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动态规划范文1
【关键词】
【摘要】
【正文】§1动态规划的本质§
1.1多阶段决策问题§
1.2阶段与状态§
1.3决策和策略§
1.4最优化原理与无后效性§
1.5最优指标函数和规划方程§
2 动态规划的设计与实现§
2.1动态规划的多样性§
2.2动态规划的模式性§
2.3动态规划的技巧性§
3 动态规划与一些算法的比较§
3.1动态规划与递推§
3.2动态规划与搜索§
3.3动态规划与网络流§
4 结语
【附录：部分试题与源程序】
1.“花店橱窗布置问题”试题
2.“钉子与小球”试题
3.例2“花店橱窗布置问题”方法1的源程序
4.例2“花店橱窗布置问题”方法2的源程序
5.例3“街道问题”的扩展
6.例4“mod 4最优路径问题”的源程序
7.例5“钉子与小球”的源程序
8.例6的源程序，“N个人的街道问题”
参考文献
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动态规划范文2
【关键词】数学模型 动态规划 多阶段投资决策
一. 引言
多阶段决策问题是投资者在连续的几个投资阶段中每个阶段里都进行投资， 其目的是使得到最后一个投资阶段结束时， 投资者进行多次投资的收益总和尽可能大， 这些投资阶段之间是相互关联的， 面对众多的投资项目， 如何合理的安排资金成为决策部门关心的焦点， 而动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式， 首先将问题的过程分成几个相互联系的阶段， 恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函数， 从而把一个大问题化成一族同类型的子问题， 然后逐个求解， 即从边界条件开始， 逐阶段递推求优， 在每个子问题求解过程中均利用了它前面的子问题的最优结果， 依次进行， 最后一个子问题所得到的最优解就是整个问题的最优解.
二. 动态规划在多阶段投资组合中的应用
1.案列介绍
假设某公司决定将60万元投资4个工厂， 该公司希望通过合理分配资金确定最优组合，使所获得的投资收益最大， 经调查各个工厂所获得收益和投资额如图所示.
投资额与收益额 （单位： 万元）
2.建立动态规划模型
由于动态规划问题的特殊性， 我们将它看作一个多阶段决策问题， 分阶段来解决， 为此， 我引入以下各参数：
（1）s――投资总额
（2）n――投资组合中的项目数
（3）uk――决策变量，分配给第K个项目的资金
（4）sk――状态变量，分配给前k个工厂的资金
（5）sk-1=sk-uk――分配给前k-1个工厂的资金
（6）gk（uk）――阶段目标函数，对第 个项目投资 所获得的收益
（7）fk（s）――目标函数，以数量为 的资金分配给前 个工厂所得到的最大利润值
当k=1时，
当1
3. 利用动态规划模型求解
第一阶段： 求f1（s） ， 则
第二阶段： 求 ，
最优策略为（40，20）， 此时最大利润值f2（60）=120万元.
同理可得其他f2（u2）及最优策略
第三阶段： 求f3（u3），
同理可求得其他f3（u3）的值
第四阶段： 求f4（60）， 即问题最优策略
所以最优策略为（20，0，30，10）， 最大利润为160万元.
4.模型的意义分析
本文针对多阶段资产投资问题， 以最终的总收益尽可能大为决策目标的资产投资组合问题的一个多阶段动态规划决策模型， 利用动态规划的顺序法求得多阶段投资的整休最优投资组合.
参考文献：
[1]胡元木，白峰. 动态规划模型在股票投资组合中的应用， 山东社会科学， 2009；09（39）.
动态规划范文3
关键词：动态规划；图像缩放；接缝
中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）20-4815-03
The Idea of Dynamic Programming and its Application in the Image Zooming
ZHOU Fen-qin，CAI Hai-chao，HUANG Lu-yao，PAN Hai-kuan，ZHU Bao
（College of Computer Science and Technology ，Southwest University for Nationalities ，Chengdu 610041，China）
Abstract： Dynamic programming is often used to solve some of the problems with optimal properties. With today's increasingly algorithm-depth study of dynamic programming ， it is used in all aspects such as production scheduling. This article describes the basic idea of dynamic programming， including the basic elements of dynamic programming model， the characteristics of dynamic programming and the basic steps to design a dynamic programming algorithm. Meanwhile， combined with Seam Caving image scaling method， specifically introduced the application of dynamic programming algorithm in terms of image scaling.
Key words： Dynamic Programming；Image scaling；Seam
动态规划的本质是为解决多阶段决策问题，是运筹学的一个分支。在20世纪50年代由美国数学家R.E Bellman等人提出。如今，动态规划的应用已经非常的广泛，例如用动态规划算法进行弱目标检测[[2]]，求解水库优化调度问题[[3]]，工程控制技术和最优控制等方面。
通过对大量动态规划实例的分析，简要介绍了动态规划的基本思想。结合实例，在图像缩放应用中用动态规划解决最优接缝的查找，使图像在缩放过程中尽可能保持图像本身的内容。
1 动态规划基本思想
1.1 动态规划模型的基本要素
动态规划模型一般由以下要素组成：
阶段：多决策问题通常有若干阶段，状态可以从前一个阶段转移到下一个阶段。
状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。状态时阶段的属性，一个阶段可以分成若干个状态。
决策：从一个阶段的某个状态到下一个阶段的某个状态所做的决定叫做决策。
状态转移：通过决策，从一个阶段的某状态转移到下一阶段的某状态的决策结果。
1.2 动态规划的特点
类似于贪心算法，动态规划也是一种递推算法，从局部最优推出全局最优。贪心是一种特殊的动态规划，要求每一步的最优解包含上一步的最优解。一般来说，用动态规划解决的问题具有以下两个特点：
1） 最优化原理。美国数学家R.Bellman曾提出：“作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。”[[4]]也就是说问题的最优解只取决于子问题中的最优解而与非最优解无关。例如下图，求起点A到终点E的最短路程，只与A到中间点D的最短路程有关。
2） 无后向性。如果当前决策影响到下一步的状态，从而使得问题没有得到最优决策，这就是后效性。用动态规划解决问题时是需要做到全局最优则局部最优，即第i个状态决定之后，无论第i+1个状态如何都不会改变第i个状态。例如下图在三角形中求从顶层到底层数字的最大和。
假设从局部最优求全局最优。则每次找下方最大的数字，得到最大和1+3+3+6=13，没有达到最优。
利用动态规划的思想全局最优求局部最优，找下方最大路径最大的方向去走，得到最大和为1+3+5+5=14。无后效性。
1.3 设计一个动态规划算法的基本步骤[[5]]
确定问题决策对象；正确划分阶段和选择阶段变量；确定状态和状态变量：
确定决策并写出状态转移方程：写出规划方程。
2 动态规划算法在图像缩放中的应用
在手机、电脑等设备上播放图像时，需要对其进行缩放或裁减以适应不同的尺寸或分辨率，标准的图像缩放容易失真。在2007年SIGGRAPH会议上Avidan等人提出了Seam Carving（接缝雕刻）技术，最大程度的保留图像原始信息。
在传统图像缩放的方程中，要尽可能保持原始图像，就需要消除混合周围环境的不引人注意的像素，这些像素称为低能量像素，
我们可以采用几种策略来删除低能量像素，例如
1） 为了保持高像素值，按升序排列的方式删除最低能量的像素。
缺点：会破坏图像的矩形形状，因为每一行删除的像素点数不一定相同。
2） 为了保留图像的原始形状，从每一行删除同等数量的低能量像素。
缺点：容易破坏图像的内容。
若既要保留图像原始形状，又要尽可能的保留图像的内容，Avidan等人提出图像接缝的策略。所谓接缝，就是由低能量像素组成低能量线，删除低能量线对图片整体的影响较小。对此，寻找最优接缝就成了关键，我们可以用动态规划的方法来解决。
设I 是n*m的图像，则其垂直接缝如下：
其中，x是一个映射：[1，…，n][1，…m]，接缝路径s，即垂直接缝是图像中的
像素从顶部到底部的8-连通路径，在图像的每一行中包含一个且只有一个像素，类似的，y也是一个映射：[1，…，m][1，…n]，它是横向接缝，如图5所示。
定义接缝路径s的像素为[Is]，则对于垂直接缝，[Is={I（si）}ni=1={（i，I（si））}ni=1]。
给定能量函数e，我们定义接缝的能量值为[E（s）=E（Is）=i=1ne（I（si））]，寻找最优接缝[s*]，即寻找能量值能小的接缝。[s*=minsE（s）=minsi=1ne（I（si））]。
最优接缝可由动态规划的方法得到，每一步从第二行到最后一行遍历图像。
设接缝的最小能量之和为M，则[M（i，j） = e（i，j） + max （ M（i-1，j-1） ， M（i-1，j） ， M（i-1，j+1） ）]
当此过程结束时，最后一行的最小值M即为垂直接缝的最小能量值，我们可以从这个最小值进行回溯，找到最优接缝的路径。
如图6右图所示，红色箭头表示垂直最优接缝路径，横向接缝类似。此时，可以通过删除或插入最后接缝来缩放图像，保持图像的真实性。
3 结论
本文的主要内容是动态规划的思想及其应用。利用动态规划可以解决贪心、搜索等等无法求解的复杂的问题。通过将问题分解成多个阶段，每个阶段作出正确的决策，从而找到全局的最优解。在图像缩放这一应用中，利用动态规划找到最优接缝，节省了时间，提高解决问题的效率。放眼未来，动态规划的应用范围必然会越来越广泛。
参考文献：
[1] Shai Avidan ，Ariel Shamir.Seam Carving for Content-Aware Image Resizing[J].ACM Trans on Graphics，2007，27（3）：10-18.
[2] 强勇，焦李成，保铮.动态规划算法进行弱目标检测的机理研究[J].电子与信息学报，2003（6）.
[3] 刘攀，郭生练等.求解水库优化调度问题的动态规划-遗传算法[A].武汉大学学报：工学版，2007，40（5）.
动态规划范文4
【关键词】配电网；动态规划技术；恢复供电
当前，智能电网的发展在一定程度上带动了电网技术的发展，并且成为了电网技术发展的重要方向。实际上，智能电网的重要组成部分在于智能配电网，智能配电网的主要特征为拥有完备的自愈能力，同时还能够最大程度的减少电网故障给用户带来的影响。而配电网故障的恢复是智能配电网自愈功能实现的重要过程，配电网故障恢复问题主要指配电网发生故障以后，在故障定位与故障隔离的基础之上，应用一定的故障恢复策略对其进行操作，从而确保供电的平稳与正常。
一、对最佳路径的分析
配电网故障区域恢复供电的最佳路径事实上是在故障情况下的配电网络重构。主要的目的在于，能够快速的将非故障区域供电恢复，与此同时，还能够有效的满足线路负载容量的要求以及线损最小等各个方面的条件。现阶段，在配网自动化领域中研究最多的在于怎样能够快速的实现故障隔离以及快速的恢复费故障区域的供电技术方法，因此，在恢复路径的最优化选择方面出现了较多的研究。
一般而言，配电网故障区域恢复供电的路径为多目标最佳路径问题，现阶段在最佳路径问题的研究上较多的便是城市交通网络中的最短路径问题的研究。由于问题解决的思路存在着极大的不同点，因此最短路径问题能够被分为单元最短路径算法与基于启发式搜索最短路径算法[1]。这与邓群，孙才新，周驳仍凇恫捎枚态规划技术实现配电网恢复供电》一文中的观点极为相似。其中，单元最短路径算法主要体现在几个方面，即：
第一，在GIS空间查询语言方面的最短路径。该职工路径的研究方法在当前还停留在理论研究方面，例如在MAX中定义了一套空间查询语言，该套语言对其完备性给予了相关证明，同时通过举证的方式，对范围查询与时态查询等进行了应用分析。
虽然，对于GIS空间发展研究GeoSQL为一种有效的处理最短路径的手段，但是GIS受到数据库技术发展的制约与影响，导致实际的应用领域和背景的不同，使其和商用之间还有很长的一段距离。
第二，在功能模块思想路径方面，需要按照不同的分类方法实施，而单元最短路径问题的算法能够被分为很多种，例如神经网络法与基于人工智能的启发式搜索算法等，对于不同的背景应用需求和具体软件应用的环境，各种算法在空间的复杂程度与时间的复杂程度等都有明显的体现[2]，这与李振坤，周伟杰，钱啸等在《有源配电网孤岛恢复供电及黑启动策略研究》一文中有着相似的观点。并且各种算法在故障恢复方法中各具特色。
另外，启发式搜索最短路径算法也是一种有效的手段。基于启发式方向策略最短路径算法，其中包括空间有效方向的可控参数法，该方法能够有效的调节相关系数，在有效方向上路径无效的时候，能够确保得到有效的路径。
二、最佳路径的选择方法分析
事实上，配电网故障区域恢复供电的最佳路径并不是简单的路径问题，而是多目标最佳路径问题。为此，在研究配电网非故障区域恢复供电的最佳路径过程中，需要对其展开综合的分析。
首先，在多目标分析方面，通常在选择配电网非故障区域恢复供电最佳路径的时候，最为重视的目标为：
第一，在恢复供电路径的过程中，馈线负荷不能过载，同时，还需要确保恢复区域的电压质量能够与实际规定的标准要求相吻合。当供电质量可靠性最高的时候，那么恢复的时间将会很短[3]；这与邓昆英，汪凤娇，饶杰等在《智能配电网有功自治互动建模研究》一文中的观点极为相似。另外，供电过程中，线损最低，证明开关拉合的次数最少，同时现场的操作点也会最少。
第二，在动态规划技术恢复供电的最短路径方面需要明确，动态规划主要是运筹学的一个分支，它是求解决策过程的最优的数学方式。早在很久以前，就已经有研究人员对多阶段过程转化问题转化为一系列的单阶段问题，并且逐一进行求解，这标志着解决这类过程优化问题的新方法的创立，即动态规划技术。
本文主要将一典型的复杂配电网络作为研究例子，该连通系包括10个电源点，8个分支点，同时联络开关有16个。将其加入到配网潮流方向和典型的运动方式中，将联络开关和电源点作为定点，那么可以将其分为26个定点。尽管从数量上顶点比较多，但是由于存在着较为复杂的网络关系，使得该问题成为一个极为简单的最短路径问题[4]。这与杨建在《配电网无功补偿系统的关键技术研究》一文中的观点有着相似之处。加之恢复路径主要指费故障区域相关的联络开关与相应路由，为此我们可以将其理解为从不同电源点出发到各个联络开关的最短路径问题，这样一来，故障恢复工作的实施便简单的多。
总结
本文主要从两个方面左手，共同分析了采用动态规划技术实现配电网恢复供电的方法与效果，一方面着手于最佳路径的分析，另一方面着手于最佳路径的选择方法。从这两个方面可以看出，利用动态规划技术去实现配电网恢复供电是一种可行的方法。但是，受到历史原因的影响，我国城市配电网络还缺少标准的规范要求，导致配电网常常出现一些事故。因此，恢复配电网供电已经成为当务之急。随着科技的发展，智能配电网已经被广泛的应用在供电方面，这为平稳供电提供了一定的保障，同时也为恢复配电网故障供电创建了良好的环境与条件等。
参考文献
[1]邓群，孙才新，周驳.采用动态规划技术实现配电网恢复供电[J].重庆大学学报（自然科学版），2006，29（3）：40-44.
[2]李振坤，周伟杰，钱啸等.有源配电网孤岛恢复供电及黑启动策略研究[J].电工技术学报，2015，30（21）：67-75.
[3]邓昆英，汪凤娇，饶杰等.智能配电网有功自治互动建模研究[J].机电工程技术，2014，（2）：4-7.
[4]杨建.配电网无功补偿系统的关键技术研究[D].中南大学，2002，（12）：56-78.
动态规划范文5
关键词 教育装备；动态规划；随机性；装备更新
中图分类号：G40-057 文献标识码：A
文章编号：1671-489X（2013）21-0003-03
教育装备是现代教育教学的重要手段，是改善学校的办学水平、提高教学质量和效率的重要途径[1]。先进的教育装备为学校提供了丰富的教学资源和良好的教学环境，在培养学生创新精神和实践能力方面起到重要作用。
近年来，学校在教育装备方面的投资逐渐增大，增添和更新了许多教学设施。因此，在当前的教育教学中，教育装备已经成为教学过程中不可缺少的重要条件。由于教育装备的理论研究还不成熟，学校对教育装备的管理还处于初级阶段，使得教育装备不能发挥应有的使用效能[2-3]。
为保障教学质量，满足教育需求，学校需要及时对教育装备进行更新和维护。由于教育装备经费有限，因此在决定是否对装备进行更新时，要考虑装备更新的成本以及旧装备维修费用等问题。教育装备更新问题属于教育装备资源分配的一种，而教育装备资源分配中的许多决策优化问题属于多阶段决策问题，动态规划是求解多阶段决策问题的有效工具[4]。本文将随机性动态规划应用于教育装备更新问题，以确定一种装备在使用多少年后更新，使得某段时间内总费用达到最小，为教育装备的更新提供最优化策略。
1 教育装备更新的随机性动态规划模型
1.1 动态规划的基本思想
2 实例应用
3 结论
教育装备更新是学校在管理教育装备过程中必然遇到的问题，装备何时更新才能保证使用的教育经费最低是学校考虑的最重要的问题。从经济角度考虑，旧装备每年的维修费用不断增加，新装备虽然有较低的维修费用，但初始投资大。因此，本文利用动态规划的最优化原理，通过比较每年旧装备的维修费用和更新装备费用的大小，只有当更新装备的费用小于旧装备的维修费用时，才对旧装备进行更新，使得教育经费的消耗最低。
参考文献
[1]许成果.教育装备效能综合评价研究[D].北京：首都师范大学，2007.
[2]艾伦，兴乔.话说装备（二）：教育装备理论研究的必要性[J].中国教育技术装备，2012（14）：9-10.
[3]艾伦，姚玉琴，等.教育装备从经验管理走向科学管理[J].中国教育技术装备，2009（32）：17.
[4]李慧.教育装备运筹规划[M].北京：北京大学出版社，
2010.
[5]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.
[6]朱丽娜，马家余.浅论动态规划优化模型在设备更新中的应用[J].沿海企业与科技，2006（3）：71-72.
[7]胡运权，郭耀煌.运筹学教程[M].北京：清华大学出版社，2003.
[8]吴强.基于动态规划的供应链整合[J].科技创业月刊，
2006（8）：77-78.
动态规划范文6
关键词：项目管理；进度调整；模糊规划
中图分类号：C93文献标识码： A 文章编号：
项目管理的主要运行模式是通过对整一系列的项目运行过程进行进度的调整控制，从而对项目的总目标进行迅速的实现，在项目管理的具体内容上主要包括了工期、费用和质量这三个最主要的方面，这也造成了项目管理进度调整的多目标性。但是现在有不少大型的项目都具有高技术难度、工作程序复杂多样、项目需要的产品批量较小但是型号众多的特点。而历史数据中的量化指标和专业管理人员和相关专家设定的定性指标都是能够影响到项目管理进度调整输入的因素。所以在面对工程量大而且风险较高的项目时，更加应该把进度调整的定性输人指标量化，并且要充分实现定量指标对进度调整的指导作用。
一、 基于模糊动态规划法的项目进度调整方法
模糊动态规划法的英文全名Fuzzy Dynamic Programming Method，下文统一简称为FDPM。FDPM这种规划法一般用于复杂的系统控制与管理上，根据在控制过程中的各种信息来对项目中的多阶段过程进行分析，找到最好的决策方法。
在模拟动态规划法的作用下制定出进度调整的最好方案，要经过以下六个主要的工作步骤。第一是在网络计划的基础上对项目中比较关键的路径进行分段；第二是对划分出来的关键路径上各项工作的定量指标进行计算；第三是计算出定性与定量指标的相对优属度；第四是计算出因素的集权重定量；第五是对方案的平均相对优属度进行调整和最后的确定；最后一步就是利用决策序列相对优属度总和最大法求解最优化调整方案。
二、 模糊动态规划法具体步骤分析
1、 以网络规划为基础，对项目中的关键路径进行分段
在项目的整体运行当中，关键路径在项目中的重要地位，任何一点工作微小变化都会对项目的整体目标造成影响。所以必须要将关键路径进行分阶段的控制管理，这些分段都可以作为实施进度调整的依据。而造成项目进度发生偏差的主要原因都是因为期网络计划在转变为实际计划时积累下来的。所以为了能够节省费用和继续保证项目的质量，项目人员采取的办法是将发生的偏差分散到后续路径上的所有工作，也可以针对目标工作的具体情况有选择性的实现偏差向几个特定工作进行转移，可以能够起到快速纠正偏差的效果，这两种选择方式划分都是基于同一个原理的。
2、 对关键路径上各种定量指标的计算
在项目管理中输入因素主要是在工期、费用和质量，但是这也不是每一个项目都固定不变的。如果根据具体项目出现新的关键因素，也应将新的因素纳入进度调整。定量因素是指有显示的公式可以对输入因素进行计算的。而有些因素在没有明确的公式可以进行对输入因素进行计算的时候，更好的时候是依靠专业人士或者相关专家来确定质量好坏。
一般情况下，工期压缩难度是项目工期调整中比较容易定量计算的输入因素，在工期作为项目进度调整的定量输入因素的同时也要对工期压缩难度系数模型进行构造。
3、 定量与定性指标相对优属度的确定
在进度调整的过程中，定量与定性指标之间有不同的优属度计算方法。相对来说，定性指标的计算过程要比定量指标要复杂。定性指标的计算方式主要有两个步骤，第一步是确定某个定性指标对于各项工作的矩阵排序讯；第二步是根据第一步确定出来矩阵排序再结合语气算子，计算得出定性指标的相对优属度。而为了更好地对定性指标的相对优属度进行，在二元定量对比中易于按照项目管理的习惯给出定量标度，就一定建立语气算子与定量标度之间的映射关系。通过这样关系进行统计和计算，可以得出目标计算指标的语气算子矩阵，从这一个矩阵计算得出来的结果与工程调整决策的矩阵相乘得出指标的相对优属度矩阵。
4、 对因素集权重的定量计算
这一步对因素集权重的定量计算步骤有两个。第一是对因素集中的所有因素进行二元的比较。通过这种比较的工作建立优越性定量标度与语气算子的映射关系。这一步骤跟第三步对定性指标优属度的计算有相同的步骤，通过映射关系的比较得出因素集对优越性的优属性向量。
5、 确定整体方案平均相对优属度
经过了上面几个步骤的计算还是不能完整地完成进度调整工作，为了更好地将上面的计算得出的两个优属度进行更好的统一，更好对调整方案的平均相对优属度进行计算，我们可以在计算的过程中利用两级模糊优选相对优属度模型。
6、 得出最佳的调整方案的最好办法
这一步是综合了前面的步骤，然后确定项目中关键路径调整方案中各项的平均相对优属度矩阵，在调整和计算的过程中引入决策序列相对优属度总和最大法，多阶段多方位地对平均相对优属度递推工作进行调整。
三、 模糊动态规划方法的应用分析
在我国当前的项目管理技术上，基于多目标的进度调整还没有得到广泛的应用，更多的都是依靠管理者和工作人员自身的工作经验直接对工期进行压缩。一般的项目管理软件都是对项目工期进行一次性的项目时间计算。而多目标调整方法没有得到普及的原因主要是因为项目运行过程中比较容易主观客观导致的变化，而且准确地做好进度调整工作，必须要运用大量的历史数据，这些都会造成对项目管理造成一定困难。
在实际的编程过程当中，计算量大和存储量大是这种方法的特色。而且在实际的工作当中，进度调整过程中的大部分状态转移都不能满足模型的约束条件，省去了大量的数学计算，可以大大节省计算时间。此外，采用迭代方式能够有效地避免重复计算，而且不需要附加的递归栈空间。
参考文献：
[1] 张杰，李原，张开富，杨海成，项目管理中进度调整的模糊动态规划方法[J]，计算机集成制造系统，2006(8).
