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二元一次方程范文1
1、已知关于x、y的方程式（m2-4）x2+(m+2)x+(m+1)y=m+5，当m时，它是一元一次方程；当m 时，它是二元一次方程。
二、选择题（每题3分共24分）
8、设A、B两镇相距x千米，甲从A镇、乙从B镇同时出发，相向而行，甲、乙行驶的速度分别为u千米/小时、v千米/小时，①出发后30分钟相遇；②甲到B镇后立即返回，追上乙时又经过了30分钟；③当甲追上乙时他俩离A镇还有4千米。求x、u、v。根据题意，由条件③，有四位同学各得到第3个方程如下，其中错误的一个是（）
A、x=u+4B、x=v+4C、2x-u=4 D、x-v=4
三、解答题
1、在y=ax2+bx+c中，当x=0时，y的值是-7，x=1时y的值是-9，x=-1时y的值是-3，求a、b、c的值，并求x=5时y的值。（6分）
2、解下列方程组（每题5分，共10分）
当比赛进行到第12轮结束时，该队负3场，共积19分。
问：（1）该队胜，平各几场？（2）若每一场，每名参赛队员均得出场费500元，试求该队每名队员在12轮比赛结束后总收入。
5、有三部楼梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的。每部楼梯的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作联结点（如点A）。（8分）
（1）通过计算，补充填写下表：
（2）一部楼梯的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个联结点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横杆的单价不相等（材料损耗及其它因素忽略不计）。现已知一部五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一部九步梯的成本。
参考答案
一、填空题
1、-2，2；2、2、- ，x=5y=1,x=8y=2;3、-1;
4、 ，12；5、0；6、2；7、-1，-1；8、3，3；
9、10；10、x=1y=16，x=2y=12，x=3y=8，x=4y=4；
11、4；12、x= y= ；13、1；14、x=0y=1；15、12；
16、-43；17、42，15；18、6，3。
二、选择题
1、C；2、C；3、B；4、D；5、C；6、D；7、B；
8、A。
三、解答题
1、a=1，b=-3，c=-7；当x=3时，y=3。
2、（1）x= y= ；（2）x=-1y=2z=-3
3、设一只小猫x元，一只小狗y元，则x+2y=702x+y=50，解得x=10y=30，答一只小猫10元，一只小狗30元。
4、解（1）设该队胜x场，平y场，则x+y+3=123x+y=19，解得x=5y=4，答该队胜5场，平4场。
（2）5×1500+4×700+12×500=16300（元）
答该队每名队员在12轮比赛结束后总收入为16300元。
5、解：（1）七步梯、九步梯的扶杆长分别是5米、6米；横档总长分别是3.5米、5.4米（各1分）；联结点个数分别是14个、18个。
（2）设扶杆单价为x元/米，横档单价为y元/米。依题意得4x+2y+1×10=265x+3.5y+1×14=36即2x+y=85x+3.5y=22，解得x=3y=2，故九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8（元）。
二元一次方程范文2
一、比例性质
一部分题目，其中的一个条件是以比例式的形式给出。解答这部分题时，往往可以根据比例性质，结合题意，巧用二元一次方程组进行解答，就会简便、快捷，不容易出错。
若x∶y=2∶4，且x+2y=-10，求x、y的值。
分析：本题根据比例的基本性质，便可以得出关于x、y的二元一次方程组。
解：由比例的基本性质可得2y=4x
x+2y=-10，解得x=-2
y=-4
二、非负数性质
如果题中传递给我们的许多信息是题的几个部分都应为非负数，我们就可以用这个特征来组建二元一次方程组解答。这类题也比较常见。一般不为负数的应用有绝对值，偶次根式，偶次
幂等。
已知（3x-2y+1）2+2x+5y-12=0，求4x+5y-10的值。
解：因为（3x-2y+1）2≥0，2x+5y-12≥0且
（3x-2y+1）2+2x+5y-12=0
所以有3x-2y+1=0
2x+5y-12=0 解得x=-1
y=2
把x=1，y=2代入4x+5y-10=4×1+5×2-10=4
三、指数性质
已知am・an=a7，a2m・an=a11，求m、n的值。
解：由已知可得m+n=7
2m+n=7 解得m=4
n=3
分析：本题虽是同底数幂的运算，但是我们在解题时要根据题目的结构特征，将这样的问题通过运算前后指数的关系转化成方程组来解决。
若（am+1bn+1）・（a2n-1・b2m）=a5b3，求m+n的值。
分析：先计算等式的左边，左边可以得到一个以m、n为未知数的二元一次方程组，将方程组整理后两方程组相加，求得m+n的值。
解：由已知可得am+2nb2m+n+2=a5b3
得m+2n=5
2m+n+2=3 即m+2n=5
2m+n=1 两方程相加得m+n=2
解答这些题时，应根据题意，看能不能转化为二元一次方程组间接解答。这就要我们在读题审题时有个预判。只要认真审题，掌握一些巧用二元一次方程组解题的方法，并不断练习，就能较快地根据题中的已知条件列出相应的二元一次方程组，进行解
二元一次方程范文3
1.教材内容的地位与作用：本节内容是在前面学习了一次函数与二元一次方程的基础上来学习的，是第一次接触也是对这两个知识点的一次升华和提高，也为以后学习用二次函数图象求一元二次方程做了铺垫，本节课让学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。
2.教学目标：
（1）知识与技能目标：理解二元一次方程与一次函数的关系。会用图象法解求二元一次方程组并会通过解二元一次方程组求得两个一次函数的交点坐标。
（2）过程与方法目标：经历探究过程，感受函数与方程的辩证统一，感受数学知识与方法的内存联系，体验数形结合思想意义，逐步学习利用数形结合思想分析和解决实际问题。
（3）情感与态度目标：培养学生会用运动、变化的观点思考问题，使学生体会事物是互相联系的，让学生在学习活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
3.教学重难点：
（1）重点：探索一次函数与二元一次方程（组）的关系，掌握二元一次方程组的图象解法，感受一次函数在数学内部的运用，探究函数与方程之间的关系，进一步体会“数形结合”的思想解决问题。
（2）难点：用函数的观点探究问题，画函数图象。
4.教学突破：通过导学案用问题串引导学生动手操作、自主探索来发现二元一次方程与一次函数图象两者之间的内在联系。
二、学情分析
学生已经掌握二元一次方程（组）和一次函数的基础知识，在作一次函数图象时，学生已建立初步的数（代数表达式）形（图象）结合的意识，在此认知基础上，教师可在知识关节点上为学生创设合理的问题情境以调动学生的内驱力。同时，八年级的学生模仿能力强，思维多依赖于具体、直观、形象的特点；进而要通过一次函数与二元一次方程（组）的联系，强化了数形结合思想的应用。要强调学生的观察，让学生有交流和表达自己意见的时间。让学生在实践经验中体会方程和函数的联系。
三、教学方法和学法指导
《课程标准》明确指出“数学教学是数学活动的教学”“学生是数学学习的主人”。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生自由探索、合作交流与实践创新。所以在教学中采用探究式教学法，以“情境――问题――探究――交流――应用――反思――提高”的模式展开。让学生在学习中经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解二元一次方程与一次函数的关系。发展应用数学知识的意识和技能，增强学好数学的愿望和信心，对于学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力可能欠缺，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，在教学中以学生为中心，让学生动起来，教师应把握好自己是组织者、引导者和合作者的身份，及时对学生进行鼓励，关注学生的情感体验。同时本节将导学案中的问题制作了课件借助多媒适时呈现问题情境，以丰富学生的感性认识，使其更具有直观性，突破教学重难点，以提高教学效果。
四、教学程序
通过与学生一起探讨问题，以达到师生互动的效果，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题，自己动手操作，解决问题，从而归纳出解决问题的一般方法。
1.简洁的从形式上认识到可以相互转化总结后进入第一部分一次函数与二元一次方程之间的关系的探究。
2.一次函数与二元一次方程对就应关系应该是这节课的难点，所以用时比较长，对下一步的探究有了足够的铺垫后，也就水到渠成了。
3.归纳一次函数图象上的坐标与二元一次方程的解存在一一对应的关系。
4.继续用作函数图象的方法在原图中画出另一条函数图象来找到交点，通过让学生发现交点坐标与对应方程组的解之间存在的对应关系，确定一次函数图象交点坐标的对应关系。
5.自学例题总结步骤。仿照应用，学会二元一次方程组的图象解法。（网格坐标使用――导学案作用）这里也有意回避了近似值的情况。
6.补充讨论求交点坐标方法总步骤，讨论已知两函数图象的交点怎么样解决，总结解题步骤。
7.小结课堂收获―――目标完成情况。
8.当堂检测选择一些直接易行的问题，重在让学生加深对所学知识的理解。
9.作业布置。板书：
五、教学反思
二元一次方程范文4
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会用加减法解二元一次方程组.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识(这里也表现为一种方法)，有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减(消元)法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2.教法建议
(1)本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
(2)讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
(3)讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
(第一课时)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤.
2.能运用加减法解二元一次方程组.
(二)能力训练点
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.训练学生的运算技巧.
(三)德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想.
(四)美育渗透点
渗透化归的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：谈话法、讨论法.
2.学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
(-)重点
使学生学会用加减法解二元一次方程组.
(二)难点
灵活运用加减消元法的技巧.
(三)疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
(四)解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗?从而导入新课即加减法解二元一次方程组.
2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.
3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.
(二)整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.
(三)教学过程
1.创设情境，复习导入
(1)用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么?
(2)用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.
学生活动：口答第(1)题，在练习本上完成第(2)题，一个同学说出结果.
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢?这就是我们这节课将要学习的内容.
【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题.
2.探索新知，讲授新课
第(2)题的两个方程中，未知数的系数有什么特点?(互为相反数)根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
解：①+②，得
把代入①，得
学生活动：比较用这种方法得到的、值是否与用代入法得到的相同.(相同)
上面方程组的两个方程中，因为的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了.观察一下，的系数有何特点?(相等)方程①和方程②经过怎样的变化可以消去?(相减)
学生活动：观察、思考，尝试用①-②消元，解方程组，比较结果是否与用①+②得到的结果相同.(相同)
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单?(加减法)
②在什么条件下可以用加减法进行消元?(某一个未知数的系数相等或互为相反数)
③什么条件下用加法、什么条件下用减法?(某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法)
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
例1解方程组
哪个未知数的系数有特点?(的系数相等)把这两个方程怎样变化可以消去?(相减)
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.
解：①-②，得
把代入②，得
(1)检验一下，所得结果是否正确?
(2)用②-①可以消掉吗?(可以)是用①-②，还是用②-①计算比较简单?(①-②简单)
(3)把代入①，的值是多少?()，是代入①计算简单还是代入②计算简单?(代入系数较简单的方程)
练习：P23l.(l)(2)(3)，分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.
小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等.
例2解方程组
(1)上面的方程组是否符合用加减法消元的条件?(不符合)
(2)如何转化可使某个未知数
系数的绝对值相等?(①×2或②×3)
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示.
学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤.
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等.
②加减消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解.
3.尝试反馈，巩固知识
练习：P231.(4)(5).
【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.
4.变式训练，培养能力
(1)选择：二元一次方程组的解是()
A.B.C.D.
(2)已知，求、的值.
学生活动：第(1)题口答，第(2)题在练习本上完成.
【教法说明】第(1)题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性;第(2)题通过分析，学生可得方程组从而求得、的值.此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力.
(四)总结、扩展
1.用加减法解二元一次方程组的思想：
2.用加减法解二元一次方程组的条件：某一未知数系数绝对值相等.
3.用加减法解二元一次方程组的步骤：
八、布置作业
(一)必做题：P241.
(二)选做题：P25B组1.
(三)预习：下节课内容.
参考答案
二元一次方程范文5
【关键词】二元一次方程组 巧解 化难为易
大家知道，“代入法”与“加减法”是解二元一次方程组的一般方法。它们的实质都是消元。当同学们熟练地掌握了这两种基本解法之后。就能解决一般的二元一次方程组中的题型，但是对于有些复杂一点的二元一次方程组中的有些题型，同学们处理起来还是有点吃力，根据多年的教学经验，和教学中自己摸索的一些教学方法，同学们在听讲时更容易掌握一点。我来谈谈巧解二元一次方程组部分难题的一些方法。
二元一次方程组的题型我大致把它们分为三类：两个方程，三个方程，四个方程。
两个方程是我们书中最长见的，也是同学们练的最多的，他的基本解法有“代入法”与“加减法”。
代入消元法即：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解。
加减消元法即：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，有些复杂一点的二元一次方程组我们还可以用换元法。
换元法即：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
以上的方法都是传统一点的方法，大部分的老师和学生都能很好掌握，下面就方程组中有些巧妙的方法我来稍做介绍。
一、两个方程
1.整体代入法
例1、解方程组
解：由①得x-y=1③，将③代入②得4-y=5，即y=-1，代入①得x=0，所以原方程组的解为x=0，y=-1。
2.参数法
例2、解方程
解：设3（x-1）=y+5=k，则有
将③和④同时代入②得
解得k=12，再将k=12代入③④得x=5，y=7。
下面重点来介绍三个方程和四个方程的方程组。
为了便于表达二元一次方程我把他们做出了如下定义：一个方程中如果只含有像x，y这样的两个字母我把他们称之为“简单”的方程，下面我都用“简单”表述，对于一个方程中有三个或四个字母的方程我用“难”来定义他们名字。很明显要解出一个方程组的解只要两个“简单”的方程就可以了。
二、三个方程
三个方程可以分为两种类型：
1.“简单”，“简单”，“难”型。
例3、如果方程组
的解为方程3x+my=8③的一个解，求m。
观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“简单”，“难”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①②解出方程组的解为x=2，y=1，代入方程③就能解得m=2。
例4、若方程组
中x=y③，求k。
观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=3，y=3，代入②解得k=1。
例5、已知二元一次方程2x+y=3①，2x-my=-1②和3x-y=2③有公共解，求m。
观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=1，y=1，代入②得m=3。
例6、若方程组
的解x与y互为相反数③，求a。
我们可以把方程③改写为x+y=0，观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=1，y=-1，代入②得a=2。
2.“难”，“难”，“简单”型。
对于“难”，“难”，“简单”型我们又可以把它们分为四类。
第一类：对于字母x，y他们的系数不是1或-1，但是两个方程的字母k的系数是1或-1，这类题型我们可以想办法先把两个方程利用加减法把k约掉，得到一个“简单”的方程，再和另外一个“简单”的方程组成方程组解出x，y的值，再带入“难”求出k的值。
例7、若关于x、y的二元一次方程组
的解中，x与y的差为7③，求k。
解：②-①得2x+3y=-1④再由③和④组成方程组解得x=4，y=-3，代入①得k=-2。
例8、关于x、y的二元一次方程组
满足x+y=12③，求k的值。
解：②-①得x+2y=2④再由③和④组成方程组解得x=22，y=-10，代入①得k=-1。
第二类：对于字母x，y他们的系数比较简单是1或-1，但是两个方程的字母k的系数比较复杂，这类题型我们可以想办法先把两个方程利用加减法解出x等于几k，y等于几k，再把x等于几k，y等于几k代入“简单”的方程就可求出k的值。
例9、若关于x、y的二元一次方程组
的解也是方程x+2y=15③的解，求k。
解：①+②得x=7k，①-②得y= -2k。把x=7k，y=-2k代入③解得k=5。
例10、如果二元一次方程组
的解是二元一次方程3x-5y-28=2③的一个解，那么k为多少。
解：①+②得x=2.5k，①-②得y= -1.5k。把x=2.5k，y=-1.5k代入③解得k=2。
第三类：对于字母x，y，字母k的系数都比较复杂，这类题型我们既可以用第一类的方法先把两个方程利用加减法把k约掉，得到一个“简单”的方程，再和另外一个“简单”的方程组成方程组解出x，y的值，再带入“难”求出k的值。也可以用第二类的方法利用加减法解出x等于几k，y等于几k，再把x等于几k，y等于几k代入“简单”的方程就可求出k的值。
例11、如果二元一次方程组
的解满足二元一次方程x+y=5③，那么k为多少。
第四类：仔细观察x和y的系数特点，有些题目有捷径可以走。
例如：若方程组
的解满足x+y=0③，求m。
解：①+②得3x+3y=2+2m，即x+y=（2+2m）/3因为x+y=0，所以（2+2m）/3=0，解得m=-1。
三、四个方程
例12：已知方程组
和方程组
的解相同，求（2a+b）2013的值。
分析：我们观察①②③④这四个方程，可知道①③这两个方程为“简单”，②④这两个方程为“难”，因此解题的时候可以先由两个“简单”的方程组成方程组求出x和y的值，再代入两个“难”的方程就能解出a和b的值了
解：由①③组成方程组得
解得x=2，y=-6，代入②④得
解得a=1，b=-1。所以（2a+b）2013=1
例13；已知方程组
和方程组
有相同的解，求a、b的值。
分析：很明显本题①④为“简单”，②③为“难”。
解：由①④组成方程组得
解得x=3，y=-1，代入②③得
解得a=1，b=2。
二元一次方程范文6
例1 解方程组3（x+y）-4（x-y）=1，+=1.
错解：设x+y=m，x-y=n，
则原方程组可化为3m-4n=1，+=1.解得？摇m=，n=1.
所以原方程组的解是x=，y=1.
剖析：整体换元的策略是正确的，但没有把元换过来，因而出错。
正解：设x+y=m，x-y=n，
则原方程组可化为3m-4n=1，+=1.解得？摇m=，n=1.
所以x+y=，x-y=1.解得x=，y=.所以原方程组的解是x=，y=.
例2 某车间实行每天定额工作量管理方法，如果第一天平均每人完成5件产品，全车间一天超额完成30件；如果第二天平均每人完成4件，全车间这一天比定额少完成20件，求车间的人数及每天定额完成多少件产品？
错解：设车间有x人，每天定额完成y件产品.
由题意，得5x-30=y，4x=y+20. 解得x=10，y=20.
答：这个车间有10人，每天定额完成20件产品.
剖析：“如果第二天平均每人完成4件，全车间这一天比定额少完成20件”根据题意应该是4x=y-20，而不应该写成4x=y+20。错因是把“少”的意义理解错了.在解答类似问题时，要正确理解关键词语“多”、“少”，“增加”、“减少”的意义，正确建立数量关系.
正解：设车间有x人，每天定额完成y件产品.
由题意，得5x-30=y，4x=y-20. 解得x=50，y=220.
答：这个车间有50人，每天定额完成220件产品.
例3 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的速度行驶，那么可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离.
错解1：设从甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间是t小时，
根据题意，得=t+24，=t-24.
错解2：设从甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间是t小时，
根据题意，得=t-，=t+.
剖析：（1）错解1的解题过程错在方程的单位不统一，其中和t的时间单位是小时，而24分钟的单位是分钟.
（2）错解2的解题过程错在错误理解了题目中的等量关系，晚到24分钟说明时间用得多，应为t+；提前24分钟说明时间用得少，应为t-.
正解：设从甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间是t小时，
根据题意，得=t+，=t-.解这个方程组，得s=120，t=2.
答：从甲地到乙地的距离为120千米.
例4 一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒；如果同时同向而行，从快车追上慢车到离开需16秒，求两车的速度.
错解：设快车速度为x米/秒，慢车速度为y米/秒.
则根据题意，得4（x+y）=168，16（x-y）=184.即x+y=42，x-y=11.5. 解得x=26.75，y=15.25.
答：快车每秒种行驶26.75米，慢车每秒种行驶15.25米.
剖析：如果两车相向而行，则其相对速度为两车速度之和；如果两车同向而行，则其相对速度为两车速度之差，这一点并没有错.问题是在相对移动的过程中，移动的距离应为两火车的长度之和.
正解：设快车速度为x米/秒，慢车速度为y米/秒.
