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数的奇偶性范文1
一、函数的周期性
一般地说，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使取定义域内的每一个x值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。理解周期性要注意以下几点：1.定义适合定义域中的每一个x值。2.并不是所有周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)=c，所有的正数都是它的周期，但没有最小值，故常数函数没有最小正周期。3.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(?资∈?篆+)也是周期。4.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或无下界。5.设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）= ③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），则函数y=f（x）是周期函数。
二、函数的奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数y=f（x）就叫做奇函数；如果对于函数（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数。理解奇偶性要注意以下几点：1.定义域必定关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2.奇偶性是研究函数在整个定义域内的函数值的对称问题。3.若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，反过来不一定成立，如：f（x）=0（-1
三、周期性与奇偶性的结合
周期性解决的问题是自变量相差常数（周期的倍数）时，对应的函数值相等；奇偶性解决的问题是自变量互为相反数时，函数值的关系。当求某一函数值时，可以先考虑一方面进行变化，如得不到结果，再从另一方面进行变化，从而解答相关问题。现举例如下：
例1：已知f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，且当 x∈（0，1）时，f（x）=2x-1 ，则f（log212）的值为 。
解析：3
f（log212） =f（log212-4）=f（4-log212）=24-log212-1=
评析：函数的周期为2，则自变量相差2的整数倍的函数值相等，但只给了（0,1）时的解析式，所以再利用偶函数性质，互为相反数的两个自变量对应的函数值相等，得出所要求的函数值。
例2：（2010?安徽卷）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）＝2 ，则f（3）-f（4）= （ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2
解析：由周期性得f（3）=f（-2），再由奇函数得 f（-2）＝-f（2） f（3）=-f（2） 同理f（4）＝-f（1）f（3）-f（4）=f（1）-f（2）=1
评析：函数是奇函数可求互为相反数的两个自变量所对应的函数值，周期可得自变量相差5的倍数的函数值相等。只有两个性质灵活运用才能顺利解决问题。
练习：已知f（x）是定义在R上的以4为周期的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=lg（x+1）， 则有（ ）。A.f（-）>f（1）>f（） B.f（-）>f（）>f（1） C.f（1）>f（-）>f（）
D.f（）>f（1）>（-）B. （答案A）
例3：已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n，则n可能为（ ）A.0 B.1 C.3 D.5
解析：f （x）为奇函数且周期为T，f(0)=0 f(T)=f(-T)=0 又 f(-)=f(-+T)=f()=-f(f()=0, f(-)=0 f(x) 在 [-T,T]上至少有5个根。(答案D)
评析：1.奇函数定义域包含0，则f(0)=0。2.奇函数得出 f(-)=-f(),周期性得出 f(-)=-f() f()=0。此题通过两个性质的巧妙结合可以培养学生分析问题和解决问题的能力。
练习：若f(x)是R上周期为3的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内的解至少有（ ）。 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 (答案D )
例4：已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，并且x∈(0,1]时，f(x)=x2+1，则f(462)的值为（ ）。A.2 B.0 C.1 D.-1
解析：由奇函数得f(x)=-f(x)，由图象关于直线x=1对称得 f(-x)=f(2+x)f(2+x)=-f(x)T=4 f(462)=f(2)=f(0)=0
评析：函数既有奇偶性，又关于直线x=a(a≠0)对称，则函数必为周期函数，又奇函数f(0)=0，结合关于x=1对称，f(2)=f(0)=0 f(462)=0
数的奇偶性范文2
关键词：函数奇偶性；数学教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）36-0044-03
近期观摩了几位老师《函数的奇偶性》的教学，颇有感悟，所思为文，谨与各位老师共同探讨。
一、理解课标，分析教材
关于普通高中课程标准实验教科书・数学（必修1）（人教A版）（以下简称人教版教材）P33～36的教学内容，《数学课程标准》明确要求：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。《数学课标解读》别说明：在教学中，要重视图形在数学学习中的作用，挖掘函数图象对函数概念和性质的理解，对数学的理解、数学思考的辅助功能；要注意几何直观的局限性，避免用几何直观代替逻辑证明的错误做法。
《教师教学用书》中也明确指出：研究函数性质时的“三步曲”为：第一步，观察图象，描述函数图象特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；第三步，用数学符号语言定义函数性质。教科书在处理函数的奇偶性时，沿用了处理函数单调性的方法，利用图象、表格探究数量变化特征，通过代数运算、验证发现的数量特征，在这个基础上建立奇（偶）函数的概念。
综上可见，从研究对象来看，奇偶性是从形到数，再从数到形，思维对象在数形之间不断地转换；从思维方式来看，有尝试、归纳、猜想、直观等合情推理，也有严谨的演绎推理，思维方式在直觉与逻辑之间转换；从语言形式来看，有自然语言、图形语言、符号语言，问题表征在三种语言间转换，学生思维在这三对转换之间不断地由粗糙到精致、由直观到逻辑、由肤浅到深刻、由零碎到系统，得以自然的生长。
二、教学片断，持续思考
（一）“生活问题数学化”与“数学问题生活化”
大部分老师通过生活中的实例，展示一些美丽的具有对称性的图片，通过感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性，让学生在对具体问题的体验中感知概念。有的老师从具体函数图象引入，回顾单调性的研究过程，从数学的问题出发，引入本节课。两种方式均是在学生认知的基础上提出问题，引发学生在最近思维发展区积极思考，努力建立已有基础与发展区之间的联系。前者从一般轴对称和中心对称到特殊对称，从生活中的“形”到数学中的“形”，从“形”规律到“式”的规律。后者采用“开门见山”的导入方式，充分利用教材的编排顺序，直接点明要学的内容，沿用单调性的研究方法，使学生的思维迅速定向，明确目标、突出重点。情境引入环节，是“数学问题生活化”，还是“生活问题数学化”，值得我们探讨。
（二）“奇偶性的定义”与“奇偶性的性质”
有些教师从几何的角度给出定义：如果函数的图象是给出的，并且图象是关于y轴对称，这样的函数就是偶函数；如果图象是关于原点对称，这样的函数就是奇函数。人教版教材也是从几何直观的角度导出函数奇偶性的定义的。那么，我们是否可以用观察图象来判断函数的奇偶性呢？
问题的关键在于，函数图象是怎么画出来的呢？学生刚从初中升入高中，所接触的函数只是一些最基本的初等函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数。而这些函数的图象是比较简单的，可以通过描点连线得到。但是这样得到的图象是不精确的、粗糙的。另外，函数图象千姿百态，并不是都简单易画的（当然我们可以借助图形计算器），那我们该如何判断函数的奇偶性呢？
经过这样的思考，显然只有严格推理，才能明确函数的奇偶性。即便是我们很清楚的正比例函数、反比例函数也要通过定义去判断去验证。正是函数具有奇函数或偶函数性质，函数的图象才一定会关于原点对称或关于y轴对称。至此，谁为定义谁为性质一目了然。
（三）“判断奇偶性”与“x的任意性”
大多数老师把“判断函数奇偶性”作为教学的重难点，总结判断的步骤。从教学出发，应该把“x的任意性”作为重点，重头戏应该是用几何直观感受对称，进而用代数形式给这种对称关系进行一般性刻画。前者，是从评价出发，受考试影响的结果。后者，是从认知出发，努力寻找将已有知识纳入到新学知识的途径，利用已有的研究方法来研究新的知识，让新的知识能够在已有的方法中持续生长。如，回顾研究函数单调性的过程与方法，重温单调性中“任取”的突破过程，这样做都是为了让知识能够自然而顺利的生长。如果只是停留在对知识的死记硬背，追求概念教学的最小化和习题教学的最大化，那么学生对知识的理解只能是机械的、零碎的。
（四）“整体到局部” 与“局部到整体”
如果把函数的一个个具体的知识看作“树木个体”，把与函数相联系的知识与方法看作“森林整体”的话，教学中就要处理好“树木个体与森林整体”的关系，要求既能够从“个体”认识“整体”，也能够从“整体”认识“个体”，两个方面都不可缺少。为此，既要注重与函数相关知识与方法的认识，又要注意对函数某一个特殊性质的分析与理解。所以，在函数奇偶性教学中，要在函数概念“大背景”下展开教学与学习。
遗憾的是，很多教学没有在认识函数整体上下功夫。例如，函数图象认识，从奇偶性角度，就是知道函数图象部分，再由部分推断函数整体；反之，由整体推断部分，具体的说就是“已知奇偶函数的一半图象，求另一半图象”。如果按照以下教学流程很难体现以上教学思想①展示生活或数学中的对称现象；②从具体到一般，形成奇（偶）函数的概念；③通过例题或练习，规范判断函数奇偶性的步骤；④课堂小结，布置作业。这个教学流程应该说基本完成了函数性质教学要求，但从更高要求，或者从提升学生研究函数能力角度看，对函数整体性认识是有些欠缺的。事实上，人教版教材中不仅设置了一些从整体认识函数图象与性质思考题（P35），还给出了相应的练习题（P36练习中的第2题）。教材中如此安排，目的是想告诉学生：奇偶性是研究函数的一种工具，奇偶性就是对称性，要从整体上理解函数的奇偶性。在已知函数奇偶性的前提下，若知道半个定义域的情况，可得出整个定义域内的整体情况，体会由局部到整体的数学思想。对于教材的把握，我们应该深入理解教材编写者的意图，活学活用教材，把蕴涵的思想和方法显化。
三、课堂感悟，教学启示
教学是一门遗憾的艺术。一节课成功与否，是要看有没有高水平的思维活动，有没有围绕学科概念的本质和主要的思想方法，有没有在学生认知的基础上提出问题，引发学生在最近思维发展区积极思考，培养学生的思维能力，帮助其逐渐形成良好的学习方法。教学过程中，要精心设计带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，使学生从被动地“听”发展为主动地获取和体验数学概念，促使学生掌握知识、形成能力。
随着时间的推移，数学中的具体知识将会被多数人遗忘，但数学中所承载的文化将会影响久远。学生在数学的课堂上，不仅学会具体知识，还应掌握一定的研究方法，这对教师的要求将会更高。教学中，数学教师要不断地以课标、教材为本进行教学研究，要从课堂教学研究向学科的整体把握转变，不断地进行回顾反思，促使教学水平不断提高。
参考文献：
[1]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（实验）解读[Z].江苏：江苏教育出版社，2004，3.
[2]徐爱勇.一样的“哈姆雷特”，异样的“精彩”：从《双曲线的标准方程》两节课谈起[J].数学教学，2012，（2）：12～14.
[3]普通高中课程标准实验教科书・数学（必修1）（人教A版）[M].人民教育出版社，2009，5.
数的奇偶性范文3
关键词：函数；奇偶性；高等数学
中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）09-0169-02
函数是高等数学的主要研究对象，奇偶性是函数的基本性质之一。函数的奇偶性在高等数学中有着十分广泛的应用，如利用奇偶函数图形的对称性缩减函数作图的步骤、利用被积函数的奇偶性化简定积分的计算以及奇偶函数的麦克劳林级数和傅里叶级数的展开都可简化。
一、函数奇偶性的定义
定义：设函数f（x）的定义域D关于原点对称。若？坌x∈D，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数；若？坌x∈D，恒有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。例如，y=cosx是偶函数，y=sinx是奇函数。
由定义易知：①常函数y=C是偶函数，特别地，当C=0时，即常函数y=0既是奇函数也是偶函数；②偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称；③偶函数在对称区间上具有相反的单调性，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④奇函数f（x）若在x=0处有定义，则f（0）=0。
二、奇偶函数的性质
（一）奇偶函数的四则运算
设所考虑函数的定义域关于原点对称，且不恒取零值，则有以下结论成立：
两个奇函数的和（或差）为奇函数；两个奇函数的积（或商）为偶函数；两个偶函数的和（或差）为偶函数；两个偶函数的积（或商）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的和（或差）既非奇函数也非偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积（或商）为奇函数。
（二）奇偶函数的反函数
1.偶函数在定义域内不存在反函数；
2.奇函数若在定义域内存在反函数，则其反函数也必为奇函数。
（三）奇偶函数的复合函数
设函数y=f [g （x）]是由函数y=f（u）和u=g（x）复合得到，且它们的定义域均关于原点对称，则有以下结论成立：
1.若y=f（u）和u=g（x）都是奇函数，则y=f [g （x）]是奇函数；
2.若y=f （u）和u=g（x）至少有一个是偶函数，则y=f [g （x）]是偶函数。
（四）奇偶函数的导数
设函数f（x）在其定义域上可导，则有以下结论成立：
1.若f（x）是奇函数，则f ′（x）是偶函数；
2.若f（x）是偶函数，则f ′（x）是奇函数。
即求导改变函数的奇偶性。
（五）奇偶函数的原函数
1.若f（x）是连续的奇函数，则其所有的原函数均为偶函数；
2.若f（x）是连续的偶函数，则其必有一个原函数为奇函数。
特别地，设f（x）是在对称区间[-a，a]，上连续，？J（x）=f（t）dt，x∈[-a，a]，则有以下结论成立：
3.若f（x）是奇函数，则？J（x）是偶函数；
4.若f（x）是偶函数，则？J（x）是奇函数。
三、函数的奇偶性在高等数学中的应用
（一）奇偶函数在定积分中的应用
设f（x）是在对称区间[-a，a]上连续，则有以下结论成立：
1.若f（x）是奇函数，则f（x）dx=0；
2.若f（x）是偶函数，则f（x）dx=2f（x）dx。
（二）奇偶函数在重积分中的应用
设二重积分I=f（x，y）dxdy，则有以下结论成立：
1.若积分区域D关于y轴对称，则
（i）当f（x，y）关于x为奇函数时，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）当f（x，y）关于x为偶函数时，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，x≥0}；
2.若积分区域D关于x轴对称，则
（i）当f（x，y）关于y为奇函数时，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）当f（x，y）关于y为偶函数时，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，y≥0}。
设三重积分I=f（x，y，z）dxdydz，则有以下结论成立：
①若积分区域Ω关于xOy坐标面对称，则
（i）当f（x，y，z）关于z为奇函数时，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；
（ii）当f（x，y，z）关于z为偶函数时，即f（x，y，-z）=f（x，y，z），有
I=2f（x，y，z）dxdydz，其中Ω1={（x，y，z）|（x，y，z）∈Ω，z≥0}；
②当积分区域Ω关于yOz坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于x有奇偶性，或当积分区域Ω关于zOx坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于y有奇偶性时有完全类似的结论，本文不再赘述。
（三）奇偶函数在第一类曲线积分中的应用
设第一类曲线积分I=f（x，y）ds，则有以下结论成立：
1.若积分曲线L关于y轴对称，则
（i）当f（x，y）关于x为奇函数时，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）当f（x，y）关于x为偶函数时，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，x≥0}；
2.若积分曲线L关于x轴对称，则
（i）当f（x，y）关于y为奇函数时，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）当f（x，y）关于y为偶函数时，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，y≥0}。
本文只讨论了平面曲线的积分，空间曲线的积分有完全类似的结论。
（四）奇偶函数在第一类曲面积分中的应用
设第一类曲面积分I=f（x，y，z）dS，则有以下结论成立：
1.若积分曲面∑关于xOy坐标面对称，则
（i）当f（x，y，z）关于z为奇函数时，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；
（ii）当f（x，y，z）关于z为偶函数时，即f（x，y，-z）f（x，y，z），有
I=2f（x，y，z）dS，其中∑1={（x，y，z）|（x，y，z）∈∑，z≥0}。
2.当积分曲面∑关于yOz坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于x有奇偶性，或当积分曲面∑关于zOx坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于y有奇偶性时有完全类似的结论，本文不再赘述。
（五）奇偶函数在级数展开中的应用
设函数f（x）在x=0处可以展开为麦克劳林级数，则有以下结论成立：
1.若f（x）是奇函数，则其麦克劳林级数展开式中只含有x的奇次幂项，即
f（x）=x+x+…+x+…；
2.若f（x）是偶函数，则其麦克劳林级数展开式中只含有x的偶次幂项，即
f（x）=f （0）+x+…+x+…。
设函数f（x）在区间[-π，π]上可以展开成傅里叶级数，则有以下结论成立：
①若f（x）是奇函数，则其傅里叶级数展开式中只含有正弦项，即
bsinnx，其中系数b=f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；
②若f（x）是偶函数，则其傅里叶级数展开式中只含有余弦项，即
+acosnx，其中系数a=f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）。
四、结语
奇偶性是研究函数性态的重要知识，在高等数学中应用十分广泛.本文对奇偶函数的有关结论进行较为全面的归纳总结，以促进学生对奇偶函数的认识和理解，提高其解题能力。
数的奇偶性范文4
例1是否存在这样的实数b和c，使得方程 x2+bx+c=0 与方程 2x2+(b+1)x+c+1=0分别有两个整数根？
解：满足题目条件的实数b和c不存在.
假设实数b和c满足题设条件，并设方程x2+bx+c=0的两个整数根为x1，x2
则由韦达定理，有
-b=x1+x2,c=x1x2
①
由于x1、x2为整数，因而b、c不可能都是奇数
又设x3、x4是方程2x2+(b+1)x+c+1=0的两个整数根，则由韦达定理有
x3+x4=-b+12,x3x4=c+12
②
因为x3、x4为整数，所以b、c均为奇数.
(1)、(2)两种情况矛盾
所以 满足题目条件的b、c不存在.
评注:利用两个整数的和与积至少有一个是偶数的性质，结合韦达定理判定b、c的奇偶性，推出矛盾.
例2求方程x3+x2y+xy2+y3=8(x2+xy+y2+1)的所有整数解.
解：原方程可变形为
(x2+y2)(x+y-8)=8(xy+1)
①
当 2|(x2+y2)时 ， 即x2+y2 为偶数， x2、y2 有相同的奇偶性，那么x 与y具有相同的奇偶性，则 x+y-8 是偶数；
当 2|(x+y-8) 时， x+y-8是偶数.
(1)若x+y-8≥6，由x2+y2≥2xy,则
x2+y2≥(x+y)22≥1422>4
所以 (x2+y2)(x+y-8)≥6(x2+y2)
≥2(x2+y2)+8xy>8+8xy=8(xy+1)
即(x2+y2)(x+y-8)≠8(xy+1)
此时方程无整数解.
(2)若x+y-8=4 ，则由①得(x-y)2=2.
此时方程无整数解x+y-8=2.
(3)若 x+y-8=2，则由①得
x2+y2=4xy+4
解得 y=8 或 y=2
(4)若x+y-8=0则8xy+8=0此时方程无整数解.
(5)若x+y-8=-2,则x2+y2+4xy+4=0,故x+y=6,xy=-20.此时方程无整数解.
(6)若x+y-8≤-4.由x2+y2≥-2xy则(x2+y2)(x+y-8)≤-4(x2+y2)≤8xy
即(x2+y2)(x+y-8)≠8(xy+1)
此时方程无整数解
x=2,x=8
综上,所求方程的整数解为 y=8或y=2.
评注:利用两个整数的积为偶数，则这两个数中至少有一个偶数的性质，进行分类讨论，从而求出方程的解.
例3 求不定方程x4+y4+z4=2x2y2+2y2z2+2z2x2+40的整数解.
解：将方程变形为
(x4+y4+z4+2x2y2-2y2z2-2z2x2)-4x2y2=40
分解因式有
(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)=40
注意到左边四个因式的奇偶性相同.
若四个因式全为奇数，则左边为奇数，而右边为偶数，矛盾；
若四个因式全为偶数，则
左边是16的倍数，而右边不是16的倍数，也矛盾！
数的奇偶性范文5
一布置预习内容
提前印好预习内容，在课前一至两天发到学生手中，让学生有充分的时间思考或完成。预习内容大致分为三部分：（1）预习提纲：这部分内容中的重点概念、定理、公式，要求学生认真看课本以及资料整理在复习笔记本上。（2）预习题：围绕预习提纲编制预习题，思维和技巧的难度适当，使大多数学生通过看书后能做得出来。（3）提出问题：学生复习了基本概念，完成预习题后，提出有启发性、针对性的问题， 概念进一步深化。
下面是《函数的奇偶性》这一节的预习内容 ：（1）预习提纲：①函数的奇偶性定义．②判断函数的奇偶性方法．③奇偶性函
数的图像特征。（2）预习题：
1．以下五个函数：（1） （2） （3） （4） （5），其中奇函数是___，偶函数是___，非奇非偶函数是 ____.
2．函数是偶函数的充要条件是____.
3．已知，其中为常数，若，则___ .
（3）提出问题：①函数的奇偶性定义，关键的词句是什么？②函数的奇偶性的性质有那些？③图象关于Y轴对称的一定是偶函数吗？函数的奇偶性与单调性有关系吗？
二课前检查
检查预习内容完成的情况。预习题哪些已经解决？哪些还有疑难？特别是对提出的问题学生思考得怎样？教师可以利用抽查方式去检查。
三课堂设计
根据课前检查，设计教学过程。课堂上对于基本概念，学生明白的问题，用提问的方式一带而过，对于学生容易忽略、理解不深、容易出错的问题进行解惑性讲解。讨论的重点放在提出的问题上，通过讨论帮助学生纠正模糊概念，弄清易错题点，了解清楚概念的内涵与外延，加深对概念的理解和记忆。对学生未能完全掌握的概念、规律、数学思想和方法进行归纳性讲解。
四例题精选
精选针对性的典型例题，是课堂教学的又一个主要环节。在此环节要重视一题多解，一题多变的求异性研究。启发学生多角度、多方位、多层次地思考问题，培养学生思维的发散性、灵活性和深刻性。使复习更上一层楼。
如在《函数的奇偶性》这一节可以选择以下几个例题，由师生共同分析探讨完成。
例1．判断下列函数的奇偶性、并说出理由？
①②
③．
例2．已知函数f(x)，当x
①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由．
②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由．
延伸变式：已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。
例3．已知g(x)是奇函数，，求f(3)．
例4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数a的取值范围．
例5．设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性；（2）求 的最小值．
五课堂练习
采用口答，分组练或指名版演等形式。老师利用练习时间检查学生学习掌握的情况，对完成练习有困难的学生进行指导、点拨，对全体学生可以适时采用限时完成作业的方法，提高学生的解题速度和应试的能力。
如本节课的课堂作业可以设计如下：
1． 函数是偶函数的充要条件是____．
2． 若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（）．
（A）轴对称（B）轴对称（C）原点对称（D）以上均不对
3． 函数是偶函数，且不恒等于零，则 （ ）．
（A）是奇函数（B）是偶函数（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不是偶函数
六讲评练习并小结教学
对学生有新颖和简捷的解法应给予鼓励，对学生没有想到的解法应启发学生探索。对本节知识进行小结性讲解，指出重点，解题通法和常用技巧。例如《函数的奇偶性》这一节的重难点是奇偶函数的定义以及性质，关键是如何利用定义判断以及应用函数的奇偶性性质继续延伸。
小结如下:
1．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件.
2．y=f(x)是奇（偶）函数函数y=f(x)的图象关于原点（轴）对称.
3．F(x)=f[g(x)]的奇偶性.
4．函数奇偶性的判断与应用.
七布置课外作业
数的奇偶性范文6
一、利用奇偶性求函数的解析式
例1已知x∈(-1,1),且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若f(x)+g(x)=2lg(1+x),求f(x)与g(x)的解析式.
解:由f(x)+g(x)=2lg(1+x),
得f(x)=2lg(1+x)-g(x)(1)
f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)。
故f(-x)=2lg(1-x)-g(-x),
即f(x)=2lg(1-x)+g(x)(2)
由(1)+(2)得2f(x)=2lg(1+x)+2lg(1-x),
f(x)=lg(1-x2).
同理可求g(x)=lg（1+x）／（1-x）
二、利用奇偶性求函数值
例2已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()(1990年全国高考题)
解:设g(x)x5+ax3+bx，则f(x)=g(x)-8，g(x)=f(x)+8.
g(-2)=f(-2)+8=18。
又g(x)为奇函数，
g(-2)=-g(2)，
f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26，
故选(A).
例3已知关于x的方程x2-2arcsin(cosx)+a2=0有唯一解,求a的所有值.a
解:考察函数f(x)=x2-2arcsin(cosx)+a2,则其定义域为R,且为偶函数.由题设知f(x)=0有唯一解,而由于偶函数的图像关于y轴对称,故此解必为0.
f(0)=-2arcsin1+a2=0,即a=π或a=-π。
这里我们挖掘f(x)隐含条件，构造奇函数g(x)，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.
三、利用奇偶性求函数的周期
例4设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)=-g(x+c)(c>0),则f(x)是以（）为周期的函数.
解：f(x)=f(-x)=-g(-x+c)=g(x-c)=-f(x-2c),
f(x+4c)=-f(x+4c-2c)=-f(x+2c)=f(x+2c-2c)=f(x),
f(x)是以4c为周期的周期函数.
四、利用奇偶性求函数的值域
例5已知x,y∈R,且f(x+y)=f(x)+f(y)
当x>0时,f(x)>0,f(1)=2,求f(x)在[-5,5]上的值域.
解:令y=x=0,则有f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0.
f(x)为奇函数,
f(5)=f(4+1)=f(4)+f(1)=f(3+1)+f(1)=5f(1)=10,f(-5)=-f(5)=-10,
故f(x)在[-5,5]上的值域为[-10,10]。
五、利用奇偶性求函数的单调区间
例6求函数g(x)=x2+1／x2的单调区间.
解:设x1>x2>0,则g(x2)-g(x1)=［（x22-x12）／（x12•x22）］(x1x2+1)(x1x2-1)。当x2>x1≥1时,g(x2)>g(x1)；当1≥x2>x1>0时,g(x2)<g(x1)。由g(x)是偶函数知,g(x)在[-∞,-1]上递减,在[-1,0]上递增。
六、利用奇偶性证明命题
例7已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)=0有n个实根,证明n必为奇数.
证明:f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x),则f(0)=-f(0),即f(0)=0,即0是f(x)的一个实根.若f(x)=0除了x=0这个实根外,还有实根x1,x2,x3,…,xk(k∈N).而f(x)是奇函数,可知-x1,-x2,-x3,…,-xk也必为f(x)=0的实根,即f(x)=0的非零实根必成对出现,故f(x)=0的实根个数n必为奇数.
七、利用奇偶性求函数的最值
例8如果奇函数f(x)在区间〔3，7〕上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间［-7，-3］上是()(1991年全国高考题)
(A)增函数且最小值为-5.
(B)增函数且最大值为-5.
(C)减函数且最小值为-5.
(D)减函数且最大值为-5.
解:设-7≤x1≤x2≤-3，则3≤-x2≤-xl≤7，
又f(x)在［3，7］上是增函数且最小值为5，
f(3)≤f(-x2)≤f(一x1)≤f(7)
-f(7)≤-f(xl)≤-f(x2)≤-f(3)=-5
又f(x)为奇函数，
f(-7)≤f(x1)≤f(x2)≤f(-3)=-5.
f(x)在〔-7，-3〕上是增函数且最大值为-5，故选(B)。
八、利用函数奇偶性证明不等式
例9设a是正数，而是XOY平面内的点集，则的一个充分必要条件是（1986年上海中学生竞赛题）.
证明：考查，以–x替换x，–y替换y,A、B不变.从而知A、B关于x轴，y轴对称.故只研究第一象限中A、B关系即可.
