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三角函数值范文1
关键词：三角函数;值域;求法
一、可化为y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型
例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.
解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2
=sin2x+cos2x+2
=2sin(2x+π4)+2
y∈［2-2,2+2］
二、可化为二次函数
例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域
解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1
因为cosx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.
三、反解法
例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域
解: 因为2ycosx-2y=3cosx+4
所以（2y-3)cosx=2y+4.
所以cosx=2y+42y-3.
|cosx|=|2y+42y-3|≤1
解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)
四、当式子中同时含有sinx±cosx,时，常使用换元法
例4 当x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.
简解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］
所以2sinxcosx=1-t2
所以y=-t2+t+1∈［-1,54］
五、配对法
例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范围.
cosx+cosy=t (1)
sinx+siny=1(2) 两式平方相加得：
2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］
所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角函数的值域照样适用
如分离常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2
简解：整理得：2m>sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法”解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在研究“沙子和水谁的吸热本领大”时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间变化的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请根据图象说出水在受热过程中温度变化的特点.
(3)加热满2 min时,水吸收了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精如果完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，吸收相同热量时沙子温度升得多.
(2) 水在受热过程中温度变化呈先快后慢，至沸腾时温度保持不变的特点
(3) Q吸=c·m·Δt=4.2×103 J/(kg·℃)×0.2 kg×(70 ℃－20 ℃)=4.2×104 J
(4) m=0.8 g×10=8 g
Q放=mq=8×10-3 kg×3.0×107 J/kg
=2.4×105 J
分析：其中（1）（2）（3）（4）解题如上，不再多赘.
（5）的解题部分同学解题如下：
取t=2 min，Q沙吸=Q放=mq=1.6×10-3 kg×3.0×107 J/kg=4.8×104 J
C沙=Q沙mΔt=4.8×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)=1043.5 J/(kg·℃)
理由是：根据图象、题意，取t=2 min，Q放=mq，酒精燃烧放出的热量可以求出，放出的热量是供沙子升温的，且题目没有给出沙子吸收的热量是酒精燃烧放出的热量的百分比，那沙子吸收的热量就等于酒精燃烧放出的热量.所以解题如此.如果我们采用“对比法”，就会正确找到沙子在t=2 min内吸收的热量了.
共同点：①沙子与水的质量都是200 g；②两只完全相同的酒精灯同时加热.
不同点：①加热对象分别是沙子、水； ②图象中可以看出在相同时间内沙子与水升温不同
再根据苏科版物理九年级上P41的信息快递：如果加热方法完全相同，就可以认为单位时间内物质吸收的热量相同.取t=2 min，就很快找到沙子吸收的热量等于水吸收的热量4.2×104 J了，这个热量小于1.6 g酒精燃烧放出的热量4.8×104 J.题目的难点就会突破，解题也就豁然开朗、水落石出了.
三角函数值范文2
关键词：三角函数；最值；题解
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
前言
在数学教学中三角函数是学习章程中独立的一章，也是在历年的考试中重要的考点之一，要想把三角函数学好，首先必须要对之前所学的三角公式灵活运用，能快速的看出需要变形的恒等。三角函数的最值运算是结合了许多数学知识和运算方法，所以在解题的过程中很可能会因为变形错误、问题理解错误等诸多问题而最后影响了运算结果。所以在学习三角函数最值的时候，同学们应有针对性的学习，对教学的重点、难点提前预习，理解渗透三角函数的应用公式，学习的时候注意听老师的思维方法和解题步骤，这样会对学习三角函数最值有很大的帮助。
在求最值的问题的时候首先要了解求什么类型的最值，其中三角函数的的最值是利用三角函数性质来解决，如果是求一般的最值问题，现在普遍运用的方法一种是利用函数的单调性，另一种是利用导数，在学习三角函数之前可以把曾经做过的有关最值问题进行细致总结，分析题目中所给出的几个方向，方向的选择是通过读题，如果出现多套思路，只要灵活运用所学到的数学方法去处理问题就行。
1 求三角函数最值的方法
求三角函数最值的方法有很多，其中最常用的有配方法、反求法、分离常数法、辅助角法、换元法、不等式法等方法，但是在学习三角函数最值的时候，如果让学生学习如此多的方法，会使他们造成公式混乱更加难以理解学习的内容，学到最后连最基本的方法都没有掌握，出现“丢西瓜捡芝麻”的情况。所以在学习三角函数最值的时候，重点掌握三种方法，它们是所有方法当中最基本也是最常用的，有配方法、反求法、辅助角法，其中反求法的应用范围与分离常数法是异曲同工之妙，它们都要在掌握变形的是同时又需要灵活运用，这种方法通俗易懂、化繁为简，但是分离常数法不能像反求法一样作为重点学习。
在对运算公式和方法融会贯通之后，就要运用实例来测试自己的学习成果，但不是所有的例题都能反映出学习效果，要做有特点的例题，因为这种例题能够很好的反映和体现三角函数最值的求法和变形，还能通过这种例题反映出在做题过程中应注意的细节问题和容易出错的地方，通过做题更深入的了解这三种运算三角函数最值的方法。三角函数最值的学习还是要通过老师得讲解和同学的实际运算相结合，因为三角函数最值的方法是固定的，只有在老师讲解完学生理解之后才能自己独立做练习题，只有充分发挥这三种方法，并多加练习，才能提高三角函数最值的学习效率。
2 三角函数最值的解题思路
如果是属于三角函数方向的题目，在解题思路上不应该出现不容易把握的状况，那么在三角变换这个方向上，三角题目的解题方向有的同学在学习过程中把握不好，其中有很多原因，比如在答题时看到题目，套用一个公式写上去，答完之后发现所用的公式不对，然后重新再换一个公式答题。总是这样的反复套用，就显得思路混乱，对公式的掌握程度不够，往往有的时候，第一次考虑一个公式往上一用，题目解的很顺，就会认为已经对三角函数掌握的很好，但是当下一次依然运用这个公式的时候，问题没有解开，然后又选择第二个甚至第三个公式，依旧解不开，于是会对心里就会产生影响，这是学生在学习三角变换中很常见的现象。主要原因就是因为三角函数的公式很多，变换的形式多变，这就好像走到了十字路口，然后站在中间，接下来还有许多条路，但是我们只需要选择最短最快的一条路，而我们站在路中间看不清楚，这跟解答三角函数最值问题是相似的，所以就要求在解答三角函数最值的时候对已知条件仔细研究，准确分析，根据具体的题目，考虑是先从和角公式还是差角公式着手，然后在分析两角之间存在的必然关系，函数与函数的关联，题目分析准确之后掌握好解题方向，把应该用到的公式结合起来，按照解题步骤一步一步的解答。只有按照以上方法进行分析三角函数最值才是合理的、准确的。
2.1 给角求值
三角函数中最值问题应熟练掌握三角函数中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式，还要具有逆向思维的头脑，将非特殊角转化为特殊角例如：30°、60°、90°，写明求值的过程，然后进行解析，总体来讲就是先将角度转换在利用切割化弦运算依次是化为特殊角最后是约去部分，解决这类问题的关键就是特殊角转换，然后约去非特殊角。
2.2 给值求值
给值求值这种三角函数求值法的运算过程中，经常会遇到同角之间的运算关系和推论方法，给值求值的关键就在于利用已经给出的条件与要求得的值之间角的运算，对于已知条件和未知条件之间进行转换或者是变形，达到求解的目的。
3 三角函数问题中常见错误分析
三角函数作为数学章程中独立的一部分，它的特点鲜明，其中需要熟悉掌握的公式比较多，需要灵活的变换公式，往往一道问题会有多个答案出现的情况，所以导致了在解题的过程中会因为思维混乱而陷入误区，但还是因题而异。
3.1 定义域
三角函数中的恒等之间变换必须要使三角函数是有意义的，在区间内的任意角范围不能改变的情况下，对于切角和割角的定义域范围就显得尤为重要，要仔细分析研究切割角两类函数，否则很容易造成运算失误，最终导致答案错误。
3.2 单调性
三角函数运算过程中会给出一部分已知条件，利用已知条件去求某一项，这个时候很多人在答题时经常性的忽略单调性，如果是在某一区间上的角，这样就会使答案增加。
4 三角函数求值域的类型
在解决三角函数的时候，还有可能会遇到求值域的问题，在解决值域问题的时候，一定要熟练运用三角之间的代换，看到题目的时候不要急于解答，要先仔细观察，分析研究给出的已知条件，大多情况下都是利用数形结合的运算技巧。
例如： f(x)=asinx+b，这种函数我们可以把它看作是定义中的某个函数，那么这种函数的最值就是[f(x)]max= +b；[f(x)]min= +b
4.1 双曲线型
例如：f(x)，这样的函数就可以把它看作是双曲线函数在某个区间上的图形，函数值有可能在双曲线的一支上，也有可能函数值分别在双曲线的两支上。
4.2 抛物线型
例如：f(x)=asin2x+bsinx+c (a≠0)，这样的函数可以把它看成是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)在x （-1，1）时的函数值范围，当这个函数值在一定区间下，达到一个最值，而另一个最值，在另一个区间，如果函数是在某个区间上单调，那么它的最值应该是在两端点处。
结论
综上所述，三角函数在惯例考试中是经常出现的数学题目，通常试卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函数之间的关系，还有三角函数的恒等变形的灵活运用程度。三角函数覆盖了丰富的数学公式，复杂的运算步骤，需要注意的是在学习三角函数的时候，必须要准确的牢记三角函数所有公式，熟练的使用变换方法，根据不同的问题思维要灵活，把所学到的公式融会贯通，这样就会顺利的解决问题。
参考文献
[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究,2004,(1).
三角函数值范文3
一、配方法
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们的最高次数是2时,一般可通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.
例1 求函数y=5sinx+cos2x的最值.
分析 题目中的三角函数名一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和倍角,所以可先化简,使三角函数的名和角达到统一,然后配方求最值.
解 y=5sinx+(1-2sin2x)=-2sin2x+5sinx+1
=-2(sinx-■)2+■.
-1≤sinx≤1,
当sinx=-1,即x=2kπ-■(k∈Z)时,y■=-2×■+■=-6;
当sinx=1,即x=2kπ+■(k∈Z)时,y■=-2×■+■=4.
说明 形如y=asin2x+bsinx+c和y=acos2x+bcosx+c的三角函数式,都可用配方法求最值.
二、界值法
在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征――有界性,利用正弦函数与余弦函数的有界性,是求解三角函数最值的最基本方法.
例2 求函数y=■的值域.
分析 此为y=■型的三角函数求最值问题,分子、分母的三角函数同名、同角,这类三角函数一般先化为部分分式,再利用三角函数的有界性求解. 或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性求解.
解 原函数可变形为y=1+■.
又|cosx|≤1,可直接得到y≥3或y≤■.
说明 形如y=■(或y=■)的三角函数最值问题都可用界值法来解.
三、辅助角法
当题目中的三角函数式比较复杂时,我们可以利用倍角公式进行降幂,先化成 f(x)=asinωx+bcosωx+c的形式,并引进辅助角,最终化成 f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,再求最值.
例3 已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),求函数f(x)的最小正周期和最大值.
分析 在本题的函数表达式中,既含有正弦函数,又含有余弦函数,并且含有它们的二次式,故需设法通过降次化二次式为一次式,再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式.
解 f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+■sin(2x-■).
f(x)的最小正周期为π,最大值为1+■.
说明 解这类问题先降幂是关键,一般常用以下四个三角公式来降幂:sin2x+cos2x=1,cos2x=■,sin2x=■,2sinxcosx=sin2x.
四、换元法
对于表达式中同时含有sinx±cosx与sinxcosx的函数,运用关系式(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值,但必须注意换元后新变量的取值范围.
例4 求函数f(x)=■的值域.
分析 式中有两个三角名,可通过角的变换转化为代数式求函数值域问题.
解 令sinx+cosx=t,则t=■sin(x+■),t∈[-■,■].
又因为1+sinx+cosx≠0,所以t≠-1,
于是t∈[-■,-1)∪(-1,■].
又由 2sinx・cosx=t2-1得sinxcosx=■,
所以f(x)=g(t)=■=■(t-1),t∈[-■,-1)∪(-1,■].
三角函数值范文4
问题1：请用一条直线，把ABC分割为面积相等的两部分。
解：取BC的中点，记为点D，连结AD，则AD所在直线把ABC分成面积相等的两个部分。
大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过ABC的三条中线的直线，能把ABC的面积分成相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于ABC边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。
问题2：点E是ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E求作一条直线，把ABC分成面积相等的两部分。
解：如图2，取AB的中点D，连结CD，过点D作DF∥CE，交BC于点F，则直线EF就是所求的分割线。
证明：设CD、EF相交于点P
点D是AB的中点
AD=BDSCAD=SCBD
S四边形CAEP＋SPED=S四边形DPFB＋SPCF
又DF∥CESFED=SDCF（同底等高）
即：SPED=SPCF
S四边形CAEP=S四边形DPFB
S四边形CAEP＋SPCF=S四边形DPFB＋SPED
即S四边形AEFC=SEBF
由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而且经过边上任意一条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样的分割线。
那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？
大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三条中线交于它的重心，如果这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重心。
问题3：已知：如图3，在ABC中，G是ABC的重心，过点G作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：SAEF=SABC.
证明：延长AG，交BC于点D
点G是ABC的重心
AG:AD=2:3
又EF∥BC，AEF∽ABC
由本题可得：过AB边上的点E，经过重心G的直线，EF把三角形面积分为4:5两部分，直线EF并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过点E把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G。
综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可以作出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。
1.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
例1
求值：sec50°+tan10°
解析：sec50°+tan10°
=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°
=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°
=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°
=cos40°+cos20°cos10°
=2cos30°cos10°cos10°=3
总结评述：本题的解题思路是：变角切割化弦化异角为同角转化为特殊角约去非特殊角的三角函数。
解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。
2.给值求值给出角的一种三角函数值，求另外的三角函数式的值，常用到同角三角函数的基本关系及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的关键是找出已知条件与欲求的值之间的角的运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以适当的变形，以达到解决问题的目的。
例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值
策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。
解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26
cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)
1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26
3.给值求角
给出三角函数值求角的关键有二：
（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。
（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。
例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。
解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。
cosα=－750且α∈（0，π）
sinα=150,tanα=－17
又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34
tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα
=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1
α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)
β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)
2β∈（π,2π），tan2β=－34<0
3π2<2β<2π
α+2β∈（2π，3π）.
而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4
三角函数值范文5
(江苏省扬中市第二高级中学，212200)
第二期江苏省高中数学青年骨干教师研修班于2013年12月在南京市中华中学，进行了为期3天的“三次磨课，多次反思”活动。
在这期间，我们就“数学概念教学”这一研修主题，以“三角函数的周期性”教学为例展开了分组研讨。通过人人备课、小组研讨、组内抽签上课、专家针对点评、集中汇报、组内反思再设计等环节的多次反复，笔者受益颇深。
此后，笔者认真反思总结，将本节课的教学思路梳理为：首先利用生活中的周期现象引入，然后利用圆周运动建立数学模型，定义三角函数、三角函数线——围绕的都是周而复始的现象；接着从数学的角度，将现实的问题形式化、精确化、可操作化……让这些建构的过程在数学概念的形成过程中具有一致性。然后，笔者精心设计，重上了这节课。
一、教学过程
（一）概念的引入
师三角函数在本质上，是对单位圆圆周上一个点运动的“动态描述”，是刻画周期现象的数学模型。
（教师出示问题1：你对这里的“周期现象”如何理解？它是一种怎样的规律？）
生 每间隔一定时间会重复出现，即“周而复始”的现象。
师 这里的间隔是定值，还是变量呢？
生 定值。
师 我们生活中有周期现象吗？你能举出例子吗？
生 日出日落。
师 这个现象的变化规律是什么？或者说，“周而复始”在你所举的例子中是如何体现的？
生 每过24小时日出日落便重复出现。
师 同学们还能举例吗？
生 四季更替。每过1年四个季节便重复出现。
（教师总结并板书，如图1所示。）
师 从刚才所举的例子中，我们可以发现“周而复始”表现为：时间在变，结果不变。
[设计意图：学生在本节课的学习之前就对周期现象有模糊的认识，可以用自己的语言来表达自己所理解的周期现象，但呈现出“描述不准确、理解不深入”等特点。这里从学生的已知入手，从生活情境入手，引导学生对所举实例进一步思考，从而一步步接近周期现象的自然本质。]
（教师出示问题2：在之前对三角函数的研究过程中，你发现有周期现象吗？并具体阐述。）
生 终边相同的角的三角函数值相等。
师 这里什么在变，什么不变呢？
生 角的大小在变，终边位置不变，从而三角函数值不变。
（教师用几何画板动态演示学生所描述的变化过程，如图2所示。）
师 你能用函数的观点来说明这种变化规律吗？
生 自变量是“角的大小”，因变量是“正弦值（余弦值、正切值）”，自变量每间隔2rc，因变量结果相同。
（教师总结并板书，如图3所示。）
师 我们把三角函数所具有的这种周期现象称为三角函数的周期性。
（教师揭示并板书课题。）
[设计意图：数学本质上是模式或模型的科学，其目的是揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构。这里通过自然语言、图形语言、示意图（“模式直观”）、符号语言来表征三角函数的周期性，以便促成不同表征之间的转换与转译。]
（二）概念的建构
师 如果一个函数具有周期现象，它就叫做周期函数。
师 这3种书写，哪一种比较简洁？
生 后面两种。
师 哪一种比较规范、严谨呢？
生 最后一种。
师 以为特定值，能为0吗？为什么?生不能为0。若为0，这个式子就变成f(x)=f(x)，从而任意一个函数就都是周期函数了。
师 那这里的x又该取什么值呢？为什么？
生 定义域中的每一个值。
（教师展示教材中函数周期性的概念。）
[设计意图：这里让学生经历由特殊到一般生成定义的过程，并且通过追问，培养学生思维的严密性、表达的准确性，也使得学生对定义有初步的理解。]
（三）概念的理解
（教师出示问题4：请你谈谈对周期函数定义中表达式“f(x+T)=f(x)”的理解？然后，引导学生从自然语言、符号语言、图形语言3个方面去理解。）
师 你觉得周期函数的图像会是什么样子的呢？
生 不断地重复某一段。
[设计意图：周期性的定义有多重表征形式，在学习和今后解决问题的过程中，不同的学生会偏好不同的表征。这里照顾学生之间的差异，同时也便于在不同的表征之间建立联系，让学生对周期性有更深刻的认识。]
（教师出示问题5：根据定义，正弦函数除2π外有其他周期吗？）
生 2kπ(k∈Z)都是周期。
师 没有例外？
生 k≠0。
师 这么看来，周期函数有无数个周期，每个都研究的话就太麻烦了，选哪一个出来研究呢？
生 挑一个特殊的。比方说，在2kπ(k∈Z且k≠0)中就挑2π。
师 也就是说，挑“最小的正数”。
（教师展示教材中最小正周期的概念。）
师 今后所说的周期，如果不特别说明，一般都指函数的最小正周期。余弦函数、正切函数的周期分别是什么？
生 2π，π。
[设计意图：这里通过思考和辨析，进一步促进学生对概念的理解，在丰富了学生知识结构的同时，说明了研究最小正周期的必要性。
（四）概念的应用
师 （出示图4）这个图给你的直觉是什么？根据这个图你能得到哪些信息？
生 我觉得这是一个周期函数的图像。根据图像，可以得出这个函数的周期，还有一些函数值。
师 周期性的用途是什么？你觉得由你读出的信息，还可以继续得到些什么？
（学生互相讨论、自主汇报，教师总结。
接着，教师出示如下例1。）
例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)
之间的函数关系如图4所示，求t=10s时钟摆的高度。
（学生独立解决此题。部分学生通过补充的图像解决，部分学生通过得到的函数式解决。教师出示问题6：回顾这道题，你所体会到的周期性对解题有什么帮助？）
生 确定了周期后，就能将要求的函数值转化到一个基本的区间上了。
师 你能根据周期函数图像的特征，把上图再补充一些出来吗？
（学生画图。）
师 由图可知f(2+0.5)=f(2)，那么，0.5也是该函数的一个周期。对不对？
生 不对。只对一个自变量取值成立不能说明问题。
师 如果在这个函数图像中挖去一个点，它还是周期函数吗？
生 不是。有一个点不成立都不行。
师 如何继续破坏，让其变成一个周期函数？
生 从此点出发，沿z轴方向，每间隔一个周期长度，去掉一个点。
[设计意图：这里适当改变问题呈现的顺序，让学生依次学会读图、识图、用图，先思考周期性的应用、再通过例题验证，并让学生在交流和汇报中提升。题目解决后的反思，是为了培养学生良好的解题习惯，也有利于学生优化认知结构。其后的一连串追问，既是例题的变式，也是周期性概念的变式，进一步深化了学生对概念的认识，巩固了学生所学的知识。
（教师出示如下例2。）
二、教学感悟
（一）要对内容有整体的理解
苏教版高中数学教材的编写者之一樊亚东老师说过：“数学教师在进行教学设计时，要思考你是上一节课，上一章的课，上一本书的课，还是上三年的课。”
对本节课来说，首先，要了解并落实教材的编写意图。不同版本的教材中，周期性概念在出现的顺序上是有差异的。比如，人教版教材是先研究三角函数的图像，再借助图像观察、概括、抽象出一般函数的周期性。苏教版教材则是先研究三角函数的周期性，再研究三角函数的图像与性质——旨在解释作正弦函数图像只需要作出[0，2π）上的即可，而对于一般函数的周期性只需要了解即可。
其次，要掌握概念教学的核心是概念的生成。回顾函数单调性、奇偶性概念的生成，大体都经过了这样一个过程：图像特征一点的坐标关系一形式化定义。而苏教版教材顺序上的改变，导致学生缺乏概括周期性概念的具体图像。因此，本节课从生活中的实例引入，进而借助学生已经掌握的等式sin(x+2π)=sinx，分析后给出形式化定义，同时从自然语言、符号语言、图形语言3个方面来加深学生对概念的理解。
（二）要对学情有准确的把握
学生在学习本节课内容之前，已经能够感知生活中有大量的按照一定规律不断重复出现的现象，对周期现象的概念有了模糊的认识；而且已经学习了函数的单调性、奇偶性，具备了研究函数性质的基本经验，也对形式化的定义表示有了一定的认知基础。因此，周期性概念的生成要落实在学生的最近发展区。
此外，概念的生成、例题的讲解等，要充分考虑高一学生的思维特点：他们已经有了初步的抽象概括能力，但绝大部分学生的思维还是以直观为主。因此，板书的图示和课件的演示，都能帮助学生更直观地理解知识；而概念的生成应该采用由特殊到一般的方法，概念的理解应该以具体的函数作为媒介；且概念的辨析也应该出现在概念的建构过程中，而非在应用之中。
三角函数值范文6
关键词：美；学习兴趣；抽象美
美是能够引起人们愉悦或使人感到和谐、快慰或让人产生爱（或类似爱）的情感、欣赏享受感、心旷神怡感或有益于人类、社会的客观事、物的一种特殊属性。通常我们所说的美以自然美、社会美以及此基础上的艺术美、科学美的形式存在。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心，是数学中奇妙的、有规律的、让人愉悦的美的东西。
我国著名数学家华罗庚说：“就数学本身而言是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”
数学中充满着美的因素。数学家徐利治说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性、普遍性，还有数学中的奇异性等都是数学美的具体内容。”
数学美有别与其他形式的美。它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面。它却是一种独特的美。它的美可表现在数学对象的外表：精美的图形、优美的公式、巧妙的解法。但总的来说：数学中的美还是深深地蕴含在它的基本结构之中，这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解。
在数学教学中，如何解读数学的美，让学生充分感受数学的美，培养和提高学生的审美能力，激发学生对数学美的热爱和追求，进而提高学生对数学的学习兴趣。笔者以三角函数为例，分别从以下几方面发掘数学中蕴含的美的因素。
一、对称美
数学作为研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学，其中充斥着对称之美。有几何图形的对称，还有定理、公式的对称。而最易让学生感受，并产生强烈的视觉美感的莫过于几何图形、函数图象的对称之美。
例如，在讲解“三角函数y=sinx的图象和性质”时，可这样设计教学过程：
1.首先要求学生通过计算列出x，y的对应值表。
2.让学生在直角坐标系中，描点画出函数图象。
3.利用图象观察和认识函数的性质和变化规律。
4.教师演示利用计算机或图形计算器画出的图象，动态的展示y=sinx图象的轴对称性和中心对称性。
数学活动过程中，学生自己动手画图，主动观察、探讨图象的性质。再由老师动态直观的演示这些对称性。整个教学过程中，重视几何直观性。让学生在探究学习中认识“对称美”。
二、简单美
爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。
苏霍姆林斯基认为：自然界里许多美的事物，如果不事先指给孩子们看、讲给孩子们听，他们自己是不会留意的。这就要求我们教师能发掘数学的美，并逐渐引领学生进入美的天堂。
参考文献：
[1]刘萍.数学美的哲学思考.数学教育学报，1999（2）.
