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参数方程范文1
如图1，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANox，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程。
解：设∠xOA=φ,M(x,y), 则A(acosφ,asinφ),B(bcosφ,bsinφ),由已知:{x=acosφy=bsinφ （φ是参数），即为点M的轨迹参数方程.消去参数得:x2a2+y2b2=1，即为点M的轨迹普通方程.(如图2)注意：1.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长且a>b>0,φ称为离心角,规定参数φ取值范围为［0,2π)2.焦点在x轴上，参数方程为{x=acosφy=bsinφ（φ是参数）焦点在y轴上，参数方程为{x=bcosφy=asinφ（φ是参数）
二、椭圆参数方程的应用
1. 利用参数方程求最值例1.过点A(0,－2)作椭圆x24+y22=1的弦AM，则|AM|的最大值为
A. 2
B. 3
C. 22
D. 23分析:此题比较简单，只要注意A点在椭圆上，设出点M的参数方程即可解决。解：设M（2cosθ,2sinθ），则|AM|=(2cosθ)2+(2sinθ+2)2化简得|AM|=－2(sinθ－1)2+8所以当sinθ=1时取最大值，且最大值为22。所以选C点评：椭圆的参数方程是求解最值问题的最有力工具，所以在解决此类问题时，首先应该想到参数方程求解。例2.设点P（x，y）在椭圆x24+y27=1上，试求点P到直线3x－2y－21=0的距离d的最小值。分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程x24+y27=1，然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以顺利解决此问题。解：点P（x，y）在椭圆x24+y27=1上，设点P（2cosθ,7sinθ）（θ是参数且θ∈［0,2π)） 则d=|6cosθ－27sinθ－21|32+22=|8sin(θ－φ)+21|13(其中tanφ=377)。当sin(θ－φ)=－1时，距离d有最小值13点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度例3.已知椭圆x2a2+y2b2=1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽，但很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。解：设A(acosθ,bsinθ)，则|AD|=|2acosθ|,|AB|=|2bsinθ|所以S=|2a×2bsinθcosθ|=2ab|sin2θ|即矩形ABCD的最大面积为2ab点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。
二、参数方程在求与离心率有关问题上的应用
例4.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2，若这个椭圆上存在点P，使得F1PF2P。求该椭圆的离心率e的取值范围。分析：如果按常规设p(x,y), |F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。解：设P(acosα,bsinα)，因为F1(－c,0),F2(c,0)kPF1=bsinαacosα+c,kPF2=bsinαacosα－c,因为F1PF2P所以kPF1?kPF2=－1即bsinαacosα+c?bsinαacosα－c=－1,化简得cos2α=c2－b2a2－b2因为0≤cos2α≤1，所以0≤c2－b2a2－b2≤1解得b2≤c2，所以e=c2a2=c2b2+c2≥c22c2=12即22≤eb>0）与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OPAP。求该椭圆的离心率e的取值范围。 分析：此题可仿照上题解法轻松解决，在此不在详解。答案:(22,1)
三、参数方程在证明问题上的应用
参数方程范文2
一、探求几何最值问题
有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理。
例1（1984年考题）在ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c，且c=10,，P为ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。
解由，运用正弦定理，可得：
sinA·cosA=sinB·cosB
sin2A=sin2B
由A≠B，可得2A=π-2B。
A+B=，则ABC为直角三角形。
又C=10,，可得：
a=6,b=8,r=2
如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为
所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα)，从而=80-8cosα
因0≤α＜2π，所以
例2过抛物线（t为参数，p＞0）的焦点作倾角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设0＜θ＜π，当θ取什么值时，｜AB｜取最小值。
解抛物线（t为参数）
的普通方程为=2px，其焦点为。
设直线l的参数方程为：
（θ为参数）
代入抛物线方程＝2px得：
又0＜θ＜π
当θ=时，｜AB｜取最小值2p。
二、解析几何中证明型问题
运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。
例3在双曲线中，右准线与x轴交于A，过A作直线与双曲线交于B、C两点，过右焦点F作AC的平行线，与双曲线交于M、N两点，求证：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e为离心率）。
证明设F点坐标为(c,0)，
A点坐标为(,0)。
又，设AC的倾角为α，则直线AC与MN的参数方程依次为：
将①、②代入双曲线方程，化简得：
同理，将③、④代入双曲线方程整理得：
｜FM｜·｜FN｜=
｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。
双曲线的一条准线与实轴交于P点，过P点引一直线和双曲线交于A、B两点，又过一焦点F引直线垂直于AB和双曲线交于C、D两点，求证：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
证明由已知可得。设直线AB的倾角为α，则直线AB
的参数方程为
（t为参数）
代入，可得：
据题设得直线CD方程为（t为参数）
代入，得：，从而得，
即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
三、探求解析几何定值型问题
在解析几何中点的坐标为(x,y)，有二个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值时，参数法显然比较简单。
例5从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x轴上截距的乘积。
解化方程为参数方程：
（θ为参数）
设P为椭圆上任一点，则P(3cosθ,2sinθ)。
于是，直线BP的方程为：
直线的方程为：
令y=0代入BP,的方程，分别得它们在x轴上的截距为和。
故截距之积为：（）·（）=9。
四、探求参数的互相制约条件型问题
例6如果椭圆与抛物线=6(x-n)有公共点，试求m、n满足
的条件。
分析如果本题采用常规的代入消元法，将其转化为关于x的一元二次方程来解，极易导致错误，而且很难发现其错误产生的原因。若运用参数方程来解，则可“轻车熟路"，直达解题终点。
解设椭圆的参数方程为
抛物线的参数方程为
（t为参数）
因它们相交，从而有：
由②得：
代入①得：
配方得：。即
1≤≤9-2≤n-m≤2
参数方程范文3
例1 已知椭圆x29+y24=1，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于P（m，0），试求m的取值范围.
分析：若用常规方法求解，涉及A，B两点和线段的中点M的坐标等多个参变量，头绪繁多，需要不断进行思维转移.若引入参数，就可以减少变量个数，简化运算.
根据椭圆参数方程，设A（3cosθ，2sinθ），B（3cosφ，2sinφ）， P（m，0）.由线段垂直平分线的性质可知|PA|2=|PB|2，
于是（m-3cosθ）2+（2sinθ）2=（m-3cosφ）2+（2sinφ）2，展开整理得5（cos2θ-cos2φ）=6m（cosθ-cosφ）.
又因为AB的垂直平分线与x轴相交，故AB与y轴不平行，故cosθ≠cosφ，所以m=56（cosθ+cosφ）.对任意θ、φ，当cosθ≠cosφ时， cosθ+cosφ∈（-2，2），从而m=56（cosθ+cosφ）∈（-53，53），即m的取值范围是（-53，53）.
例2 设P是椭圆x26+y24=1上的一个动点，则x+2y的最大值是
，最小值是
.
分析：由于研究二元函数x+2y相对困难，因此有必要消元，但由x，y满足的方程x26+y24=1表示出来的x或y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y转化为一元函数呢？方法是利用椭圆的参数方程x26+y24=1x=6cosθ
y=2sinθ ，代入x+2y中，即可转化为以θ为变量的一元函数.
解：由椭圆的方程x26+y24=1，可设x=6cosθ，y=2sinθ，代入x+2y，得：x+2y=6cosθ+2·2sinθ=22sin（θ+φ）.
其中tanφ=64，由于-1≤sin（θ+φ）≤1，所以-22≤x+2y≤22.
所以，x+2y的最小值为-22，最大值为22.
小结：使用参数方程，是解决解析几何中求取值范围、求最值的重要策略，其优点是思路清晰，运算简捷.
例3 若圆x2+（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的范围.
分析：由于二次曲线中的变量受到取值范围条件约束，涉及几条二次曲线公共点问题，使用参数方程往往比较严密、简捷.
解：将圆的方程化为参数方程x=2cosθ
y=2sinθ+a，代入x2=2y得
4cos2θ=4sinθ+2a，所以，a=2cos2θ-2sinθ
①
圆与抛物线有公共点转化为关于θ的方程①有实数解，
又因为a=2cos2θ-2sinθ=-2sin2θ-2sinθ+2=
-2[（sinθ+12）2-54]
因为-1≤sinθ≤1， 所以-2≤a≤52.
小结：几条二次曲线有公共点的问题，也可以采用联立方程组的方法来求解，但其中许多关系不是充要条件，很容易出现错误.此题若使用数形结合的方法也是非常困难的.此类问题使用参数方程，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数的有界性能使解答严密而又简捷.
例4 过点P（102，0）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M和点N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.
分析：由于该题结论中涉及的PM、PN均可看成直线上动点到定点的距离，联想到直线参数方程的标准形式x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（ t是参数），|t|的几何意义就是直线上动点P（x，y）到定点P0（x0，y0）的距离.因此该题可以设出直线PM、PN的参数方程，使问题迎刃而解.
解：设直线的参数方程为x=102+tcosα
y=tsinα（t是参数），代入曲线方程并整理得
（1+sin2α）t2+（10cosα）t+32=0.
设M、N对应的参数分别为t1、t2，而由参数t的几何意义得
|PM|=t1，|PN|=t2，
则|PM|·|PN|=|t1t2|=321+sin2α.
所以，当sin2α=1，即α=π2时，|PM|·|PN|有最小值34，此时α=π2.
小结：利用直线参数方程中的参数t的几何意义，处理两线段长度的积、和、差以及平方和等问题时有着普通方程无可比拟的优越性，可使求解过程变得简洁，同学们可以多尝试.
挑战思维：
1.已知椭圆x225+y216=1的右顶点为A，上顶点为B，P是椭圆在第一象限部分上的任意一点，则四边形OABP的面积的最大值为
.
2.实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则1Smax+1Smin的值为
.
3.已知直线L：x+y-1=0与抛物线y=x2交于A、B 两点，求线段AB的长和点M（-1，2）到A、B两点的距离之积.
答案链接：
1.102.提示：设点P的坐标为（5cosα，4sinα）（其中0
因为0
当α=π4时，S四边形OAPB有最大值102.
2.85.提示：由S=x2+y2>0，设x=Scosθ，
y=Ssinθ，代入4x2-5xy+4y2=5，化简整理得sin2θ=8S-105S，根据正弦函数的有界性|8S-105S|≤1，解之得1013≤S≤103，Smax=103，Smin=1013，故本题答案为85.
3.解：因为直线L过定点M，且L的倾斜角为3π4，
所以它的参数方程是x=-1+tcos3π4，
y=2+tsin3π4
（t是参数）
即x=-1-22t
y=2+22t，把它代入抛物线方程，得t2+2t-2=0，解得t1=-2-102，t2=-2+102，
由参数t的几何意义得|AB|=|t1-t2|=10，|MA|·
参数方程范文4
【关键词】SEM 拟合函数 Newton-Raphson迭代 参数估计
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）01-0231-02
一、研究背景及模型假设
1.研究目的
结构方程模型（SEM）是广泛应用的统计方法，其对于建立变量之间的因果关系假设有着进行数据拟合验证的重要作用。近年来结构方程模型在国内逐渐在各个社会科学领域得到应用，相应的统计软件例如LISREL、AMOS能够很方便的帮助研究者进行模型建构以及参数估计。但是，对于统计模型的学习和教学来说，能够提供具体的研究案例是非常重要的。理论知识欠缺的初学者若不能对结构方程的基础理论有详细的了解，必然会在使用统计软件进行分析的过程中无法进行恰当的理论建构并掌握正确的分析方法，因此无法在学习和教学中得到更多收益。本研究的目的在于提供一个详细的极大似然法参数估计案例，能够清晰的呈现理论建构和参数估计的整个过程。
2.模型建构
结构方程模型通常包括测量模型、因子分析和全模型三部分，其中全模型包括了前二者，既能分析观测变量与潜变量的关系，同时能分析各潜变量之间的关系。本研究建立了一个简单的全模型，使用的数据来自SPSS公司产品AMOS 17.0自带的Rock（1977）的一个研究资料，数据包括两个变量：value、performance。其理论假设如下图：
三、讨论
本案例建立的模型属于结构方程中的简单模型，出于研究目的，本文没有对一些可能在实际应用中出现的问题进行阐述，例如ML估计的前提假设是要求各观测变量正态分布，而且在估计参数之后要进行显著性的检验，或者参数估计产生不恰当的解（Chen，2001）等等。在实际研究中学者往往面临复杂的多的情形，必须考虑到模型建构是否正确、样本大小、数据是否分布合理等各方面，才能得出有价值的结论。
另外，在运用Newton-Raphson迭代计算时要特别小心，虽然这种迭代方式有着收敛速度快的优点，但对于一些复杂的函数，若是没有选择恰当的初值，会出现无法收敛或收敛为不恰当根的现象。
参考文献：
[1]Arbuckle，J.L.（2007）.Amos 16.0 user’s guide.Amos Development corporation.
[2]Bollen，K.A.（1989）.Structual equations with latent variables.New York：Wiley.
[3]Chen，F.，Bollen，K.A.，Paxton，P.，Curran，P.J.，&Kirby，J.B.（2001）.Improper solutions in structural equation models―causes，consequences，and strategies.Sociological Methods and Research，29，468-508.
[4]Mulaik，S.A.（2009）.Linear causal modeling with structural equations.New York：CRC Press.
[5]Kernighan，B.W.，Ritchie，D.M.（2011）.The C programming language.机械工业出版社.
[6]侯杰泰，温忠麟，成子娟.（2004）.结构方程模型及其应用.教育科学出版社.
参数方程范文5
一、坐标系
了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化．
特别提醒：
1．平面上任意一点的极坐标不是唯一的；
2．点的直角坐标化为极坐标，通常用如下方法：ρ=x2+y2，tanα=|yx|，α∈（0，π2），
当θ在第一、第二、第三、第四象限时，极角θ分别取α、π－α、π+α、2π－α；
3．极坐标方程与直角坐标方程互化要注意其等效性．极坐标和直角坐标互化的前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（ρ，θ），则互化公式是x=ρcosθy=ρsinθ 或ρ2=x2+y2tanθ=yx；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨慎漏解．
例1 取直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，则点M（－1，－3）的极坐标为_____________．
分析：把直角坐标化为极坐标主要是求出求出ρ与角θ即可．
解：利用互化公式，可得ρ=2，tanα=3，又点M是第三象限内的点，可得θ=43π，故点M的极坐标为（2，43π）．
点评：可以利用数形结合，直接得出答案；也可以利用互化的公式得出答案但也要注意点的位置与极角的关系．
例2 若限定ρ≥0，0≤θ≤2π，则曲线ρsinθ=2与曲线ρ=4sinθ的交点的极坐标为_____________．
分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，可求出交点的直角坐标，再化为极坐标或联立方程即可求出ρ与角θ．
解：法一：把两个极坐标方程化为直角坐标方程，可得y=2与x2+（y-2）2=4，利用数形结合可得到交点坐标为（2，2）和（－2，2），由ρ≥0则ρ=22，由tanθ=±1，又0≤θ≤2π，θ=π4或θ=3π4．则两曲线交点的极坐标为（22，π4）或（22，3π4）．
法二：把ρ=4sinθ代入到ρsinθ=2，注意到ρ≥0，得到sinθ=22，从而θ=π4或θ=3π4，再得到ρ=22．则两曲线交点的极坐标为（22，π4）或（22，3π4）．
点评：本题用了两种解法，化成直角坐标要稍麻烦一点，直接联立方程可以方便的求出ρ与角θ．
二、曲线的极坐标方程
了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．
特别提醒
1．在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ρ=r；
2．在极坐标系中，以 C（a，0）（a>0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ；
3．在极坐标系中，以 C（a，π2）（a>0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 ρ=2asinθ；
4．在极坐标系中，θ=α（ρ≥0）表示以极点为起点的一条射线；θ=α（ρ∈R）表示过极点的一条直线；
5．在极坐标系中，过点A（a，0）（a>0），且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是ρcosθ=a．
例3 若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_____________．
分析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．要把已知条件与x=ρcosθy=ρsinθ 联系起来，即可得到曲线的直角坐标方程．
解：将ρ=2sinθ+4cosθ，两端同乘以ρ得，ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，则
x2+y2=2y+4x，即x2+y2－4x－2y=0．
点评：本题中曲线的极坐标方程只要在两端同乘以ρ，再根据直角坐标和极坐标直角的关系就很容易得出该曲线的直角坐标方程．
例4 已知圆心在M（a，0），半径为R，试写出圆的极坐标方程．
分析：先建立直角坐标系找出动点P所在的三角形，再利用三角形中的余弦定理.
解：如图，在OPM中，由余弦定理可得：
ρ2－2aρcosθ+a2－R2=0．
点评：建立直角坐标系找出动点P所在的三角形是解决此类问题的关键，三解形中的余弦定理是解决本题的工具．
三、参数方程
了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义．理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．
特别提醒：
1．曲线的参数方程不是唯一的，选择不同的参数，得到的参数方程也不同；
2．注意直线的参数方程中参数的几何意义及其应用．
例5 直线x=3+tsin40°y=－tcos40° （t为参数）的倾斜角是_____________．
分析：将参数方程化为直线参数方程的标准形式即可得到直线的倾斜角，也可以将参数方程化为直线的斜截式方程，求出斜率k，进而得出倾斜角，但计算量比较大．
解：将参数方程化为x=3－tcos130°y=－tsin130° （－t为参数），对照直线的参数方程可得倾斜角为130°．
点评：本题所给出的直线方程的参数形式比较容易让人混淆，t不是定点（3，0）与直线上的点之间的距离，如果不认真分析就比较容易出错．本题解题方法的选择也至关重要．
3．参数方程与普通方程的互化：
（1）参数方程转化为普通方程
把参数方程转化为普通方程，其基本方法是“消去参数”．消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑．一般地说，当f（t），g（t）都是多项式时，常采用代入消元法；当f（t），g（t）都是t的三角函数时，常借助三角恒等式等．在转化的时候，还必须使两种方程的变量的取值一致．
参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：代入法、三角法、平方法等．
（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数．
例6 把参数方程x=21+t2y=2t1+t2（t为参数）化为普通方程．
分析：观察方程组里的两个式子的分母相同，所以把两个式子相比就得到t用x，y来表示的关系式，再将其代入到参数方程中即可．
解：由原方程组得yx=t，把t=yx代入x=21+t2得x=21+（yx）2，化简得：x2+y2－2x=0（x≠0），这就是所求的普通方程．所以它表示的曲线是以（1，0）为圆心， 1为半径的圆除去原点（0，0）．
点评：在用代入消元法的时候关键要得到t的一个关系式，之后再代入到参数方程中的x式或y式即可．
（2）普通方程转化为参数方程
把普通方程化为参数方程，一般有如下思路：
（1）F（x，y）=0选取参数tx=f（t），y=g（t），（t为参数）．
例7 直线l的普通方程是2x－y+2=0，把其化为参数方程．
分析：可以选取一个参数t，直接令x=t，代入方程后则可求出y关于t的关系式．
解：选t为参数，令x=t，则y=2t+2．得参数方程为x=t，y=2t+2.（t为参数）．
点评：选定参数t以后，将普通方程化为参数方程的问题就转化为已知t，分别求解x、y的问题了，它和求动点轨迹的参数方程的方法类似．
4．转化思想在解题中的应用
（1）在圆中的应用
例8 已知实数x、y满足x2+y2+2x－23y=0，
（1）求x2+y2的最大值；（2）求x+y的最小值．
分析：从几何意义来考虑，设P（x，y）是圆C：x2+y2+2x－23y=0上的一点，可利用圆的参数方程得到P点的坐标，再来求解最值问题．
解：原方程配方得：（x+1）2+（y－3）2=4，它表示以（－1，3）为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ （θ为参数，0≤θ
（1）x2+y2=（－1+2cosθ）2+（3+2sinθ）2
=4（3sinθ－cosθ）+8
=8sin（θ－π6）+8
当θ－π6=π2，即θ=2π3时，（x2+y2）max=16．
（2）x+y=2（sinθ+cosθ）+3－1=22sin（θ+π4）+3－1，
当θ+π4=3π2，即θ=5π4时，（x+y）max=3－22－1．
点评：利用圆（x－a）2+（y－b）2=r2的参数方程x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ为参数），来设P点的坐标，就把目标函数由二元转化为一元，促使问题顺利解决．
（2）在椭圆中的应用
例9 求椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的内接矩形的面积及周长的最大值．
分析：把椭圆的标准方程转化为参数方程x=acosαy=bsinα，即可设出椭圆的一个点的坐标，从而得到内接矩形的边长，即可列出面积与周长的表达式来求最值．
解：如图，设椭圆x2a2+y2b2=1的内接矩形在第一象限的顶点是A（acosα，bsinα）（0
S=4FA×EA=4acosα·bsinα=2absin2α≤2ab，
当且仅当α=π4时，Smax=2ab，
L=4（FA+EA）=4acosα+4bsinα
=4a2+b2sin（α+φ）≤4a2+b2，
当sin（α+φ）=1时，Lmax=4a2+b2，此时α存在．
参数方程范文6
一、“极坐标系与参数方程”的主要内容
1.极坐标系的主要内容
生活中常常用距离和方位两种元素确定点的位置，将这种方法“数学化”之后便是“极坐标系”的雏形.高中数学教材中关于“极坐标系”延伸了多样内容，具体为：极坐标系的概念；借互化两种坐标系方程的方法让学生明晰了解极坐标方程的形式；对一些简单曲线、过极点直线、极坐标方程推导等做以阐释，让学生更加清楚认知极坐标系；教学过程中重视培养数学思维，使得学生会求简单曲线的极坐标方程，并明确其价值意义.
2.参数方程的主要内容
在“极坐标系和参数方程”中，数形结合、运动变化、分解合成等数学思想应用范畴较为广阔，所以数学老师可借此培育学生的辩证思维.“参数方程”涵盖内容众多，不仅涉及直线、圆、圆锥曲线方程等内容，而且要求教会学生通过优化参数的方式求出已知曲线方程的参数形式，由此等价互化参数方程与普通方程.除此之外，老师也适时运用现实生活实例，利用数学习题加深并巩固学生对参数方程的学习和理解.
二、结合例题论述教学“极坐标系与参数方程”过程中常见的问题
在“极坐标系和参数方程”的教学过程中，数学老师必须在高考大纲的指导下开展针对性教学，以便学生能够掌握该知识点的考试方向，从而降低学习的难度.基于此，此处选定的几道例题都是高考中曾出现的真题，以期“极坐标系和参数方程”的学习能够深入学生之心.
1.在极坐标系下探求图形形状
例1极坐标方程ρ=cosθ和参数方程x=-1-t，
y=2+3t （t为参数），这两个方程所表示的图形分别是什么？
解析直角坐标和极坐标可以互化，根据公式可知，ρ=cosθ等价为（x-0.5）2+y2=0.25，表示圆心在（0.5，0）半径为0.5的圆.再根据参数方程与普通方程的转化规则，可知，该参数方程就是直线方程.因此这两个方程所代表的图形就是圆和直线.
点拨做好此类题目，一是要熟练记忆简单图形的曲线方程，二是利用极坐标转化为直角坐标、参数方程转化为普通方程的办法求出答案.
2.真实掌握两类转化
例2已知圆C的参数方程为x=cosα，
y=1+sinα （α是参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，求直线l与圆C的交点的直角坐标.
解析将圆的参数方程转化为普通方程x2+（y-1）2=1，直线的直角坐标方程为y=1，联立两个方程即可解得交点的直角坐标为（1，1），（-1，1）.
点拨对于这种类型的题目，老师可教导学生学会用交点含义，转化成平面直角坐标系的方式解题，亦可用解析几何知识求解答案.
例3给定曲线C的参数方程为x=2+3cosθ，
y=-1+3sinθ，其中θ为参数，如若直线方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线距离为71010的点有多少个？
解析曲线C的参数方程可以转化为普通方程，即（x-2）2+（y+1）2=9，所以可得曲线C是圆心在（2，-1），半径为3的圆.此外，它和直线相交，圆心到直线的距离为71010，3-71010
3.感受直线的参数方程，体会参数所代表的几何意义
例4在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3-22t，
y=5+22t （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，并且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）圆C的方程为ρ=25sinθ.①求圆C的直角坐标方程；②设圆C与直线l交于点A、B，如若点P的坐标为（3，5），求|PA|+|PB|.
解析①圆C的直角坐标方程为：x2+（y-5）2=5；
②方法一：把直线参数方程转化为普通方程，即x+y-3-5=0，将此方程与圆C的直角坐标方程相联立，计算得出交点坐标为（1，2+5），（2，1+5），将这两个交点坐标代入两点之间距离公式，得出：|PA|+|PB|=32.
方法二：题目中的直线一定经过定点P，所以可以把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得出：（3-22t）2+（22）2=5，即t2-32t+4=0.在此基础上根据图形和参数t的几何
意义得出：|PA|+|PB|=|t1+t2|=32.
4.综合极坐标系与参数方程
例5已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ，
y=3sinφ （φ是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，π3）.
（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解析由已知可得
A（2cosπ3，2sinπ3），B（2cos（π3+π2，2sin（π3+π2）），
C（2cos（π3+π），2sin（π3+π）），
D（2cos（π3+3π2），2sin（π3+3π2）），
即A（1，3），B（-3，1），C（-1，-3），D（3，-1）.
（Ⅱ）设P（2cosφ，3sinφ），
令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，
则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52].
