是我们学好数学的关键。
以上求解函数最值的方法与应用并不全面，事实上还存在很多有关函数最值的求解方法和在其他方面上的应用，因此需要不断更新、研究，以便总结出更多求解函数最值的方法和更有效地应用这些方法解决函数最值，让函数最值的方法的应用更加广泛。
参考文献：
1.张弛.函数的最值及其应用.黑河教育，2004（2）：34.
函数最值的应用范文3
关键词：函数；最值；解法；应用
一、引言
最值问题是数学领域中的重要组成部分，更是函数研究中尤为重视的一块分支。它贯穿于多个学科中，更是被频繁的应用于一些日常生活中各种实际问题的解决，而其解法又具有多样性和灵活性，函数最值问题本质是求取具体问题的最优解，对于不同的最值问题，采取的解决办法都不尽相同，但其整个解题的思维方式都是通过一次或多次的转化，使其转化为相对简单的问题去求解。因此，本文通过对函数最值常见解法的探究，阐述了函数最值问题解法研究的重要性，并结合生活中的实例，进一步加强对函数最值问题解法的灵活运用，并分析总结出求解最值问题时应注意的一些问题，对后人的学习和研究奠定基础。
二、函数最值常见解法
（一）定义法：关键在于抓住定义中的“任意性”和“存在性”。
（二）配方法：主要针对二元函数的一般形式[1]，即
四、结束语
本文介绍了几种常见的有关函数最值问题的解法，并结合实际给出了生活中不同方面的关于最值的实例，将生活中的问题转化为数学思维来求解，同时探讨了解题时需要注意的细节，总结出求解问题的关键在于找准变量关系选择合适方法，因此灵活的运用函数最值的解法是至关重要的，通过它解决的不仅是学业上的课题，而且它将在解决实际问题中扮演着一个至关重要的角色。
参考文献：
函数最值的应用范文4
一、通过配方求最值
这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值问题比较有效的方法。用配方法求最值问题的基本思路是设法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后根据一元二次函数的单调性进行求解。例1：2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为多少？解：原式=（x+2y）2+（x-2）2+（y+1）2-10由此可知，当x=2，y=-1时，有最小值-10。例2：求函数y=5sinx+cos2x的最值。解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-54）2+338，可知，取sinx=1，即当x=2kπ（k∈Z）时，ymax=-2×116+338=4，取sinx=-1，即当x=π+2kπ（k∈Z）时，ymin=-2×8116+338=-6。评注：用配方法求最值问题的依据是把问题转换成二次函数，结合二次函数的图像来求。在最后一步把数据代入配方得到的式子中要注意自变量的取值范围，也就是确定定义域的范围（如例2中对称轴是x=54而sinx的最大值为1）。这种方法适用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值问题。
二、通过均值不等式求最值
均值定理构成的注意事项。首先，我们应当关注如下的预备知识。二元均值不等式：a+b2≥姨ab（a＞0，b＞0，当且仅当a=b时取等号）。三元均值不等式：a+b+c3≥abc3姨，（a＞0，b＞0，当且仅当a=b=c时取等号）。n元均值不等式：a1+a2+…+ann≥a1a2…ann姨（a1＞0，a2＞0，…，an＞0，当且仅当a1=a2=…=an时取不等号）。同时，在运用均值不等式求最值时应注意以下三点。1.函数解析式中各项均为正数。2.函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。3.含变数的各项均相等时才能取得最值。例3：求函数y=ax2+x+1x+1（x＞-1且a＞0）的最小值.解：y=ax2+x+1x+1=ax+ax+1+（1-a）=a（1+x）+ax+1+1-2a≥2a（x+1）ax+1姨+1-2a=1，当且仅当a（x+1）=ax+1，即x=0时等号成立，所以y的最小值为1满足其等号成立的条件，若不满足则改用其他方法，如单调性。
三、通过数形结合法求最值
数形结合法在中学数学教学过程中的应用十分广泛，它的主要思路是代数和几何思想的完美结合。通常是在解决代数问题时，纯代数方法有时很难达到目的，这时把几何的思想渗透进来，往往问题能得到较好的解决。例4：若a、b是小于1的正数，证明：a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨）+（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2证明：作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、CD上取AE=a，AG=b，过E、G作EF∥AD，GH∥AB，交DC于F，BC于H，EF与GH交于O，连结OA、OB、OC、OD、BD、AC.OA=a2+b2姨，OB=（1-a）2+b2姨，OC=（1-a）2+（1-b）2姨，OD=a2+（1-b2姨）.而OA+OC≥AC，OB+OD≥BD.即a2+b2姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥姨2，（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨）≥姨2.故a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b）2姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2.评注：所有数形结合就是代数与几何结合起来探寻解决问题的方法。其应用范围在于用纯粹的代数思想很难解决的代数问题时，可借助相关的几何图形，根据几何性质能有助于我们把复杂问题简单化。
四、利用函数单调性求最值
先判明函数给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。1.对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n]，则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。2.求二次函数f（x）=ax2+bx+c在[m，n]上的最值时，先判定对称轴x=-b2a是否属于[m，n]，若x=-b2a∈[m，n]，则f（m）、f（n）与f（-b2a）中较大者是最大值，较小者是最小值，若x=-b2a埸[m，n]则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f（x）=ax2+bx+c的定义域为R，当a＞0时，有最小值ymin=4ac-b24a.当a＜0时，有最大值ymax=4ac-b24a.例5：已知函数f（x）定义域为R，为对任意x1，x2∈R的都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2，试判断f（x）在区间[-3，3]上是否有最大值和最小值？如果有，试求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由。解：令x1=x2=0，则f（0）=f（0）+f（0），f（0）=0.令x1=x，x2=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，f（x）=-f（-x），f（x）为奇函数。设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，f（x2）＜f（x1），f（x）在R上为减函数。又f（1）=-2，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，又f（x）在[-3，3]上为减函数，故当x=-3时，f（x）max=f（-3）6，当x=3时，f（x）min=f（3）=-6.评注：利用函数的单调性是求最值问题的常用方法，解题是必须先确定函数的单调区间，各区间的增减性。如y=f（x）+kf（x）或利用基本不等式求最值不能奏效时，往往考虑用函数的单调性来解。单调性法主要是指定义法和导数法，其中以导数法用得最多，主要用于求三次多项式函数的最值和解决实际问题中的最优化问题。
五、利用判别式求最值
这是一种在求分式最值、分子分母含有二次项并且能把函数化成一元二次函数形式的方法。在平常教学中应用颇为广泛，学生也易掌握。若函数y=f（x）可化成一个系数含有y关于x的二次方程，a（y）x2+b（y）x+c（y）=0.在a（y）≠0时，由于x、y为实数，必须有Δ=[b（y）]2-4a（y）c（y）≥0，由此求出y的所在范围确定函数最值。例6：已知函数y=x2-xx2-x+1求其最值。分析：从整体函数看，其自变量为x是二次函数，通过yx2-yx+y=x2-x进而有（y-1）x2+（1-y）x+y=0。因x∈R，然后运用到“Δ”求y的取值从而达到解题目的。解：由y=x2-xx2-x+1得（y-1）x2+（1-y）x+y=0.y=1时x无解，必须使得Δ=（1-y）2-4y（y-1）≥0，-13≤y≤1.y≠1，y最小值等于-13.评注：判别式法主要适用于可化为关于x的二次方程的函数，当x的范围是R时，仅考虑Δ即可，当x的范围非R时，还需要结合图形另解不等式，不能扩大y的取值范围。
六、利用换元法求最值
所谓换元就是变量替换，是指把一个数学式子中的某一些以另一些与此相关的量去替代，从而使该数学式子变得较为简单或易于解决的化归过程，其实质是数集到数集的映射化归。主要有三角换元和代数换元两种，用换元时要特别注意中间变量的取值范围。1.数学式换元。例7：求9（x2-x+1x2+x+1）2+5（x∈R）的最大值与最小值。解：令：x2-x+1x2+x+1=y，去分母得（y-1）x2+（y+1）x+（y-1）=0，而x∈R，因此该方程的判别式Δ≥0，即（y+1）2-4（y-1）2≥0.解得13≤y≤3.在z=9y2+5中，其函数是增函数，所以当y=13时，函数有最小值6，当y=3时，函数有最大值86。例8：求y=姨x+2+12x+8（x＞-2）的最大值。分析：此题为含根号的分式函数，不能直接运用均值不等式求最值，考虑分子常数化，变形后对分母用均值不等式。解：设姨x+2=t，则x=t2-2，故y=12•t+1（t+1）2-2（t+1）+3=12•1（t+1）+3t+1-2≤12•12姨3-2=姨3+18，当且仅当t+1=3t+1且t＞0，即t=姨3-1，x=2-2姨3时，等号成立，即所求的最大值为姨3+18.2.三角换元。三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透，解法灵活多变，突出对思维的灵活性和严密性的考察，历来都是高考中的常见题型。学生在解决这些问题的过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。下面通过对典型错解例题的剖析，揭示题型规律，提高解题的准确性。例9：已知a2+b2≤2，c2+d2≤4，求ac+bd的最大值。分析：若这道题直接运用不等式进行解题可能会产生错解，因为2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2，所以ac+bd≤a2+b2+c2+d22=3但其中取等号的条件a=c，b=d才能成立。于是得到a2+b2=c2+d2，与已知相矛盾。在这种情况下，我们应用三角函数替代得到a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，代入原式得到一道简单的三角函数题。解：设a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，则ac+bd=2姨2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2姨2cos（α-β）≤2姨2，当且仅当cos（α-β）=1时，即（a=b=1，c=d=姨2或a=b=-1，c=d=-姨2成立时取等号），ac+bd的最大值为2姨2.评注：换元的方法形式多种多样，有的甚至涉及到多步换元或多种换元相互运用，我们要注意的是不管怎样变换，其变换的取值范围都不能改变。这种方法有助于我们把复杂的式子简单化，利于我们求解。
七、结语
函数最值的应用范文5
[关键词] 导数 函数 单调性
导函数即导数,作为研究函数的重要工具,函数思想在其定义阐述与应用过程中贯穿始终。随着课程改革的全面深化,导数知识进入新教材后为函数解题思路开辟了新的途径,《导数在研究函数中的应用》也逐步成为数学知识考查的重点。随着导数知识考查要求的增强,如何利用其有效地联系函数知识点及相关数学思想来进一步提升学生的探究、穿行能力,成为当前高中数学教学的重点课题。
一、导数在研究函数中的应用类型
《导数在研究函数中的应用》一节的学习目标主要包括以下三点:一是从几何角度直观认识导数与函数单调性间的联系,可利用导数分析其单调性并求取单调区间;二是掌握函数在某点X0取极值的充分、必要条件,并以此为工具求取函数极大值与极小值;三是能求取三次以下多项式函数的闭区间最值。本文即结合课程教学目标及相关试题对此问题进行分析。
二、利用导数研究函数问题的类型
1.利用导数解决函数图像切线问题
在解析几何问题中引入导数几何意义,有助于拓宽解题思路。导数f′(x)的几何意义在函数图像上表示为曲线y=f(x)上某点P(x0,f(x0))处的切线斜率f′(x0)。究其具体应用而言,如已知曲线y=f(x)、点P(x0,y0),就可获取y′=f′(x0)即切线斜率,进而得出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0)。
此外,在“已知一点、求与已知曲线相切的方程”之类例题的分析讲解中,教师应注意帮助学生在解题思路上区分两种情况,一是“曲线在点P处的切线”,即以P为切点的唯一切线;二是“曲线过点P处的切线”,此处点P不一定为切点且切线为2条。譬如,求与曲线y=x+9x+5相切且经过原点O的方程。该题我们可以初步判断应存在两切点,在求取导数方程后,可获取切线斜率y0=3或y0=3/5,进而求出切点,联系题中经过原点的条件,就可求得切线方程为y=-x,y=-x/25。
2.导数在函数单调性研究中的应用
单调性判断是函数研究的重点内容,其步骤在引入导数概念后能得到一定程度的简化,可分为如下步骤:确定函数y=f(x)的定义域;求取导函数y=f′(x);并求出方程f′(x)=0在定义区间内的一切实根;将函数y=f(x)的间断点与各实根有序排列,并按函数定义域划分为若干区间;最后按f′(x)在各开区间内的正负符号分别判断函数f(x)的单调性特征。
此外,在该点的教学中,学生不能对解题思路生搬硬套,应了解其缘由。一是f′(x)在开区间(a,b)内大于或小于0是函数y=f(x)在区间内单调递增或单调递减的充分不必要条件。二是(a,b)内恒有f′(x)=0才可以判定函数y=f(x)在区间内为常函数,不能因个别导数为0就武断地跑那段函数单调性。
3.利用导数取函数最值或极值
利用导数判断函数单调性、求取函数单调区间以及最值、极值,往往与不等式、参数范围等问题相综合,单调性问题需要转化为一元二次或高次不等式进行求解,且多数需要进行参数讨论,因此,这一部分内容应注意培养学生分类整合、化归转化的解题思路及数学思想。
此外应注意的是,函数极值与最值的求取存在一定差异。以函数f(x)=(1/3)x3-4x+4为例,其极值求取首先应确定函数定义域;求取导函数为f′(x)=x2-4,并求得f′(x)=0的实数根为x=2或x=-2;最后对实数根x0进行检验,判断实数根的左右两侧导数f′(x)的符号是否存在变化,由负转正则f(x0)为极小值,反之为极大值,从上式可知f(2)=-(4/3)为极小值;f(-2)=-(28/3)为极大值。应注意的是,若f′(x0)左右两侧符号相同,则排除f(x0)为极值。函数最值就是在函数极值求取的基础上更进一步,依据题目所给定的区间[a,b]得出函数在区间端点的值即f(a)、f(b),并根据函数单调性的判断,将f(a)、f(b)与极值f(x0)相比较即可获得函数在区间内的最值。该知识点应着重强调函数与不等式的综合应用,尤其是参数不等式恒成立的证明往往需要借助于导数、函数单调性以及极值(最值)等知识点的应用。
4.用导数研究函数的零点
利用导函数性质分析函数零点是近年来高考命题的热点题型,其实质上就是对函数极值、最值知识掌握应用情况的进一步考查。譬如,已知函数f(x)=aIn(1+x)+x2-10x,x=3为该函数一极值点,且直线y=b与函数图像存在3个交点,试求b的取值范围。很明显,该题仍需要借助于导数判断函数f(x)的极值、最值,通过数形结合的形式判断出直线y=b与曲线y=f(x)的交点,进而得出b的取值范围。
三、导数与函数单调性研究中的常见误区
从上述利用导数研究函数问题的类型分析中可得出出一个结论,即函数单调性是导数在研究函数中的应用中心所在。因此,教师在讲解过程中也应更加注重导数与函数单调性研究中的常见误区分析。一是对导数与函数单调性间的联系认识不明确。部分学生常在解题过程中误将函数f′(x)>0(或
四、结语
综上所述,导数在研究函数中的应用作为新课程教材的重点内容,同样也是近年来高考试题的热门考点,教师应注意把握这一命题,由浅入深,并将该知识点有效地与其他知识进行有效综合,着重培养并发展学生的探究思维与逻辑推理能力。
参考文献:
[1]蔡永强.透过现象看本质――利用导数研究函数单调性之我见[J].数理化学习,2009.5.
函数最值的应用范文6
关键词：最值；图像；应用
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0151
函数是中学数学中最重要的概念之一，在初中阶段，一次函数和二次函数是讨论的重点。在近几年中考的压轴题都是出在最值问题中，而在二次函数的解题中考生往往对最值问题是最头疼。本文就二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值问题，一次函数的最值问题，以及几种常见的最值问题，以及最值的应用进行剖析。
一、一次函数中的最值问题
一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是直线，自变量x在全体实数范围内，图像没有端点，它是没有最大值或最小值的。但是，如果给定了自变量的取值范围，那么y=kx+b的最大值或最小值就有可能存在，最值是图像的端点的纵坐标，图像包括端点就有最值，不包括端点就没有最值。
(1)如果n≤x≤m，图像包括两个端点，那么y=kx+b的图像既有最大值也有最小值(如图1)：当k＞0时，y最大=km+b，y最小=kn+b；当k＜0时，y最大=kn+b，y最小=km+b端点是图像的最值点，端点的纵坐标是最值。
(2)如果x≥n，图像只有一个端点，那么y=kx+b的图像只有最小值或最大值(如图2)：当k＞0时，y最小=kn+b；当k＜0时，y最大=kn+b。
同理，如果x≤m，那么y=kx+b的图像只有一个最大值或最小值(如图3)当k＞0时，y最大=km+b；当k＜0时，y最小=km+b。。
(3)如果n＜x＜m，图像不包括端点，那么y=kx+b的图像既没有最大值也没有最小值。
常见到的实际问题可以用这种方法解决：
例1. 某公司在A、B两地分别有一种机器17台和15台，现在运往甲地18台、乙地14台。从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表；
(1)如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y(元)关于x(台)的函数解析式；
(2)若公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？
分析：因为费用和x之间是明显的一次函数，而且由于送往各地的机器数量是整数，所以x取值范围不会是全体实数，所以是上述的第一种情况。我们可以求自变量的取值范围，找端点从而找到最值。
解：(1)总费用y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300
⑵由x≥017-x≥018-x≥0x-3≥03≤x≤17
k=500＞0，
y随x增大而增大，当x取最小值时，y有最小值。
x=3时，y最小值=500×3+13300=14800(元)
所以该公司完成以上调运方案至少需14800元运费。
调运方案为：由A地运往甲地3台，运往乙地14台；由B地运往甲地15台。
二、二次函数中的最值问题
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线，二次项系数a的符号决定了图像的开口方向，图像的顶点坐标是(-■，■)，对称轴是直线x=-■。
1. 二次函数在自变量x取任意实数时的最值：
(1)当a>0时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，最小值是顶点的纵坐标■，图像无最大值；
(2)当a
2. 当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题就要看图像了，二次函数在自变量的取值范围内，对应的图象是抛物线上的一部分，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。
当m≤x≤n时，
(1)若顶点的横坐标(或对称轴)x=-■在自变量的取值范围内， 即m≤-■≤n
当a>0，抛物线开口向上，顶点是图像的最低点，顶点的纵坐标即是函数的最小值。图像的两个端点中(当x=m,x=n时)，哪个端点更高，哪个端点的纵坐标就是最大值。
当a
(2)若顶点的横坐标(或对称轴)x=-■不在自变量的取值范围内，
即-■≤m≤n，或m≤n≤-■时，二次函数在自变量的取值范围内，对应的图象是抛物线上的一部分，y随着x的增大而增大，或者y随着x的增大而减小。那么，最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。如图：
例2. 当时-2≤x≤2，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值。
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。
解：作出函数的图象。
当x=1时，y最小=4,当x=-2时，y最大=5。
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：
例3. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x，30≤x≤54。
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；
(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x-30)元，
那么m件的销售利润为y=m(x-30)，又m=162-3x。
y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860，30≤x≤54。
(2)由(1)知对称轴为x=42，位于x的范围内，另抛物线开口向下
当x=42时，ymax=-3×422+252×42-4860=432
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元。
三、两条线段的和最短
例4.如图，MN是圆O的直径，MN=2，点A在圆O上，弧AN的度数为60°，点B为弧AN的中点，P是直径MN上的一个动点，求PA+PB的最小值。
分析：这是两个定点一个动点的问题，和圆的知识相综合。在圆上取A关于MN的对称点C，连接AC交MN于P，因为在MN上任取其他点Q时，在ACP中，AQ+QC>AC，所以这时PA+PB最短。
四、动点产生的最值
例5. 如图，在半径是5的圆O中，弦AB=8，点C在AB所对的优弧上运动。连接AC，BC，求ABC的最大面积。
分析：求ABC的面积，先找到三角形的底和高。底是弦AB,很明显是不变的，高是C点到AB的距离，随着动点C的运动先增大后减小，所以当C离AB的距离最大时，三角形的高最大，三角形的面积就最大。
解：当C运动到优弧AB的中点C′时，ABC的面积最大。
连接C′O交AB于D，连接OB，
C′是弧AB的中点，C′D过圆心
C′DAB，AD=BD=4
在RTBOD中，OB=5，
AD=3
C′D=3+5=8
