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高一期中考试范文1
试卷结构：
本次试卷有两种题型，选择题50分，综合题50分。
考情分析：该试卷难度较易。全级平均分58.69分，最高分83分，最低分40分。及格率63.4％。择一班平均分72.47分；择二班平均分68.32分；普通班平均分60.3分。
存在问题分析:
1. 选择题得分率较低的题有4，7，8，9，10，11，12，17。第4题二线城市优势主次难以区别。第7,8题，学生不能结合材料判断问题。第15题材料理解不正确。9，10题，结合题目给的相关材料分析，学生不能抓住材料分析，并结合近十年发展趋势分析问题。11，12题材料理解不透彻。17题淤泥质海岸与基岩海岸的发展方向不清。
2. 综合题存在问题主要有：26，27基础知识记忆不牢；地图信息分析不到位。28（1）分析题目存在问题，4个问题变成了三个甚至两个。30（1）学生审题不清，乱答。总的来说，综合题普遍存在答题思路混乱，不规范，点不够，错别字较多；材料分析不到位，不能很好的从材料中提取有用信息，抄材料。
改进措施：
1. 今后集体备课进一步细化，学重难点及相关练习；老师们努力提高每节课的课堂效率；课后重视基础知识的记背，教师的跟踪检查进一步加强。教师之间还应多相互学习。
2. 教学过程中根据教学内容适当加强学生的地理常识性知识。地理常识的缺乏影响我们对问题的正确判断。
3. 在今后教学中，不管综合题还是选择题一定要重点指导学生如何分析材料，找答案，不断训练学生做题技巧，指导学生答题方法。教学过程中有意识的强调并记忆相关的地理专业术语，力求做到答题时能运用好学科术语。
2013年第一学期期中考试结束了，考试结果基本另我们老师满意。自从开展课题研究以来，我们课题组老师特别注意课堂教学中对学生学法的指导，研究各种教法运用于教学，并不断尝试对学生的各种学习方法进行培养和指导。
一、 考试基本情况分析
这次高一地理考试的范围是第一章“地球的宇宙环境”的全部以及第二章“自然环境中物质运动和能量的交换”的前两节，所以考试内容涉及的难点知识较多。对于高一学生来说，第一章在他们没有学习立体几何的前提下，地球的自转和公转这部分内容很难理解，而这些又是高考的重点，所以平时考试必然会涉及。不过从考试题本身来看，难点知识考察的是不少，可所出的问题却并不难（相对于高考题的难度而言），基本都属于学生必须掌握和理解的。但是没有好的教法和学法在课堂中的应用，大部分学生要学好这些知识是很难的，要在这次考试中取得优异的成绩也基本上是不可能的。课题研究以来，由于我们重视了教法和学法指导，重视了课堂效率的不断提高，所以这次考试的结果还是令我们满意的。
高一年级共有19个班，1103名学生，考试情况如下：全年级地理个人最高分为92分，最低分为43分，班级均分1、2班为81分，其他班的均分为67分。相比较去年同期考试的结果，在都是户县教研室统一组织命题的条件下，今年我们学校高一学生取得的成绩明显有所提高。这说明我们的研究工作是有效果的，我们会不断努力，以最大限度地提高课堂教学的效率，不断指导学生如何去学习，使学生爱学地理，会学地理，学懂地理。
二、试卷特点及具体得分情况分析
本试卷结构简约合理，由30道选择题和4道综合题组成，分选择题和非选择题两部分，考试时间90分钟，满分100分。试题注重知识的应用，适合新课标要求。
选择题中，较容易答对的题目有1、2、3、6、19、21、23、24、25、29题，这些题考察课本中最基础的知识，属记忆类的较多，学生们基本上没有失分。其余20个题目均考察了较难的知识，如第4、5题考察地球上有生命存在的原因，对于这个知识，教学时主要采取了：引导学生对图表数据分析法、引导学生合作探究的方法等学习方法。从学生的得分情况看，比预想的要好得多。第10、11、12、13、14、15、16、17、18、26、27、28题主要考察了地球的自转和公转运动的基本概况及其地理意义等有关知识，这部分知识是第一章中最难理解的内容，也是很多学生容易失分的题目。对于地球运动这部分内容，教学中主要采取的教法和学法有：常见自然现象的解释、启发引导法、案例分析法、地球仪演示法、小实验探究法、读图绘图法、阅读教材提取有用信息的方法、课堂及时训练巩固的方法等。我们以提高学生的兴趣为前提，以有助于学生的理解为原则，适时转换教法，改变学法的指导，最终教学效果明显。因为从学生的得分情况看，成绩很理想，也就是这些题的错误率比我们估计的要低得多。这说明我们的教学是有效率的，是被学生认可和接受的。其余6个选择题属于中等难度的题目，得分情况也不错，在这里就不详述了。
非选择题也以考察学生的能力为主，31题考察太阳系结构图以及除地球以外其他行星有无生命存在的原因分析，由于课堂重视了对学生进行引导分析问题的能力训练，和合作探究方法的培养运用，大多学生在这道题上几乎没有失分。32题考察地球公转轨道及有关这方面的知识，学生得分率较高，这与平时的读图分析训练密不可分。33和34题分别考察了岩石的分类及原因、地质作用及其对地表形态的影响等知识，得分请况较好。这部分内容在学习的过程中，主要运用了多媒体辅助教学法、自主合作探究法等，在让学生见到大量图片的同时将抽象知识直观化，来帮助学生理解，课堂效果明显。
由以上可见，只有注重课堂中教法和学法的指导，才能提高课堂教学的效果，才能使学生获得最大限度的提高。
高一期中考试范文2
题目：设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性.（解法略）
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，x∈[0，π]，求实数a的取值范围.
■
方法一：设g（x）=ax+cosx-1-sinx，x∈[0，π]，g'（x）=a-sinx-
cosx=a-■sin（x+■），当x∈[0，π]时，■sin（x+■）∈[-1，■].
（1）若a≥■，则g'（x）≥0，g（x）在[0，π]上单调递增，g（x）max=g（π）=πa-2≤0，则a≤■，所以a∈φ.
（2）若a≤-1，则g'（x）≤0，g（x）在[0，π]上单调递减，g（x）max=g（0）=0≤0，所以a≤-1.
（3）若1π-2>0.
（4）若-1
评析：含参数不等式恒成立问题源自于函数的单调性，本质是比较函数值的大小，对函数单调性的讨论是求解这类问题的通性通法.关键是构造出易判断导函数符号的函数，紧紧盯住对函数单调性讨论求解.
方法二：ax+cosx≤1+sinx，x∈[0，π]，即ax≤1+sinx-cosx，x∈[0，π]，即ax≤1+■sin（x-■），x∈[0，π]，设h（x）=1+■sin（x-■），x∈[0，π]，g（x）=ax，x∈[0，π].
■
由图象可知，使ax≤1+■sin（x-■），x∈[0，π]成立的充要条件是g（π）≤h（π），即πa≤2，故a≤■，所以a的取值范围是（-∞，■].
评析：我国著名数学家哈家定先生说过，化归转化是解决数学问题最有力的“杆杠”，不等式恒成立问题可以进行等价转化，转化为两个函数图象的关系问题，数形结合，简洁有力.
方法三：因为ax+cosx≤1+sinx，对任意的x∈[0，π]都成立，所以x取特值π也成立，即f（π）≤1，由此解得a≤■，下面只需证明a≤■具有充分性.
设g（x）=sinx-cosx-■x+1，x∈[0，π]，g'（x）=cosx+sinx-■=■sin（x+■）-■>0，则g（x）在[0，π]上单调递增，因此g（x）≥g（0）=0所以当a≤■时，g（x）=sinx-cosx-■x+1≥sinx-cosx-ax+1≥0
高一期中考试范文3
一、准备时如何着手：
1.要回归基础知识。到了最后阶段，不宜再复习所有知识点，把重点要深入掌握，争取不让自己会的东西再丢分，基础要好的话，保证拿到基础分的前提下，细化知识点。
2.做好查缺补漏。应该把做过的练习进行总结和归类，对于自己不明白并且是考点的，不仅要注意而且要进行细致分析，不要放过任何可以拿分的知识点。
3.要及时解决发现的问题。有针对性地复习对最后阶段提高成绩很有帮助。
4.注意一些应试技巧。在考前复习时，要总结一些技巧，并要梳理一下做题的思路。对于老师没画重点的科目，自己要对知识点系统总结，把握规律，找出认为是重点的地方升深度记忆(平时上课反复强调的地方)。
二、考试前如何复习:
1、 最后一两次上课专注听讲，留意老师反复强调的重点并在课本上做出醒目的标记。
2、 反复记忆老师在考前为我们画出的考试的重点知识。
3、 合理安排时间，可按照迎考顺序依次调整复习重点，也可根据自身学习情况。
4、 复习过程中要灵活，多穿插几门共同复习，避免长学习一科枯燥无味，这样可以提高复习效率。
5、 理工科的东西复习起来要多动手，多做典型的习题，通过练习来巩固深化公式及知识点。
6、 文史类的东西复习起来要多记忆有条理性，不能死背，尤其是画出的重点题目要反复记忆，这种题都是大分值，要拿足分数。
三、复习技巧和考试技巧。
1.突出重点。我们习惯看书从第一章看到最后一章，但有时这种方法却可能是致命的。对于数学之类的肯定没有问题，因为这个学科是需要拉长战线复习的，但对于其他课，复习最好的是从重点到次重点再到非重点的顺序，因为一旦出现时间不够，我们还可以保证通过，大学考试重点是一定会考的。在保证重点复习完(通常过没有任何问题)，再不断地往非重点走(走的越深，当然分数就越高了)
2.心理暗示。人的潜能是可以挖掘的，语言引导思维，我们为了我们的兴趣的良性循环，要不断地对自己进行暗示和鼓励。告诉自己，考试很简单，我一定可以搞定。
3.记忆的几个小技巧。
(1)记忆的时间段：
短时记忆：5：30——7：30
长时记忆：14：00——17：00
深度思考：20：00——22：30
(2)对于一些东西，要重复记忆，如英语、数学公式、财管公式、会计分录等。
4.如果学习不在状态，可以提出一个独家秘方。准备一套扑克牌，随便抽4张，玩24点的游戏。(调动你的思维逻辑哦)
5.考试的时候，如果遇到不会的题，把试卷拿起来(我们看试卷的角度也就从俯视转变成了近乎平视)，这个时候很多题说不定就会了。
高一期中考试范文4
① 指人们允许小猴以花岗岩小石头为硬币换取葡萄或黄瓜。实验人员观察到，如果一个猴子用花岗岩换到一条黄瓜但是看到另一只猴子得到更多的葡萄，它经常要么拒绝交出花岗岩，要么选择不吃黄瓜。在城乡、区域和阶层之间的经济差距不断拉大的情况下，我国教育差距比经济差距拉得更大更快，这将使教育差距与经济差距形成“相互激励”的马太效应，这不仅损害了弱势群体受教育的基本权利，而且也成为影响社会稳定的一个潜在危机。为此，促进教育均衡发展是走出经济贫困与教育落后之间恶性循环的最佳现实选择，对保障弱势群体的平等教育权、推进教育体制改革进程、促进教育社会化都有重要的意义。然而，就现实而言，我国教育资源分配既在城乡之间、地区之间、阶层之间不均衡，也在基础教育和高等教育之间有差距。事实上，高等教育资源分配不公是教育不公平的主要表现。而作为高等教育资源分配的起点，高考资源分配公平性问题的影响更为深远，意义更为重大。在某种程度上可以说，高考不公平是社会的最大不公平，它危及一个社会最基本的公平底线。高考资源分配不公平主要包括地区不公平、阶层不公平和城乡不公平。这其中，地区不公平最能体现高考资源分配中的差等正义。
一、差等正义：理论溯源及概念解析
人为什么要追求平等与正义，这个问题就像问人为什么要吃饭一样，既简单又复杂。在达尔看来，追求平等与正义是人类的天性使然，是人类情感的反映。当这些情感成为常识性问题的时候，政治上的平等论证似乎也没什么必要\[1\]（译者序P4-5)。“僧帽猴” ① 的实验表明，当人们受到不公平对待的时候，他通常会有语言上的反映。在极端不平等的情况下，人们还经常试图通过行动来谋求公平的待遇。在政治生活领域，经常看到的罢工、社会运动、革命等集体行动，很大程度上都是人们在行动上对政治或社会不平等的回应。通常情况下，社会不平等来源于制度上的偏狭：一种情况是制度排斥，另一种情况是滥用制度来制造不平等。历史上，严重的社会不平等大都来源于制度性强加。如果某个政治制度公开地排斥某个群体，不平等就会大面积且持久地发生。美国历史上对黑人的排斥就是一个经典的案例。另一种情况发生在那些公开倡导平等的国度里，在那里，政策制定者利用特权或恐怖手段，强行地或含蓄地剥夺公民权利，将国家或宪法变成少数精英谋求私利的工具。在这些国家里，政治家经常以人民的名义行使统治权。尽管前者公开倡导平等而后者打着“平等”的旗号，但是，无论形式是什么，对公民来说，结论只有一个，即“不平等” \[1\]（译者序P5)。这些不平等就是文所指称的差等正义。
中国地质大学学报(社会科学版)谢治菊：高考招生中的差等正义批判：以地域歧视为例古代思想家认为，差等正义是传统社会协调不同等级群体利益冲突的一种手段和工具。这一点，中国古代的荀子是这样描述的：“人之生，不能无群；群无分则争，争则乱，乱则穷矣。故无分者，人之大害也；有分者，天下之本利也。”\[2\](P83)荀子的意思很明了，认为差等正义是避免群体纷争和冲突的政治依据。同样，在古希腊的政治哲学中，差等正义也是作为基于社会的自然本性的德性而被人们所认同。在此背景下，正义应理解为自然的自发秩序所确定的差别和等级制度的合理性，是按照自然形成的等级差别来协调社会关系，人们的行为也必须符合这种自然秩序要求的政治道德规范，即让人们做他们该做的事情，所谓“正义对每一个阶层来说都是必要的，但是是有差等之分的”。在柏拉图看来，国家是由金、银、铜、铁等天赋秉性不同的公民自然形成的等级社会构成的。亚里士多德也认为，按比例分配就是正义，即“相等的东西给予相等的人，不相等的东西给予不相等的人”。虽然亚里士多德强调平等是正义的尺度，但是他却愿意容许社会中广泛存在的不平等现象，不仅认为统治者在人格与尊严上高人一等，还认为家庭中女人被支配的地位是合理且必要的，甚至认可奴隶制度的合理性。因此，他关于比例平等的观念与承认社会等级的观点是一致的，也是典型的差等正义。
至现代，无论是在自由与平等间更倾向于自由的新自由主义思想，还是强调平等仅限于成员内部的新社群主义思想，无一不弥漫着承认社会差等合理性的痕迹，由此引发的社会不平等现象仍然在一定范围内存在，这些现象亦被一些学者称为“差等正义”。例如，早在2007年，钱宁就对差等正义现象进行了归纳和批判。他指出，无论在中国还是西方，传统政治伦理思想都把正义看做某种等级社会的秩序与规范，在一种“礼仪差等”的观念下进行阐述\[3\]。也就是说，传统政治伦理思想设定了不同等级的人群应遵守的道德规范或应具有的德性，这些规范或德性规定了各个等级的权利或义务，他们必须各司其职、各尽其能、各负其责，整个社会才能和谐有序地运行\[2\](P82)。那么，什么是差等正义呢？钱宁指出，差等正义是指以社会等级秩序的合理性为前提，通过对不同等级利益群体行为的协调，兼顾各方利益，从而防止各利益集团为了私利而侵害他人权利，或进行争夺而导致社会的毁灭\[2\](P82)。黄健荣指出，在统治型公共管理中，统治者通过各种方式竭力向社会宣扬和灌输君权神授、王权至上与差等正义思想，以维系和强化其统治的正统性、权威性与合法性\[4\]。虽然在该文中黄健荣没有单独解释什么是差等正义，但从其表述可知，差等正义是统治型公共管理模式的主要特征和权力来源，而依据差等正义进行的管理必将维系等级、奴役与专制秩序，强调臣民的绝对效忠与服从。此处的差等正义应理解为建立在等级制度基础上的非正义。后来，黄健荣直接指出：“差等正义论是前工业社会维系等级制度与专制制度的重要理论支撑。当下公共政策领域的差等正义之底色远未彻底祛除，在一些政策范围甚至有很大的影响。公共政策的差等正义，是指决策者或执行者在制定、执行公共政策时背离其应恪守之公共性、公正性和公平性铁律，对不同群体或阶层、不同地区实行双重或多重标准。”\[5\]差等正义是对社会公平正义的践踏与对现代政治文明的玷污,而依据差等正义进行的管理必将维系等级、奴役与专制秩序，强调臣民的绝对效忠与服从。可见，尽管学界对差等正义的描述和阐释不尽一致，但在以下三个问题上基本达成了共识：一是认为差等正义是不正义的，二是认为差等正义是建立在个人身份和社会等级基础之上的，三是认为差等正义都源于古代以柏拉图和亚里士多德为主的政治哲学思想，其思想的核心是“人是有等级的，人的等级是与生俱来的，人们必须按其与生俱来的等级各行其事、各负其责才是正义的”。
基于此，本文所指的差等正义是指建立在人的身份和等级基础上的，基于双重或多重标准而设立的有悖公共管理公共性、公平性、公正性的行为规范。所谓正义标准的双重性或多重性是指“对不同社会身份、等级、地位的人适用不同的正义标准，设置不同的道德规范，或者同样的行为因其行为者的社会身份、等级和地位不同而有不同的评价”。在双重或多重正义标准的影响下，劣势地位者对基本权利的平等要求获得了“一种双重意义”：一方面，它是反对社会不平等的自发回应。就此而言，它是革命性本能的表达，并且在其中而且只能在其中找到合法性。另一方面，平等要求变成一种反对作为“等价”原则的正义的回应\[6\](P157-158)，这种回应的典型表现就是对差等正义的批判。
二、高考招生中的差等正义批判
按照经济发展水平的程度，我国可分为经济发达地区和经济欠发达地区；按照地理位置，我国可分为东部、中部和西部地区。经济发达地区主要指东部地区，经济欠发达地区主要指西部地区，这两个地区经济发展水平的差异极大，由此带来了教育上的巨大反差。在此背景下，如果单纯追求“分数平等”，这就容易造成欠发达地区事实上的不平等，从而进一步拉大区域差距。为了追求区域平等，我国制定了按区域划分录取分数线的高考入学政策。但是，我国高等院校按地区分配录取配额的做法并没有完全体现平等的原则，尤其是没有体现出个人能力和勤奋程度在高考中的贡献，以致相同分数的考生在各省被录取的概率相差太大，其结果是考生参加高考所在的地域位置决定考生的命运。例如，北京考生考北京大学与清华大学、上海考生考复旦大学、江苏考生考南京大学、天津考生考南开大学的机会远远高于省外考生，这是极大的不公平，实际上是将北京、上海、天津等地变成特权地区。为此，洪可柱指出：“这种教育水平和录取分数形成两个极端，由于录取的分数线不统一，教育环境较好的大城市录取分数线要低于教育条件相对较差的城乡，意味着前者侵占后者的学生享受优质教育的机会。”\[7\]长此以往，教育对人的经济、社会地位必将产生显著影响，即名校的优质资源必将使学生毕业后有更好的工作前景和更优越的工作待遇，进而提升他们的社会地位和社会身份。
（一）普通高考录取分数线的地域差异十分明显，不同地域的学生难以获得平等的高等教育入学机会
虽然从形式上看，我国的高考制度是公平的，但由于采取了分省定额划线的办法，实际上各省的录取比例和录取分数大相径庭，从而加剧了原本已经存在的教育不公平。例如，从2010―2012年大陆31个省市区高考录取分数线来看，分数线较低的省份有青海、海南、天津、北京、上海、宁夏、新疆等。其中，作为全国的政治、经济、文化中心，北京、上海同时又是录取机会较大的市，2012年文理科一本录取线分别为495分、438分和477分、423分，这一分数线分别仅为当年文科录取最高分数590分的浙江的84%和82%，分别是当年理科录取最高分数585分的广东的75%和72%（如表1所示）。录取分数线较高的省份有四川、山东、黑龙江、湖北、湖南、河南等，其主要原因是这些省份高考报名人数多，录取机会相对较少，分数线被“抬高”\[8\](P173)。这凸显出高考分数线地区差异的两种类型：一是经济与教育都发达的地区与欠发达地区的差异，二是津、京、沪等高考低分区与湖北、河南、湖南、山东等高考大省的差异。若说西部省区因为经济落后、高教资源缺乏，致使其录取分数线很低而能被人们接受，因为这符合补偿理论。但是，教育资源更多是向大城市倾斜，这使得越发达的地区学生高考的分数越低、难度越小，而一些生源大省和欠发达地区却年年面临巨大的竞争，这显然是不公平的。
以北京为例。作为中国的首都，北京集中了全国重要的政治、经济和文化资源，其录取分数线之低无论从哪个原因来讲也是无法让人信服的。“对于经济、社会和教育最为发达的北京、上海和天津，给予政策和资源优惠……这也是人们诟病现行高考政策的焦点之一。”\[9\](P55)由于经济发展水平和教育水平不同，不同省域之间的高考分数呈现出一定的差距是合理的，欠发达地区的高考分数低于发达地区也是无可争辩的。但是，如果教育资源最为集中的津、京、沪地区学生的高考分数还大大低于其他地区，那就将考生的前途和命运打上了深深的身份和等级烙印，预示着这些地区的考生比其他地区的考生要高人一等，这是对考生平等人格的剥夺，体现的是一种等级特权，应该予以废除。
（二）不同地域学生高考录取率的差异映射出我国高等教育入学机会的地域差等分配
高考录取率等于录取人数和报考人数的比例。这一比例越高，高考的录取率越高。例如，如果将全国的平均录取水平简化为1，那么，2000年北京的录取率则为523、上海、天津、辽宁和江苏分别为362、286、168和139。北京的水平是贵州的1093倍、是山东的272倍\[10\](P84)。这一趋势在2010―2012年的招生录取中也特别明显。如果以报考人数为基准，2010年、2011年、2012年高考“一本”录取率较高的省市分别是北京、上海、天津和海南等，“一本”录取率较低的省区分别是贵州、四川、云南、广西、河南、湖北等。以北京为例，从2010―2012年，北京考生一本录取率年年最高，分别为201%、表12010―2012年大陆31个省区“一本线”录取分数及录取率对比
地区总分2010年2011年2012年录取分数文科理科录取
率/%录取分数文科理科录取
率/%录取分数文科理科录取
率/%北京75052449420152448427004954772550天津7505195091975195152200549530―上海63046446518046846219704384232051海南*900670
（558）624
（520）128671
（559）615
（512）1379668
（557）614
（512）1399黑龙江75052353276540551928526514―吉林750517530―5375481190529515―辽宁750518531―5355201080563517―河北75053956144562581745572564―广东75059562164580568700589585―山东750606580715705671100573582946福建7505575396453557310605575461234浙江810606593965715501200590551―江苏**480341
（533）340
（531）82343
（536）345
（539）845341
（533）340
（531）―湖南75057856746583572―5715201008湖北75053055764547571―561551―山西75053353648543570―539530―河南75053255235562582―557540690安徽75057356257547534800577544905江西75052151557532531810570547890陕西750559556665435408805565171129重庆75057353376564533840554522922四川75054351251533519―516518399广西75051050049519506―544528709甘肃750511531―504501―533517622宁夏750496474955004861100489440―内蒙古750475510―4864828804924691100云南75049550069495465890520465―贵州750514481595164481166539470790青海750430405127430380―433401―新疆***750485471―5044731286493445―****750455455―485450―490460―注：*若按750分计算，海南省2011年文理科的录取线应该分别是559分、512分。**若按750分计算，江苏省2011年文理科的录取线应该分别是536分、539分。***新疆2009年民语言本文理科录取线分别是434分与376分，民考汉分别是414分与423分；新疆2010年民语言本文理科录取线分别是432分与364分，民考汉分别是401分与414分；新疆2011年民语言本文理科录取线分别是424分与353分，民考汉分别是413分与417分；新疆2012年民语言本文理科录取线分别是415分与338分，民考汉分别是411分与401分。****2009―2012年少数民族本文理科录取线分别是290分与260分、293分与282分、315分与270分、320分与280分。
资料来源：根据“新浪教育”上的数据整理而成，edusinacomcn。
27%与255%，这一比例分别是2010年录取率最低的河南的57倍，是2012年录取率最低的四川的64倍（如表1所示）。可见，相对于报考人数来说，全国高等学校在各地的招生比例大相径庭。也正因为如此，不同省区考生接受优质高等教育的机会也截然不同。这一点，也可以从表2“985”高校更多地倾向于招收本地生源的趋势中窥知。
由表2可知，“985”高校2010年在各省的平均录取率为232%表2中大陆31个省区录取率的简均数。。其中，高于该平均数的有12个省市区，分别是上海、天津、北京、吉林、重庆、辽宁、青海、湖北、海南、浙江、广东、四川。剩下的19个省市区“985”高校的录取率均低于平均数。仔细分析不难发现，上海的录取率最高，为5129%，天津和北京的录取率分别次之，为4378%和4069%，上海、天津和北京的录取率分别是录取率的52、45和42倍。而录取率最低的河南和，仅为平均数的425%和422%。可见，优质高校的录取也具有明显的地缘化特征和地域特色，尤其集中于京、津、沪等权力中心，这是典型的地域歧视。表22010年“985”高校在各省的录取率统计
序号地区录取率/%序号地区录取率/%序号地区录取率/%1上海512912四川241723云南14182天津437813福建229024贵州13803北京406914黑龙江221625广西12594吉林381415宁夏220026河北11915重庆369016湖南212227内蒙古11776辽宁352717江苏193328山西11687青海345818山东180129安徽10358湖北320119新疆170030河南09879海南307420陕西168731097910浙江279021甘肃164611广东274222江西1437资料来源：根据“新浪教育”上的数据整理而成，edusinacomcn。
（三）高校的省际分布也以地域为中心呈现出差等格局
由于地域之间的经济发展不平衡，我国高等教育的地区分布存在较大的差异，特别是后期以调整政策的方式建设的重点大学较多地集中在东部发达地区，这样就形成学校总数和优质高等学校布局的省际差异。2010年，大陆地区全国普通高校2 358所，平均每个省区761所。但实际上这个分布并不均匀。例如，东部13省1 181所，占总数的501%，每省区平均908所，比平均数高147所；中部6省613所，占总数的257%，每省区平均1022所，是平均数的13倍；西部12省市区564所，占总数的239%，每省区平均47所，仅为平均数的618%。其中，高校最多的省份是江苏，有150所，接均值的2倍。高校最少的只有6所，江苏高校数量是的25倍参看《2011年中国统计年鉴》。。从简单的数据来看，普通高校的地域差异比较显著。
表32010年“985”院校和“211”院校地理分布情况此表的数据截止到2010年10月31日。
地区“985”高
校数/所“211”高
校数/所地区“985”高
校数/所“211”高
校数/所北京市826甘肃省11上海市49浙江省11陕西省37新疆02湖南省33河北省01江苏省211河南省01湖北省27海南省01四川省25云南省01广东省24江西省01辽宁省24贵州省01山东省23山西省01天津市23青海省01黑龙江省14内蒙古01吉林省13广西01安徽省13宁夏01重庆市1201福建省12合计39112资料来源：“新浪教育网”。“211”高校地理分布网址：edusinacomcn/gaokao/20110331/1515290772shtml；“985”高校地理分布网址：edusinacomcn/gaokao/20110331/1549290785shtml。这一差异也可从优质高校资源的地理分布情况看出。截止到2010年3月31日，在全国39所“985”高校中，北京、上海、天津三个地区就占了14所，超过三分之一，剩余的25所也大都分布在陕西、湖南、江苏等地。其中，贵州、、新疆、云南、广西等13个省区1所“985”高校也没有(如表3所示)。“211”院校的情况也相似。在全国112所“211”高校中，北京、江苏、上海三地共有46所，占411%；而西部的十二省中，除四川和陕西之外，其余地区都只有1―2所（大部分地区是1所）“211”大学。也就是说，以“985”和“211”为主的优秀高等教育资源呈东、中、西部依次递减的趋势。而在东、中、西内部，也存在较大的差异：就东部而言，主要集中在北京、上海、天津、江苏等地；就中部而言，主要集中在湖北、湖南两省；就西部而言，主要集中在陕西、四川两省。这意味着，我国优质高等教育资源呈现出按地区等级分布的状态（如表3所示）。
但是，如果将各省的人口总数除以普通高校数量，结果又会有较大的变化。2010年，全国普通高校2 358所，总人口13409 1亿多人，平均数是每569万人拥有一所高校。接近这个平均值的有浙江、江苏、内蒙古、新疆、江西、安徽6省，他们的比值分别为539、529、562、591、525和537。比值接均值一半的省区有三个：北京226，天津236，上海344。而比值最大的是河南，为879，接下来是广东、云南和山东，比值分别为797、754和726。
能进一步说明此情况的是各省人口与普通高等院校数量的比例除以全国人口总数与普通高校总数的比例，这一比例越小，高校的资源越丰富。反之亦然。此比例最小的是北京、天津和上海，分别为040、041、060，此比例最大的分别是河南、广东与云南，分别为154、140、133，比值最小的北京是比值最大的河南的约4倍。这意味着，如果报考本地区的院校，北京考生被录取的几率是河南考生的4倍（如表4所示）。表42010年大陆31个地区人口数量与高校数量对比
序号地区人口/
万人高校数量/
所比例
（万人/所）损益率序号地区人口/
万人高校数量/
所比例
（万人/所）损益率1 北京1 9628722604017 湖北5 7281204770842 天津1 2995523604118 湖南6 5701175620993 河北7 19411065411519 广东10 4411317971404 山西3 5747349008620 广西4 610706591165内蒙古2 4724456209921 海南869175110906 辽宁4 37511239106922 重庆2 885535440967 吉林2 7475649108723 四川8 045926741188黑龙江3 8337948508624 贵州3 47947741309 上海2 3036734406025 云南4 6026175413310 江苏7 86915052509226 301650208811 浙江5 44710153909527 陕西3 7359041507312 安徽5 95711153709428 甘肃2 560406411213 福建3 6938444007729 青海563962611014 江西4 4628552509230 宁夏6331542407515 山东9 58813272612831 新疆2 1853759110416 河南9 405107879154合计134 0912 3585691 资料来源：根据2011年《中华人民共和国统计年鉴》第三章、第二十章相关数据整理而成。
可见，无论是横向对比还是纵向对比，无论是对比绝对值还是对比相对值，无论是对比录取率还是对比高校数量，无论是对比普通高等教育资源还是对比优质高等教育资源，北京、上海、天津这三个最发达地区的考生都是高考中的最大赢家。这意味着，在同样的分数面前，这些地域的考生面临更多被录取尤其是被优质高等院校录取的机会。进而言之，上述分析表明，各地区考生在高考中拥有大相径庭的入学机会。而入学机会大相径庭的原因不是其他地区的学生不努力、不聪明、不勤奋，而是因为他们参加高考的地域没有分配到更多的高等教育资源。也就是说，他们在高考中面临明显的地域歧视，这种歧视会演变为一种身份排斥。可以说，这种将高考录取建立在考生身份和区域位置上的做法具有明显的社会排斥意蕴，是典型的差等正义，其实质是不正义。这种不正义不仅会加剧区域之间的教育不平等程度，而且会进一步扩大区域之间的经济差距，使教育与经济形成相互“激励”的马太效应，从而拉大区域间的整体发展水平。
三、高考招生中差等正义的反思与矫正
我国高考招生中之所以存在地域歧视，主要有制度和非制度两个层面的原因。从制度层面来看，以地区为单位的招生方式是这一问题产生的根源；从非制度层面来看，可以归结为教育资源的地区性不均衡。当然，这种不均衡非一朝一夕之功，而是历史、政治、经济、文化共同作用的结果，且在短时间内难以改变。但是，制度上的原因却是人为的。毫无疑问，对欠发达地区而言，这种招生方式具有一定的优越性，因为欠发达地区教育水平低下，如果用同样的标准来竞争，只会处于更加被动的局面。但是，这种招生方式同时给了部分发达地区特权，这又是极不公平的，由此带来的教育机会不均等和社会问题越来越明显。例如，为了规避高考中的地域性分数，高考移民问题越来越突出。其实，高考移民本身就是人们对高考中制度化不平等的人为对抗，这种对抗在平衡地区差异的同时也撕下了制度对欠发达地区的保护面罩，其危害性不言而喻。
当然，“985”、“211”这类重点高校招收本地生源过多而引发的地域歧视问题除与上述原因有关外，还与“地方保护主义”有关，即各地政府从理性经济人出发，本着“肥水不流外人田”的原则，出台对本地考生的照顾政策。这种地方保护主义产生的另一个原因是各地方政府要对大学配套投资，因为不少部属重点高校都已成为了教育部与当地政府共建的大学，而投资的回报便是扩大高校在当地的招生规模。因此，在某种程度上说，当地政府投入和人才培养回报的关系将是这些院校招生时是否进行地域歧视的晴雨表，招生比例也在一定程度上成为了地方政府、教育部和学校之间的博弈。
显然，高考招生中的差等正义是建立在考生身份和地域基础上的不正义，其主要表现形式是在高考招生中对不同地域的学生使用双重或多重身份标准来分配高考资源，这种差别对待是一种典型的身份歧视，违背公序良俗的原则和公共管理的公共性，必须予以批判与矫正。为此，应首先从源头上均衡高等教育资源的分配。这包括两个方面：一方面，大学要拓宽办学经费和办学渠道，少依赖政府的财政拨款，多搞校企共建，否则，必然导致学校对政府和当地经济发展水平的依赖；另一方面，政府应打破重点高校垄断高等教育资源的局面，创新多元教育发展模式，给普通高校创造更多获取资源的机会。
其次，教育部门应出台更公正合理的招生标准，不应简单地把指标按“地域投放”。否则，衡量学生素质高低、录取与否的标准主要不是学生的能力与分数，而是学生的户籍。也就是说，高校招生中按省市投放指标的做法不仅不能达成高等教育的目标，也不能有效选拔人才，侵犯了部分考生平等的受教育权，构成了“地域歧视”。尽管近年来清华、北大等一流高校在西部欠发达地区的招生比例在逐年提高，但与北京、上海、天津等地比起来，差距仍然很大，短时间内难以弥合。要打破这一局面，教育部门应出台更公正合理的招生标准，具体做法是，结合各地的人口数量、高考人数、教育水平和学生分数，划定一个大致相等的录取比例。虽然这一做法对高考竞争激烈的个别省份有失公允，但这是一个比现有制度更加公平的策略，体现了“比例平等”，与人们遵从的“基本权利绝对平等、非基本权利比例平等”的正义原则是吻合的。但是，“并非所有的比例分配都是合理的，历史上按血统、出身、爵位和级别进行的比例分配就是不公正的”\[11\](P19)。因此，按比例分配应指按照个人贡献的高低和绩效的大小进行分配。将这一理念映射到高考招生领域，教育部门在考虑高考录取比例的同时，还应该考虑学生的分数和当地的整体教育水平。
此外，通过立法规范高考招生行为也是一条行之有效的途径。目前，除《宪法》和《教育法》对公民的平等受教育权有所规定之外，高考招生所依据的“法律”竟是1987年颁布、2004年被废止的《普通高等学校招生暂行条例》。之后，各高校招生的依据就是教育部和地方教育部门在每年录取前所的例行“通知”。因此，要矫正高考招生地域歧视，就应用法律法规进一步保障高考考生的平等受教育权。
参考文献
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\[9\] 樊本富.“高考移民”问题研究\[D\].厦门：厦门大学，2005.
高一期中考试范文5
关键词： 厦门市统考 数列 最值 函数 比较法
2012年我们学校有幸参与厦门市进行统考，理科试卷中第20题是一道数列问应用题，题目如下：一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b件.当该产品做电视广告后，记每日播n次时的日销售量为a件，调查发现：每日播一次则日销售量a件在b件的基础上增加件，每日播二次则日销售量a件在每日播一次时日销售量a件的基础上增加，……，每日播n次时，该产品的日销售量a件在每日播n-1次时日销售量a件的基础上增加件，合同约定：每播一次企业需支付广告费2b元.
（1）试求出a与n的关系式；
（2）该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次？
解析：（1）依题意可得a=a+，a=；由累加法得a=2b（1-）.
（2）依题意得，日利润：y=2b［100-（+n）］，（n∈N）.
欲求日利润y最大，即求t=+n，（n∈N）的最小值.以下对此进行分析.
（法一）令f（x）=+x，x∈N则f′（x）=-ln2+1；由f′（x）=0得：2=100ln2，x=log（50ln2），＜ln2＜1，2＜25＜50ln2＜50＜2，4＜x＜6，又x∈N，又由导数的性质可得，函数f（x）在x=5时取极小值；即n=5时，t=+n最小，所以每日电视广告需播5次，日利润最大.
由法一可发现：数列或其前n项和其实是一个定义域为N或其子集的一个特殊函数，所以求数列最值问题常归结为求函数的最值问题.
有一些问题都可以利用这个方法进行，如：
1.等差数列{a}的通项a=-2n+19，求其前n项和的S最大时n值.
此题可由a＞0得n＜9.5，故前n项和最大时，n=9.
此题还有另解：S=-n+18n，令f（x）=-x+18x，则由二次函数性质可得，当x=9时，函数有最大值，即n=9时，S最大.
2.证明：lnn≤n-1，n为正整数.
证明：令：f（x）=lnx-x+1，则f'（x）=-1=，由f′（x）≤0得x≥1，
f（x）在［1，+∞）单调递减，所以x≥1时，f（x）=lnx-x+1≤f（1）=0；即lnx≤x-1.
于是，对正整数n，lnn≤n-1.
上述厦门市统考数列试题还可用如下方法求解：
（法二）设b=+n，则b-b=+n+1-（+n）=；
由2-100＞0，且n∈N，可得n=5，6，7，…
于是当n=5，6，7，…时，b-b＞0；当n=1，2，3，4时，b-b＜0.
所以b＞b＞b＞b＞b＜b＜b＜…所以n=5时，b=+n最小.
所以每日电视广告需播5次，日利润最大.
由法二可发现：求数列最值时可利用数列通项中的n为正整数这个特征，通过比较法（作差或作商）讨论数列相邻两项的大小关系，从而得到数列各项随n的增大的变化情况.然后确定其最值，当然，此法也有函数思想的渗透.如下两问可用此法.
3.n取何值时，数列a=取最大值？
4.（2010上海文数21改编）数列S=75•（）+n-90，求S取最小值时n的值.
解：S=75•（）+n-90（n∈（N）；由S＞S，得（）＜，n＞log+1≈14.9，
高一期中考试范文6
一、单选题
1．下列四个命题中，为真命题的是（
）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】A
【解析】利用不等式的性质依次判断即可.
【详解】
对于选项A,由及“同向同正可乘性”，可得；对于选项B，令则，显然不成立；对于选项C，若，显然不成立；对于选项D,若，显然不成立.
故选：A
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，属于基础题.
2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．
【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。
3．设、是非空集合，定义且，若，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解出集合，利用交集和补集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合.
【详解】
解不等式，即，解得，则集合.
所以，，，
根据集合的定义可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的新定义运算，同时也考查了一元二次不等式的解法、交集与补集的运算，考查运算求解能力，属于中等题.
4．设集合，，,，，其中、，下列说法正确的是（
）
A.对任意，是的子集；对任意，不是的子集
B.对任意，是的子集；存在，使得是的子集
C.存在，使得是的子集；对任意，不是的子集
D.存在，使得是的子集；存在，使得是的子集
【答案】B
【解析】利用集合子集的概念，任取，可推出，可得对任意的实数，；再由，，求得、，即可判断出选项B正确，A、C、D错误.
【详解】
对于集合，，任取，，则，，所以，对任意，是的子集；
当时，，，可得；
当时，，，可得不是的子集.
所以，存在，使得是的子集.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了一元二次不等式的解法，以及任意性和存在性问题的解法，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
5．设集合，集合，若，则__________．
【答案】
【解析】由题意得出，由此可解出实数的值.
【详解】
，且，，，，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数，在处理有限集的问题时，还应注意集合的元素应满足互异性，考查计算能力，属于中等题.
6．用描述法表示所有被除余的整数组成的集合：_________．
【答案】
【解析】利用描述法和整除性质即可得出.
【详解】
由题意知，所有被除余的整数组成的集合为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查描述法、数的整除性质，考查推理能力，属于基础题.
7．设集合，，则__________．
【答案】
【解析】解方程组，求出公共解，即可得出集合.
【详解】
解方程组，得，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查集合交集的计算，同时也考查了二元一次方程组的求解，在表示集合时要注意集合元素的类型，考查计算能力，属于基础题.
8．不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】将原不等式变形为，解出该不等式即可.
【详解】
由，移项得，即，解得或.
因此，不等式的解集是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
9．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】分析：不等式的解集为，则方程的根为，利用韦达定理求参数，再解不等式即可。
详解：不等式的解集为，则方程的根为，由韦达定理可知：，，所以不等式为，所以解集为
点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式
问题的常用方法。
10．设、，集合，则__________．
【答案】
【解析】根据题意得出，则，则有，可得出，由此得出，然后求出实数、的值，于是可得出的值.
【详解】
，由于有意义，则，则有，所以，.
根据题意有，解得，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用集合相等求参数的值，解题的关键就是根据题意列出方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.
11．设全集，若，，，则__________．
【答案】
【解析】作出韦恩图，将全集中的各元素放置在合适的区域内，得出集合和集合，再根据交集的定义可得出集合.
【详解】
全集，作出韦恩图如下图所示：
由图形可知集合，，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查集合的混合运算，同时也考查了韦恩图法的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12．下列说法中：
①“若，则”的否命题是“若，则”；
②“”是“”的必要非充分条件；
③“”是“或”的充分非必要条件；
④“”是“且”的充要条件.
其中正确的序号为__________．
【答案】③
【解析】根据否命题与原命题的关系可判断命题①的正误；解方程，根据充分必要性可判断出命题②的正误；由命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”得出“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，从而判断命题③的正误；利用举反例和逻辑推理来判断命题④的正误.
【详解】
对于命题①，“若，则”的否命题是“若，则”，命题①错误；
对于命题②，解方程，得或，
所以，“”是“”的充分非必要条件，命题②错误；
对于命题③，由于命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，可知，“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，
“且”“”，取，则，所以，“”“且”，则“且”是“”的充分非必要条件，
所以，“”是“或”的充分非必要条件，命题③正确；
对于命题④，取，，则满足，但“”“且”，
由不等式性质可知，当且，有，则“且”“”.
所以，“”“且”必要非充分条件，命题④错误.
故答案为：③.
【点睛】
本题考查四种命题以及充分必要性的判断，常利用举反例和逻辑推理进行推导，考查推理论证能力，属于中等题.
13．已知集合，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】当时，不等式恒成立，可知符合题意；当时，由恒成立可得；当时，不可能在实数集上恒成立，由此可得结果.
【详解】
当时，恒成立，，符合题意
当时，，解得：
当时，集合不可能为
综上所述：
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.
14．已知集合，，且，则实数的值为_________．
【答案】或或1
【解析】解方程得，因为，所以，，，分别解得的值
【详解】
由题，，因为，所以当时，无解，；当时，；当时，，综上所述，的值为或或
【点睛】
由集合间的关系求参数时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用
15．集合，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由，结合题意得出关于的方程有负根，分和，在的前提下，分二次方程有两个相等的负根、两根一正一负以及两个负根进行分类讨论，可求出实数的取值范围.
【详解】
，，
，则关于的方程有负根.
（1）当时，即当时，原方程为，不成立；
（2）当时，即当时，设该方程的两个实根分别为、.
①若该方程有两个相等的负根，则，
可得，此时方程为，即为，解得，
合乎题意；
②若该方程的两根一正一负时，则有，解得；
③当该方程有两个负根时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二次方程根的分布问题，解题时要结合判别式、两根之和与积的符号来进行分析，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
16．若集合,集合，且，记为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，的平均值是__________．
【答案】
【解析】先归纳出集合时，集合且时，的平均值，然后令可得出的平均值.
【详解】
先考虑集合时，集合且时，的平均值.
，，则，此时，的平均值为；
，当时，，当时，，当时，，此时，的平均值为；
，当时，，当时，，时，，当时，，当时，，当时，，当时，，此时，的平均值为；
依此类推，对于集合，的平均值为.
由于，所以，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了集合的新定义，同时也考查了归纳推理，解题的关键就是利用归纳推理得出的表达式，考查推理论证能力，属于难题.
三、解答题
17．已知集合，，若，求的值.
【答案】、或
【解析】解出集合，由得出，然后分和两种情况讨论，在时，可得出或，由此可得出实数的值.
【详解】
解方程，解得或，则集合.
，则.
当时，，合乎题意；
当时，，，或，解得或.
因此，实数的取值有、或.
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求出参数，同时也考查了一元二次方程的求解，解题的关键就是对变系数的一次方程进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
18．设、且，比较两数与的大小.
【答案】见解析
【解析】将两个代数式作差，因式分解，然后对各因式的符号进行判断，可得出两数与的大小关系.
【详解】
.
，.
①当时，，此时，；
②当时，，此时，；
③当时，，此时，.
【点睛】
本题考查利用作差法比较两数的大小，在作差后依次因式分解、讨论符号，然后可判断出两数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19．已知集合，集合，，.
求：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求出集合、，利用交集的定义可得出集合；
（2）求出集合，利用并集的定义得出集合，再利用补集的定义可得出集合.
【详解】
（1），
，因此，；
（2），由不等式的性质可得，
则集合，，
因此，.
【点睛】
本题考查集合交集、并集与补集的混合运算，同时也考查了函数定义域、值域的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
20．若关于的不等式的解集为，的解集为.
（1）试求和；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求的范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【解析】（1）将不等式变形为，然后对和的大小进行分类讨论，解出该不等式可得出集合，将不等式变形为，解出该不等式可得出集合；
（2）对和的大小进行分类讨论，结合列出关于的不等式，解出即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）不等式即为.
①当时，原不等式即为，解该不等式得，
此时；
②当时，解该不等式得或，此时；
③当时，解该不等式得或，此时.
不等式即为，解得，此时，；
（2）当时，，，此时成立；
当时，，，要使得，则有，解得，此时；
当时，，，则，要使得，则，这与矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
因此，存在实数，使得.
【点睛】
本题考查一元二次不等式与分式不等式的求解，同时也考查了利用集合的并集运算求参数，解题时要注意对参数的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；
（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
【答案】（1）“上位点”，“下位点”；（2）是，证明见解析；（3）.
【解析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；
（2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论；
（3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不成立，可得出的最小值为.
【详解】
（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；
（2）点是点的“上位点”，，.
，
点是点的“下位点”，
，
点是点的“上位点”；
（3）若正整数满足条件：在时恒成立.
由（2）中的结论可知，，时满足条件.
若，由于，
则不成立.
因此，的最小值为.
