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线性代数范文1
1、E一般是指单位矩阵。单位矩阵：对角线都为1,其它元素都是0的方阵。它的性质就是左乘右乘任何别的矩阵都等于原本想乘的矩阵。
2、线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
（来源：文章屋网 ）
线性代数范文2
[关键词]线性代数；课堂教学；方法
【中图分类号]G642
资助项目：浙江大学2013年度本科教学方法改革研究项目（No.Q7）和浙江省教育厅2012年度科研计划项目（No.Y201224566）。
一. 浙江大学线性代数现状
大学基础数学课程（主要指微积分、线性代数、概率论与数理统计），是重要的大学基础课之一。基础知识的学习可以受用终身。如果没有打下良好的基础，学生很难真正理解高深的应用技术。这是因为数学的理论与方法已被广泛应用于自然科学、工程技术及工农业生产的各个领域，数学技术已成为高技术的突出标志和重要组成部分，数学的影响和作用已深入到各个行业，可以说是无处不在。
线性代数是让学生通过抽象性、逻辑性、应用性的必要训练，逐步形成运用线性代数的原理和方法解决实际问题的思维模式和思维习惯，提供进一步学习所必备的代数知识.公理化演绎的思想（如：线性空间等各类代数系统），分类的思想（如：矩阵的相似等等各种等价关系），相互关联的思想（如：同态等各种形式的映射），矩阵的方法，初等变换的方法，抽象推理的方法…等等，是以后进一步学习和研究的基本思想。
浙江大学在四校合并以后，经过多年的调整，承担课程教学的主要队伍已经稳定。在相对稳定的11人教学队伍中有教授4名，副教授6名。获博士学位的有8位，承担课程的老师均为中青年教师，教学效果良好。现有的教学队伍基本上能够以科研来带动教学的改革，把课程的前沿知识、研究现状和发展趋势，及时贯彻到教学过程中，常讲常新。这为新的课程建设和课堂教学改革的开展提供了良好的队伍基础。
在每学期开学之时，我们按时确定学期的教学内容安排，制定教学日历，并
按照规定把教学资料上传网络。教学期间，严格按照制定的教学安排实施教学，每周安排两位教师答疑；期中时举行教学研讨会交流经验，开展为青年教师的集体备课等活动；期末时，集体讨论评分标准，集体改卷。这些规范化的管理，为我们实施课程教学改革提供了良好的保证。线性代数是浙江大学的校精品课程，得到学校的大力支持。目前，浙江大学的线性代数正着手推进省精品课程，在推进过程中，我们不断锐意改革，总结了一套很好的课堂教学方法。
针对浙江大学理学院大类招生制度的建立，由于培养模式的改变，为了使教学内容更大范围覆盖学生类别，我们编写了适合大类招生需求的《高等代数》 教材，增加小字部分的内容提高难度，以适应对数学有较高要求的学生。原先教师都采用陈维新编的线性代数教材。由于新教材的采用，如何适应新教材的教学，特别是组织课堂教学，成为一个重要的课题。
二.课堂教学改革
1.传统教学手段与现代教学手段灵活运用
传统的教学一般采用前苏联教育家凯洛夫的“五段式教学”，即组织教学、检查旧课、讲授新课、巩固新课和布置作业。由于数学学科的特点，传统的利用黑板板书的教学模式，在线性代数教学中有着现代教育技术所不具备的优势。线性代数涉及很多数学符号和复杂的计算，所以现代教育技术有着克服不了的困难。
在教学过程中，我们采用由单纯的PPT课件的教学以及单纯的板书教学，过渡到把两种授课方式结合在一起的教学模式中，并积累了一定的经验取得了良好的教学效果，提高授课的质量。
2.强调把建模思想融入线性代数教学
以线性方程组为主线，矩阵为工具，介绍线性代数的基本知识、基本理论和
线性规划模型以及整数规划模型，突出学生应用数学方法和现代化计算工具解决
各种实际问题的能力培养，注重于建立模型方法的介绍和实际应用。例如教师
在教学过程中可以介绍一些网络流模型。网络流模型广泛应用于交通、运输、
通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。通过
这些模型的介绍，可以激发学生学习兴趣，以模型带动理论教学有意想不到的
效果。浙江大学在这方面有过成功经验，并且在期末考题融入建模试题。
3.从实际出发，注重概念与定理的直观描述和实际背景，再讲逻辑推理。
本课程是理论型的课程，没有实验部分。我们提出在数学教学中要返璞归真，从源头讲起，讲清楚问题产生和发展的过程，讲明道理，再讲推理，然后再抽象化和形式化.通过习题的练习，使学生掌握、熟悉基本内容和基本技巧，以附录的形式在学习到相关章节的时候，向学生提供具有实际意义的背景资料，拓宽学生的知识面，这在以前的教学活动中并不常见。由于教学课时的限制，这部分背景资料的学习，并不占用课堂时间。
在教学内容上，在保留我国传统的重归纳、演绎、推理的基础上，更注重分析、综合的思想。对一些重要的概念的引入，注重概念实际背景的分析与教学。许多定理的结论与条件用发现探索的方式引出并用分析、综合的方法给予证明，激发学生的探索精神并对定理深入理解。
4.基于问题的探究式教学
根据不同情况学生的不同特点，参照在教学过程中积累的经验，教师在课堂有
导向性向各个由学生组成的小组提出一些问题，要求学生理解并作适当的回答。对于学生而言，他们需要在小组中讨论这些问题，并对这些问题的定义，性质以及如何应用等等做出解释。在问题的构思上必须精心设计，做到既要使学生以现有的知识水平无法轻易回答问题，又对课堂教学有实际意义。这样，在小组讨论中，学生容易会对讨论的主题抱有种种疑惑。而为了解决这些疑惑，学生就要通过各种渠道进行自主学习，从而最终得到问题的答案。
5.开通微博微信答疑：
利用学校提供的先进的技术教学平台，助教把批改作业时发现的典型错误公布
在网上，学生思考，找出错误原因。学生有问题可以在网络课程中的问题集锦里，由教师、助教，也可以是学生来回答，共同讨论。教师、助教在网络虚拟课堂与学生进行交流，使学生对教学内容有了深刻理解，提高了学习质量。课堂上，讲重点，讲知识的背景与形成过程，揭示知识的内在联系，充分调动学生的积极性、主动性；自学是指有些教材内容则采用学生自学为主，教师给出思考题，课后下班辅导及答疑.去年开始，开通我们开通微博微信答疑，笔者可以通过移动网络随时与学生互动答疑，效果非常好。
三.课堂教学改革的亮点
强调团队合作精神，提倡自主学习，互相讨论、团队讨论、问题发现、师生探讨法。将数学建模思想和方法融入到线性代数的教学，将数学建模教学中的教学理念、教学内容、模块化教学、案例教学等方法引入线性代数教学，推进线性代数教学改革。首次提出开通微博微信答疑，学生有问题老师可以通过网络、手机等及时解答学生问题。
参考文献：
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针对线性代数课程课时比较紧张的现状,同时结合学生对知识的接受规律,对一些章节的讲授做了适当调整。首先,对于相对比较抽象而冗长的证明,主要布置给学生作为课后作业进行阅读和理解,让学生主要以了解证明思路为主,例如代数基本定理的证明,矩阵的行秩与列秩相等等问题和定理的证明。其次,教材中所有带*号的内容都不在课堂上讲授,把那些相对重要的内容作为学生的课后读物,例如最小多项式以及λ―矩阵相关内容。同时,把第四章等的内容进行调整,把初等矩阵的知识放在分块矩阵的前面,主要是希望学生能通过初等矩阵的学习,了解矩阵的行或列的整体性,从而帮助学生理解分块矩阵。
2 充分挖掘和利用知识点的关联
线性代数知识以线性代数理论为重点,而在线性代数中,矩阵理论是核心,所以以矩阵理论为主线,线性代数各知识点之间有着密切的关联。如何利用这些知识点的关联帮助学生理解线性代数的知识结构是线性代数教学的关键,在实际教学中,可以抓住以下几个关系:
2.1 向量理论与矩阵理论的关联
向量可以看作只有一行或者只有一列的矩阵,同时矩阵的行或者列都分别可以看作行向量或者列向量,于是矩阵就可以看作一个行向量组或者列向量组;反过来,一个向量组又可以“拼凑”成一个矩阵。抓住这样的关系,向量与矩阵的知识就可以相互关联,例如:
例1:求向量组α=(1,0,0,a),α=(0,1,0,b),α=(0,0,1,c)的秩,其中a,b,c为任意常数。
2.2 矩阵理论与线性方程组理论的关联
矩阵理论与线性方程组理论的关联是很明显的,比如与线性方程组密切相关的系数矩阵和增广矩阵,可以通过系数矩阵和增广矩阵的秩的关系判断线性方程组的解的情况,但利用方程组的理论解决矩阵问题却经常被忽视,比如下面的问题:
例2:若AB=0,证明:r(A)+r(B)≤n,其中r(A)表示矩阵A的秩。
证明思路:首先对矩阵B进行分块得到(β,β,…,β),可得:
从而Aβ=Aβ=…=Aβ=0,这样矩阵B的每一个列向量都是齐次线性方程组AX=0的解,由齐次线性方程组的相关理论容易证明r(A)+r(B)≤n。
2.3 其它知识点的关联
线性代数中其它知识点的关联还有很多,比如:(1)矩阵理论与线性变换理论的关联,因为任何一个线性变换在一组基下都有一个矩阵和它对应,同时线性变换的运算和矩阵运算有对应关系;(2)多项式理论与矩阵理论的关联,一个矩阵是否可对角化与它的最小多项式是否有重根有关系;(3)欧氏空间理论与对称矩阵理论的关联,等等。
3 通过思考题调动学生的思维积极性
数学的理论是抽象的,不容易引起学生的思维兴趣,要想达到一个良好的教学互动和教学效果,通常有两种做法:第一,介绍知识点的应用;第二,应用大量的思考题。下面就通过几个例子介绍线性代数课程中的思考题的设立。
在线性代数的学习中,学生对很多知识点的理解经常是片面的,这时候如果能够适当地提出一些思考题,同时纠正学生的错误回答,可以帮助学生更全面地理解知识。
(1)思考题1:f(x),g(x),u(x),v(x)∈P[x],且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),那么d(x)是否为f(x),g(x)的最大公因式?
分析:这个问题是在学习完第一章第4节最大公因式的知识之后提出的,最初看到这个问题的时候,很多学生会认为答案为“是”,原因是学生知道f(x),g(x)的最大公因式d(x)都有表达式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教师最后给出否定的回答,并给出反例,让学生了解不是所有问题的逆命题都是正确的。
(2)思考题2:f(x,x,x)=(x,x,x)123132133xxx是否为二次型?
分析:这个问题是学习完二次型提出的,当最初接触二次型的知识的时候,学生经常对这个问题犹豫不决,主要原因是学生了解二次型的矩阵是对称矩阵,但是这个式子中间的矩阵不是对称矩阵,那这个不是一个二次型?如果我们回到二次型的定义,只要是一个二次齐次多项式,就是一个二次型。所以这个思考题的回答是肯定的,而且这个二次型的矩阵为13/223/235/225/23。最终通过这个思考题让学生真正了解二次型的本质结构就是二次齐次多项式。
思考题还可以帮助调动学生的积极性,帮助学生加强对知识的理解,更重要的是帮助学生发现新的问题,思考新的问题。
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【关键词】新型考试、行列式、矩阵、创新教学
Abstract：In order to better meet the state education commission puts forward on the teaching of linear algebra， complete the teaching task and achieve the teaching goal， this article in view of the problems arising from the traditional teaching in linear algebra and the shortcomings， discuss how to improve the teaching of linear algebra， from the national support policy， teachers teaching， classroom communication teaching three aspects put forward relevant improvement suggestions.
Key words：New exams， determinant， matrix，innovative teaching
引 言
在工程技术和自然科学的各个领域中都涉及到线性代数的相关知识，线性代数的思想、理论及其解决问题的方法有着广泛的应用，因而线性代数在教学中显得尤为重要。如对于电子信息工程这一专业，存在着传统的线性代数教学与专业课脱节的问题，本文将以此为例，谈谈如何改进线性代数教学的意见。
1 国家扶持政策
线性代数有着重要的社会地位和作用，在某些院校线性代数教学并未得到应有的重视。我国所有高等院校的理工科专业和相关文史类专业都应该开设本课程，并将其设为必修考试课程。从学生的心理上讲，对考试课和考查课在态度及时间规划上是不同的，所以学校必须首先重视起来。国家教委、工科数学课程教学指导委员会应做出相应部署，加大线性代数教学改革力度，联合地方教委、省教育厅、市教育局监督全国各大高等院校，充分实现线性代数课程教学改进，全面提高我国线性代数的教育水平。
2 教师教学方面
根据国家教委制订的线性代数课程教学基本要求，教师在教学中要培养学生的发散思维，及学习的主观能动性。
2.1 线性代数课程基本教学
要根据本校学生的具体情况，结合各自的办学理念，考虑地域性差异，选用或自主编写最为合适的教材及同步练习册。另外，要调动全体师生的积极性，在传统的线性代数教学基础之上创新教学。纵观当今的社会现状，一些二本院校，尤其是三本或专科学校的教师并没有严谨的教学态度，其教学效果不言而知。对此，建议学校应该对线性代数课程建立相关教学制度及奖惩机制，以规范课程教学，如专业统考制度、教师辅导答疑制度、批改作业制度，对表现优秀的师生予以表彰奖励，同时对表现较差者进行思想教育，开大会批评，情节严重者予以罚款，更有甚者直接开除。
2.2 线性代数教学的内容与方式
教师教学要深入浅出，给教学以准确定位，把线性代数与初等数学联系起来，让学生更好地理解、掌握并应用相关知识。如：将矩阵与数列，行列式与因式分解和证明条件不等式等典型例题结合在一起，让学生在解题过程中逐步了解矩阵和行列式的相关性质及定理，掌握二、三阶行列式的计算方法等。在此基础上，教师再讲解矩阵的线性运算，矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法，矩阵的初等变换，矩阵的秩的概念及求法，满秩矩阵定义及其性质，分块矩阵及其运算n阶行列式的计算方法，使教学过程事半功倍。
在课堂上教师要注重激发学生的参与意识，设置相关情景，吸引学生集中精力，产生学习兴趣；在教学时鼓励学生提出问题，以促进其思维发展。此外，教师要注意教学内容与学生专业知识的密切联系，避免二者严重脱节。一般而言，所学专业都是学生兴趣所在，联系二者自然就能够激发学生的兴趣，对此教师应努力引导学生。如：对于电子信息工程专业在向量空间基的知识相关应用较多，分析电路求解KVL和KCL的相关线性方程组，分析信号与系统的问题时用矩阵处理某些问题等，在教学时教师应重点讲解此类相关知识点。
注意提高做作业的有效性，作业在精不在多，注重培养学生举一反三的能力，少讲多练，有些题型求解规律由学生自己悟出来会比老师讲授效果更好。务必切实发挥考试的检测、导向和激励作用，不能让考试泛滥成灾，使学生疲于应付，难见成效。
2.3 线性代数教学的创新型综合改革
在教学中，充分利用多媒体的优势，运用现代化，信息化、立体化的教学思想，以教师教学为辅，以学生自学为主，为学生提供更广阔的学习空间。同时学校基础课数学教研组要进一步加强队伍建设，注重培养年轻教师，努力提高青年教师的学术水平及教学水平，不断进行线性代数课程中教学内容、方法及手段的改革和创新。
3 注重与学生的课堂交流
俗话说：“师父领进门修行在个人。”课堂教学是需要师生共同努力完成的，所以在课堂上学生必须要配合老师，教师的教学任务才能完成，并达到相应的教学效果，否则无论怎样进行课改也可能是徒劳。
在日常教学中，要重点做到教与学的配合。要求学生对问题认真思考，并进行有效有力地监督。大多数学生自主学习能力很差，没有老师的督促，能逃则逃，能避则避，所以教师要采用适当的方法来督促学生，如：抛开师生关系的束缚，和学生做朋友，在闲暇时与学生促膝长谈，慢慢渗透，潜移默化地从思想上影响并改变学生的一些错误看法。
采取奖励制度。从心理学上讲，每一个人都渴望得到他人的认可与肯定，而获得荣誉更能激发人的斗志和兴趣。如：学生最关心的考试，日常表现极为优异者可予以免试，但是不会有太多名额；其余的同学依照平时表现：出勤率、作业状况、期末成绩等情况综合评定。
结束语
线性代数的教学改革是一项任重而道远的艰巨任务，需要每一位教师的努力，尤其是青年教师更要肩负起这项大任，将国家教委修订的最新教学要求及最新考研大纲同本科院校不同专业的特点结合在一起，为培养祖国需要的人才奠定雄厚的数学基础，打下坚实的根基。同时，教师掌握线性代数课程的精髓，做到知识点的融会贯通，才能将其更好的运用于教学工作中。
参考文献
[1]《数学课程教学基本要求》 国家教委制订
[2]《线性代数》教材 科学出版社 主编 闫 厉
[3]《电子信息学科中线性代数的教学方法探讨》 蓝 洋 吴香艳《电子设计工程》2012年第13期
[4] 《线性代数教学新思路的逻辑依据》 巨泽旺 姚冬梅 《才智》2011年第23期
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[关键词] 线性代数 抽象思维 线性相关性
一般的工科《线性代数》课程主要包括线性方程组、行列式、矩阵、向量、特征值与特征向量、向量空间与线性变换、二次型等几部分内容[1]。在教材中各部分内容均可独立成章。从而造成线性代数教材可以用不同的方式去组合各个专题展开课程的内容。因此学生很难自发深刻地体会到彼此之间的联系。此外，线性代数课程所具有的高度抽象性也常常使学生望而生畏。针对这些情况，已有不少作者发表了关于怎样学好线性代数的一些文章，可参考文献[2-5]。
在长期的教学实践当中，本文作者发现在对书本知识经过一番必要的解释之后，再从教材的理论结构这一大处着手，半句妙语，提纲挈领，往往胜于千言。因此，针对线性代数课程抽象枯燥的特点，提出了强调教材结构体系的方法。从而将线性代数各部分有机地联系到一起，以使学生对线性代数课程有一个整体全面的把握。
寻找线性代数的理论结构，需要注重局部和全局的关系。线性代数是一门高度抽象的课程，如能从高处以更广的视野对教材的内容进行审视，或对内容进行一种全局性、宏观性的概括，就可使学生的学习有明确的目标意识，而纷繁多头的知识点也就会呈现出清晰的主干脉络和条理性，达到事半功倍的效果。线性代数具有很多种理论层次结构。本文试图从如下几个方面来理解线性代数的理论结构。
一、线性代数的理论基础来源于解线性方程组
最初的线性方程组问题大都来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。展开知识的发展过程就是这个问题的解决过程。所有枯燥的理论都是从这里生长的。在学生明确了学习的目的之后，很自然的就可以回忆起高中解二元一次线性方程组的方法――消元法。那么在大学里，我们将要解决的是所有含有有限个未知量的线性方程组。熟话说：工欲善其事，必先利其“器”！而行列式和矩阵正是我们研究线性方程组的两个“器”。首先，为了求解方程的个数与未知数个数相等时的线性方程组，引入了行列式的概念，进而讨论其性质，利用他们得到了解这类线性方程组的优美的克莱姆定理。其次，对于方程的个数与未知数个数不相等时的线性方程组，引入了矩阵这一工具。而前者可以统一到后者之中。学生在明白了这一简单的理论架构以后就知道自己为什么要学习行列式和矩阵了。参看下面的图1。
图1表明了求解线性方程组时所用到的两种工具。
二、线性代数的重要内容――矩阵
矩阵或者说增广矩阵就是把一个线性方程组最重要的信息提炼出来。这是学生在线性代数的学习中将要遇到的第一次抽象。这一问题的转化过程是通过一一对应实现的。因此矩阵来源于线性方程组。但是矩阵作为线性代数中一个崭新的概念，随着矩阵理论自身的发展，它又是高于线性方程组的。这句话不是很好理解，打一个譬如。如果我们把线性方程组看作“道”，矩阵是另外的“道”。那么矩阵这个“道”是可以用线性方程组这个“道”来描述的，但又不仅仅是线性方程组这个“道”的平常意义所能包涵得了的。很熟？对！就是“道可道，非常道”那句话。事实上，我们的线性方程组这个“道”也是来源于现实生活中更具体的“道”------“道”法自然。而矩阵那个“道”也可以用诸如向量组，向量空间等更高级的“道”来抽象。像这样一种不断的用“道可道，非常道”抽象上去的理论结构的强调对学生抽象思维能力的培养是很有好处的。参看下面的图2。
图2揭示了线性代数课程的某一种理论层次结构：表明了从线性方程组到子空间或极大线性无关组的不断发展抽象的过程。
三、矩阵――广义的数
矩阵的定义是一个数表，但是也可以理解为数的概念的一种推广。因为矩阵也定义了加减乘等运算，对于可逆矩阵还有求逆的运算。特别地，对于一行一列的矩阵来说就是我们通常意义的实数或复数。所以，用这个思路来理解矩阵这个概念就会觉得很自然。另外要注意的一点就是矩阵做为一种新的广义的数，当然具有一些自己独特的性质。如矩阵乘法的交换律，消去律等等已经不再恒成立。这些正是学生需要加以学习和辨认的。当学生对数的概念放宽以后，就可以继续说线性变换甚至更广的函数都是数的概念的推广。从而形成对数的认识发展的理论结构。或者说另外的一种“道可道，非常道”抽象上去的理论结构。参看下面的图3。
图3表明人类对数一种认识的过程。
四、矩阵的核心――矩阵的秩
矩阵的秩是一个较难消化的概念，但又是一个非常重要的概念。对矩阵的秩的理解直接影响到对整个教材的理解。在学生通过学习由K阶子式所导出的矩阵的秩的定义之后，把求矩阵的秩转化为求阶梯形矩阵非零行的行数显得很重要。对于一个具体的线性方程组来说，其所对应的增广矩阵的秩就是方程组中“有用”的方程的个数。也就是说，其增广矩阵对应的阶梯形矩阵中的零行所对应的方程组中的线性方程的存在与否对方程组的解没有任何影响。即零行对应的这些线性方程是“无用的，表面的”！因此通过化矩阵为阶梯形求矩阵的秩的过程，实际上就是对线性方程组的一个化繁为简的过程，去粗取精的过程！这样一种结构事实上就是在线性方程组的集合与矩阵的集合之间建立了一种一一对应的关系之后，把对线性方程组的研究彻底的转化为对矩阵的研究。这是进行数学研究的根本方法。
五、初等变换――“照妖镜”
在用消元法求解的过程当中，我们会用到初等变换。此时，初等变换把一个方程组变成同解的另外一个方程组，在这个过程当中，原方程组形式上变得简单了，但是方程组的解集合不会改变。在把矩阵化为阶梯形矩阵的过程当中，我们同样会用到初等变换，此时矩阵形式上也变得简单了，但是矩阵的秩不会改变。而从阶梯形矩阵我们一眼就可以看出矩阵的秩。所以线性代数用一句话来说就是研究线性方程组，矩阵，向量组，以及二次型等等在初等变换下不变的那些性质。这样一种结构就能把各个知识点串起来，让学生达到融会贯通的效果。
六、两个重要概念――线性相关与线性无关
线性代数里面有很多重要的概念，线性相关与线性无关无疑是其中的两个。这里，一个简单的命题是含有零向量的向量组线性相关。因为我们可以取零向量的系数为1，其他向量的系数为零，从而得到一组不全为零的组合系数。这个命题的逆命题显然是不成立的。与此同时，在各种版本的教材中还会有这样的一个定理：一个向量组线性相关等价于该向量组中存在一个向量被其余向量线性表示。我们说能够被其余向量线性表示的向量在某种意义上在这个向量组里面是多余的或者说没用的――在线性方程组里，去掉这个向量所代表的那个线性方程对原方程组的解不会有任何影响，而在某个矩阵里，去掉该向量所代表的行也不会对矩阵的秩有任何影响。在这样一种意义下，我们甚至可以把这样的向量――能够被其余向量线性表示的向量――看成零向量。因此，线性相关的向量组表面上不含有零向量，但本质上还是含有零向量的。认识清楚这一点，我们就可以透过现象，看到本质！从而也能得到线性代数中另外的一个理论结构。那就是从任何一个向量组出发，通过反复去掉其中多余的向量――能够被该向量组剩余向量线性表示的向量，我们可以得到原向量组的一个极大线性无关组；而通过反复添加多余的向量――能够被该向量组线性表示的向量，就可以直达向量空间这个概念。
七、矩阵的应用――二次型
大部分教材最后一部分往往涉及到实对称矩阵的一个应用，即利用已经得到的有关实对称矩阵的对角化的理论，来化一般二次型为标准二次型。因此纵观整个教材，很好的体现了从实践上升到理论，最后又用理论来指导实践这一创造美好世界的原则。参见图1.
图4为线性代数课程的另一种理论层次结构：表明理论来源于实践（指从解线性方程组中所得到的矩阵理论）之后又可以用于指导实践（指用矩阵理论解决二次型的标准化问题）的哲学思想。
扎根于对教材的深入理解，能得到许多的理论层次结构。既有关于整个教材的，也有关于某个知识小块的。许多结构都还有待于我们去继续发现。本文旨在起个抛砖引玉的作用。鉴于各种抽象的过程，借用《道德经》里面的一段话来结束全文：道可道，非常道，名可名，非常名。无，名天地之始，有，名万物之母。故常无，欲以观其妙；常有，欲以观其缴；此两者，同谓之玄。玄之又玄，众妙之门！
参考文献
[1]同济大学数学教研室.线性代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005
[2]张军，戴霞.浅析注重思维培养的线性代数教学方法[J].高等教育研究，2007，24（4）：29～31
[3]李佩泽.对线性代数中线性方程组教学的实践和体会[J].高等教育，2007，14：21～23
[4]丁巍.浅谈“线性代数”教学中的美育[J].高等数学研究，2008，11（4）89～90
线性代数范文6
关键词:线性代数;教学改革;数形结合
线性代数是高等院校理工类和经济管理类等专业学生的一门重要的数学基础课程之一，是学生学习后续课程的工具，同时在培养学生的计算和抽象思维能力方面有独特的作用。但是，由于这门课程概念繁多、内容抽象，逻辑性强、计算繁琐，大多数学生感觉晦涩难懂，普遍感到比微积分的学习要困难得多。加之学时偏少，教师经常要赶进度，整堂课讲得口干舌燥，但收效甚微。如何在课堂教学中有效提高教学效率，帮助学生适应线性代数课程的教学进程呢?为此我们从以下几个方面来谈谈提高线性代数课程教学效率的策略。
一、重视线性代数绪论教学
教学论的理论与实践告诉我们，为了达到预期的教学目的和要求，必须组织好教学过程，充分注意到教育对象的特点、课程的特点以及各个教学阶段的特点。而教学阶段又可大致分为入门教学阶段、继续教学阶段和复习阶段。线性代数这门课程的内容大致包括:行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等。线性代数这门课程本质上就是围绕如何解线性方程组展开的相关内容的研究。在课程教学的第一次课，我们可以通过绪论的形式将本课程的主要内容向学生展现出来。例如，可以通过学生熟悉的中学平面解析几何引入线性方程组的求解问题，具体来讲就是，在建立了平面直角坐标系后，平面上的一条直线l就与二元一次方程ax+by+c=0 建立了一一对应关系，从而两条直线位置关系的几何问题就转化为一个二元一次方程组解的问题，即两直线平行等价于对应的线性方程组无解;两直线相交等价于对应的线性方程组有唯一解;两直线重合等价于对应的线性方程组有无穷多解。类似地，空间解析几何中，一个平面和一个三元一次方程是一一对应的，从而也有相应三平面位置关系的几何问题就转化为一个三元一次方程组解的问题，即三平面平行等价于对应的线性方程组无解;三平面相交于一点等价于对应的线性方程组有唯一解;三平面相交于一直线等价于对应的线性方程组有无穷多解;三平面重合等价于对应的线性方程组有无穷多解。针对后面这两种情况，提出问题:都是对应的三元一次线性方程组有无穷多解，那么它们的解的形式有什么不同?对于更多个未知量的线性方程组，其解的情形又是怎样的呢?换个角度说，比如:3x+4y=10x+2y=10{，3x+4y=13x+4y=2{，3x+4y=16x+8y=2{，3x+4y=12x+4y+z=5{这几个方程组，不解它们，能直接判定解的个数吗?从而说明方程组未知量个数与方程组解的个数之间有关系，这是本课程要去研究的一个重要内容之一，这样就激起了学生的学习欲望，为以后的学习打好伏笔。通过解析几何中平面和空间的概念我们向学生说明，在线性代数课程中可以将它们推广到n维向量空间，那么在n维向量空间中如何建立坐标系呢?这就需要有所谓的向量的线性无关的概念，从而说明向量的线性相关性也是线性代数课程的又一个重要内容。接下来还是从解析几何中的基本问题:给定一个二元二次方程，如何判定它表示哪类二次曲线?给定一个三元二次方程，如何判定它表示哪类二次曲面?向学生介绍线性代数还有一个重要内容就是二次型。这样，通过绪论课，我们向学生介绍了线性代数的主要内容，让学生对这个课程所要研究的内容有了一个整体的了解，激发了他们学习的兴趣，提高了学习积极性，为后面高效率的学习打下基础。
二、融入数形结合思想
线性代数课程的一大特点就是定义繁多、内容抽象，很多内容学生难以理解。然而，线性代数中很多的概念和理论都来源于几何，所以，我们在教学过程中可以借助几何语言来阐释线性代数中的概念和性质，从而化解线代数抽象、难学难教的状况．例如，在行列式这个概念的教学中，我们可以将行列式看作是有向面积或体积的概念在一般欧几里得空间中的推广。再例如，向量组的线性相关的几何原型就是两个2 维向量共线，而线性无关的几何原型就是两个2 维向量不共线。方阵的特征值和特征向量是线性代数教学中的一个重点和难点，大多数教材都是直接给出定义，没有提供具有相关直观几何背景知识的内容，这样不利于学生对此概念的理解和掌握。事实上，我们可以借助几何直观来引入方阵的特征值和特征向量的定义。在讲矩阵的概念时，我们就向学生阐明了:线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。接下来学习了矩阵的运算后，学生知道了线性变换y=Ax把列向量x变成列向量y，相当于用矩阵A去左乘x得到y。在给出方阵的特征值和特征向量的一般定义之前，我们先给出一个方阵A=1002()，将起点在原点，终点在单位圆上的任一向量记为p=xy()，当p从10()开始运动时，相应的Ap也随之运动。我们提出问题:p运动一周的过程中，Ap是否存在与p共线的情形?如果有，它们之间的比例数是多少?通过动画演示，学生发现线性变换A将单位圆整体的拉伸为椭圆，当p分别运动到10()，－10()，01()，0 －1()时，Ap与之共线，即有A10()=110()，A－10()=1 －10()，A01()=201()，A0 －1()=20 －1()，表明这4 个向量p对线性变换或方阵A来说是很特殊的，Ap只是对p进行了伸缩变换，我们就把伸缩系数1 或2 称为A的特征值，而这4 个向量分别称为对应于特征值1 或2 的特征向量。接下来我们就自然的给出方阵的特征值和特征向量的一般性定义:设A是一个n阶方阵，如果存在数λ和非零向量p，使得Ap=λp，那么λ称为A的一个特征值，p称为A的对应于特征值λ的特征向量。通过直观形象的实例引出特征值和特征向量的定义，让学生感到此定义并不是凭空产生的，而是有着强烈的几何背景，从而更好的理解和掌握它。
三、培养学生的探究能力
李大潜院士说:“数学教育本质上是素质教育。”学习数学，不仅要学到许多数学概念、方法和结论，更要领会到数学的精神实质和思想方法。如果将数学教学仅仅看成数学知识的传授(特别是那种照本宣科式的传授)，那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用，而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。线性代数在培养学生思维能力和分析问题解决问题的能力方面可以发挥重要作用。在学完矩阵的秩这部分内容后，我们给学生准备了一道填空题:设A是5 阶方阵，A的秩R(A)=3 ，则A的伴随矩阵的秩R(A*)=。学生通过矩阵秩的定义和伴随矩阵的定义，很快得到答案为0 。接着我引导学生对这个问题进行探究，将A的阶数与秩作改变，相应的A*的秩又是多少呢?如题目改为:设A是4 阶方阵，R(A)=3 ，则R(A*)=。这时实际上已经变成一个综合题了，它的难度就比刚才的提高不少，其中会涉及到多个知识点，如:矩阵秩的定义;方阵的秩与行列式的关系;若两个矩阵的乘积为零，则它们秩的和要满足什么不等式等等。通过分析引导，学生得到答案为1 。利用这个问题，帮助学生复习了已学的知识点。最后我再提出:设A是n阶方阵，对于R(A*)，同学们能不能给出一般性的结论呢?经过一番思考，有不少学生给出了结论，即当R(A)=n时，R(A*)=n;当R(A)=n－1 时，R(A*)=1;当R(A)!n－2 时，R(A*)=0 。通过这个问题的教学，拓展了学生的思维，培养了学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。
四、充分运用案例，提高学生的学习兴趣
线性代数的概念和理论都很抽象，在教学中，可以适时的引入和学生专业相关或生活相关的例子，既可以激发学生的学习兴趣，又能将所学的线性代数知识与专业知识结合起来。例如在学习了矩阵的相似与对角化后，我们给出了如下捕食者与食饵系统问题。在某森林中，捕食者种群U和食饵种群V的数量是随时间而变化的，满足如下公式:Un+1=0 ．4Un+0 ．6VnVn+1=－kUn+1 ．2Vn{其中Un和Vn分别是捕食者种群U和食饵种群V在n月底时的数量，k是种群U吃掉种群V的速度。我们提出如下问题:(1)该系统怎样用矩阵形式来表示?(2)设现在两个种群的数量分别为U0 ，V0 ，当k=0 ．2 时，该系统如何演化?(3)当k=0 ．2 时，捕食者种群U和食饵种群V的数量随时间的变化趋势是什么?问题分析:(1)设xn=UnVn()，则系统可表示为:xn+1=Axn，其中A=0 ．40 ．6 －k1 ．2()。(2)由xn+1=Axn，可得xn=Anx0 ，其中x0=U0V0()。为了计算An，就需要利用矩阵的相似对角化。当k=0 ．2 时，A=0 ．40 ．6 －0 ．21 ．2()的特征值为λ1=1 ，λ2=0 ．6 ，对应的特征向量为(3)设c1 ＞0 ，则当n充分大时，xn趋于c111()，即当时间足够长时，两种群的数量之比为1 ∶1 。教学过程中适当运用案例吸引学生的注意力，增强他们的好奇心和探索欲望，培养他们利用所学知识解决实际问题的能力，从而提高了教学效果。
参考文献
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