前言：中文期刊网精心挑选了排列与组合范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
排列与组合范文1
一、直接法
依据两个基本原理以及排列、组合的有关概念，直接列式计算而得到其方法种数的方法称为直接法.
例1：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，共有多少种不同的选法？
解：这是组合问题，分三步完成：
第一步，从10人中选出2人承担甲项任务，共有 种方法；
第二步，从剩下8人中选1人承担乙项任务，共有 种方法；
第三步，从另外7人中选1人承担丙项任务，共有 种方法.
因此，不同的选法种数共有C210·C18·C17 =2 520种.
【说明】用直接法解题时，捕捉信息，分清排列问题还是组合问题，进行分类或分步是解题的关键.
二、间接法（排除法）
在求解附加有限制条件的排列、组合问题时，可首先求出不含有其附加条件的排列、组合数，再减去其中不符合附加限制条件的排列、组合数的方法称为间接法（排除法）.
例2：某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2人当代表，至少有1名女生当选，共有多少种不同的选法？
解：从10名学生中任选2名当代表有C210 种选法，其中不符合要求的有：两人都是男生的选法有C27种选法，因此，符合条件的选法有C210-C27=24 种.
【说明】本例是带有附加条件的组合问题，这里“至少有1名女生当选”，即为附加条件.先求出所有的组合数，再减去不符合条件的选法.
三、捆绑法
在研究某些排列、组合问题时，某些元素必须在一起，处理时把它们并成1组，或者作为一个整体，与其他元素进行排列、组合，然后再考虑该整体内部的排列、组合问题.这种方法叫捆绑法.
例3：有7个人排成一排照相，甲、乙两人必须相邻的排法有多少种？
解：本例是排列问题，可分为两个步骤：
第一步，将甲、乙两人当作1个（保证他们相邻），6个人的全排列数为A66；
第二步，甲、乙两人的位置可以交换，排列数为A22；
因此，甲、乙两人必须相邻的排法种数为A66 ·A22=1 440种.
四、插空法
在研究不相邻的排列问题时，可先安排无条件限制的元素，然后把要求不相邻的元素根据题设安插在上述元素的空位当中，必要时包括前后两端的空位，这种解题方法称插空法.
例4：由数字1、2、3、4、5组成的没有重复的数字，且数字1与2不相邻的5位数，那么这种5位数共有多少个？
解：本例是排列问题，分两步完成：
第一步，先让3、4、5这3个数作全排列，有A33种选法.排好后出现4个空位，如下图：
第二步，从这4个空位中任取两个让1、2去站位，则数字1与2均不相邻共有站法种数为A24 ，根据分步计数原理，这种5位数共有A33·A24=72个.
五、先选后排法
对于排列、组合的混合应用题，往往可以采用先选出来，然后再按要求进行排列的方法，这种方法称为先选后排法.
例5：从5男4女中，选出3男2女共5个人，分别参加5种不同的工作，有多少种不同的选法？
解：这是一个排列、组合的混合应用题，分两步完成：
第一步（先选），从5男4女中选出3男2女5个人，共有C35 ·C24种选法.
第二步（后排），选出的5个人分别参加5种不同的工作，有A55种选法.
依据分步计数原理，不同的选法共有（C35 ·C24）·A55=7 200种.
【说明】用先选后排法解排列、组合的混合应用题，关键是如何先选，也就是把元素分成怎样的组合，要选得合理，解法才会正确.
六、特殊优先法
对于一些带有附加条件的排列、组合应用问题，往往优先考虑受条件限制的某些特殊元素或特殊位置，然后再考虑剩下的元素或位置的方法称为特殊优先法.
例6：用数字0、1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的6位奇数？
解：本例是一个带有特殊条件的排列问题，先排含特殊条件的数字，共分3步完成：
第一步（特殊优先），个位数可从1、3、5这3个奇数中任选1个，有A13种选法；
第二步（特殊优先），由于0不能是10万位数字，所以从剩余的2个奇数与2、4共4个数字中任选1个作为10万位数字，有A14种选法；
第三步，再把剩余的3个数字与0共4个数字，在万位数至10位数的4个位置上进行全排列，有A44种选法；
排列与组合范文2
教学目标：
（1）使学生通过观察、猜测、实验等活动，找出简单事物的排列数与组合数。
（2）培养学生初步的观察、分析、推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识。
（3）引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。
（4）培养学生的合作意识和人际交往能力。
教学重点：自主探究，掌握有序排列、巧妙组合的方法，并用所学知识解决实际生活的问题。
教学难点：怎样排列可以不重复、不遗漏。
教学准备：三只小动物的头像、 课件。
教学过程：
1.动画故事引入新课
师："同学们，平时你们喜欢看动画片吗？谁看过喜羊羊和灰太狼？这部动画片里你认为谁最会动脑筋？"（喜羊羊）
"咱们要向喜羊羊学习，在数学课上一定要积极动脑！好不好？"
"今天呀咱们要一起走进数学广角，去玩有趣的数学游戏。听说要玩游戏，喜羊羊、美羊羊、懒羊羊也赶来了，可是路上它们被狡猾灰太狼抓住了，大家想去救它们吗？"
学生："想！"
师：" 可是狡猾的灰太狼设置了三道密码门，只有找到密码数字，门才会打开。你们有信心吗？"
生："有！"
2.智破密码锁
2.1数字1、2组成的两位数，其中最小的就是密码。
师："一起来看第一道密码门。"（课件出示密码门1）
师："你们找到密码了吗？"
生："密码是12。"
师："谁来说说你的想法？"
生："数字1和2组成的两位数有12和21，其中12最小，所以密码是12。"
师："仔细观察这两个数，你发现了什么？"
生："这两个数十位和个位交换了位置。"
师："你们观察的真仔细，第一道密码门顺利打开，美羊羊被救出来啦！"
2.2密码是数字1、2、3组成的所有两位数。
师："来看第二道密码门。（课件出示密码门2）到底有多少个两位数？这样，咱们先以小组为单位用手中的数字卡片摆一摆，讨论讨论，商量商量，最后由组长写在报告单上。"
学生小组活动，讨论，填写报告单。
教师巡视，稍后板书。
师："刚才，老师发现两组有意思的排列，一起看第一种。"
1221 31
1323 32
师："哪组这样排的？说一说你是怎么想的？"生："先以数字1开头，组成的两位数有12和13；再以数字2开头，组成的两位数有21和23；再以数字3开头，组成的两位数有31和32。"
师："来看第二种排列。"
12 13 23
21 31 32
师：哪组来说一说你们的想法？
生发言：先用数字1和2，组成的两位数是12和21；再用数字1和3，组成的两位数是13和31；最后用数字2和3，组成两位数23和32。
师：你觉得用这两种方法有什么好处？
生发言。
师小结：按照一定的顺序去思考，可以做到一个不多，一个不少，即不重复，不遗漏。好了，懒羊羊被救出来了！
2.3密码是5、6和0组成的所有两位数。
师：来看第三道密码门。（课件出示密码门3）用刚才的办法，进行有顺序的思考，相信你们一定能想出来！
学生独立完成。
汇报：56、50、60、65。
质疑：同样是三位数，为什么1、2、3组成了6个两位数，而5、6、0却组成了4个呢？
学生发言。（0不能做最高位）
师：同学们，你们可真棒！要想找得快又不漏掉，我们应该按照一定的顺序去思考。
3.握手游戏
师：通过大家的努力，喜羊羊被救出来啦！ 大家高兴吗？那就掌声祝贺一下。（学生热烈鼓掌）
羊羊们也很高兴，它们激动地互相握起手来。那么它们每两人握一次手，三人一共握几次手呢？
学生猜。（6次，3次）
教师指导以四人小组为单位，三人模拟小动物握手，一人数握手的次数，找出答案。最后通过模拟得出：3人一共握了3次手。
质疑：排列数时用了3个数字，握手时是3个人，都是"3"，为什么出现的结果却不一样呢？
学生交流后得出：两个数字可以交换组成2个两位数，而两个人握手不能交换只能算一次。
课件突破：像这种数字的排列，与顺序有关，交换数字的先后顺序会出现两个两位数；而握手问题，与顺序无关。
4.巧搭衣服
师：看到同学们这么会动脑筋，美羊羊想向大家请教一个问题呢！（课件出示）
排列与组合范文3
1.通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。
2.初步学会从数学的角度发现最简单的排列与组合的规律，培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，解决一些简单的实际问题。
3.感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣，使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。
教学重点：
经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
教学难点：
初步理解简单事物排列与组合的不同。
教学过程：
常规训练：一分钟口算。
一、引导自学
师：同学们喜欢去公园玩吗？
生：喜欢。
师：今天老师带你们去一个很有趣的地方，哪儿呢？我们今天要到数学广角城堡里去走一走、看一看。去城堡之前我们先来看看本节课的学习目标。（出示学习目标）
师：明确目标后，我们要怎样参观数学广角城堡呢？老师有几个小小的要求。（出示自学提示）
师：（课件出示）去数学广角城堡得买门票，儿童票5角钱一张，请大家将准备好的三种分别是5角、2角和1角的钱拿出来。如果你能用这些钱币说出组成5角钱的不同付法，就可免费到数学广角城堡去玩。
学生自主合作学习，教师巡视：学生自学、看书，对学，小组合作学习。
二、指导展示
1.学生展示、师生研讨。
2.在小组中互相说一说自己观察到了什么内容。你想到了什么？
生：1张5角，2张2角1张1角，1张2角3张1角，5张1角。
师：（课件出示）小朋友们，现在我们就可以免费进入数学广角城堡了。不过，要进去玩，我们又得经过一个小小的密码门，密码是用数字1和2组成的不同的两位数。同学们猜猜看。
学生猜想，操作，之后汇报。
密码门打开了，我们又顺利通过了一关，欢迎大家来到数字乐园。数字乐园里有个很好玩的小游戏：有1、2、3三张数字卡片，可以摆成几个不同的两位数呢？
师：同桌合作，一人摆数字卡片，一人把摆好的数记录下来，先商量一下谁摆放，谁记数，比比哪桌合作得又好又快。
学生讨论、操作、记录。
师：谁来汇报，你摆了哪几个两位数？
生：12、23、13。
生：23、21、12、13。
生：12、21、23、32、13、31。
师：为什么有的同学摆得多，而有的同学摆得少呢？有什么好办法能保证既不遗漏、又不重复呢？请每个小组进行讨论，看看有什么规律或方法？再按你们的方法，一边摆，一边记下来。
学生带着问题进行第二次操作。
师：哪个小组愿意来汇报？
生：先摆出12，再交换两个数的位置就是21；再摆23，交换后是32；最后摆13，交换后就是31，这样就不会漏也不会重复了。
生：先把数字1放在十位，再把数字2和3分别放在个位，分别组成12和13；接着把数字2放在十位，数字1和3分别放在个位，又分别组成了21和23；最后把数字3放在十位，数字1和2分别放在个位，分别组成了31和32，这样也不会遗漏和重复。
……
根据学生回答板书：先定位，再交换位置。方法一、二、三。
师：同学们采用了不同的方法都摆出了6个不同的两位数。真了不起啊！今后我们在排列数的时候，要想既不重复也不遗漏，就要这样按照一定的规律排列。
师小结规律：两个数字的排列，调换两个数字的位置；三个数字的排列，先拿这三个数字分别定位，再调换另外两个数字的位置。
师：同学们，你们用自己的聪明才智赢来了免费游玩数学广角的门票，也在数字乐园里挑战了一个有趣的摆数字游戏，老师祝贺你们（教师不自主地一边走一边伸手和同学握手）。提到握手，老师又有一个问题想请大家帮忙：如果三个人在一起握手，每两个人握一次，一共要握多少次呢？
师：大家看，我在和他握手，他也在和我握手，不管我们的位置如何变化，只要我们的手不松开我们两个人就是只握了一次手。那三个人握手到底要握几次？以小组为单位，组长记录次数，其他三人演示，看看每两个人握一次手，三个人一共要握手多少次？
小组合作演示，教师巡视并指导。小组汇报并演示。
师：两个人握一次手，三人一共要握3次手。
师：老师现在有一个疑问，排数字卡片时用三个数可以摆出6个数，握手时三名同学却只能握3次，都是3，为什么出现的结果会不一样呢？
学生交流后得出：两个数字可以交换组成两个两位数，而两个人握手不能交换只能是一次。
规律小结：摆数是一种排列，与位置有关。握手是一种组合，与位置无关。摆数要交换两个数的位置，而握手交换位置就重复了。
三、辅导检测
（略）
四、总结延伸，畅谈感受
师：同学们，由于时间关系，我们该回家了！刚才，我们去哪里玩了？数学广角好玩吗？有趣吗？大家都看到了什么？有什么收获？
排列与组合范文4
关键词：排列组合；中职生；逻辑思维
中图分类号：G620 文献识别码：A 文章编号：1001-828X（2016）015-000-02
排列组合的应用十分广泛，因此作为教学中的重点内容，排列组合是概率统计学习的基础，同时也为其他高等数学的知识内容学习做准备。排列和组合是不同的问题，但题型多变，相互综合相互渗透，基本的分辨便是学生学习的难点。在学习排列组合时，要总结自己的解题方法，培养自己的解题技巧，要明确是哪一种问题，排列或者组合，或者是两种问题的混合题型。解决问题时，要抓住重点，认清问题的本质，熟悉排列组合的击沉原理，充分利用公式解决问题。排列组合的解题过程就是思维的过程，以其自身的特点影响着中职生的逻辑思维。
一、排列组合概述
数学与我们的生活紧密相连，生活中处处充满了数学问题和数学思维，排列组合在生活中也是常见的，比如身份证号、电话号、彩票等，各种号码数字与排列组合相联系。排列与组合是不同的概念，排列是有序的，是元素按照一定的顺序排列。组合是无序的，元素组成一组。学生要区分好排列与组合，才能正确解答问题，他们的区别就是有序与无序，相同点都是有特殊元素的时候，先讨论特殊元素。排列问题要求取出特殊元素后，进行排顺序。组合取出特殊元素后，不需要再排顺序。由于数学题型内容丰富，综合性强，很多题目重点不清，需要学生自己分析，不要将组合与排列相混合。
排列组合题型丰富，问题复杂，但万变不离其宗，数学是有规律可寻的，学会一定的方法和技巧，排列组合的问题就不是难题。排列组合题也有自己的规律，也需要讲究解题的策略和解题的方法。在解答排列组合问题时，常使用分类计数和分步计数，要依据不同的题型使用。在解答问题时，首先要分析题目，然后判断是单独使用还是联合使用，按照题目有自己的解题思路。根据排列组合的基本原理和公式进行分析。将题目中散乱的信息进行高度概括，抽象成具体的排列问题，或者是组合问题，有目标地有方向地进行解题，能够很好地解决复杂的排列组合问题。
排列组合题型多变，常常不同的问题带有不同的限制条件，限制条件的解决是解答排列组合问题的关键，不同的限制条件有不同的解决方法[1]。第一，对于特殊元素，要按照先特殊后普通的思路解决。首先挑出来考虑，先安排特殊元素的位置，然后再解决其他的元素的位置。如果不是位置问题，也按照这样的方法安排元素即可。比如八个人工作，轮流安排日班和夜班，按照不同的日期分，甲不安排在某一天的夜班，排班的方法有多少种。这种特殊元素的题目，一般就是先安排甲的工作，涉及到排列问题，排列完甲的工作再安排其他七个人的工作顺序。第二，对于组合的问题，注意题目中要求的组合数，通常使用分类的方法进行计算。分析题目自己设计分组方案是解答组合题的重点，其中会运用到捆绑、插空等许多数学解题的方法，是运用直接法还是间接法，需要学生自己分析判断。第三，对于排列组合混合问题，要先选择组合，后排列元素，运用分步法计算。比如五种水果种子选四种种植，种植的土地不一样，其中一种是必选的情况，要求有多少种种植方法。这种典型的混合题，要求学生重视解题策略，必须选择的种子先确定，其他的从剩下的里面选，选择方法很多，先计算选择方法。组合之后要进行排序，四种土地四种种子，按照排序的公式进行计算。一步一步，解题思路清晰，确保答题正确。第四，多种元素分类组合问题，要按照题目要求先分类，解决分类之后再分布计算。这种问题比较复杂，学生在解题中可以尝试画出图表，通过图表清晰直观地分析问题，进行分类。要周密思考，灵活运中排列组合的基础知识。第五，小团体进行排列时，要先解决团体问题，再将团体看成一个整体的元素，与其他元素进行排列。比如六只公鸡、三只鸭子放五个标号的笼子，要求每只鸭子必须配一只公鸡，有多少种放法。先选出小团体，鸭子和公鸡配合，再将组合好的小团体与其他的元素进行排列组合。明确问题，有清晰的思路，是解题的关键。在解题过程中，学生要注意不要出现原理混用，主要是加法和乘法，这与学生的分析题目解决思路有关，是分步还是分类，不同的原则要使用不同的解决方法。分类加法，分步乘法，原理简单，在实际做题中，由于题目的原因，加上学生思维方式的问题，常常出现错误，成为学生解题的障碍[2]。
二、排列组合对逻辑思维的影响
在排列组合中，对学生综合思维能力的考查强，简单的思维误区便会造成解题的错误。除了扎实的基础知识的学习，学生在解题中的思维能力得到了锻炼。在我们思考问题的时候，由于问题的限制，很难正着解决问题，排列组合便是如此。在做这种题型的时候，往往需要学生反向思维，采用间接的方法解决题目。正面解决相对困难，但是反面思考就会容易许多。排列组合锻炼了学生的反向思维能力。比如组合公式的推导过程，组合的性质等都是如此。例如利用4、5、6、7、8、9组合新的自然数，新的数字不能重复并且必须大于460000，这样的自然数有多少个，这种问题从正面计算就比较难，但是从反面思考，比460000小的自然数只有开头两位是45的，通过反向解决很容易解决这种难题。
在所有的排列组合题目中，都是对一种程序的解决，都需要利用数学的思维解决程序的问题，学生学的久了，就会形成一种程序思考模式，看到问题能够按步骤有顺序地解决，尤其是既包含分类计数的方式，又需要分步计数的问题，形成良好的思维习惯，不仅对解决数学问题有益，同时有利于生活中问题的思考和解决[3]。
排列与组合结合多种数学思想，比如类比的思维，转化的思维，归纳分类的思维，这些思维方式都促进了中职生逻辑思维能力的提升。排列与组合是不同的数学问题，在解决不同的题型时，需要中职生通过类比进行判断，两者之间既有联系，又相互区别。在计算复杂的公式时，常用到二项式的定理，二项式定理考查了学生的化归数学思想。分类问题比较常见，比如普通的抽查问题，合格品与残次品，50件中抽4件，产品共有5个次品，计算抽出4件中最多有一件的抽法以及至少有一件的抽法问题，通过分类思想，能够很好地解决问题。
三、排列组合中提高中职生逻辑思维能力的措施
1.重视学生独立思考能力
逻辑思维是人们的理性认识过程，建立在学生对知识的理解、判断和推理等基础上，对客观现象的能动反应。逻辑思维促进学生能深入地认识和学习知识的本质。在中职数学教育教学的过程中，中职老师的教学不仅帮助学生学习知识，同时需要培养学生学习的能力，思维的能力。数学是充分发挥学生思维能动性的课程，中职生由于个体的差异，学习方法不同，思维能力不同，存在不少思维方面有问题的现象。但是在实际的教学中，中职数学教学往往注重理论知识的灌输，缺少培养学生思维能力的意识。学生思维能力的培养不是一朝一夕的事情，需要结合学生的特点，培养学生独立思考的能力。在排列组合的学习上，中职老师要结合知识的特点，鼓励学生多角度思考问题，排列组合的题型很多，学生独立思考能力越是被调动，越有利于学习的进行，使学生发散思维，解决问题。要打破中职生的固定思维模式，对排列组合有深刻的理解，不管题型怎么变化，条件怎么改变，解题方法都是有规律可寻的，通过独立解题的过程，探究问题的实质，对知识进一步了解，提高自己的思维能力。
2.明确教学目标，强化排列组合的对比
排列组合问题需要学生多方面的思考，需要学生加强分析能力。在教学中老师要明确排列组合学习的知识目标，以及培训学生能力的目标[4]。在教学中让中职生掌握基本的排列组合的知识是基础，能够熟练运用知识解决数学问题，应用基础的原理明确解决问题的方法。排列组合能够充分调动学生各方面的数学能力，教学时要重视培养学生的分析能力和思维能力，通过现象抓住问题的本质。在排列组合问题中，分类计数原理和分步技术原理是十分重要的，这两种原理的区分也是解题的关键。其基础是对两种原理的理解，学生要学会自己分析，学会归纳总结。中职生在吸收知识的同时，要综合分析问题，理解数学知识的贯通和发展变化。排列组合学习之后，要挖掘自己的思考和辨析能力，从中分析联系，总结规律，充分掌握知识，学习的过程就是锻炼逻辑思维的过程。
3.加强训练
知识的学习是无止境的，思维能力的培养可以使学生终生受益。教师要适度加强对中职生排列组合学习的训练，排列组合题很多，解题方法各有不同。教师可以针对不同的类型按照时间段进行训练，也可以针对不同的解题方法进行训练。比如捆绑法、插空法等，关于这类的题型很多，中职生只有多看、多学、多思考，才能加深对知识的掌握，同时提高自己的思维能力。
总之，数学中的排列组合虽然更具抽象性，但也与我们的实际生活相关并广泛应用于其中。排列组合综合了多种数学思想，能够促进中职生逻辑思维能力的培养，提高中职生的数学素养。
参考文献：
[1]王燕兵，陈屏.排列组合的教学研究[J].高中数理化，2015（12）：17-17.
[2]王春梅.解排列组合问题的常用技巧归纳[J].高中数理化，2015（1）：21-22.
排列与组合范文5
智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．
据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合P概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．
排
列
、
组
合
概念
从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.
专题一
算法
在解释P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由P1n或C1n组成的算式来解答）．
专题二
排列数公式与计算
专题三
组合数公式、计算与性质
应用
用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.
专题四
用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．
专题五
用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．
专题六
图1
于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．
2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性
运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．
因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．
排
列
、
组
合
概念
排列、组合的概念
算法
算法原理、计算公式
应用
解排列、组合问题
图2
值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．
3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性
如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．
按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．
（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．
（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．
（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．
4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性
我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．
于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：
（1）排列与组合的判定标准（见前文）．
（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．
（3）排列数公式的特征（略）．
（4）组合数与排列数的关系（略）．
（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：
①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．
所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．
②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．
处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．
③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．
解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．
所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．
在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．
为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．
（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．
（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．
一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．
错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．
故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
错解：由分步法得C12C299＝9702（种）．
略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．
参考文献
1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990
排列与组合范文6
智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．
据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合P概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．
排
列
、
组
合
概念
从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.
专题一
算法
在解释P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由P1n或C1n组成的算式来解答）．
专题二
排列数公式与计算
专题三
组合数公式、计算与性质
应用
用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.
专题四
用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．
专题五
用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．
专题六
于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．
2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性
运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．
因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．
值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．
3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性
如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．
按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．
（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．
（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．
（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．
4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性
我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．
于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：
（1）排列与组合的判定标准（见前文）．
（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．
（3）排列数公式的特征（略）．
（4）组合数与排列数的关系（略）．
（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：
①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．
所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．
②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．
处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．
③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．
解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．
所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．
在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．
为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．
（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．
（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．
一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．
错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．
故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
错解：由分步法得C12C299＝9702（种）．
略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．
参考文献
1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990
