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抛物线及其标准方程范文1
一、教材分析
在这一章的三种圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线中，抛物线被安排在最后，抛物线体现圆锥曲线的共性和个性，并且由它构建整章的知识网络，形成知识体系。在高考试卷中往往以选择题、填空题和解答题的形式出现。本节的重点是抛物线定义和抛物线标准方程的建立，难点是求抛物线的标准方程和四种标准方程的应用。针对以上的重点和难点，在教学设计时又充分考虑到教学对象是普通高中学生这一点，对教材作适当调整：对例题1，由于初学者对多种抛物线形式易混，必须及时做双向的练习加以巩固，即由方程到焦点、准线，再由焦点、准线到方程。在理解、掌握和强化中完成目标。对例题2则放在课堂小结之后，作为研讨题加强变式练习。例题3则放在下一小结中，系统学习抛物线的弦长问题时解决，它也是本节的一个重点。
二、教学目标
①使学生掌握抛物线的定义及其标准方程；②会用解析几何的坐标法建立抛物线的标准方程；③理解标准方程中参数P的几何意义，能根据条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应的准线方程、焦点坐标，画出其图形；④培养学生的数形结合思想及主动探究精神，提高学生的分析、对比和概括能力。
三、教学方法
依据新课程理念倡导的“自主、探究、合作、交流”的学习方式，结合本课教材的特点和学生的实际情况。我采用了“启发探究式”的教学方法。在椭圆、双曲线的学习中，学生已经尝试了求曲线方程的方法，因此完全可以用类比的方法，亲身体会数学知识的发生、发展过程。“探究式”学习方式是一种流行的教学方式，但如何做到“实质性”探究，不流于形式，是我们值得深思的一个问题。教师只有提高自身的数学素养，理解数学本质，挖掘“本原性”问题，才能驾驭真正的“探究”。如在本节课的“XOY”坐标系的建立中，原点的选取就是核心和本原性问题，必须抓住这一“探索”契机。
四、教学过程
教学过程设计分为四个阶段
1．引入阶段
通过对椭圆、双曲线的离心率的归纳，提出学习课题。
由椭圆、双曲线的离心率e的变化范围进入本节教学课题。老师问：当e=1时是何种圆锥曲线?学生很快就能回答。这既体现了三种圆锥曲线的完整性，又能体现抛物线动点到定点和定直线的距离相等而不再是一个取值范围的特殊性。
2．探索阶段
一方面通过多媒体课件演示抛物线形成过程得出定义，另一方面用坐标法研究得出抛物线的标准方程。 首先通过多媒体课件来演示抛物线的形成过程，进而归纳得出定义：先固定一根直尺，让三角板的一条直角边紧靠直尺边缘，确定绳长AC，并且固定两端点A和F点使笔尖即P点紧靠直尺边缘，当三角尺上下滑动时得到曲线，而在这一过程中，实质性的关系是｜CP｜=｜CF｜，即动点到定点和直线的距离相等，归纳出抛物线定义。F叫抛物线的焦点，L叫抛物线的准线。以上的探索要转化为具体的知识，即数和形，引导学生进入探究过程。第二，老师在黑板上演示建立适当的直角坐标系，求抛物线的标准方程：有一条定直线和一个定点．学生自然可以想到，使x轴过定点F与L垂直，K为垂足及｜KP｜=P，而下一步原点的选取关系到y轴，学生会有以下三种探究思路：①原点在K点，②原点在F点，③原点在KP的中点。学生依据初中关于抛物线的知识完全可以正确判断。求三种相应的标准方程，可以分组或指定三人分别去完成，在这一过程中，探究的目的除了得到y2=2px(p>0)外，更深一层要培养学生用坐标法研究问题的能力，它也是解析几何的精髓。第三，老师进一步启发学生提出问题，还有哪些形式的抛物线?让学生借助于类比、联想完成老师给出的四种标准方程表格得到初步结论：①一次项系数正负决定开口方向，②焦点坐标为一次项系数的1／4(在这里再次强化P的几何意义)。
3．应用阶段
通过对例题的分析、求解及双向练习，使学生掌握四种标准方程的应用。
通过对例题1的分析，配置双向习题，即由标准方程求焦点坐标、准线方程，或由焦点坐标、准线方程求标准方程，使学生在理解、掌握、强化中完成教学目标。
4.小结结阶段
抛物线及其标准方程范文2
一、引思――训练思维的流畅性
师：请同学们思考两个问题：
1、我们对抛物线已有了哪些认识？
2、二次函数的图像抛物线的开口方向是什么？
生：在初中数学中，抛物线是二次函数的图象；在二次函数中研究的抛物线，有开口向上或向下两种情形。
师：（通过课件展示图片）实际上，在生活中存在着各种形式的抛物线，随处可见。比如绽放的烟花、结实的拱桥、美丽的彩虹、探照灯的轴截面等，还有一些运动形成的抛物线，投篮运动、抛球运动等形成的轨迹都是抛物线，说明抛物线在实际生活中无处不在，那么今天我们就对于抛物线进一步研究，体会抛物线的美妙。
通过图片的展示，使学生切实感受到了现实生活中确实存在许许多多的抛物线，这样真实的感受让学生能够认识到学习抛物线的现实意义和必要性，为学生下面进行积极的思维奠定了良好的基础。
师：下面我们来看抛物线可以怎样画出（演示抛物线的形成），请同学们仔细观察画图的过程，给出抛物线的定义。
生：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
师：（再引导）由前面椭圆、双曲线的学习我们可以知道这里的定点及定直线通常叫做什么？
生：定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
评述 课堂上对定义的教学，一般都是老师讲，学生被动听，这种被动的学习方式扼杀了学生思维的积极性和主动性，难以焕发出思维的活力，更谈不上学生的积极参与，他们在认识上只是依赖浅层次的策略。引导学生积极思维，得要让学生有直观的认知，具备一定的基础知识，以达到训练思维的流畅性。
二、顺思――训练思维的层次性
师：为了能够顺利的对抛物线进行研究学习，并研究与抛物线相关的问题，下面我们来求出抛物线的标准方程。这实际是求曲线方程的问题，首先要考虑求曲线方程轨迹的基本步骤是什么？
生：①、建立直角坐标系，设动点为(x,y)；②、写出适合条件的x,y的集合；③、列方程f(x,y)=0；④、化最简（并注明条件）；⑤、证明（常常省去）。
师：那我们现在遇到的第一个问题就是如何适当的建立坐标系，使求出的抛物线标准方程最简呢？设焦点到准线的距离为常数P(P>0)。
生：取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，准线为y轴。
师：很好！这是我们的一般方法，但是回想在初中学习的二次函数图象的顶点在坐标原点时，二次函数的表达式才是最简的，由此可以想象取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，垂足为K，线段KF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，所得方程更为简单。（展示了思维的层次性）
在这里，老师将学生的习惯思维和原有的知识作以对比，引导学生通过不同的角度思考问题，有助于学生思维层次的提高，考虑问题显得更加细致周到。
师：下面我们就进行推导，
如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设动点M的坐标为（x，y） ，由抛物线的定义可知，化简得此处推导简洁到位，同时对于旧知识也进行了复习，处理得当。
师：我们再按照最先想到的做法进行推导，与前面的结论作以对比。
如图，若以准线所在直线为y轴，则焦点F(P,0),准线L:x=0由抛物线的定义，可导出抛物线方程为比较之下，显然方程 更为简单。
此处让学生动手实践，通过自主对比找出最简结果，通过这样的体验能够加深学生对结果的理解认识，并再次熟练了推导的过程，培养了学生探索的精神。
评述 通过从不同的角度对问题进行深入的思考，先产生一个直觉上的认识，再进行实践，对比结果发现最优结果，增强知识的系统性，对相关问题进行联系。同时，让学生对所考虑的问题进行自主研究，从而使思维达到一个较高的层次。
三、延思――训练思维的变通性
师：我们所推导的方程
叫做抛物线的标准方程。其中 p 为正常数，它的几何意义是：焦点到准线的距离。
方程 表示的抛物线，其焦点位于X轴的正半轴上，其准线垂直于X轴的负半轴，即焦点为准线为。
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。请同学们思考抛物线的标准方程还有哪些形式? 其它形式的抛物线的焦点与准线呢？（鼓励与激发全班同学参与）
一石激起千层浪，此处的提问使学生又一次的展开了思维，在考虑到各种情形后，进入到对方程的研究，学生自然的想到能否利用前面的结果加以解决，这样的变化让学生的思维也发生了一些变通。
师：大家已经想到了还有开口方向朝左、朝上和朝下几种情形（展示抛物线的各种形式），我们先来考虑开口朝左的情形。请问大家从图象上观察与朝右的情形有什么联系？
生：（急切的回答）关于y轴对称！
师：那对于方程的研究有什么帮助呢？
生：（脱口而出）图象关于y轴对称，即图象上的点是关于y轴对称，而关于
y轴对称的点横坐标相反，纵坐标不变！故开口朝左的方程为
师：很好！大家的思维非常棒！看来同学们是用形与数的关系解决的，那么对于开口朝上的又如何考虑呢？能否用刚才的办法呢？（激发学生的思维）
生：（对比图象之后）开口朝上的图象可以看作是将开口朝右的图象按照逆时针方向旋转90°而得到的！
师：观察得很好！可是我们并没有学习过旋转变化呀！那么能不能把这个旋转变化归于我们学习过的对称变化呢？请大家再观察。（进一步激发学生的思维）
生：由于是逆时针方向旋转的了90°，因此可以看作是关于直线对称！
师：非常好！那么我们的问题就可以得到解决了！具体如何给出方程呢？
生：关于直线对称的两点互换了横纵坐标，因此将开口朝右的方程中的x、y互换位置即可！即方程为。（展示了思维的灵活性）
师：分析的非常到位，那最后一种情形很容易就可以给出结果了！我们一起来完成下面的表格，巩固知识。
通过引导和提问，使学生积极的思维，自主观察研究解决问题，提高了思维的变通性，激发了学生的学习热情！
师：想一想，怎样把抛物线的位置特征(标准位置）和方程特征（标准方程）统一起来？以便我们记忆！
生：从开口方向来看可分为上下型和左右型；上下型x带平方，左右型y带平方；朝负方向带负号，朝正方向则不带！
师：很好！通过这样的统一归类，我们记忆起来就更加的容易了！
通过归类研究，培养了学生提炼知识的能力，养成了学生总结的习惯。
评述 这部分内容是本节课的重点，在教学的处理上也是难度比较大的，直白的给出使学生接受时比较困难，也不利于以后的记忆和应用，通过一系列的引导，使学生充分的参与进来，积极的思考，在高效的学习过程中，不知不觉中提高了学生思维的变通性，能够应对不断变化的问题，使知识的反馈面更加广泛，知识的综合运用性更加深化，达到了训练学生思维变通性的目的。同时，利用旧方法，通过迁移解决新问题，极大的提高了学生的能力，这正是高考考察的重点！
四、反思――训练思维的深刻性
知识点学习结束，不能看成是相应的数学活动终结，也不能意味着学生真正的掌握了知识，还要通过具体的问题对知识加以深化和巩固。
师：下面我们通过具体例子深化对抛物线方程及相关量的认识并巩固之。
例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
师：若已知抛物线的标准方程，求其焦点坐标和准线方程；或是已知焦点坐标和准线方程，求其抛物线的标准方程，应该注意什么呢？（训练思维的深刻性）
生：“先定位，后定量”。
师：很好！我们先研究形的特点，然后再结合所学知识，解决相应的问题，这样一来，思路就能够十分流畅，而且还增强了严谨性。下面再通过一个例子来感受“先定位，后定量”。
例3：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
分析：由点在第二象限，结合图形知抛物线开口有朝上和朝左两种情形。
解:(1)设抛物线的标准方程为
师：下面我们来看两道高考题，希望同学们以最快的速度给出结果！（训练思维的敏捷性）
练习:(2003• 天津卷) 抛物线的准线方程是y=2 则a的值为
（A） （B） （C）8 （D）-8
思考:(2000 • 全国卷)过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q则 等于
（A） 2a （B） （C） 4a（D）
生：练习中先将方程化为标准式，可知选B。
生：思考中同样先将方程化为标准式，再由直线的任意性，可取垂直于对称轴的直线加以计算，可知选 C。
师：非常好！说明我们对知识有了一个系统的掌握，希望在课后再加强练习以巩固本节课所学的知识点。
评述 通过反思，可以认识到训练思维品质的重要性，要使学生的思维具有严谨性、深刻性、灵活性、发散性、敏捷性，教师必须把课堂作为训练学生思维的主要阵地，让课堂焕发出思维的活力！
抛物线及其标准方程范文3
关键词：数学素养；变式题；推理能力
圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多几何性质，这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用，并且学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.其中抛物线是圆锥曲线中的重要的一类，在高考中有着重要的地位.特别地，在导数引入高中数学，对抛物线的考查就更为频繁.在学习了抛物线的定义以及抛物线的几何性质之后，为了更好地理解抛物线的定义，笔者从下面几个方面进行说明.
一、巩固抛物线的定义
1.到点A（1，1）的距离与到直线l：3x-4y+1=0的距离相等的点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
解析：粗看满足抛物线的定义，再仔细一看，易发现点A∈l，点的轨迹为经过点A且垂直于直线l的一条直线.这有助于理解抛物线的定义――直线外的一点.
2.经过点F（2，0）且与直线l：x=-2相切的动圆的圆心M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
解析：由圆的性质及直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，又点F在圆M上：即圆心M到定点F的距离等于到定直线l的距离，满足抛物线的定义，所以动圆心M的轨迹是抛物线.
变式1：到点F（2，0）的距离比到直线l：x=-1的距离大1的点的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析：把直线l向左平移一个单位，可以转化为l′∶x=-2，到定点F（2，0）的距离等于到定直线l′：x=-2的距离，满足抛物线的定义。
变式2：动点M（x，y）满足等式： = ，则点M的轨迹为（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析：等式可化为： = .
根据两点间的距离和点到直线的距离公式可得，动点M（x，y）到定点F（2，0）的距离等于到定直线l：3x+4y-2=0的距离，满足抛物线的定义（不是我们所熟悉的标准条件下的抛物线）.
二、抛物线定义的简单应用
1.求焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5的抛物线的标准方程.
解析：根据题意，设抛物线的标准方程为：y2=2px（p>0），如果运用两点间距离公式，待定系数法联立方程组解得，运算量较大.所以可根据抛物线的定义，抛物线上的点A到准线：x=-p/2的距离等于5，可得到p的值，从而求得抛物线的方程.
2.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P在抛物线上，有一定点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，及对应的点P的坐标.
解析：由定义可知，抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，所以求|PA|+|PF|的最小值，转化为求|PA|+d的最小值，由点与直线上的点的连线中垂线段最短可得，过点A作准线的垂线，垂线段长即为所求的最小值，该垂线与抛物线的交点就是所求的点P.
变式：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P在抛物线上，有一定点A（2，3），点P到y轴的距离为d，求|PA|+d的最小值.
解析：P到y轴的距离，可以延长到准线的距离，再根据抛物线的定义，转化为到焦点的距离，即（|AP|+|PF|）-1/2的最小值，当A、P、F三点共线时取最小值.
3.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点是F，准线为l，过点F的弦AB为直径的圆与准线l的位置关系 .
解析：过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别是A1，B1，取AB的中点为C，过C作准线l的垂线，垂足为C1，由抛物线的定义可知：|BB1|=|BF|，|FA|=|AA1|.
|AB|=|AA1|+|BB1|.
CC1是梯形ABB1A1的中位线.
2|CC1|=|AA1|+|BB1|.
|AB|=2|CC1|，即圆心C到准线的距离等于半径.
以AB为直径的圆与准线l相切.
变式：已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点是F，准线为l，过点F的弦AB，作AA1l，BB1l，垂足为A1，B1，求证：A1FB1F.
解析：在AA1F和BB1F中，根据抛物线的定义可知，|AF|=
|AA1|，|BF|=|BB1|，
2∠A1FA+∠A1AF=180°，
2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，
∠A1AF+∠B1BF=180°，
∠A1FA+∠B1FB=90°，
∠A1FB1=90°，即A1FB1F.
4.已知AB是抛物线y=x2上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a>1），求弦AB的中点M的纵坐标的最小值.
解析：设点M的坐标为（x0，y0），过A，B，M分别作准线l∶y=- 的垂线，垂足分别为A1，B1，N，得直角梯形ABB1A1，MN为梯形的中位线.
MN= （AA1+BB1），又y0=MN- .
连接AF，BF，在ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=a，当且仅当AB经过焦点F时取“=”.
根据抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，
MN= （AA1+BB1）= （|AF|+|BF|）≥ AB= a，
当弦AB经过焦点F时，中点M的纵坐标有最小值： a- .
5.如下图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程是（ ）
A.y2= x B.y2=3x C.y2= x D.y2=9x
解析：过A，B分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，准线与x轴相交于点K，则|BF|=|BB1|.
|BC|=2|BF|，|CB|=2|BB1|，∠B1CB=30°，
|AC|=2|A1A|=2|AF|=6，
F为AC的中点.
FK= AA1= ，即p= ，
抛物线的方程为y2=3x.
通过以上几个例子，让我们能够进一步理解抛物线的定义，能更好地解决与抛物线有关的焦半径问题和焦点弦问题，解决有关抛物线的最值问题和定点、定值问题.重视概念的理解是掌握基础知识的第一步，是发展学生基本技能，培养学生的运算能力、思维能力、逻辑推理能力和分析解决问题的能力的基础，是培养学生数学素养的基础.
抛物线及其标准方程范文4
关键词:抛物线 课堂设计
数学教学不同于其他学科,这是由于数学自身的特点――内容具有高度的抽象性,理论体系和推理方法具有逻辑严谨性,应用具有极端广泛性决定的。我国数论大师、中国数学学会理事长王元长先生曾指出:“提起数学不少人仍觉得头痛,难以入门,甚至望而生畏,我认为要克服这个鸿沟还是有可能的”。这个方法是,使学生对数学产生兴趣,对数学有兴趣,学生才会愿意去学习数学,喜欢数学。怎样培养学生对数学的学习兴趣,成为许多优秀教师研究的对象。而计算机进入课堂教学中,给教学带来了新的生力,使数学教学有了质的转变,本来枯燥无味的课堂因计算机辅助教学的作用而使得本身抽象的知识更变得生动活泼且易懂明了。我认为适时地应用多媒体辅助教学在一定程度上可以培养学生的数学兴趣。
因此在实习时,为了提高学生学习数学的兴趣,结合大学时学习的《中学数学教材教法》《心理学》《教育学》,更是凭借大学期间良好的计算机技术水平,我在给学生上“抛物线”这一节时,准备把PPT、几何画板、黑板这三者有机地结合起来,充分发挥三者的教学法优势,取长补短,尽可能使数学课堂生动起来,从而提高课堂教学效益。因为使用多媒体辅助教学有以下特点:
(一)形象生动:多媒体辅助教学课件通常是通过计算机把静态、抽象的课堂内容设计成动态、直观的内容展示给学生,便于学生理解这节课的内容。
(二)效率高:它展示的教学内容的速度快,只需要用键盘或鼠标简单操作几下,就能把教学内容展示出来。
(三)交互性强:使用多媒体辅助教学,有利于教师和学生更多的交流,让学生体会到老师就在他们学习之中。
(四)用多媒体辅助教学直观、明了、字体大,让学生看得清楚、能理解。
那么又怎样把多媒体辅助教学与传统教学(黑板)有机结合呢?
首先考虑这节课的特点,抛物线的定义和方程是很抽象的,如果教师只用黑板授课很难讲解清楚,而抛物线的形成又不能在黑板上表示出来。学生对标准的抛物线图形不了解就难以形成正确的概念。
中学生心理学研究指出,高中时期是学生智力发展的关键期,学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展,观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从心理学特点来看,高中学生有好动、好奇、好表现的特点,教师应该采用形象生动、形式多样的教学方式来教学,所以上这节课前就应该把学生的注意力集中在课堂上,这样讲新知识点学生容易接受一些。
我认为每堂课的设计重点应放在知识的重点、难点的突破上,而这节课的重点、难点都体现在对抛物线的定义理解和方程的推导过程两个方面。为突出重点,同时分散难点,我设计的大体流程如下:
第一张幻灯片用于课题引入,是用一个圆沿着抛物线运动,加上卡通画提高学生的学习热情,使得学生在讲解定义时注意力迅速转入到课堂内容上。抛物线的形成过程通过超级链接导入几何画板,这就发挥了几何画板的特点。自由控制抛物线的形成过程能让学生仔细观察抛物线的绘图原理,有助于他们理解抛物线的定义,还可以培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。这是符合学生的认知水平的(感性认识到理性认识)。
而用黑板板书抛物线方程及其推导过程有助于思维较慢的学生跟上分析过程。例2用板书来书写解题过程,是因为解题思路和过程对本节抛物线的应用这是重点,也是难点,真正达到更好地把握以及分散难点的目的。这也发挥了黑板“及时反馈”的优点,并且,教师在黑板上板书详细的解题过程,可以给学生以良好的示范,这样可以让学生在做作业时,养成较好的书写习惯。最后用幻灯片作小结能清晰、明了地展示出本节课的知识点及重点。
这种多媒体与黑板交互使用是以提高教学质量为目的,真正让多媒体辅助教学起到辅助作用,起到为教育教学服务的作用。在实习期间上完这节课,我发现学生提问题及其回答问题都很活跃,原来上课不认真、喜欢睡觉的学生同样认真听完这节课。课后我和那些有经验的老教师交流,他们说“最头痛的是上二次曲线这章内容,学生不易理解,我们也难给他们讲解清楚。”其实也是他们说的这样,这节的概念抽象,如果用传统的教学方法是不容易讲清。而用多媒体来辅助这堂课的教学,恰好能使学生的知识形成脉络,让学生真正达到融会贯通、学以致用的学习效果。
抛物线及其标准方程范文5
【文献编码】 doi:10.3969/j.issn.0450-9889（B）.2011.11.027
随着新课程改革的推进，新的教育理念日渐推广，教师如何组织课堂，如何在45分钟内最大限度地整合教材、教师自身、学生、环境四位一体的课程资源，从而大幅度提高课堂教学的效率，已成为一个急待解决的重要问题。本文就这个问题提一些见解。
一、 课前做好充分备课
要提高课堂效率，教师必须在课前做好充分备课。备课主要从两个方面进行。首先是备教材，在备课过程中要认真学习课程标准，通读教材，深入研究和了解教材的编写意图、思想内容、基础知识及其训练的要点，明确教学目标，即学生的学习目标。对哪些是让学生通过自己学习掌握的简单知识，哪些是中等难度的需要教师适当引导学习的知识，哪些是要由教师带领下共同克服困难去学习的知识，哪些是教师要重点强调的知识，教师要做到心中有数，并在教学时间分配上有个大概的安排。其次是备学生，要全面了解学生的思想状况、知识基础、智力水平、个性特点、兴趣爱好和个体差异等。比如，教师如何才能在课堂上吸引学生的注意力，对课堂学习目标，哪些学生可以自己完成，用多少时间完成，在哪些知识点上可以让学生 通过“自主、合作、探究”的活动去完成等，这些都要根据学生的具体情况来决定，只有充分了解学生，教师才能在课堂上进行有效的引导。
二、 课堂教学讲究方法
按新课程改革的要求，数学的课时减少，但内容并没有太多删减，这就要在45分钟内教学生更多的内容，因此，教师每句话都要说到点子上，力求讲得精，练得精。
1. 创设教学情境，激发求知欲望
上课开始教师就要创设不同的教学情境，通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪、多媒体等直观教具，刺激学生的大脑，使学生兴奋起来，激发学生对所学内容的学习兴趣。教学情境主要是问题情境，它应能激发学生的求知欲望，诱发学生的表达欲望，激发学生主动参与学习的动机，营造让学生产生切身体验的环境。例如，教学《抛物线的定义》一节时，可以先用多媒体放一段NBA球星科比在比赛中投篮的视频，然后提出“科比在投篮的时候篮球的运行轨迹是怎样的”的问题。在学生发表交流自己的想法的时候，教师再点明课题。
2. 促使学生参与，开展合作探究
学生是课堂的主人。一节课的效果不只是由教师讲得如何，还要看学生学得如何来决定的。因此，教师要努力促使学生积极参与，充分开展思维，通过共合作探究、小组讨论解决问题。在这个过程中，教师充当引导者的角色，让学生自己去体验问题探究。
如教学《抛物线定义》这一节课，教学的重点是抛物线的定义和标准方程，难点是抛物线方程的化简。学生在讨论什么是抛物线的问题时，有的同学提出球的运行轨迹就是抛物线，但如何引出其方程呢？就这个问题大家开展了热烈的讨论。有的同学说可以将地平线与过篮筐且与地平线垂直的直线为坐标轴建立坐标系，有的同学提出以地平线与过篮板平面且跟地面垂直的直线为坐标轴建立坐标系，还有的提出以地平线与篮板的支柱为坐标轴建立坐标系，等等。这时教师适时进行引导：“那大家不妨按这几个同学提出的方案列出抛物线的方程。”由于学生在前面已学习过椭圆与双曲线的方程，在比较中可以知道它们列方程的方法有相同之处，所以思维过渡比较自然。在求方程的过程中，学生完成工作的时间和结果互不相同，这是怎么回事呢？学生开展了讨论，这时教师不做任何的解释，只是说了句：“相信自己，只要你的答案有充分的依据，它就是正确的。当然，我们还要看看谁的方案最好，这个不妨与教材比比看。”得到了老师的肯定，大家的热情都很高，有些同学开始检验自己结论的正确，有些同学在比较自己的方案与其他同学方案的异同。在思考和讨论中，有的同学发现了问题：大家的方法都对，但其中有一种是最简单的。这就是所谓的标准方程。至此，教师觉得水到渠成了，让提出最简单的方案的同学将他的做法用投影仪展示出来，使大家都明白了求抛物线标准方程的方法与过程。最后，教师带领学生总结抛物线方程求解的过程与方法，并联系前面的课程，让学生在椭圆与双曲线的基础上又掌握一种新的圆锥曲线。以上过程是本节课最关键的部分，学生通过积极参与、合作探究解决了问题，体验了如何学习，这正是新课程标准所强调的。
3. 合理安排教学，引导学习方法
教师的组织与调控是提高课堂效率的重要因素。课堂中教师要合理安排好教与学，将学生的思维调整到解决问题的思路、方法上，让学生轻松愉快地解决问题，并使学习的过程与成果在学生的头脑中留下深刻的印象，这样，学习的目的达到了，师生一起体会成功的喜悦，效果自然就好。
叶圣陶先生说过：“假如学生能够‘领悟’了，能够‘研究’出来了，就无须教师‘讲述’了。教师所‘讲述’的，只是学生想‘领悟’而‘领悟’不到，曾经‘研究’而‘研究’不出来的部分。这才显出‘讲述’的真正作用。”长期以来，课堂教学效率低的一个重要原因就是教师讲得太多，学生活动太少，忽视了学生是否领悟。
上述的《抛物线定义》这一节课，从问题引入到求出标准方程共用了25分钟左右，这段时间里教师的活动、讲话都比较少，主要由学生自主学习、合作探究。由于学生已经具备的经验和能力对解决问题是没有什么困难的，所以在化简方程的时候教师适当点拨就可以了。教师主要向学生强调数形结合的思想与比较、分析、归纳的方法，采用提问、对比、联系相关知识等方式，让学生通过思考自己得出正确答案或结论，这样要比直接告诉学生更能使学生留下的印象深刻。
在教学中，教师适当引导学生掌握学习方法很重要，这是提高课堂效率的重要手段。新课程的课堂，学生在探求知识的过程中，需要自己观察、思考、探究的时间多了，理所当然产生的“疑点”也就多了。要解决这个问题，需要教师科学合理的引导。当学生或概念模糊，或真知与谬误难分，或挖掘不出知识内涵时，都需要教师的引导。同时，教师应根据不同的知识点，采取不同的形式，如网络法、集合法、表格法、列主题纲要法、列符号纲要法等，引导学生将新知识纳入原有知识结构中。在师生互动中，学生的认识、表达出现障碍时，教师可以通过重读内容、评价点拨、语言鼓励、顺向或逆向牵引思维等，推动学生的认识与表达水平迈上新台阶。
4. 选择适当练习，引导自我更正
每堂课教学的基本概念、核心知识，是要求每一个学生都要掌握的，这是课程标准的底线，所以学习新知识后要及时通过练习来巩固学生所学的知识。在《抛物线定义》这一节课中，学生在亲自解决求抛物线标准方程的问题后，对新知识的应用会有一种跃跃欲试的感觉，教师应及时让学生在练习中进一步巩固所学的知识。选择练习题目时，一要控制题目的难度，二要拓展题目的宽度，在基本目标达到的前提下，对学有余力的学生要拓展提高他们的认识，做到分层教学。对难度较大的例题教师可以用多媒体演示规范化的解答过程，让学生模仿演练。学生练习时教师巡堂并及时对学生的解法做适当的点拨，并让做得好的同学用投影仪展示他们的方法给其他同学参考，对典型的错误也可以投影出来让大家分析原因。在整个活动过程中，教师只是在出现争论的时候引导学生自我更正，让学生充分动脑动手动口，真正成为学习的主人。只有学生自己有体会了，能力才能真正形成，所学的东西才会消化。将练习都放到课外去，有时效率并不高，当堂练习有助于及时发现问题、及时更正、提高效率。
5. 学生自主总结，构建知识系统
每堂课的总结是学习的一种升华。通过教学实践发现，让学生来进行总结能提高课堂教学效率。学生在自主学习的过程中，对本节课所学习的知识是否有了深刻的印象，是否有了深切的体会，这可以从其总结中看出。如果达不到要求，教师可以用精要的语言来加以点拨。要注意的是，除要求学生总结出本节课所学的知识外，还应要求学生将所学的知识纳入知识板块中。比如学习了“抛物线的定义”这一内容，总结时学生大多都只说了本节学习了抛物线的定义、标准方程及求标准方程的方法、简单应用等，这时教师就要引导学生注意抛物线与其他圆锥曲线的区别与联系，并联系高考要求强调抛物线在圆锥曲线这个知识板块中占有的地位，让学生有意识地将分开学习的各部分内容组成一个系统，构建起“知识树”。
三、 以教师的魅力、能力提高效率
教师的人格魅力、应变能力和适时评价的能力等也是提高课堂教学效率的重要因素。
学生在学习过程中必定会遇到困难，当学生因此而表现出学习情绪不高、兴趣不大时，教师以其文化修养与人格魅力可以极大地影响学生、感染学生，使学生树立起克服困难的信心和勇气。因此，教师要努力提升自身的修养与魅力，让学生向往你的课堂，向往得到你的表扬，向往与你交流。
在教学中，往往有许多预料不到的情况出现，教师对此要能迅速、灵活、准确地做出判断处理，维持课堂稳定平衡，使学生的学习能继续有效开展，这是教师必备的一种课堂应变能力。这种能力要求教师能够将不利于课堂教学的因素转化为有利于、服务于课堂教学的契机，继而使课堂转入正常。
在课堂上，教师对学生的自主学习给予适时、科学的评价，能让学生真正感到你是在与他一起解决困难的，从而想与你一起学习。因此，一些不能引起学生共鸣的评价是要注意的。比如，当学生的回答并不是很精彩时，有的教师却给以“你真棒”、“你真聪明”……的评价；反之，对于学生精彩的回答、独到的想法却只给予 “你真棒”、“你真聪明”的评价，这些都会让学生感到教师不是真正发自内心在赞赏。坦诚、真切的话语才能使学生真实地体验到自己的成功，使学生得到主动发展的动力。
抛物线及其标准方程范文6
一、基础知识的综合
重难点剖析解析几何中直线与圆的基础知识的试题多为选择题和填空题，难度适中，但偶尔有与圆有关的解答题，难度可能较大． 圆锥曲线的基础试题主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的运用．
1. 直线与圆的综合
例1点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P与坐标原点距离的取值范围是（）
A． ［0，5］ B． ［0，10］
C． ［5，10］ D． ［5，15］
简析由于点P（x，y）在直线4x+3y=0上，则y=－x，又－14≤x－y≤7，则－14≤x+x≤7，解得－6≤x≤3，而点P到坐标原点距离为|OP|===|x|∈［0，10］，选B．
点评综合应用直线的方程、不等式的性质、两点间的距离公式等相关知识解决对应的直线综合问题时，关键是正确把握不同知识的切入点．
2． 圆锥曲线的综合
例2已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点． 设|FA|>|FB|，则|FA|与 |FB|的比值等于＿＿＿＿．
简析假设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=x－1，
y2=4x，消去y可得x2－6x+1=0，解得x1=3+2和x2=3－2（x1>x2），由抛物线定义知==3+2．
点评直接求解对应的线段长度后再加以求解比值问题，往往计算量大，难以操作． 灵活运用圆锥曲线的定义，则可轻松转化问题，进而顺利解决问题．
二、交汇知识的综合
重难点剖析圆锥曲线的综合问题在高考中多以压轴题的形式出现，主要涉及位置关系、弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，对考生分析问题、解决问题及计算能力的要求较高． 解析几何往往与平面向量、数列、导数、创新概念等交汇与综合．
1． 解析几何与平面向量
例3如图1，设椭圆+=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率e=，右准线为l，M，N是l上的两个动点，・=0．
（Ⅰ）若||=||=2，求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当||取最小值时，+与共线．
[图1][y][x][O][M][l][N][F1][F2]
简析（Ⅰ）由a2－b2=c2与e==，得a2=2b2，F1
－a，0，F
a，0，l的方程为x=a. 设M（a，y1），N（a，y2），则=
a，y1，=
a，y2. 由・=0得y1y2=－a2
由①②③三式，消去y1，y2，并求得a2=4，故a=2，b==．
（Ⅱ）
2=（y1－y2）2=y+y－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2=－4y1y2=6a2，当且仅当y1=－y2=a或y2=－y1=a时，
取最小值a，此时+=
a，y1+
a，y2=（2a，y1+y2）=（2a，0）=2，故+与共线．
点评圆锥曲线各基本量的关系，数形结合以及坐标运算均很重要．在求解圆锥曲线问题中应灵活应用“设而不求”的消元思想． 通过平面向量这一工具，巧妙入手，并结合平面向量与圆锥曲线，能够很好地考查各方面的能力．
2． 与数列及导数的综合
例4如图2，设抛物线方程为x2=2py（p>0），M为直线y=－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，－2p）时，|AB|=4，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p>0）上，其中，点C满足=+（O为坐标原点），若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
[y][A][图2][x][B][O][M][-2p]
简析（Ⅰ）由题意知Ax1，
，Bx2，
，x1
+2p=（x2－x0）. ②
由①②得2x0=x1+x2，所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①②并整理得x－4x1－4p2=0，x－4x2－4p2=0，所以x1，x2是方程x2－4x－4p2=0的两根，因此x1+x2=4，x1x2=－4p2. 又kAB===，所以kAB=. 由弦长公式得|AB|=・=・，又|AB|=4，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y．
（Ⅲ）设D（x3，y3）（以下y1，y2分别代表A，B的纵坐标），由题意得C（x1+x2，y1+y2），则CD的中点坐标为Q
，
. 设直线AB的方程为y－y1=（x－x），由点Q在直线AB上，并注意到点
，
也在直线AB上，代入得y3=x3. 若D（x3，y3）在抛物线上，则x=2py3=2x0x3，因此x3=0或x3=2x0，即有D（0，0）或D2x0，
．
（1）当x0=0时，x1+x2=2x0=0，此时，点M（0，－2p）适合题意；
（2）当x0≠0时，对于D（0，0），此时C2x0，
，kCD==，又kAB=，ABCD，所以kAB・kCD=・==－1，即x+x=－4p2，矛盾，对于D2x0，
，因为C2x0，