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抛物线的基本知识点范文1
关键词：直线；圆锥曲线；基础理论；位置关系
从某种层面来看，直线与圆锥曲线位置关系的问题，汇集了高中阶段整个解析几何与圆锥曲线的知识点，而且还涉及函数、方程及方程组、不等式、平面几何、三角形等诸多内容，并形成轨迹、参数、数值等一大堆数学问题。由此可见，此类知识点确实具有超强的综合性，而且对学生的学习能力要求颇高，所以高中老师在讲授此知识点时，应该格外注意的好。
一、概述与直线和圆锥曲线相关的数学基础理论
1.直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看，可以分成三种，分别是：无公共点，仅有一个公共点及两个相异公共点，意思就是：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。从另一种层面来看，直线与圆锥曲线的位置关系又可以分为三种，即相交、相切、相离。后面这种说法的提出，常用代数方法即解方程组来计算，原因在于方程组解的个数与两线交点直接代表了两线之间的位置关系，而且计算起来相对简单一些，因此在直线与圆锥曲线位置关系的问题上常采纳后者的代数方法。
2.以上所提三种关系的判断条件
如果a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合。
3.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
二、利用具体教学实例巩固学生的知识掌握能力
本题主要考查了直线与圆锥曲线相交这一知识点问题，从题目中“椭圆C上有两个不同的点”便可得出Δ>0的结论，又因为两个交点关于直线l对称，因此可以轻松列出方程组，从而求得m的范围。在此题目中，学生一定要找出题目中的隐含条件，避免陷入解题的尴尬境地。
三、课后及时归纳总结与反思
1.总结直线与圆锥曲线的位置关系的误区
关于直线与圆锥曲线的位置关系这一知识点内容，由于直线和圆锥曲线具有三种位置关系，而这三种位置关系却因为三类曲线而各自存在特殊性，这就导致它们的相交状况也不相同，因此容易走进一些解题误区。常见的解题误区有四种：一是忽略题目中所要求的隐含条件，二是忽略直线与双曲线的特殊位置关系，三是忽略直线与抛物线特殊的位置关系，四是忽视直线与圆锥曲线相交的前提条件。因此，在老师授课以及解析题目的过程中，务必要解释清楚一些模棱两可的问题，以免学生陷入解题误区。
2.归纳解题过程中所用的定理和思维方法
直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设。与此同时，直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。
3.改进并完善课堂教学方法以及作业布置
现下，新课标明确提出老师应该给予学生充分的参与教学活动的机会，应该视学生为课堂主体，挖掘他们自主学习能力。因此，老师需要改进并完善课堂教学方法，可以尝试采用学案教学、师生互动探究以及小组讨论学习的方法，让学生亲身去发现问题、解决问题。与此同时，老师在练习作业的设置上，最好具有一定的针对性、灵活性，真正实现巩固学生所学的目的。
总的来说，关于直线与圆锥曲线的位置关系这一知识点，不管在老师教学还是学生的学习方面，都具有一定的难度，以上即为笔者简单的阐释和举例说明，希望起到抛砖引玉的作用。当然，与直线与圆锥曲线的位置关系相关的实例不止以上几种，掌握好这些实例对学生领悟解析几何的思想方法，提高学生对解析几何的解题能力是大有裨益的。
参考文献：
[1]王鑫.直线与圆锥曲线的位置关系：交点个数问题[J].学周刊，2012（3）.
[2]武晓梅.直线与圆锥曲线的位置关系[J].新课程：下，2014（6）.
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【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）11B-0058-02
在高中数学教学中，如何才能改变灌输式教学，如何充分发挥学生的主动性，培养学生的探究学习能力，一直以来都是大家积极探讨的问题。因为数学具有高度的抽象性，学生基本知识与技能的获得、对所学知识的深刻理解，以及对所学知识的灵活运用，都很难像其他学科那样，通过实地考察、开展实验或联系实际等方式解决。怎样才能解决这一难题？变式教学是一个十分有效的手段。“变式”是指教师在保留命题本质特征的情况下，有目的、有计划地对命题进行合理的转变。这种转变可以是条件或结论的转变，也可以是内容或形式的转变。
一、变式教学对培养学生数学能力的作用
1.变式教学有利于提高学生的学习兴趣，培养学生的探索精神
数学具有高度的抽象性，我们不可能像语文、政治或历史等人文学科那样，通过对具有感性特征的事件、人物或场景等的考察来提升学生的学习兴趣；也不能像物理或化学那样，通过开展实验或联系实际等方式来提升学生的学习兴趣。就算是借助多媒体教学手段，对于数学也只能进行抽象的展示。提升学生学习数学的兴趣一直是数学教学最需要解决的问题。
变式教学有助于解决这个问题。一个纯粹的数学问题，通过变式教学变换命题中的各种要素，以及问题的情境，使问题联系日常生活，可以激发学生的兴趣。对未知的寻求是人类的本能，这种本能会激励学生去探索，学生会思考生活里众多的事物中是否会存在一些万变之中不变的规律，这些规律就包含有数学知识。
例如：
[原题]已知抛物线的焦点是F（0，8），准线方程是y=8，求抛物线的标准方程。
[变式]桥洞是抛物线拱形，当水面宽4米时，桥洞高2米，当水面下降1米后，水面的宽是多少？
原题是一个纯粹的数学试题，但是变式却是一个生活中的实际问题。这两者表面上看似不同，其实都蕴含着同样的数学原理。
2.变式教学有利于培养学生的发散思维能力，扩展学生的知识结构
在变式教学中，通过变换命题中的各个关键性因素，能够让新知识与学生认知结构中的已有知识建立联系。在变换的过程中，突出命题的本质属性，能促进学生对这个命题进行多角度、全方位的理解，实现知识的正迁移，帮助学生融会贯通，形成精细化的数学认知结构。
另外，通过变式的设置，还可以检验学生对已有知识的理解程度。学生如果能够透过各种变化因素，把握命题的核心知识点，就说明他对这一知识点有了较深入的理解。
例如：
[原题]已知方程x2-mx+ 3 = 0有实根，求m的取值范围。
[变式1]若二次函数f （ x ） = x2-mx+3的图象与x 轴有公共点，求m的取值范围。
[变式2]若关于 x 的不等式x2-mx+ 3≤0 的解集非空，求m的取值范围。
[变式3]若直线 y=mx 与抛物线y = x2-mx+ 3有公共点，求m的取值范围。
在以上示例中，变式 1至3都是与原命题等价的，其解题方法也是一致的。通过这些等价变式，可以让学生明白含参变量的二次方程、二次函数、二次不等式及二次曲线问题之间的内在联系，以及它们相互转化的规律。这有助于学生概括解题规律，找出一类题目的本质性联系，从而能开阔学生的视野和思路，使学生能建立较完善的知识结构。
3.变式教学有利于培养学生的创新精神
创新是在已有知识和能力的基础上，发现新思路、探索新知识和获得新成果的过程。变式教学围绕一个命题，在不改变其本质特征的前提下，引导学生从多角度去思考问题和解决问题。这个过程中既有旧知识的运用，又有新知识的开发，这些知识围绕一个中心点形成一个网状的知识结构，既便于记忆，又便于知识的进一步拓展。所以，变式教学有利于培养学生的创新精神。
另外，创新不是盲目的，需要以遵守一定的规律为前提。教师通过变式教学，向学生展示不同数学问题之间的相互联系与区别（一题多用或多题归一），而学生通过对变式的学习，领悟到一些数学问题的共同本质（一题多变或一题多解）。透过各种复杂的现象来发现事物的本质，这是创新者所必须具备的一种素质。
例如：
[原题]若不等式+≤a对任意正实数x、y恒成立，求实数a的取值范围。
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想要利用研究性学习的数学方法，一般则是通过开放题来体现。而对于开放题这类型的题目，不仅需要学生掌握一定的数学方法，更多的是学生对题目的自我发现，自我探索和研究的解题要求，因此，在这方面数学教学方式，更多的是学生自己找到答案，也在一定程度上提高数学教学的趣味性。例如，在探索二面角平行这一课题上，面对二面角平行，学生可以推出什么结论？是说明或者进行证明？这样的研究性学习，去掉结论，让学生通过沟通合作学习进行猜测和检验。另外还可以举出若直线与抛物线相交于A、B两点，求直线AB的方程。这道题，教师可以引导学生补充合适的已知条件，使直线方程能够等到相应的确定。对于这样的问题，学生们可能对其已知条件进行补充：①已知|AB|=3；②若O为原点，∠AOB=900；③AB中点的纵坐标为6；④AB过抛物线的焦点为F，等等。从而使学生的思维发散到中点公式、韦达定理、两点间的距离公式、勾股定理、抛物线的相关知识等，都可以求出直线AB的方程。通过这样开放式的研究性学习，加深学生对数学学习的兴趣，从而培养了学生探索精神和应变能力，也开拓了学生的思维，提升了学生数学方法的运用能力。
二、促进数学方法中创新思维能力的培养
时代需要创新，教育也需要创新，在数学方法中，利用创新的思维去解题在一定程度上提高了数学教学的效率。创新思维通过在数学方法上的运用，是学生能够更加有效的对知识点有更深刻的理解。下面笔者将举出一个例子，再将这个例子进行延伸和创新。例：设A1、A2是圆的一条直径的两个端点，P1P2是与A1A2垂直的弦，求直线A1P1与A2P2的交点的轨迹方程。这道题是以A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，且设P1(x1,y1),P2(x1,-y1)，分别求出A1P1、A2P2直线的方程，然后解方程组得二直线交点的坐标、再消去x1、y1，得轨迹方程。通过对此习题进行创新，可以将原题中的“圆”换为“椭圆”或者“双曲线”通过各种可能所求的轨迹方程也不一样，这样学生就可以从一道题中学到三道题的解题技巧，这样举一反三的数学方法，通过对原题的创新发展，找到一般的解题规律和方法，才能使学生对知识点有了更加深刻的了解。因此掌握创新思维的数学方法，有利于提高课堂的教学的效率。
三、对数学方法进行归纳总结和分层思考路
一般情况下的技工学校数学教学内容大致分为两个层次：表层的包括概念、性质、法则、公式、公理或者定理等等的基本知识和基本技能。另外一个深层的则是数学思想和数学方法。对于数学思想，要根据具体的学生进行教学，一般情况下，一方面为了使学生对题目有一定的认识，可使用数形结合的思想方法，另外一方面为了考察学生对题目的了解，对已知或结论进行合理的想象与演变。而在数学方法中，如数学模型法、变换法、函数法和类分法这几个数学方法，虽说是深层的部分，但是通过学生不断的进行接触和练习，做好归纳总结的同时，通过自身对题目的理解和题目的特点进行方法上的取舍。深层的教学方法一般情况下，是有一定的套路可循，因此教师需要在日常的教学过程中，为学生做好一定的积累和总结。
四、结语
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（1）如图①，连接ac，将oac沿直线ac翻折，若点o的对应点o|恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数。的值：
（2）如图②，在正方形efgh中，点e、f的坐标分别是（4，4）、（4，3），边hg位于边ef的右侧。小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点p是边eh或边hg上的任意一点，则四条线段pa、pb、pc、pd不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）。”若点p是边ef或边fg上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点p在抛物线对称轴上时，设点p的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段pa、pb、pc、pd与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由。
【教学反思】
本题共计390字符，阅读量偏大。观察2幅图，均有抛物线，故以二次函数为“载体”，考查三角形与四边形，起点较高，难度较大。主要体现在两方面：一是考查知识点较多且需深入挖掘；二是数学思想运用得较为广泛，对学生综合素质要求较高。一见到本题，大多数学生感觉无从下手，即使是尖子生，面对第（2）同时也难免一头雾水。真的这么难吗？
一、理清基本知识点，寻找解题思路
教学时，首先让学生尝试说出本题考查的知识点，主要包括折叠问题、三角形的有关知识、命题、二次函数的交点式及对称性、平行四边形、解直角三角形、垂线段、解方程、解不等式等。从这么多知识点中快速寻找解题思路，对基本能力（特别是化归能力）要求颇高：同时，本题阅读量偏大，还应关注学生获取、收集、处理和运用信息能力；题目新颖，又考查学生创新精神和实践能力。教师在教学中应做到：
1 及时归纳，寻找“突破点”
俗话说，万变不离其宗。图形在平移、旋转或翻折过程中，位置和方向会有所改变，但其本质是全等变换，其中蕴含的不变往往是解决问题的突破口。针对第（1）小题，学生大都思路清晰，能把握住“折叠”这一全等变换，从而利用对应边、对应角的不变性进行分析。再联系到求解二次函数与坐标轴的交点坐标及对称性这经常性问题，通过解直角三角形求解。教师在引导学生归纳解题思路时应紧扣不变量，关注方法，要把解题思维贯穿于一种题型中，让学生自我形成知识建构。
2 适时提升，体验“全过程”
在日常教学中，教师要重视学生体验知识产生和发展过程，理顺知识的来龙去脉，理清知识呈现的过程，理解公式、定理和法则等的推导过程，杜绝死记硬背，给学生充分反思时间，逐步提升学生能力。第（2）问考查的知识，需要提醒学生关注第一个正确命题，找准关键点，体会不构成平行四边形是考虑边的数量关系不满足平行四边形的判定，从而大胆猜测证明一条与另外三条不相等，类似解决方法在2011年《中考数学能力自测》208页第2题最后一问中有所体现。对于新颖的能力提升题，应让学生在体验分析和解决问题的全过程，做到事半功倍。
二、挖掘思想方法，体验解题过程
本题运用的数学思想方法较多，包括化归、数形结合、特殊到般，以及方程等思想。解决本题离不开数学思想的综合运用，教师在教学中应关注这几种思想的展现过程：
1 体验过程，重视思考和交流
“解题就是把要解的题转化为已解过的题”。数学解题过程就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。“学而不思则罔”，教师应引导学生解题时勤于思考，不仅立足原题思考，还要有举一反三和触类旁通的变式思考。拿到压轴题后，不要急于动手，而是思维在先。有相当一部分学生在压轴题上失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本概念和简单计算或输在“审题”上。讲解本题时，我让学生尝试把自己体会主动大胆讲给其他同学听，遇到问题要善于和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。当时第（2）问他们讨论得很热烈，讨论重点并不是浅显的成立不成立，而是如何去说明不构成平行四边形，个别同学甚至已初步得出pb比另外3条小的突破点。通过思考、交流和体验过程，慢慢展示自己分析问题能力，再加上扎实基本功，压轴题也不在话下。
2 优化思维，提炼思想和方法
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探究性教学就是在教学环节中加入学生自己探索的环节，鼓励学生自己去发现问题，并利用自己所学的知识去对问题进行调查分析，通过这样的环节让学生在生活中或者学科领域内发现并解决问题，以达到提高他们知识水平和锻炼学习技能的目的。实行探究性教学必须注意的是，要将培养学生的学习能力放在首位，通过组织学生进行小组合作或独立完成等方式，帮助他们培养自己主动探索及创新的能力，实现研究性地学习。
二、开展引导探究教学法的重要性
传统的教学模式就是教师在课堂上讲，所讲的内容也是前人或者他人已经获得的知识，学生只能一味地接受这些知识。探究性教学课堂与传统教学课堂不同的是，课堂的主体不再是教师，学生一改处于被动地位的情况而直接成为课堂的主人，这样的教学方法能够避免学生缺乏自主思考锻炼的情况发生。传统的教学模式除了不利于学生对知识的真正掌握，对提高他们的学习能力也没什么益处，而探索性教学法就很好地弥补了这个缺憾，它对学生能力的培养更加注重，尤为重视对学生自己发现问题和解决问题能力的培养。探究性教学不仅能够实现对学生学习能力的锻炼，更能对他们的创造意识和态度进行加强，这对中专学生来说无疑是一种很好的学习方式。很多中专数学教师在教学课堂中经常会遇到这样的问题，即无法在一节课时间内完成事先制定的教学任务，因此笔者认为应当从新课改以及中专生的实际情况出发考虑，在对中专学生进行数学教学时应当加强探究法教学的比重，这样能有效体现学生作为课堂主体的地位，能够帮助他们更自主地学习，教师需要做的就是发挥主导性，为学生在学习中进行引导和点拨。
三、在中专数学教学中开展探究性学习的方法
1.在教学中插入。在实际教学中很多教师反映，在教学中采用探究性教学法就会觉得时间不够，但是如果抓住探究性教学的本质，对教学中的问题做到及时发现并解决，那么探究性教学就实现了在教学过程中的融入，从而让学生在不经意中经历探究性的学习。
例如：在学习幂函数y=xa的时候，我们的教师应当先让学生对幂指数a>0时函数的定义域、奇偶性以及单调性等特性有所了解，当学生对这些基本知识掌握之后，老师就可以引导学生去思考a
又如：在对“排列组合”这一知识点进行讲解时，学生们经常会遇到如下的题目：某工厂质量管理员为了检验服装的合格率，随机抽出了10件相同规格的羽绒服，并且已经知道其中有合格品8件，次品2件，问现在需要从这10件羽绒服中任意抽取3件衣服并且要保证抽取的三件中有1件是合格的，问共有取法多少种？也许在学习了这一方面的知识后，学生们能很快解出这道题，此时我们老师要做的就是在教学中插入探究性题目，如将原题换成“任意抽取3件至多有1件是合格品，则有几种取法？”通过这样的举一反三式的探究性教学法的应用，能够帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
2.引导学生提出问题。一般我们在教学中使用探究法教学，都是通过老师引导学生提出问题，这是一种常见策略，将问题探究作为探究性教学的基础，进而实现对学生探究积极性的不断激发。由此可见，在教学中引导学生自己进行思考和探究对于探究法教学在中专数学教学中的应用是极为重要的。
例如，我们在讲解“抛物线”有关内容时，学生们在平时练习或考试中经常会遇到这样的题目：“有一条直线和一个抛物线，它们的方程式分别为x=2y+4和x2=16y，在图中有一个正方形，正方形的四个顶点分别为A，B，C，D，A、B在抛物线上，C、D在直线上，求正方形的边长a。”这个题目一提出，学生们可能觉得无法下手，这时就需要我们教师进行适当的引导，鼓励学生进行自主的分析和思考，并帮助学生通过利用等量关系对正方形边长进行求解，为学生明确探究方向，教师可以引导学生先求顶点坐标，再对正方形的边长进行求解。
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1 了解中考的命题原则，明确教学方向
1.1 适标性原则
1.1.1 以课标为依据，内容和形式均符合测试的目的，考查知识和能力不得超越《数学课程标准》要求，要突出对学生基本数学素养的考查。
1.1.2 所考查的知识点要覆盖《数学课程标准》的“内容标准”中如“1.…2.…”的全部。以2009年河池市中考为例，所考查知识点覆盖如下表：
1.1.3 各种题型、难度的比例基本上适度，符合平时学生训练的类型。全卷易、中、难的比例是6：3：1，整卷难度预设为0.65±0.03。
题型的选用、素材的选取、试题的立意、试卷的构成、试卷的长度。基本上切合考生的实际，命题强化其针对性，能针对教学过程中存在的问题和教学中的薄弱环节，设置一些试题，以使问题和欠缺得以暴露，使老师们引起警觉，改进今后的教学，提高教学效果，这就是中考的导向作用和反馈作用。
1.2 发展性原则
1.2.1 命题要面向全体学生，有一定的难度、梯度或送分等，
1.2.2 对考核内容要有所选择。挑选对学生今后继续学习和发展有利的基础知识和基本技能进行考查，让教与学的重点落在重要的双基知识上。
1.3 整体性原则
试卷的布局科学、合理，结构良好，充分运用各种题型的考查功能，取长补短，注意发挥每一道题目、各个题目组和整卷的测试功能作用。
1.4 创新性原则
由知识立意转为以能力立意是考试命题思想的一大进步，由以能力立意进而进行_二处维度的关怀，这又是一大进步，这都体现了命题的创新性。
2 认真研究课标和近几年中考数学试题的命题趋势，做好初三新课的常规教学
2.1 近几年我市(河池市)中考数学试题的概况
河池市这几年的中考数学试题，基础题的数量较多，注重数学基础知识、基本技能和思想方法的考查。中考题的难度分布决定了基础题占大部分，试题的难度不会有太大变化。对基础的考查不会减弱。几何综合题，主要考查旋转变换。图形的运动变化，主要考查从特殊到一般的数学思想、分类讨论思想。代数几何综合题(侧重代数)，它以考查二次函数、相似或全等为主。
2.2 根据中考数学试题的情况。在授新课时做好以下三点
2.2.1 要把基本概念、法则、定理讲透。
2.2.2 要根据学生的具体情况和中考的考试要求创造性地使用教材。例如，教材上所配的例题、习题不合理，应大胆舍弃；如果所配习题量不能使学生熟练地掌握相关的知识，应大胆地添加题目。教学时起点要低，要控制题目难度，突出基础知识的学习。
2.2.3 在注重双基的同时，着重能力培养，渗透数学思想方法，在圆和函数这两章的教学中要在知识的交汇点设计相关综合题，在平时择机对中上学生进行穿插式训练。
2.3 根据命题趋势浅谈初三年级章节教学的深度
初三新课的常规教学非常重要，涉及二次根式、一元二次方程、旋转变换、圆、概率、解直角三角形、相似形、二次函数等重点内容。是各市中考的主体内容，大题、难题、压轴题大都集中于此。授课时间紧，中考备考又要及早考虑，但这部分的常规教学却不能操之过急，否则，极有可能使相当一部分同学欲速而不达因此教学时应明确每个教学内容的考查要求，准确把握每个学段的教学深度，节省不必浪费的时间和精力。现以下面几章为例进行简要分析：
2.3.1 第21章《二次根式》、第23章《一元二次方程》
(1)课标要求：近几年中考弱化了对数、式的计算或化简题的繁杂程度；弱化对方程解法多样性、技巧性和繁杂程度的要求，倡导掌握基本的解法与解决实际问题的能力。
(2)考法分析：一元二次方程常与解直角i角形、二次函数等知识综合命题。
例如：(2009年河池市)26。(本小题满分12分)如图12，已知抛物线y=x2+乱+3交x轴于A、日两点，交y轴于点c，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(-1，0)。求抛物线的对称轴及点A的坐标。
2007，2008，2009三年的列方程解应朋题都没有考到一元二次方程的应用。
(3)教学建议：教学中加强计算能力的培养，掌握一元二次方程基本的解法及解决实际问题的能力。这章考查内容不难，不做深入探讨。进行中等难度的训练即可。
2.3.2 第25章《概率初步》
(1)课标要求：《数学课程标准》对这部分内容的要求不高，具体要求有三条：①在具体情境中了解概率的意义。运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率②通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。③通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。
(2)考法分析
①直接考查概率的相关概念。
例如：(2009年河池市)12。下列事件是随机事件的是( )。
A 在一个标准大气压下，加热到100℃。水沸腾
B 购买一张福利彩票，中奖
C 有一名运动员奔跑的速度是30米／秒
D 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球。摸出红球
②结合具体情境，考查应用概率的意识。
例如：(2008年河池市)22。(本小题满分9分)一个布口袋中装有3个小球，它们分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外都相同。甲乙两人进行摸球游戏，甲先从袋中摸出一球记下数字后放回袋中，再由乙从袋中摸出一球，记下数字。
(1)试用树状图或列表法表示摸球游戏所有可能的结果；
(2)若规定：甲与乙摸到的球的数字之和为奇数，则甲胜；数字之和为偶数，则乙胜。这个游戏规则公平吗?
点评该题是严格依据《数学课程标准》要求命题，第(1)问要求用树状图或列表法表示摸球游戏所有可能的结果，考查考生的分析能力和思维的条理性，为第(2)问做好准备；第(2)问考查考生对概率意义的认识和计算，并能运用概率作出合理判断。
③教学建议：这章考查内容不难，教学时按课标要求，进行中等难度的训练即可。
2.3.3 第24章《圆》
(1)课标要求
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系。探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。
②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
③了解三角形的内心和外心。
④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
⑤会计算弧长及扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积。
(2)考法分析
①从不同的角度重点考查了圆的有关概念，弧、弦、圆心
角的关系，直径所对的圆周角的特征以及垂径定理等圆的基本知识及直线和圆的位置关系、圆和圆的五种位置关系。掌握弧长、扇形面积计算公式及圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算等。
例如：(2009年河池市)如图3,PA，PB切O于A，B两点，若∠APB=60°，O的半径为3，则阴影部分的面积为_____。
14 若两圆的半径分别是1 cm和5 cm，圆心距为6 cm，则这两圆的位置关系是( )。
A 内切 B 相交
C 外切 D 外离
②圆与三角形、四边形的综合题、开放题、探究题。
例如：(2009年河池市)25。如图10，在O中，AB为O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC：60°。
(1)求／-AOC的度数；
(2)在图10中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与O相切时。求PO的长：
(3)如图11，一动点M从A点出发，在O上按逆时针方向运动，当SMAO=SCAO，时，求动点M所经过的弧长
(3)教学建议：教学时不但要讲透圆的有关概念，弧、弦、圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征以及垂径定理等圆的基本知识，还要关注在知识的交汇点设计的综合题目。要渗透常见的转化与化归、分类讨论、数形结合思想等。
3 针对多年中考学生答题暴露出来的问题，找出我们教学过程中存在的问题和教学中的薄弱环节，使我们在教学过程中重视这些问题并解决这些问题。
3.1 加强运算能力的培养
我市(河池市)2009年考生在第23，24，25题的解答中，有解方程错的，有计算利润时加减法出错的，有约分错的，其原因主要是计算能力差而失分。再次暴露出我们学生运算能力明显欠缺和薄弱，这给我们平时的教学一个及时的提醒。运算能力是数学一个主要考查的基本能力，从近几年段考、期考来看，也发现学生的计算能力在不断下降。这可能和平时缺少练习有关，计算能力不是专门训练的，它应融入每一节课的教学和每一阶段的复习中。对于基本的计算问题在教学中要做到人人过关。
3.2 加强逻辑推理能力和几何语言的表达能力的培养
从我市2009年考试的答题情况看，学生几何题的失分比较严重，例如第20，25题失分的主要原因是解题格式及数学语言的表述极不规范，表达不完整、数学语言表达不严密、逻辑推理混乱。教学过程中应把基本概念、性质、定理、思想方法等数学知识讲透，使学生在理解概念、性质、定理的基础上，规范学生几何语言的表述，培养思维的严密性。要求学生答题时言必有据，养成每一步推理或运算都要有理由、有根据的习惯，考虑问题要全面、周密，要注意讨论，注意检验。防止遗漏和产生错误。
3.3 加强审题能力的培养
2009年我市考生在第22，23，25，26题中因审题不认真而失分的人数很多，学生的审题能力有待加强。在教学中。教师不要为了节省时间而包办学生对题目的阅读和理解的权力，教师应该引导学生充分参与题目的阅读理解，要让学生熟悉数学语言，包括文字语言、符号语言、逻辑语言、图形语言之间的相互转化的能力培养。