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指数与指数幂的运算范文1
学教师对其概念理解不是很透彻，因此对分数指数幂的概念有必要进一步分析.
首先我们来看教材上分数指数幂的概念.
（1）规定正数的正分数指数幂的意义是
amn=nam （a＞0,m,n∈N*, n＞1)；
（2）正数的负分数指数幂的意义是
a-mn=1amn（a＞0, m, n∈N*, n＞1)；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
那么负数有没有分数指数幂呢？
例如，①能比较(-1)13与(-1)26的大小吗？
②求幂函数f(x)=x13的定义域，自变量x能取负数吗？
这些问题容易使人产生困惑.因此深入理解分数指数幂的概念是必要的.
1.所有的根式都可以写成分数指数幂的形式，
即nam=amn （ m, n∈N*, n＞1).
也就是说分数指数幂是根式的另一种书写形式，只要根式有意义，不论a为何值，都可以写成分数指数幂的形式.但是要注意的是此时指数mn是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数.不能比较分数指数的大小，也不能进行约分、通分等运算.
例①中比较(-1)13与(-1)26的大小时，不能简单认为因为13=26，所以(-1)13=(-1)26.
正确的做法是先还原成根式，再化简后比较大小.
解：(-1)13=3-1=-1，
(-1)26=6(-1)2=1，
(-1)13＜(-1)26.
例②中：f(x)=x13=3x，
函数的定义域为R.
2.在分数指数幂或有理数指数幂运算时，我们要强调底数a必须大于0，
否则就会出现错误.
例如化简 ［(-1)2］12=（-1）2×12=（-1）1=-1 ，而这一结果显然是错误的，正确结果应为1.
究其原因，分数指数mn只是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数，当然不能参与运算.
当底数a＜0时，对指数mn进行约分、通分等运算后的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果有很大的差异.
指数与指数幂的运算范文2
1.知识结构：
2.教材分析
(1)重点和难点
重点：准确、熟练地运用法则进行计算.同底数幂的除法性质是幂的运算性质之一，是整式除法的基础，一定要打好这个基础.
难点：根据乘、除互逆的运算关系得出法则.教科书中根据除法是乘法的逆运算，从计算和这两个具体的同底数的幂的除法，到计算底数具有一般性的，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质.所以乘、除互逆的运算关系得出法则是本节的难点.
(2)教法建议：
1.教科书中根据除法是乘法的逆运算，从计算和这两个具体的同底数的幂的除法，到计算底数具有一般性的，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质.教师讲课时要多举几个具体的例子，让学生运算出结果，接着，让学生自己举几个例子，再计算出结果，最后，让学生自己归纳出同底数的幂的除法法则.
2.性质归纳出后，不要急于讲例题，要对法则做几点说明、强调，以引起学生的注意.(1)要强调底数是不等于零的，这是因为，若为零，则除数为零，除法就没有意义了.(2)本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数都是正整数，并且，要让学生运用时予以注意.
重点、难点分析
1.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(，、都是正整数，且).
2.指数相等的同底数的幂相除，商等于1，即，其中.
3.同底数幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，则出现负指数幂，规定
(其中，为正整数).
4.底数可表示非零数，或字母或单项式、多项式(均不能为零).
5.科学记数法：任何一个数(其中1，为整数).
同底数幂的除法(第一课时)
一、教学目标
1.掌握同底数幂的除法运算性质.
2.运用同底数幂的除法运算法则，熟练、准确地进行计算.
3.通过总结除法的运算法则，培养学生的抽象概括能力.
4.通过例题和习题，训练学生的综合解题能力和计算能力.
5.渗透数学公式的简洁美、和谐美.
二、重点难点
1.重点
准确、熟练地运用法则进行计算.
2.难点
根据乘、除互逆的运算关系得出法则.
三、教学过程
1.创设情境，复习导入
前面我们学习了同底数幂的乘法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答得快而且准确.
(1)叙述同底数幂的乘法性质.
(2)计算：①②③
学生活动：学生回答上述问题.
.(m，n都是正整数)
【教法说明】通过复习引起学生回忆，巩固同底数幂的乘法性质，同时为本节的学习打下基础.
2.提出问题，引出新知
思考问题：().(学生回答结果)
这个问题就是让我们去求一个式子，使它与相乘，积为，这个过程能列出一个算式吗?
由一个学生回答，教师板书.
这就是我们这节课要学习的同底数幂的除法运算.
3.导向深入，揭示规律
我们通过同底数幂相乘的运算法则可知，
那么，根据除法是乘法的逆运算可得
也就是
同样，
，
.
那么，当m，n都是正整数时，如何计算呢?
(板书)
学生活动：同桌研究讨论，并试着推导得出结论.
师生共同总结：
教师把结论写在黑板上.
请同学们试着用文字概括这个性质：
【公式分析与说明】提出问题：在运算过程当中，除数能否为0?
学生回答：不能.(并说明理由)
由此得出：同底数幂相除，底数.教师指出在我们所学知识范围内，公式中的m、n为正整数，且m>n，最后综合得出：
一般地，
这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减.
4.尝试反馈，理解新知
例1计算：
(1)(2)
例2计算：
(1)(2)
学生活动：学生在练习本上完成例l、例2，由2个学生板演完成之后，由学生判断板演是否正确.
教师活动：统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励.
注意问题：例1(2)中底数为(-a)，例2(l)中底数为(ab)，计算过程中看做整体进行运算，最后进行结果化简.
5.反馈练习，巩固知识
练习一
(1)填空：
①②
③④
(2)计算：
①②
③④
学生活动：第(l)题由学生口答;第(2)题在练习本上完成，然后同桌互阅，教师抽查.
练
下面的计算对不对?如果不对，应怎样改正?
(1)(2)
(3)(4)
学生活动：此练习以学生抢答方式完成，注意训练学生的表述能力，以提高兴趣.
四总结、扩展
我们共同总结这节课的学习内容.
学生活动：①同底数幂相除，底数__________，指数________。
②由学生谈本书内容体会.
【教法说明】强调“不变”、“相减”.学生谈体会，不仅是对本节知识的再现，同时也培养了学生的口头表达能力和概括总结能力.
五、布置作业
P1431.(l)(3)(5)，2.(l)(3)，3.(l)(3).
指数与指数幂的运算范文3
一、有关实数、根式运算题
例1 （2016・山西）计算：（-3）2-[15-1]-[8]×[2]+（-2）0.
【分析】本题中先算乘方、负整数指数幂、二次根式、零指数幂的运算，再将这些结果相加减.
解：原式=9-5-4+1……（4分）
=1.……（5分）
【点评】从评分标准中我们可以看出，第一步正确得出乘方、负整数指数幂、二次根式乘法、零指数幂的结果将得4分，最后一步得1分，因此记牢乘方、二次根式运算法则，负整数指数幂、零指数幂等公式是解题的关键.
二、有关整式运算题
例2 （2016・三明）先化简，再求值：（a-b）2+b（3a-b）-a2，其中a=[2]，b=[6].
【分析】本题先算完全平方公式、单项式乘多项式，再进行整式的加减，最后再代入求值.
解：原式=a2-2ab+b2+3ab-b2-a2……（4分）
=ab.……（6分）
当a=[2]，b=[6]时，原式=[2]×[6]
……（7分）
=[23].……（8分）
【点评】从评分标准中我们可以看出，只要将完全平方及单项式乘多项式运算正确即有一半的分数，体现了中考对基本能力的重视；另外在化简求值题中，按要求将数字正确代入字母也有分数，这些需要同学们在平时训练时格外重视.
三、有关分式运算题
例3 （2016・莆田）先化简，再求值：[x+2x-2]-[x-1x2-4]÷[1x+2]，其中x=-1.
【分析】本题先算分式的除法，再算分式的加减，最后将x=-1代入求值.
解：原式=[x+2x-2]-[x-1x+2x-2]?（x+2）
……（2分）
=[x+2x-2]-[x-1x-2]……（4分）
=[3x-2].……（6分）
当x=-1时，原式=[3-1-2]=-1.……（8分）
【点评】从评分标准中可以看出，分式的混合运算根据运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，当没有乘方时，先把除法转化为乘法也有2分，正确得出分式的乘法运算再得2分，算出正确结果得2分，层层递进，因此解题时严格按照步骤是相当必要的，也是避免失分的不二方法.
通过以上三例，同学们可以看到：在数与式的运算中，按步骤、按运算法则正确运算就能保证考试中最大限度地不失分.在平时的训练中，同学们可要记住哦！
小试身手
1.（2016・莆田）计算：[2-3]-[16]+[130].
2.（2016・襄阳）先化简，再求值：（2x+1）
・（2x-1）-（x+1）（3x-2），其中x=[2]-1.
指数与指数幂的运算范文4
同底数幂的乘法(一)
一、素质教育目标
1．理解同底数幂乘法的性质，掌握同底数幂乘法的运算性质．
2．能够熟练运用性质进行计算．
3．通过推导运算性质训练学生的抽象思维能力．
4．通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．
5．通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度．
二、学法引导
1．教学方法：尝试指导法、探究法．
2．学生学法：运用归纳法由特殊性推导出公式所具有的一般性，在探究规律过程中增进时知识的理解．
三、重点·难点及解决办法
（－）重点
幂的运算性质．
（二）难点
有关字母的广泛含义及“性质”的正确使用．
（三）解决办法
注意对前提条件的判别，合理应用性质解题．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．复习幂的意义，并由此引入同底数幂的乘法．
2．通过一组同底数幂的乘法的练习，努力探究其规律，在探究过程中理解公式的意义．
3．教师示范板书，学生进行巩固性练习，以强化学生对公式的掌握．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课主要学习同底数幂的乘法的性质．
（二）整体感知
让学生在复习幂的意义的基础之上探究同底数幂的乘法的意义，只有在同底数幂相乘的前提条件之下，才能进行这样的运算方式即底数不变、指数相加．
（三）教学过程
1．创设情境，复习导入
表示的意义是什么？其中、、分别叫做什么？
师生活动：学生回答（叫底数，叫指数，叫做幂），同时，教师板书．
个
．
．
提问：表示什么？可以写成什么形式？______________
答案：；
【教法说明】此问题的提出，目的是通过回忆旧知识，为完成下面的尝试题和学习本节知识提供必要的知识准备．
2．尝试解题，探索规律
（1）式子的意义是什么？（2）这个积中的两个因式有何特点？
学生回答：（1）与的积（2）底数相同
引出本课内容：这节课我们就在复习“乘方的意义”的基础上，学习像这样的同底数幂的乘法运算．
请同学们先根据自己的理解，解答下面3个小题．
；
；．
学生活动：学生自己思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．
【教法说明】
（1）让学生在已有知识的基础上感知规律的存在性、一般性，从而建立对同底数幂乘法法则的感性认识．
（2）培养学生运用已有知识探索新知识的热情．
（3）体现学生的主体作用．
3．导向深入，揭示规律
计算的过程就是
也就是
那么，当都是正整数时，如何计算呢？
（都是正整数）
（板书）
学生活动：同桌研究讨论，并试着推导得出结论．
师生共同总结：（都是正整数）
教师把结论写在黑板上．
请同学们试着用文字概括这个性质：
同底数幂相乘底数不变、指数相加
运算形式运算方法
提出问题：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？
学生活动：观察（都是正整数）
【教法说明】注意对学生从特殊到一般的认识方法的培养，揭示新规律时，强调学生的积极参与．
4．尝试反馈，理解新知
例1计算：
（1）（2）
例2计算：
（1）（2）
学生活动：学生在练习本上完成例1、例2，由2个学生板演完成之生，由学生判断板演是否正确．
教师活动：统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励．
注意问题：例2（2）中第一个的指数是1，这是学生做题时易出问题之处．
【教法说明】学生在认识的基础上，尝试运用性质，加深对性质的理解．学生做题正确与否，教师均应以鼓励为主，增强学生学习的信心．
5．反馈练习，巩固知识
练习一
（1）计算：（口答）
①②③
④⑤⑥
（2）计算：
①②③
④⑤⑥
学生活动：第（1）题由学生口答；第（2）题在练习本上完成，然后同桌互阅，教师抽查．
练
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
学生活动：此练习以学生抢答方式完成．注意训练学生的表述能力，以提高兴趣．
【教法说明】练习一主要是对性质运用的强化，形成定势．练中主要是通过学生对题目的观察、比较、判断，提高学生的是非辨别力．（1）（2）小题强调同底数幂乘法与整式加减的区别．（3）（4）小题强调性质中的“不变”、“相加”．（5）小题强调“”表示“”的一次幂．
6．变式训练，培养能力
练习三
填空：
（1）（2）
（3）（4）
学生活动：学生思考后回答．
【教法说明】这组题的目的是训练学生的逆向思维能力．
练习四
填空：
（1），则．
（2），则．
（3），则．
学生活动：学生同桌或前后左右结组研究、讨论，然后在练习本上完成．
【教法说明】此组题旨在增强学生应变能力和解题灵活性．
（四）总结、扩展
学生活动：1．同底数幂相乘，底数_____________，指数____________．
2．由学生说出本节体会最深的是哪些？
【教学说明】在1中强调“不变”、“相加”．学生谈体会，不仅是对本节知识的再现，同时也培养了学生的口头表达能力和概括总结能力．
八、布置作业
P941，2．
指数与指数幂的运算范文5
一、考查数与式的相关概念
1.正、负数的识别.
例1 （2016・攀枝花）下列各数中，不是负数的是（ ）.
A.-2 B.3 C.[-58] D.-0.10
【分析】利用负数的定义判断即可得到结果.
解：由负数的定义知，-2，[-58]，-0.10均为负数，而3不是负数.故选B.
【点评】负数可以从以下两个方面识别：①根据数前面的符号：非零数前面只有一个“-”号是负数，非零数前面只有一个“+”号是正数；②根据与零的大小关系：大于零的数是正数，小于零的数是负数.
2.相反数、倒数.
例2 （2016・永州）[-12016]的相反数的倒数是（ ）.
A.1 B.-1 C.2016 D.-2016
【分析】本题应先求相反数，再求倒数.
解：[-12016]的相反数是[12016]，[12016]的倒数是2016.故选C.
【点评】求一个数的相反数，相当于改变这个数的符号，即在这个数前面加上“-”号；求一个数的倒数，即求1除以这个数的商.
3.数的开方.
例3 （2016・常德）4的平方根是（ ）.
A.2 B.-2 C.[±2] D.±2
【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
解：（±2）2=4，4的平方根是±2.故选D.
【点评】本题考查了求一个正数的平方根，这类题一般比较简单，记住它们的概念是解题的前提.这类题有如下规律：非负数a的平方根是[±a]，算术平方根是[a]，立方根是[a3].
4.无理数的概念.
例4 （2016・宜黄）下列各数：1.414，[2]，[-13]，0，其中是无理数的为（ ）.
A.1.414 B.[2] C.[-13] D.0
【分析】无理数是无限不循环小数，符合这个要求的就是无理数，当然需要化简或计算的要看化简以后的结果.
解：因为1.414和[-13]都是分数，0是有理数，故只有[2]是无理数.故选择B.
【点评】常见的无理数有以下几种形式：①开方开不尽的数，如[2]，[3]，[-3]，[33]；②特定意义的数，如圆周率π，tan30°；③特定结构的数，如0.1010010001….特别注意像[22]，[π3]等含开方开不尽的数或含π的数不是分数而是无理数.
5.科学记数法.
例5 （2016・达州）在“十二五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（ ）.
A.1.351×1011 B.13.51×1012
C.1.351×1013 D.0.1351×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤[a]
解：把1351亿写成135100000000，它的整数位有12位，此时a=1.351，n=12-1=11.故选A.
【点评】科学记数法的表示方法：a值的确定：1≤a
6.实数与数轴.
例6 （2016・北京）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）.
A.a>-2 B.a
C.a>-b D.a
【分析】观察数轴得到a，b的正负性及离原点的距离，从而解决问题.
解：由数轴可知，-3
误；又知1
-2
-b.故选D.
【点评】观察数轴上的数应从两方面入手：①数的正负性，数在原点左侧则负，数在原点右侧则正；②数离原点的距离大小.另外利用数轴还可以比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”与“形”结合起来，体现了数形结合思想.
7.整式的有关概念.
例7 （2016・铜仁）单项式[πr22]的系数是（ ）.
A.[12] B.π C.2 D.[π2]
【分析】直接利用“单项式中的数字因数叫做单项式的系数”解题.
解：单项式[πr22]的系数是：[π2].故选D.
【点评】单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关.另外单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
8.同类项.
例8 （2016・常德）若-x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】根据同类项的定义，即相同字母的指数相同，可分别求出a、b的值.
解：由同类项的定义，得a=1，b=3，a+b=4.故选C.
【点评】所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项，据此列出方程（组）即可解决这类问题.
9.分式的有关概念.
例9 （2016・北京）如果分式[2x-1]有意义，那么x的取值范围是 .
【分析】分式有意义，必须使分母不为零，由此可得x的取值范围.
解：由分式的意义，知x-1≠0，解得x≠1.故答案为x≠1.
【点评】分式是否有意义，只取决于分式的分母，与分式的分子无关.
例10 （2016・湘潭）若分式[x-1x+1]的值为0，则x=（ ）.
A.-1 B.1 C.±1 D.0
【分析】根据分式的值为0的条件“分子为0，分母不等于0”，列出方程和不等式求解.
解：由题意可知：x-1=0，得x=1.由x+1≠0，得x≠-1，所以x=1.故选B.
【点评】此类问题容易出错的地方是忽视分式的值为0的前提条件：分式有意义，即分母不等于0.
10.二次根式的有关概念.
例11 （2016・白银）下列根式中是最简二次根式的是（ ）.
A.[23] B.[3] C.[9] D.[12]
【分析】最简二次根式满足下面的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.根据这两个条件进行辨别.
解：A选项：[23]不是最简二次根式，因为根号中含有分母；B选项：[3]是最简二次根式；C选项：[9]不是最简二次根式，因为根号中含有开得尽的因数；D选项：[12]不是最简二次根式，因为根号中含有开得尽的因数.故选B.
【点评】判断最简二次根式时，特别要注意分母中不能含有根号哦！
11.二次根式有意义的条件.
例12 （2016・西宁）若式子[x+1]有意义，则x的取值范围是 .
【分析】二次根式有意义，必须满足被开方数是非负数，然后解不等式即可.
解：二次根式[x+1]有意义，x+1≥0，x≥-1.故答案为x≥-1.
【点评】解决这类问题的关键是由被开方数是非负数得出不等式，解这个不等式即可.对于分式形式的代数式，同学们还要注意所取的字母的值不能使分母为零.
二、考查数与式的运算能力
1.幂的运算.
例13 （2016・茂名）下列各式计算正确的是（ ）.
A.a2・a3=a6 B.（a2）3=a5
C.a2+3a2=4a4 D.a4÷a2=a2
【分析】分别从“同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项的法则、同底数幂的除法法则”逐个验证各选项的正确性.
解：a2・a3=a2+3=a5；（a2）3=a2×3=a6；a2+3a2=（1+3）a2=4a2；a4÷a2=a4-2=a2.故选择D.
【点评】幂的运算是整式运算的基础，需要熟练掌握，注意不要混淆相关知识，尤其是幂的乘方不要与同底数幂的乘法混淆，幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算，而同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算.
2.无理数的估算.
例14 （2016・毕节）估计[6+1]的值在（ ）.
A.2到3之间 B.3到4之间
C.4到5之间 D.5到6之间
【分析】先找到紧挨6的两个完全平方数，再判断[6]夹在哪两个正整数之间，从而判断[6+1]夹在哪两个正整数之间.
解：4
【点评】本题主要考查对[a]的估算能力，解决此类问题的关键是确定与a相邻的两个平方数，即比a大和比a小，且同时最接近a的平方数，然后分别求出这些平方数的算术平方根，便可知[a]在哪两个整数之间，从而得到[a±b]（b为整数）的范围.
3.因式分解.
例15 因式分解：（1）（2016・襄阳）2a2-2= ；
（2）（2016・深圳）a2b+2ab2+b3= .
【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式；（2）先提取公因式b，剩下（a2+2ab+b2）正好满足完全平方公式.
解：（1）2（a+1）（a-1）；（2）b（a+b）2.
【点评】因式分解问题应首先考虑是否能提公因式，找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面分别考虑.没有公因式或提公因式后，再根据项数考虑公式法，两项则判定是否可用平方差公式，三项则判定是否可用完全平方公式，三项以上则应考虑使用分组分解法.
4.非负数性质的应用.
例16 （2016・自贡）若[a-1]+b2-4b+4=0，则ab的值等于（ ）.
A.-2 B.0 C.1 D.2
【分析】[a-1]+b2-4b+4=0可变形为[a-1]+（b-2）2=0，根据非负数的和为零可得a、b的值，再根有理数的乘法得到答案.
解：由[a-1]+b2-4b+4=0可得：[a-1]+（b-2）2=0，a-1=0，b-2=0，解得a=1，b=2，ab=2.故选D.
【点评】初中阶段学习了三种非负数：①[a]≥0；②a2≥0；③[a]≥0.如果出现几个非负数的和为零，则说明这几个非负数的值都等于0，此时可得一个方程组，解方程组即可求得未知数的值.
5.实数的运算.
例17 （2016・海南）计算：6÷（-3）+[4]-8×2-2.
【分析】先计算有理数除法、算术平方根、负整数指数幂及有理数乘法，最后再加减.
解：原式=-2+2-8×[14]=-2+2-2=-2.
【点评】实数的计算题常常将零指数幂、负整数指数幂、倒数、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值、幂的运算性质等集于一题，综合考查运算能力，解题时需记住以下规律：①对于一个非零数a，有a0=1，需要注意a必须是一个非零数，否则没有意义；②对于一个数的负整数指数幂的求法公式：a-n=[1an]，应注意a≠0，n为正整数.
6.整式的运算.
例18 （2016・乌鲁木齐）先化简，再求值：（x+2）（x-2）+（2x-1）2-4x（x-1），其中x=[23].
【分析】先利用乘法公式和单项式与多项式乘法法则进行化简，再合并同类项，最后代入数值进行计算.
解：原式=x2-4+（4x2-4x+1）-（4x2-4x）=x2-4+4x2-4x+1-4x2+4x=x2-3.当x=[23]时，原式=（[23]）2-3=12-3=9.
【点评】整式的化简求值问题是中考的必考内容，主要涉及整式的乘除、乘法公式和整式的加减，同学们只要能熟练掌握有关法则及公式就可以解决此类问题.
7.分式与二次根式的运算.
例19 （2016・恩施）先化简，再求值：[a-32a-4]÷[a+2-5a-2]，其中a=[5-3].
【分析】先确定分式的运算顺序：先算小括号内的，再进行除法运算，最后代入求值.
解：原式=[a-32a-2]÷[a2-4a-2-5a-2]=[a-32a-2]÷[a2-9a-2]=[a-32a-2]・[a-2a+3a-3]=[12a+3].当a=[5-3]时，原式=[125]=[510].
指数与指数幂的运算范文6
【关键词】分类思想 ；理性思维；渗透
数学思想和方法是数学的精髓和灵魂，其中分类思想在社会生活中、小学初中数学中普遍存在，如“物以类聚，人以群分”“合中分，分中合”，实数的分法和趣味题目“树上停着10只鸟，猎人打中了1只，树上还有几只鸟？”等等.分类思想不管是在教学中，还是高教版教材中和中职大纲中都隐性地存在着，所以，我们应结合中职生的思维特点，更多从教材中、教学中把分类思想显性化，提高中职生学习数学的趣味性，培养中职生思维的条理性、逻辑性，甚至为以后工作和生活提供指导，增强迁移能力.
所谓分类思想，就是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想，又称逻辑划分.一般按照“明确对象――确定标准――逐类讨论――归纳总结”的思维步骤来分析问题.本文从以下几点分析分类思想在中职数学中的渗透.
1.处理教材，挖掘分类思想
中职高教版数学等数学教材内容一般只显示数学知识，而蕴含于知识中的分类思想方法没有点明或为了避免分类讨论而不采用分类思想方法.概念、性质、法则、公式、定理等知识是数学的外在表现形式，而分类思想等数学思想属于内隐形式，隐藏在数学知识背后.教师应通过处理分析教材，挖掘分类思想，体现数学本质.“授人以鱼不如授人以渔.”很多数学知识，等到学生走上工作岗位就忘记了，而数学思想方法、数学逻辑思维却会自觉不自觉地应用与迁移到工作生活中.分类思想是贯穿整个中职数学的一种重要思想，几乎涉及每个知识点.因此，在中职数学教学中，制定教学目标，既要体现数学知识，又要在适宜时机体现分类数学思想.
比如，中职高教版数学高一教材中，对解绝对值不等式只用了绝对值的几何意义来分析，如|x-1|
再比如，中职高教版高一教材中，对解一元二次不等式只结合一元二次函数的图像来分析.如ax2+bx+c>0a>0，令fx=ax2+bx+c，根据图像可得不等式的解.虽然数形结合的方法比较容易，但过了一个学期，总有些数学基础中等偏下的同学对原解法理解不深刻或口诀只会生搬硬套而不会解了.因此，建议在教学中一题多解、扩散思维，对一元二次式因式分解后再对两个式子的正负性进行讨论分析，一方面可以比较两种方法的优劣，另一方面可以渗透分类思想.
从这两个例子可以看出，教师在教学工作中教好教材，更要用好教材，挖掘和提炼数学思想方法，并在教学中渗透分类等思想方法，有助于培养中职学生数学兴趣和提升思维的缜密性、深刻性.
2.形成概念，体验分类思想
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式.数学思想方法是数学知识的重要组成部分，基于数学内容又高于数学内容的一种隐性知识，往往以隐藏的形式渗透在概念发生、发展、形成过程.下面就举几个概念中体现分类思想的例子：
中职高教版数学教材对实数指数“幂”概念形成过程很简单，“幂”这个概念最早是在乘方运算中提出来的，即相同因数连乘积的运算叫作乘方，结果称为幂.幂的两个要素为指数与底数.底数的取值范围由任意实数随着指数的拓广最后限定为正数；指数为正整数时也称个数，指数从正整数推广到整数，有理数再到实数.最后，幂随着指数的变化为确保幂的存在而对底数进行限定才形成实数指数幂.通过以上分析可知，幂形成的两个要素为底数和指数，而这两种实数都可以从范围来分，也可以从正负性来分.而教材上没有实数指数幂形成过程的说明，也没有幂的分类图，所以，建议为了对“幂”这个概念有一个整体的认识，可以从两个角度四个方面去划分幂，为了更好地突出幂的应用广泛性和引入幂函数的需要，根据指数的范围给出如下的一个分类图（根据指数的范围）：
当然，若从指数正负性来划分：实数指数幂可以分为正指数幂、负指数幂和零指数幂.若底数从实数范围划分，实数指数幂也可以分为有理数底数幂和无理数底数幂.若底数从正负性划分，则可以得到：
幂ax正底数幂（x∈R）
零底数幂（x>0）
负底数幂x≠m[]n，n∈{偶数}，m∈{奇数}
以上两种角度四种方法的分类，都要根据一个确定的、统一的标准来分，分的标准就是概念的要素，多个要素可以确定多个分类.通过分类，可以使概念系统完整，从而达成这个概念体系，在概念的形成中和体系的搭建中渗透分类思想.
3.探究原理，揭示分类思想
中职数学教科书由于篇幅限制和中职学生的学习特点，往往只有公式、定理的简略的推导过程或现成的结论，因而要引导和鼓励学生探究原理和揭示原理背后的思想方法.
数学原理是对数学概念之间稳定不变的关系的描述，数学概念是数学原理的基础.如高教版中职拓展教材中直接给出两个计数原理，没有对原理进行探究分析.计数原理的基础涉及两个基本概念：加法和乘法.本校学生在本区内数学基础是中等以下的，很多学生对分步完成乘法原理的理解只是停留在公式套用的层次上，原因在于一方面对分步完成还是分类完成分不清，另一方面对分步完成为什么用乘法原理的理解没有本质的认识.现举例分析：
例1 甲地到乙地有2条路可以走，分别记作a和b；乙地到丙地有3条路可以走，分别记作c，d，e，那么从甲地经过乙地到丙地共有几种走法？
分析 若甲地到乙地选择a，则有ac，ad，ae共三种走法；若甲地到乙地选择b，则有bc，bd，be共三种走法，总计3+3=2×3=6种方法.
例2 在例1基础上现增加从丙地到丁地有4条路，分别记作f，g，h，j，问从甲地经过乙地和丙地最后到达丁地共有几种走法？
分析 从例1可知甲地到丙地有2×3=6种，若最后一阶段从丙地到丁地选择了f，则甲地到丁地有6种，同理若选择了g，h，j也分别有6种，所以共计6+6+6+6=6×4=2×3×4=24种走法.
从以上两个例子分析可以看出：分步完成乘法原理的分析用到了分类思想，对每个阶段出现的路进行分类讨论；分步完成乘法原理的基础是分类完成加法原理，就如乘法运算是指将相同的数加起来的快捷方式，乘法的基础是加法一样.因此，对分步完成用乘法原理的不深刻理解源于对乘法运算的含义理解的肤浅，而这个最简单、最常见的乘法原理却蕴含着分类的思想，在探究原理的过程中，揭示分类的思想.
4.解决问题，领悟分类思想
例3 已知x∈R， n∈N*，求数列xn的和：Sn=x+x2+x3+…+xn.
分析 由于x的任意性，本题未指明数列为等比数列，所以要考虑该数列是等比数列和不是等比数列两种情况，而其中等比数列又要分公比为1和不为1的两种情况.总之，分类讨论时要考虑分x=1，x=0，x≠0且x≠1共三种情况分析求解.
例4 已知A={1，2}，B={xmx=1，m∈R}，BA，求m的取值范围.
分析 B是A的子集，B要分空集和非空集共两种情况.其中B为非空集时，要考虑B为单元素集合和双元素集合，排除双元素集合，又有B=1，B=2共两种情况.
例5 有5名同学排成一行拍照，甲同学不排在最左边，乙同学不在最右边，问有几种排法？
分析 先考虑甲同学.如果甲同学在最右边，余下的4名同学的排列不受限制，一次有A44种排法；如果甲同学不在最右边，则只能排在中间3个位置，此时乙同学也只有3个位置可以选择，因此有A13A13A33种排法.所以，共有A44+A13A13A33=78种.
解决以上数学问题，实质是变换命题形式和分类思想的反复运用.比如，例1的步骤：明确对象（集合B）――确定分类标准（集合B元素的个数）――逐类讨论（空集，单元素集，双元素集）――归纳总结（所有的情况合并得出m）.对所求的m不能统一进行研究，变换命题的形式分析集合B，然后再分类，最后得出m的值.此类数学问题的每一步转换，都遵循着分类思想方法“总――分――总”的规律.通过这类数学问题的解决，会避免分类中重复和遗漏的现象，学生能够领悟分类的魅力.
