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双曲线的定义范文1
新的数学课程标准是在以学生发展为本的理念下，要求学生转变学习方式，教师积极探索，转变教与学观念，加深对课本内容的拓展理解和应用。所以，在数学教学中，教师应善于引领学生对课本的一些重要问题进行进一步的探索与研究，以提高学生的数学素质与应试能力。双曲线的定义和焦点弦是圆锥曲线中非常重要的几何概念，同时也是各类考试的重点和热点，角度常变，常考不衰。但在普通高中课程标准实验教科书中，仅仅介绍了双曲线的第一定义及其直接的、简单的应用，对于双曲线的焦点弦问题，几乎未作出任何探讨，教师在教学过程中，也往往局限于新课程标准的教学目标和要求，没有对这些知识做出进一步的拓展补充。因此，学生往往不能对该类知识点做到透彻理解，巧妙应用。为此，针对双曲线的两个定义及焦点弦问题，结合具体事例，做一些简单探讨。
1 双曲线的两个定义
定义1：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
定义2：平面上与一个定点（焦点F）的距离和一条定直线（准线l）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当0
例1 (2008湖南）若双曲线(a>0,b>0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本题是圆锥曲线中的计算问题，设双曲线的右支上一点为P(x1,y1)，x1≥a，则点P到左准线的距离为，到右准线的距离为，由双曲线的第二定义得点P到右焦点的距离为，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦点弦问题
2.1 焦点弦的一个性质
设双曲线方程为，离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为α，则有
当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的同支上时，|cosα|
当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的异支上时， |cosα|>1-e （2）
当直线l与双曲线只有一个交点时，|cosα|=1-e （3）
证明：由对称性，不妨设F为有焦点(c,0)
（1）由渐近线与弦AB斜率的关系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在双曲异支上时，由渐近线与弦AB斜率的关系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直线l与双曲线有且只有一个交点，依题意则直线l与该双曲线的渐近线平行，即 ，
，
。
2.2 弦长公式
设双曲线离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为θ，焦点F到相应准线的距离为d，则有
当双曲线方程为，弦AB的长。
当双曲线方程为，弦AB的长。
证明：当焦点在X轴上时，设双曲线方程为，焦点F(c,0)到相应准线的距离为，离心率为。
先推导弦AB所在直线的参数方程，首先AB所在直线的一般方程为y=tanθ(x-c)，此直线方程可看做是直线y=tanθ・x按向量(c,0)平移得到的，而对直线y=tanθ・x，设x=tcosθ，则y=tsinθ，即可得上述直线的参数方程为
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t为参数），
事实上，令
=|t1-t2|。
可发现参数t的几何意义为直线AB上的某段弦长。
将弦AB所在直线的参数方程与双曲线方程联立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的几何意义，
。
如果直线l斜率为k， 。
2.3 应用举例
例2已知双曲线的左焦点是F，过F且倾斜角为45°的直线与椭圆的两个焦点在y轴的不同侧，求椭圆离心率e的取值范围。
解：由题意及上述性质1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
参考文献：
[1]数学课程标准解读（实验）[M].北京师范大学出版社，2002
[2]普通高中课程标准实验教科书（选修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
双曲线的定义范文2
双曲线不在必修系列中的，是高中的选修2-1里的内容。
在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的半实轴。焦点位于贯穿轴上它们的中间点叫做中心。从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线使得，这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对（x,y）的多于一个的解。注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。，双曲线的图像无限接近渐近线，但永不相交。
（来源：文章屋网 ）
双曲线的定义范文3
注意到椭圆与双曲线在定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，因此表现在性质的差异上可能就是矛盾的两个方面。抓住这一点，可以先研究椭圆的几何性质，然后再类比到双曲线上。为便于讨论，只以焦点在x轴上的圆锥曲线的标准方程进行讨论。
一、内外之分
1.设椭圆 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为椭圆上除顶点外的任一点，过椭圆的一个焦点作∠F1QF2的一个外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。
证明：如图1，QP为∠F1QF2的一个外角平分线，过F2作QP的垂线，垂足为P。延长F2P与F1Q的延长线交于点N，则QP为F2N的垂直平分线，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP为F1F2N的中位线,所以OP∥F1N且OP=a，所以P在以O为圆心，半径为a的圆上。
上述性质类比到双曲线上，即可得到：
设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过双曲线的一个焦点作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。
本题结论本身也许并不重要，但解题依据却是最基本的定义，题目条件中的外角平分线与内角平分线的差别恰好就是椭圆与双曲线在定义上区别的体现。
二、正余有别
1.设椭圆a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上
除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积 证明：如图2，由椭圆定义得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|・|QF2|
cosθ=4c2 （2）
（1）式平方-（2）式得2|QF1|・|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，
上述性质类比到双曲线上，即可得到：
设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积
本题结论中，两个面积公式的不同之处仅在正切与余切的区别上，这种形式的类似既是曲线性质规律性的反映，也是运用类比方法的典型案例。
三、对立统一
1.直线y=kx+b与椭圆（a，b＞0）交于A，B两点（图3），设AB中点为M，O为坐标原点，则有
（其中e为离心率）。
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），则有：
整理得， ，所以有上述性质类比到双曲线上，即可得到：直线y=kx+b与双曲线
交于A，B两点，设AB中点为M，O为坐标原点，则有（其中e为离心率）。
双曲线的定义范文4
在学习圆锥曲线中，首先要抓住定义，只有真正理解和掌握了定义，才能找到解题思路，避免走入死胡同.
一、选择题中定义的利用
例1 椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（ ）.
解 由条件知，|PF1|+|PF2|=26，|PF1|-|PF2|=23（不妨设|PF1|>|PF2|），
|PF1|=6+3，|PF2|=6-3.
又 |F1F2|=4，cos∠F1PF2=13.
答案 A.
分析 直接计算|PF1|，|PF2|，思路混乱，而且计算量较大.如果用椭圆和双曲线的定义，解题过程会大大简化.
例2 F1，F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ ）.
A圆
B椭圆
C双曲线
D抛物线
解 延长F2P交F1Q的延长线于M，得|F1Q|+|F2Q|=2a，|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a，则点M（x0，y0）的轨迹方程为
（x0+c）2+y20=4a2.①
设P点坐标为（x，y），P为F2M中点，
x=c+x02，y=0+y02，x0=2x-c，y0=2y.
代入①，得（2x-c+c）2+（2y）2=4a2，x2+y2=a2.
分析 仔细作图观察，利用椭圆定义及角平分线，难题就不难了.
二、填空题中定义的利用
例3 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标.
解 设待求点的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得x0+3=9，解得x0=6.代入抛物线方程得y0=±62，所以满足条件的点为（6，-62），（6，62）.
答案 （6，-62），（6，62）.
分析 利用抛物线的定义，转化条件，可以减少运算量.
例4 双曲线的虚轴长为4，离心率e=62，F1，F2分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|=.
解 |AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，
|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a.
又 2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF1|+|BF1|=|AB|，
2|AB|-|AB|=4a，|AB|=4a，而2b=4，ca=62，c2=a2+b2，
|AB|=82.
分析 此题两次应用双曲线的定义，步骤清楚简单，何乐而不为.
三、解答题中定义的利用
例5 设点F（2，0），动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|-d=2的点P的轨迹方程.
解 由题意，得|PF|=2+d.
当P在y轴右侧时，为|PF|=x+2，
点P在抛物线y2=8x上.
当P在y轴左侧时，|PF|=2-x，
有y=0（x
所求轨迹方程为y2=8x（x≥0）和y=0（x
变式 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时过点（3，0），求动圆圆心M的轨迹方程.
解 由已知，得（x+3）2+y2=4.
设圆心为A，A点坐标为（-3，0），B（3，0），动圆半径为R，
得|MB|=R，|MA|=R+2.
因此|MA|-|MB|=2
故M点轨迹为双曲线的右支，且2a=2，2c=6，
即a=1，c=3，b=22.
因此其方程为x2-y28=1（x≥1）.
例5和变式题都是用定义得出轨迹方程的，从这两道题可以深深体会到定义的重要性.
例6 设椭圆与双曲线有共同的焦点F1（-4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹.
解 设椭圆与双曲线的交点P（x，y），得
|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.
即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.
将点P（x，y）代入，得
（x+5）2+y2=9或（x-5）2+y2=9.
故所求轨迹为圆心在（5，0），半径为3的圆，除去（2，0）和（8，0）两点；或圆心在（-5，0），半径为3的圆，除去（-2，0）和（-8，0）两点.
双曲线的定义范文5
[HTH]一、加强定义、标准方程、几何性质的对比[HT]
圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质是全面深入理解圆锥曲线的基础.对其进行全面的探讨，对易混淆的概念加以对比、甄别，对带有共性的概念加以概括，可以为解题打下坚实的根基.
1.全面理解椭圆与双曲线的定义
对于椭圆与双曲线的定义、方程，教材已给出了明确的说明与推导，但是有一些“隐言”，我们还需全面挖掘.
[HTH]例1[HT] 已知两定点F1,F2和一动点M,则“|MF1|+|MF2|=2a(2a为正常数)”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的( ).
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)非充分非必要条件
[HTH]解[HT]：当2a=|F1F2|时，点M的轨迹为线段F1F2；当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹为椭圆;当2a＜|F1F2|时，[JP3]点M的轨迹不存在.故|MF1|+|MF2|=2a[KG-*3/4]/[KG*2]点M的轨迹为椭圆.由椭圆定义可知，反之可行.故选B.[JP]
[HTH]评注[HT]：本题易错选C，这不是粗心大意的问题，而是对基本概念认识不全面、不到位.对于双曲线的定义也需作类似的深入理解.
2.局部甄别椭圆与双曲线的异同
高考中，与椭圆、双曲线有关的三个常考点为：离心率，a,b,c的关系，双曲线的渐近线.前者在椭圆与双曲线中的表达形式同为e=ca，而后两者却相异，在椭圆中有c2=a2－b2，在双曲线中有c2=a2+b2，且只有双曲线有渐近线，椭圆没有.
[HTH]例2[HT] 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与双曲线x2m2－y2n2=1(m＞0,n＞0)有相同的焦点F1，F2，且一个交点为P，PF1•PF2=0.
(Ⅰ)求椭圆的离心率的取值范围；
(Ⅱ)若椭圆的离心率为32，求双曲线的离心率与渐近线方程.
[HTH]解[HT]：(Ⅰ)设椭圆与双曲线的半焦距均为c，由题意知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|－|PF2|=2m.(不妨设|PF1|＞|PF2|)解之，得|PF1|=a+m，|PF2|=a－m.
又PF1•PF2=0，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
(a+m)2+(a－m)2=(2c)2，
即a2+m2=2c2，故(ac)2+(mc)2=2.
设椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则
1e21+1e22=2，1e22=2－1e21.
由0＜1e22＜1,得0＜2－1e21＜1，
解之，得22＜e1＜1.
(Ⅱ)当e1=32时，代入1e22=2－1e21，得e2=62，即cm=62，故m=63c.
又c2=m2+n2， n=33c，于是双曲线的渐近线为y=±mnx，即y=±2x.
[HTH]评注[HT]：解决本题需要对椭圆与双曲线的定义、标准方程、离心率及双曲线的渐近线等概念非常清晰，否则解题思路易混乱.
3.高度概括抛物线的标准方程与图形的关系
相对于椭圆与双曲线，抛物线的形式更为多样化，而且易引起图形、标准方程、焦点与准线之间的混淆.其实经对比分析，可概括为如下两点：
(1)对称轴由一次项决定，开口方向由一次项的系数决定；
(2)焦点与p2相关，准线与焦点对应，结合图形可确定.
[TPSX3.tif,Y#][TS(1][JZ][HT6H]图1[TS)][HT]
[HTH]例3[HT] 已知抛物线y=－x2上一点P到其焦点F的距离为54，则点P的坐标为.
[HTH]解[HT]：抛物线标准方程为x2=－y，故其对称轴为y轴，且开口方向向下，其图象如图1所示，又2p=1，p2=14，由图1知，F(0,－14)，抛物线的准线方程为y=14.
设P(x0,y0)，则14－y0=|PF|=54，
y0=－1.
又y0=－x20，故x0=±1，
点P的坐标为(－1,－1)或(1,－1).
[HTH]评注[HT]：本题从方程回归到图形，借助图形直观快捷地解决了问题.这得益于从整体上对抛物线的图形、标准方程、焦点与准线的高度概括与把握.
[HTH]二、关注与圆锥曲线相关典型结论的收集[HT]
过程繁杂，结果简洁，是解几问题的特色.长期以来吸引着众多数学爱好者投身其中，使得一些新结果层出不穷，不少高考题就是以这些结果为背景编拟的，所以我们平时多收集一些典型的结论，对提高解题效率大有裨益.
1.与椭圆相关的一些典型结论
(1)形状：离心率e1，椭圆越扁.
(2)同焦点：与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)有相同焦点的椭圆方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a＞b＞0,b2+k＞0).
(3)距离：①过焦点F2的弦长中,以垂直F1F2的弦(通径)最短；
②直线l过焦点F1,与椭圆交于两点A,B,则ABF2的周长为定长4a(两次用定义可得)；
[JP3]③弦长公式:斜率为k的直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=1+k2|x2－x1|=1+1k2|y2－y1|.[JP]
(4)面积：①点M在椭圆上,则焦点三角形F1F2M的面积SF1F2M=b2tan∠F1MF22(可由定义及余弦定理推导)；
②直线l过椭圆的左焦点F1,与椭圆交于两点A,B,则当lF1F2时，ABF2的面积的最大值为2b2e(可由SABF2=SOF2A+SOF2B推导).
(5)直线的方程：①直线l过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)内一点P(x0,y0)(非中心),与椭圆交于A，B两点,且点P平分弦AB,则直线l的方程为x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2(设出A，B的坐标,代入椭圆方程后,两式相减,代入P的坐标,可求斜率,进而可求)；
②直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)切于点P(x0,y0),则直线l的方程为x0xa2+y0yb2=1(由方程组法可得).
以上结论请读者根据提示自行推导，这里不再详述，对于双曲线、抛物线的结论亦然.
[HTH]例4[HT][HTK](2011年全国卷Ⅰ)[HT]椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为[SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)].过F1的直线l交C于A,B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为.
[HTH]解[HT]：由结论(3)的②知，4a=16，即a=4，而ca=22，则c=2[]2，得b2=8，
故C的方程为x216+y28=1.
评注：熟悉一些典型结论便于直截了当地处理问题.
2.与双曲线相关的一些典型结论
(1)形状：离心率e1，双曲线越扁.
(2)同焦点:与双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同焦点的双曲线方程为x2a2+k－y2b2－k=1(a,b,a2+k,b2－k＞0).
(3)距离：①过右焦点F2的弦长中,以垂直F1F2的弦(通径)最短；
②直线l过焦点F1,与双曲线左(下)支交于两点A,B,则|AF2|+|BF2|－|AB|=4a.
(4)面积：①点M在双曲线上,则焦点三角形F1F2M的面积SF1F2M=b2tan∠F1MF22；
②直线l过双曲线的左焦点F1,与双曲线交于两点A,B,则当lF1F2时，ABF2的面积的最小值为2b2e.
(5)渐近线：①两条渐近线互相垂直两条渐近线为y=±x等轴双曲线e=2；
②以直线y=±kx为渐近线的双曲线方程为y2－(kx)2=λ(λ≠0)；
③与双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2=λ(a＞0,b＞0,λ≠0).
[HTH]例5[HT] 已知双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的两条渐近线互相垂直,则直线l1:ax+by+a=0与直线l2:x+y+k=0(k＞1)的位置关系是.
[HTH]解[HT]：由（5）中的结论①知，该双曲线为等轴双曲线，即a=b, l1:x+y+1=0.
又k＞1,于是l1∥l2.
评注：本题省去了(ba)•(－ba)=－1a2=b2a=b的推导过程，直接得到了答案.
3.与抛物线相关的一些典型结论
(1)形状：p(p＞0)的值越小，抛物线越扁.
(2)距离：过焦点F的弦长中,以垂直对称轴的弦(通径)最短.
(3)焦点弦：直线l过焦点F,与抛物线y2=2px(p＞0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
①|AB|=x1+x2+p;
②以AB为直径的圆与准线相切；
③x1x2=p24,y1y2=－p2；
④∠AOB为钝角；
⑤设F′(－p2,0)，则当lF′F时，ABF′的面积的最小值为p2.
[HTH]例6[HT] 直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,O为原点，则OAB的面积的最小值为.
[HTH]解[HT]：由结论（3）中的⑤知，设F′(－1,0)，则SABF′=2SOAB，当ABx轴时，(SABF′)min=p2=22=4，故(SOAB)min=2.
双曲线的定义范文6
（1）你知道椭圆、双曲线、抛物线的第一定义吗？
作答：______________________
（2）椭圆、双曲线、抛物线的第二定义你掌握了吗？
作答：______________________
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆；与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线；与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
（2）已知点F是平面上的一个定点，l是平面上不过点F的一条定直线，动点P到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e． 当0
椭圆的几何性质
（1）你知道椭圆的焦半径公式吗？焦点弦公式还记得吗？
作答：______________________
（2）如何计算椭圆的焦点三角形的面积？
作答：______________________
（3）你知道如何求解椭圆的切线方程吗？
作答：______________________
双曲线的几何性质
（1）双曲线的焦半径公式还会用吗？
作答：______________________
（2）如何计算双曲线的焦点三角形的面积？
作答：______________________
（3）与已知双曲线有同一条渐近线的双曲线方程如何表示？
作答：______________________
（4）你知道如何求解双曲线的切线方程吗？
作答：______________________
抛物线的几何性质
（1）与抛物线的焦点弦相关的四条性质，你还记得吗？
作答：______________________
（2）你知道如何求解抛物线的切线方程吗？
作答：______________________
以y2=2px（p>0）为例．
（2）过抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是y0y=p（x+x0）；过抛物线y2=2px（p>0）外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是y0y=p（x+x0）．
直线与圆锥曲线的位置关系
（1）如何判断直线与圆锥曲线的交点？
作答：______________________
（2）圆锥曲线与直线的弦长公式你还记得吗？
作答：______________________
（3）求轨迹方程的常用方法有哪些？
作答：______________________