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求函数值域范文1
中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0241-02
求函数值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。
1 配方法
例1：求函数y=2x2-6x+3的值域。
解：y=2（x-3）2-≥-
函数X的值域为[-，
2 判别式法
对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式≥0得到一个关于y的不等式。解此不等式就可求得函数的值域。
例2：求的值域。
解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0
当y时，≥
解得
当y=1时，x=0属于定义域
函数的值域为
3 非负数法
当函数的解析式中出现绝对值、偶次方幂、算数根或指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。
例3：求函数的值域。
解：原方程可化为
视为关于x的方程化为
所以函数的值域为。
4 分部分式法
当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。
例4：求函数的值域。
解：
因为且，
所以，
故该函数的值域为[
5 换元法
对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。
例5：求函数的值域。
解：令）
所以（当且仅当t=1时取等号）
故原函数的值域为。
6 函数的单调性法
对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。
例6：求函数的值域。
解：设
因为
当时，t有最小值;
又因为是增函数
所以当≥;
故原函数的值域为。
7 反函数法
因为原函数的值域正好是它的定义域，所以要求原函数的域可以转换为先求其反函数再求其定义域，即得原函数的。
例7：求函数的值域。
解：求得的反函数为，
其定义域为;
故所求函数的值域为;
8 数形结合法
例8：求函数的值域
解：原函数化为
将此函数化为分段函数的形式
通过图像可知
故所求函数的值域为≥
以后通过学习不等式和三角函数求函数的值域还可以用不和利用有界性法。
参考文献
[1] 如何求函数值域[J].云南教育：基础教育版，1980（9）：35-36.
求函数值域范文2
一、直接观察法
有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。
例1（1）求函数的值域。
（2）求函数的值域。
解：（1）先求函数的定义域：列不等式组
解得：
所以函数的定义域为： 而当x=，y=0
所以函数的值域为：
（2）函数的定义域为：R
因为所以：
所以函数的值域为：
注：利用观察法求函数的值域要熟练掌握一些基本函数的性质，如等函数的基本性质。
二、二次函数法（配方法）
二次函数或可转化为形如：类的函数值域问题均可用此法解决。
例2（1）求函数的值域。
（2）求函数的值域。
解：（1）解1：函数的对称轴：
，
所以原函数在上单调递增，有最小值f（1）=1，无最大值。
故原函数的值域为。
解2：
故原函数的值域为。
（2）令
（以下略）
三、换元法
运用整体代换将所给函数的值域转化为值域容易确定的函数，从而求得原函数的值域。
例3（1）求函数的值域。
（2）求函数的值域。
解：（1）令：
（以下略）
（2）
令：
，
所以原函数可化为：
（以下略）
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。
四、逆求法
用函数的自变量（定义域）与函数值（值域）之间的相互制约关系，通过自变量的取值范围而得到函数值域的方法。
例4（1）求函数的值域。
（2）求函数的值域。
解：（1）由，得
由，
列不等式组：
解得：所以原函数的值域为：（－1，1］
（2）由
即有：
解得：所以原函数的值域为：（，1）
注：逆求法是根据所学的反函数与原函数的定义域与值域互换，但在求解过程中不一定要求出x，可保留x的某种形式。
五、判别式法
一般地，如果函数可化成关于x的一元二次方程：f（y）x2 +g（y）x+ψ（y）= 0，可根据方程的判别式Δ＝g2（y）- 4f（y）ψ（y）≥0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：
（1）由于在变形过程中涉及到去分母，故应考虑函数的定义域是否为R；否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。
（2）应分别讨论f（y）≠0和f（y）＝0两种情况。
例5（1）求函数的值域。
解：对于
由去分母并整理得：
（*）
①当y-2=0，即y=2时，（*）即为：
方程无解；
②方程(*)为一元二次方程,且
则由：
又
综合①②，可知原函数的值域为
六、单调性法
通过确定函数在定义域（或定义域的某个子区间）上的单调性求出函数值域的方法。
例6（1）求函数的值域。
（2）求函数的值域。
（3）求函数的值域。
七、奇偶性法
根据函数奇偶性的图象性质，先求出函数在半个定义域上的值域，再根据对称性求出函数在整个定义域上的值域的方法。
例7（1）求函数的值域
解：显然函数的定义域为：，并且函数是奇函数。
当x>0时，，
所以当，
又因为函数是奇函数，，
所以，原函数的值域为：
八、图象法
九、分离常数法
分离常数就是将分子中隐藏着分母的那部分分离出来，从而起到简化函数解析式的作用。
例8（1）求函数的值域
（2）求函数的值域
解：（2）（函数的定义域为：R）
令：
故原函数的值域为：
求函数值域范文3
关键词：指数函数，对数函数，疑难问题，求解方法
一、指数函数和对数函数的主要问题
1）求解含有指数式或对数式的各种问题，关键在于会熟练运用指数和对数的运算法则与运算性质。但是，许多学生不熟悉指数函数和对数函数的图像与性质，因而求解指数式和对数式问题非常困难。
2）求解含有指数式或对数式的各种问题，重点在于频繁使用指数、对数函数值的变化特点，分析时常常还要结合指数、对数的特殊值。
3）含有参数的指数、对数函数的讨论问题是高考的重点题型，解决这类问题的基本方法是以“底”大于1或小于1分类。
4）指数函数和对数函数常常与其它函数组合成复合函数，许多学生不明白复合函数的定义域、值域及单调性，从而无法求解。而高考更多的把考点放在了指数函数、对数函数的相关性质及其与其它方面知识点的交汇地方，因此要努力提高综合解题能力。
二、利用函数单调性求解
求解复合函数的单调性问题，一般分两步进行：首先要考虑定义域，其次再考虑单调性。并且，在考虑单调性的时候，特别要注意复合函数单调性的判别法则（同向为增，异向为减，简称“同增异减”）。
例1：设函数 ，其中 ，解不等式 。
分析 本题是对数不等式问题，应通过考虑对数函数的单调性，把求解函数不等式问题转化为求解代数不等式问题。但是在转化过程中，必须注意对数函数的真数大一。
解法1 因为 所以
（1）
（2）
解不等式（1）得： 或 ；解不等式（2）得： 或
又 原不等式的解集为 或
解法2 函数 的定义域为 或
，当 时， 符合题意
当 时，解方程 得 利用复合函数的性质可知 在 上是单调递减函数。 时，
点评：解法1直接根据对数函数 是单调递减函数把复合函数不等式问题转化为代数不等式求解。解法2则先满足定义域 或 ，再分别在这两个区间内讨论求解。若去掉条件 ，则需要分 和 两种情况讨论。
三、利用数形结合思想求解
数形结合思想是高中数学中重要的思想方法之一。指数函数和对数函数具有明显的图像性质，利用其图像性质我们能快速地求解问题。在指数函数和对数函数的学习中，我们应当特别注意。
例2：如果不等式 在 内恒成立，那么实数的取值范围 （ ）
A、 B、 C、 D、
分析：本题是一个恒成立问题，如果想直接解不等式是很困难的，一般思路：将变形成 ，要符合题义，（即 的最大值比 的最小值小, ）, 的值大于零小于 ，而 的最小值要根据 的范围而定，分类讨论：
（1）、 时， 显然不成立
（2）、 ， 的最小值为 ，故 ，所以
但是上述解题分析过程抽象，如果应用函数图形解则将直观简洁。
解：构造函数： , 要使得不等式 在
内恒成立，只须 的图象比 的图象高即可，图1和图2分别展示了 和 时的图像。故 ，所以
图1 当 时， 与 图像 图2 当 时， 与 图像
四、利用换元法的思想求解
例3：设对所有实数x，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
分析：本题是一个不等式恒成立问题。如果直接求解，将非常繁琐。我们可以使用换元法把一元二次不等式的结构简化，从而运算得到简化。
解：令 ，则原不等式化为 恒成立，即是
恒成立。解此不等式得 ，即是 ，解得 即是所求的取值范围。
五、利用分类讨论思想解题
例4：已知函数 ，对定义域内的任意 都有 成立．
（1）求实数 的值；
（2）若当 时， 的取值范围恰为 ，求实数 的值．
解：（1）由 及 可得：
解之得： ．
当 时，函数 无意义，所以，只有 ．
（2） 时， ，其定义域为 .
所以， 或 ．
①若 ，则 ．为研究 时 的值域，可考虑 在 上的单调性．下证 在 上单调递减．任取 ，且 ，则
又 ，所以， ，即 ．所以，当 ， 在 上单调递减
由题： 时， 的取值范围恰为 ，所以，必有 ，解之得： （因为 ，所以舍去 ）
②若 ，则 ．又由于 ，所以， ．
此时，同上可证 在 上单调递增（证明过程略）．所以， 在 上的取值范围应为 ，而 为常数，故 的取值范围不可能恰为 ．所以，在这种情况下， 无解．
综上，符合题意的实数 的值为 ，
六、总结
学习指数函数和对数函数的知识重点在于充分理解指数函数和对数函数的定义、图像和性质，难点在于熟练运用数形结合、分类讨论、等价转换以及函数方程思想这四种重要的思想方法。在含有指数函数或对数函数的问题中，我们要特别注意以下几点：
1）指数函数的定义重在“形式”，像 等函数形式都不符合形式 ，因此，它们都不是指数函数。
2）对数函数的底数大于0且不等于1，真数必须大于0。求解含对数式问题时一定要特别注意。
3）在进行对数函数四则运算时，特别要注意对数是否同底数，是否满足运算的规则，还有就是不能错记运算法则。
4）在进行换元法求解问题时，要注意换元后“新元”的取值范围。
5）在对数式合并化简过程中，容易引起自变量的变化，因此要先求定义域，再化简。
求函数值域范文4
【关键词】无理函数；观察法；换元法；构造几何法；导数法
一、一题四变
求下列函数值域：
（1）y=x-4-15-3x；（2）y=x-4+3x+15；
（3）y=x-4+15-3x；（4）y=x-4-3x+15.
二、分类解法
（一）观察法（单调性）
如（1）y=x-4-15-3x.
解显然f(x)=x-4和g(x)=-15-3x在各自定义域上是单调增的，
y在4≤x≤5上是增的，y∈［-3，1］.
同理，对于（2）y=x-4+3x+15，易得y∈［0，+∞).
因此，对于求y=ax+b±cx+d值域，首先就是观察是否有单调性，若然就按（1）或(2)解之，快捷有效.
小结（1）和（2）类型是一次项（x）的系数同号两根式相加或系数异号两根式相减型.需要注意的是有些稍作变形就可看出单调性，如：
y=x+2-x+1分子有理化，
得y=1x+2+x+1.
函数在［-1，+∞)是递减的，x=-1时，ymax=1.
又y>0，
y∈(0，1］.上例属于（4）代表的类型，但这不是通法对于（4）式代表的类型而言.
对于（4）式y=x-4-3x+15我们用如下方法：
（二）导数法
解y′=12x-4-323x+15
=3x+15-3x-42x-4・3x+15(x≥4).
令y′>0，得x
令y′516.
当x∈4，516递增，x∈516，+∞递减.
当x=516，ymax=-32，y∈［-∞，-32］.
小结（4）式类型是一次项（x）的系数同号两根式相减型.正如题头所说，不是每个题目都适合导数法或者说导数法用得很轻松，但就（4）式类型而言是相对较好的方法，理论及依据可靠，解法严密，计算起来也不繁琐.如果用换元法，一般是设x-4=a，x+5=b，则b2-a2=9，于是设b=3secθ，a=3tanθθ∈0，π2.但超过了新课标（三角函数由6个减为3个）的要求，而且即使运算也是难度非常大的.
求函数值域范文5
二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题，更是常见的题型，能够熟练地解决此类问题，也是高考必备的能力要求。借助二次函数的图像，明确其对称轴与给定区间的关系，是解决这类问题的关键所在。下面我就对这一问题的解法谈谈自己的见解，并进行归纳总结。
一、轴定区定问题
即二次函数的图像的对称轴明确，所给区间具体，只需结合其图像，即可直接求得最值，进而得到其值域。
【例1】求二次函数y=-x+4x-2在区间［0，3］上的最大值和最小值。
解：y=-（x-2）+2且x∈［0，3］，
当x=2时，y取得最大值2。
又f（0）＜f（3），
当x=0时，y取得最小值-2。
【例2】求函数y=1-2sinx+2cosx，x∈［-，］的值域。
解：y=1-2sinx+2cosx=2cosx+2cosx-1=2cosx+-
x∈［-，］
cosx∈［，1］
当cosx=即x=±时，y=；
当cosx=1即x=0时，y=3。
所以所求函数的值域为［，3］。
【小结】对于二次函数f（x）=a（x-h）+k在区间［m，n］上的最值：
若h∈［m，n］，则当a＞0（a＜0）时，f（h）是最小（大）值，且f（m）与f（n）中最大（小）者为最大（小）值；
若h?埸［m，n］，则f（x）在区间［m，n］上是单调的，因此f（m）与f（n）中的最大者为最大值，最小者为最小值。
二、轴动区定问题
即二次函数的图像的对称轴变化，而所给区间具体，这时要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论解决。
【例3】已知二次函数f（x）=-x+2ax+1-a（a∈R），求函数f（x）在区间［0，1］上的最大值。
分析：抛物线开口方向明确，其对称轴为x=a，由于对称轴位置不定，所以要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论。
解：函数f（x）的图像的对称轴为x=a。
（1）当a＜0时，（如图1.1），f（x）在［0，1］上是减函数，
当x=0时，
f（x）=f（0）=1-a。
（2）当0≤a≤1时，（如图1.2），此时函数的最大值在对称轴处取得，
当z=a时，
f（x）=f（a）=a-a+1。
（3）当a＞1时，（如图1.3），f（x）在［0，1］上是增函数，
当x=1时，
f（x）=f（1）=a。
综上所述：当a＜0时，f（x）=f（0）=1-a；
当0≤a≤时，f（x）=f（a）=a-a+1；
当a＞1时，f（x）=f（1）=a。
【例4】已知二次函数f（x）=（4-3a）x-2x+a（a∈R），求函数f（x）在区间［0，1］上的最大值。
分析：函数的图像的对称轴为x=，注意到参数a对抛物线开口方向及对称轴位置的影响，同时注意对称轴“穿过”区间的不同方式，因此应对参数a进行分类讨论。
解：易得函数图像的对称轴为x=（4-3a≠0）。
（1）当a＞时，4-3a＜0，从而x=＜0。
此时当x=0时，f（x）=f（0）=a。（如图2.1）
（2）当a＜时，4-3a＞0，从而x=＞0。
①当a≤时，0＜≤，
此时当x=1时，f（x）=f（1）=2-2a；（如图2.2）
②当＜a＜时，＞，
此时当=0时，f（x）=f（0）=a。（如图2.3）
综上所述：（1）当＜a＜或a＞时，f（x）=f（0）=a；
（2）当a≤时，f（x）=f（1）=2-2a。
三、轴定区动问题
即二次函数的图像的对称轴位置给定，所给区间变化。这时要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论解决。
【例5】已知函数f（x）=x-2x+2在x∈［t，t+1］的最小值为g（t）。试写出函数g（t）的解析表达式。
分析：二次函数f（x）=x-2x+2的图像的对称轴方程为x=1，而对称轴可能在区间［t，t+1］的左边，中间，右边。因此分三种情况加以讨论。
解：f（x）=x-2x+2的图像的对称轴为x=1，其开口向上。
（1）当t＞1时，对称轴在区间［t，t+1］的左边，因此f（x）在［t，t+1］上是增函数，所以g（t）=f（t）=t-2t+2；
（2）当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，对称轴在区间［t，t+1］的中间，因此f（x）的最小值在对称轴处取得，所以g（t）=f（1）=1；
（3）当t+1＜1，即t＜0时，对称轴在区间［t，t+1］的右边，因此f（x）在［t，t+1］上是减函数，所以g（t）=f（t+1）=t+1。
综上所述，可得：g（t）=t+1（t＜0）1（0≤t≤1）t-2t+2（t＞1）。
四、结语
求函数值域范文6
在高中阶段，函数可谓是数学中的重头戏，是高考中的压轴部分，更是许多考生最棘手的问题。函数是高中数学中的重点，更是高中数学中的难点。关于函数，我们无非就是抓住函数的三要素：定义域，对应法则，还有就是值域。事实上，给出了函数的对应法则与定义域，函数的值域也就唯一确定了，可是，难点也就在此，给了我们函数的解析表达式，给了我们函数的定义域，我们应该如何求函数的值域呢，求函数的值域有哪些方法呢，函数的值域问题在数学中又有怎样的应用呢？
1.我们谈论一下求函数值域的方法
高中阶段学完函数后，我们会发现，求函数值域的方法还是比较多的，方法有：单调性法，配方法（主要针对二次函数），判别式法，基本不等式法，换元法，导数法，几何意义法等。
下面就请大家看一下求函数值域的一些简单问题。
例1：求函数的值域。
分析：当我们看到这个题目时，会觉得这个题目并不难，因为它是一个典型的二次函数求值域问题，只要考察二次函数的对称轴，开口方向就可以了。可是我们再仔细地看一下这个问题，这里的x不能取到所有的实数，只能取中的实数，这就给问题又增添了一个台阶，最后就转化为求二次函数在指定区间上的值域问题。
解：由条件：函数是二次函数，它的对称轴为x=1，开口向上，
因此在上单调递减，在上单调递增。
由此得，当x=1时函数达到最小值2，而函数的最大值可能在x=0的时候取到，也有可能是在x=3的时候取到，而我们知道，开口向上的抛物线，离开对称轴距离越远，函数值越大。
因此当x=3时，函数达到最大值6，
因此函数的值域为[2，6]。
点评：从上述问题中，我们发现，这是求二次函数在指定区间上的值域问题，要注意二次函数的对称轴，开口方向，以及函数在指定区间上的单调性。
例2：求函数的值域。
分析：此题是两个二次函数的比值，求值域问题。好多考生看到这边，不禁懵了，怎么做呢？下面我们给出解答。
解：由题意：可化为也就是
而，所以，所以，
所以，
点评：上述解题过程是先将函数拆凑，然后利用不等式的放缩，里面要注意代数式的范围，最后求出了函数的值域。
看完上述题目，我们不禁会思考，这道题目还有其它解法吗？回答是肯定的。既然里面看到了x的二次项，我们就可以考虑一元二次方程了。下面我们给出这道题目的另外一种解法。
另解：由题意：可化为，整理得：
由此知，这个方程是形式上的关于x的一元二次方程。当y=2时，它就不是一元二次方程了，此时方程变为1=0，而这是不可能的，所以y≠2，所以这个方程一定是一个一元二次方程，并且这个方程一定要有根，所以Δ≥0，而所以，所以，又因为y≠2，所以。
点评：上述这种解法完成后，大家都知道这种方法是判别式法，但用判别式法也有它的注意点，要注意得到的是一个形式上的一元二次方程，要对它进行讨论，这是好多同学容易遗漏的地方，他们一上来就会用Δ≥0来做，而Δ只有一元二次方程才具有的。
例3：已知x2+y2=1，求xy的取值范围。
分析：当家看到这个题目时，第一会想到的就是，而 所以一下子就得到了xy的取值范围。
解：因为，又因为，所以，因此
思考：看到这里，我们不禁会问，这种解法对吗？这里的xy是否会取遍中的所有数呢？答案是否定的。因为上述解法采用了基本不等式法，而基本不等式法的应用有三个条件，那就是：一正，二定，三相等。而这X2里面 未必就是x，Y2未必就是y。那这道题目应该怎么做呢？
解：因为，又因为，所以即。
点评：当我们充分了解基本不等式的适用范围之后，上述解出来的xy的取值范围就正确了。
思考：事实上，当我们看到时候，我们就会联想到一个类似的表达式因此这样我们就转化为了求三角函数的值域问题。
另解：由于是可令因此
又因为所以
点评：上述解法也是求值域问题的一种比较好的方法，我们称之为换元法，即"三角换元法"。
其中求值域利用了三角函数的有界性。
下面再请大家看一下延伸的题目。如下：
例4：已知x2+y2=1，求x+y+xy的取值范围。
分析：其实x+y+xy我们可以看成是x+y与xy的和。在这个过程中，我们只要用x+y来表示xy，或者用xy来表示x+y就可以了。
解：由条件：可设x+y=t，所以，于是因此
所以，由例3的结论得：，所以解之得：令
当t=-1时，f（t）达到最小值-1，当时，f（t）达到最大值
所以x+y+xy的取值范围为
点评：上述这道题目的解题思想就是将x+y与xy都化成同一个变量的函数，最后x+y+xy就变为了一个二次函数，但要注意里面参量的范围。事实上，这种类型的式子我们也是见过的，例如：sinx+cosx+sinx.cosx，求这个式子的范围，我们也是根据sinx与cosx的平方和为1来操作的。因为三个式子sinx+cosx，sinx-cosx，sinx.cosx是知一就可以求二的，知道其中一个就可以求出另外两个来。
看了上面的求x+y+xy的范围，大家也可以尝试一下以下的例题。
例1：已知求x-y+xy的取值范围。
例2：已知求x+y+4xy的取值范围。
以上我们大致介绍了求函数值域的方法，当然了，求函数值域也远不止上述我介绍的方法。那么，关于函数的值域问题，它在数学中有什么具体的应用吗？
2.我们来谈一下函数值域的应用
数学中包含的分支有很多，有代数，有几何，有三角，还有其它的方面。在上面介绍求函数值域的方法中，已经介绍了用三角换元法求函数的值域。同样的，函数的值域问题在代数与几何中应用也是很多的。
函数的值域问题还有一个重要应用，就是在含有参数问题的习题中，主要是分离参数求最值，分离参数求值域问题。