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平面直角坐标系习题范文1
一、位置的确定
例1（苏州）如图1，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为 _____．
分析：本题是一道与确定位置有关的试题，要表示白棋⑨位置，则需要仔细理解题意，根据黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)可以发现：用表示列的字母和表示行的数字来确定棋子的位置，其中表示列的字母在前，表示行的数字在后．
解：观察白棋⑨在D列，6行，所以其位置可记作(D，6)．
二、点的坐标特点
例2（南昌）若点A(2、n)在x轴上，则 点B(n－2 ，n+1)在（）．
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D．第四象限
分析：本题主要考查点的坐标特征.因为点A(2，n)在x轴上，则可根据x轴上的点的坐标特点确定n的值，然后写出点B的坐标，再根据象限内的坐标特征确定点B所在的象限．
解：因为点A(2，n)在x轴上，所以n＝0，所以点B的坐标为(0－2，0+1)，即B(－2，1)，根据第二象限内的点的坐标特征可知选B．
三、确定点的坐标
例3 （永州）如图2为九嶷山风景区的几个景点的平面图，以舜帝陵为坐标原点，建立平面直角坐标系，则玉宫岩所在位置的坐标为 ．
分析：要确定玉宫岩所在位置的坐标，即E点的坐标，应根据点坐标的求法，从点E分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴上对应的数为点的横坐标，垂足在y轴上对应的数为点的纵坐标．
解：观察坐标系可知点E的坐标为（2，4），所以玉宫岩所在位置的坐标为（2，4）．
例4（武汉）如图3，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 ．
分析：本题主要考查平移与点的坐标，要确定右图案中右眼的坐标，则需要找出平移与点的坐标之间的变化关系．
解：因为根据左图与右图左眼坐标之间的关系，可以看作左图形先向右平移3－(－4)＝7个单位，再向上平移4－2＝2个单位，根据平移的特征可知右眼也平移同样的单位，所以右图中右眼的坐标是(－2+7，2+2)，即(5，4).
四、画平移后的图形确定点的坐标
例5(海南)如图4，已知ABC，ABC向右平移6个单位，作出平移后的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标；
平面直角坐标系习题范文2
关键词：习题课；一题多解；立体几何；线面角
在高中数学的教学过程中，笔者认为要上好习题课，要从有限的例题和习题上下工夫，采取一题多解的形式进行教学。对一道题采用不同的方法、对一类问题的多种解法采用同一道例题，这样不仅节省了时间、减轻了学生的负担、教授了解题技巧，更重要的是通过不同的思路去引导学生讲述各自的解题思路及算法，沟通解与解之间的联系，促进学生思维发展，提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣。
例如：在讲授如何求解线面角的时候，笔者以一道立体几何题为例，从三个方面探究线面角的求法。
例题：四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形。AB=BC=2，CD=SD=1。（1）证明：SD平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成的角的正弦值。
在第二问求解线面角的大小时，可从三个角度进行研究：（1）利用定义寻找线面角的位置直接求解；（2）借助点到平面距离间接求解；（3）建立空间直角坐标系，利用法向量求解。
方法一：利用定义寻找线面角的位置直接求解
（1）一般在斜线L上找一点A，过该点作平面的垂线，斜足O与垂足B的连线OB为斜线在平面内的射影，则射影与斜线所成的角即为该斜线与平面所成的角。
解法1：如图，因为CD∥AB，所以CD与平面SBC所成的角即为AB与平面SBC所成的角。取SC中点M，连结BM，DM。
因为DS=DC，BS=
BC，所以SCDM，SCBM，所以SC平面BDM，所以平面BDM平面SBC，作DNBM，垂足为N，则DN平面SBC，连结CN，则∠DCN即为CD与平面SBC所成的角。
因为SDAB，CD∥AB，SDCD，|SC|=■，|BM|=■，cos∠DBM=■，sin∠DBM=■，DN=■・■=■，sin∠DCN=■=■=■
所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为■。
（2）过直线L做平面的垂面，直线L与交线的夹角即为线面角。
解法2：由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE。作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，作FGBC，垂足为G，连结SG。又FGBC，SFBC，SF∩FG=F，故BC平面SFG，平面SFG平面SBC，
因为FG∥AB，所以FG与平面SBC所成的角α即为AB与平面SBC所成的角。
方法二：借助点到平面距离间接求解
求直线上一点A到平面的距离h，该点与斜足的距离OA，h与OA的比值即为线面角的正弦值，即sinα=■。
解法3：VA-SBC=VS-ABC
VS-ABC=■SABC|SF|=■・■|AB||BC||SF|=■・■・2・2・■=■
如图，设A到平面SBC的距离为h，取SC中点M，连结BM，因为SDAB，CD∥AB，SDCD，|SC|=■，
|BM|=■，VA-SBC=■・■・■・■・h=■h，又■h=■，所以h=■・■=■，即A到平面SBC的距离为■。
又因为AB=2，设AB与平面SBC所成的角为α，则sinα=■=■=■，所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为■。
方法三：建立空间直角坐标系，利用法向量求解
建立空间直角坐标系，求平面的法向量，直线与法向量所成角的余弦值即为线面角的正弦值。
解法4：如图，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz。D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。
因为平面SDE平面ABCD，CD=1，DF=■，SF=■，所以S（1，■，■）。设平面SBC的法向量■=（x，y，z），■=（1，-■，■），■=（0，2，0），故x-■y+■z=0？圯■=（-■，0，2）2y=0
平面直角坐标系习题范文3
一、教材分析本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。二、教学目标1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。三、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。2、难点：圆的方程的应用。3、解决办法充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。四、学法在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法，五、教法先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。六、教学步骤一、导入新课首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。二、讲授新课1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。经过化简，得到圆的标准方程2、知识巩固学生口答下面问题1、求下列各圆的标准方程。①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。①②3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。三、知识的运用例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。由于圆的标准方程含有三个参数,,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程四、小结一、知识概括1、圆心为，半径长度为的圆的标准方程为2、判断给出一个点，这个点与圆什么关系。3、怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。二、思想方法（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。五、布置作业（第127页2、3、4题）
y
x
o
r
平面直角坐标系习题范文4
一、创设问题情景，引导学生“进门”
在现在的数学课堂上，我们经常发现很少学生有“举手踊跃回答问题”的习惯，有些学生一方面本身就惧怕数学，对自己解题没有信心，另一方面又怕自己回答错了，招来同学们的“议论”。这时候，我们作为教师应该鼓励、帮助这些学生克服心理障碍、挖掘学习潜能，应先向他们提出一个小问题，“进门”之后循序渐进。
例1：在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标的斜坐标是这样定义的：若=xe1+ye2，（其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y）。
1.若P点的斜坐标为（2，-2），求P到O的距离|PO|；
2.求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。
学生看到此题后楞了，从未见过在斜坐标系中讨论向量有关问题，心里没了底，我适时抓住学生的心态，采取这样的策略：
师：这次我要请“没举手的、头低着的”来回答。要求回答一下在平面直角坐标系中向量坐标的定义，生1，你来回答。
生1：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得 ，(x，y)叫做向量的坐标。
师：很好！在平面直角坐标系中向量的模又是如何求的呢？（要求用基底代入运算）。
生1：
师：太棒了！，现在你对照刚才自己回答的问题，再来看一下这道题目的第一问，会分析了吗？
生1：我会了，|PO|为向量 在斜坐标系中的模，与直角坐标系中一样，只需将 用斜坐标系中的基向量e1，e2表示，所不同的是平面直角坐标系中基底 的数量积为0，而斜坐标系中基向量e1，e2的数量积为。所以 。
然后我又请刚才也没举手，而现在跃跃欲试的生2站起来回答此题的第二问。
生2：与第一问类似，只需在圆上任取一点M设其斜坐标为（x，y），即为，其余同第一问，我得到的在斜坐标系xOy中的圆的方程为x2+y2+xy=1。
师：很好！非常棒！以后见了陌生的题目，千万别忙着宣布自己“不会”，而要说“让我试试”吧，“敢问路在何方？路就在自己的脚下！”
二、铺设问题台阶，帮助学生拾级而上
有些数学题目的已知条件与结论之间距离遥远，整体驾驭能力不强的学生，往往弃而不解。这就需要我们教师首先将问题分解，给出一个容易实现的子问题，让学生沿着这些“台阶”拾级而上，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
例2：已知数列{an}满足，an+1=an2-an+1，设
，求证： 1＜Sn＜2。
本题研究对以递推数列形式给出的数列的求和问题，从题设到问题跨度较大，学生对正确解完本题存在一定的困难。为此，我们教师可设计出以下的“阶梯”：
1.求证： （由an+1-1=an（an-1）两边取倒数即得结论）；
2.求Sn（由（1）裂项相消求和即得 ）；
3.求证：an+1＞an＞1（由an+1-an=an2-2an+1=（an-1）2≥0及， an+1=an2-an+1即得结论）。
事实证明：多数学生能够顺着 “阶梯”登上制高点，尝到解题胜利的喜悦。所以我们在教学中要努力为学生创造解题的“阶梯”，使他们逐步掌握数学解题思维的过程，让他们乐于亲近数学，学会解题。
三、分块处理，减轻学生心理压力
有些数学习题文字冗长，条件繁杂，信息较多，学生见了心理压力较大，我们教师在讲解此类问题时常采取“分块”处理，逐步剖析，使其所涉及的问题落到学生们所学的具体知识点上。
例3：已知二次函数 有最大值且最大值为正实数，集合 ，集合B={x|x2＜b2}。
1.求A和B；
2.定义A与B的差集：A-B={x|x∈A且x∈B}。设a，b，x均为整数，且x∈A。P（E）为x取自A-B的概率，P（F）为x取自A∩B的概率，写出a与b的三组值，使P（E）= ，P（F）= ，并分别写出所有满足上述条件的a（从大到小）、b（从小到大）依次构成的数列{an}、{bn}的通项公式（不必证明）；
3.若函数f（t）中，a=an，b=bn。设t1、t2是方程f（t）=0的两个根，判断|t1-t2|是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。
讲解时，由于本题涉及到函数、集合中的新定义、概率、数列及不等式等知识点，条件复杂，仅新定义型的概念问题就对学生构成了较大的心理压力，于是在分析解决此题时，可将题目条件拆开，分块处理，而后分析清楚它们之间联系。在教学思路上可进行这样的设计：
1.先抛开后两问的信息，去求第一问答案；
2.分析P（E）、P（F）的含义；
3.确定集合A与集合B的元素个数，最终确定a与b的值；
4.得数列{an}、{bn}的通项公式；
5.确定|t1-t2|的表达式及最值的求法；
6.综合回顾，合理作答。
平面直角坐标系习题范文5
一、数形结合，化抽象为具体
数形结合方法是数学中解决习题的一种常用方式，在数学的多种习题中都有应用，比如，函数类问题需要结合函数图像进行解决，椭圆、双曲线问题需要借助画图等，在立体几何中，数形结合方法也同样适用，甚至应用数形结合的方法可以使立体几何的习题更加简单化.数形结合方法就是指，在进行习题的解决过程中，将数学问题与立体几何的图形问题进行相互转化，将原本抽象的数学图形问题转换为图形与代数相结合的方式进行解决.通过数形结合的解题方法，可以使原本抽象的图形变得具体化、形象化、方便理解，从而使得解决问题的过程变得更加轻松.在立体几何中应用数形结合方法需要我们读懂题目，了解题目中图形的具体特征，能够根据图形的特点和规律构造相关的代数方程，最终通过解方程的形式解决立体几何的相关问题.
例1如图所示，在一个长方体房间中，一只蚂蚁要从房间的A点爬到C′点，已知长方体房间为6 m×8 m×10 m，求蚂蚁需要爬行的最短距离？
分析题目要求的是蚂蚁的最短路程，这是一个最短距离的问题，但是最短距离的问题只在平面图形中涉及，在立体几何中又该如何解决呢？于是解决问题的最简单有效的方法就是将立体几何的问题转化为平面图形的问题，进而通过代数运算进行解决.在这道题目中，可以将立体图形进行展开，于是所求的最短路程就是平面中线段AC′的距离，计算的方法就是AC′=（AD+CD）2+CC′2.这样，通过将立体几何的问题与代数问题进行结合，就可以使立体几何的问题变得简单、具体、易于理解.
二、向量计算，化复杂为简单
在立体几何的解决方法中，还有一种简单有效的解决问题的方法，就是向量计算法.向量计算法是指在利用立体几何的三视图以及斜二测图，通过在立体几何中建立三维坐标系，代入向量，应用数学知识以及数学语言，实现立体几何的计算的方法.立体几何的计算往往涉及平方计算、开方计算，在计算数据简单的情况下，平方与开方计算能够相对简单，但是在计算数据复杂的情况下，计算的难度就大幅度提升，计算的错误率也会随之提升，而在立体几何的计算中应用向量可以大大降低计算的难度.在立体几何的向量计算法中，需要对向量的位置关系以及数量关系进行判断，进而找出向量的夹角或者利用向量之间的平行以及垂直关系实现题目的计算.向量计算的方法在立体几何求解异面直线间距的问题时，可以有效减少计算的时间，同时大大提高解题的正确率.
例2如图所示，在空间直角坐标系中，有一个正方体ABCO-A′B′C′D′，其棱长是a，则A′C的中点E与AB的中点F之间的距离为多少？
解析由于题目中给出了直角坐标系，显然是让我们利用向量法进行计算.由于题目的已知，所以不需要我们再建立直角坐标系进行计算，我们可以根据给出的图，找出所需要的点
三、分割补充，化杂乱为规则
在数学习题中，对图形进行分割或者补充来简化原本的题目也是一种数学思想.立体几何中的割补法就是这种数学思想的产物，割补法分为两个方面，分割：即将原来的立体图形进行分割，分割成多个易于计算的几何体，方便问题的解决.补充：即在原有立体图形的基础上，对原来的图形进行补充，使之成为一个易于观察的几何体，方便计算.不管是分割还是补充，其根本目的都是为了简化计算，从而将原本的不规则立体图形转换为规则的立体几何图形，通过这样的分割和补充的方法解决立体几何的问题，对数学思维以及空间想象能力的培养也大有好处，是一种高效、有益的解决数学问题的方法.
例3如图所示，有一个被平面截得的圆柱体，被截后，其最长的母线长为5，最短的母线长为2，且圆柱体的底面半径为3，求被截后的几何体的体积是多少？
平面直角坐标系习题范文6
【关键词】数学探究；问题设计；数学思维
12月21日―23日，笔者去淄博十一中参加山东省优质课观摩活动，选手是优中选精，课亦是精心准备，亮点频现，节节精彩！《普通高中数学课程标准》提出的基本理念：学生发展为本，“立德树人”，提升素养.课堂教学以学生为主体，重视调动学生的积极性，促进学生数学学习的发展，成为优质课教学设计的共性.如何进行教学设计，让导学案的“引”和“导”更有效，笔者认为要注重数学探究教学.
数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明.使学生在这一系列的数学活动中进行数学创造和获得数学经验.
1数学探究教学的原则
1.1立足教材，精选内容
探究问题的选择要基于以下几点考虑：（1）突出关键的知识点；（2）突破学习中的难点；（3）凸显知识的易错点；（4）注重思维的增长点.分析本节课在本章中的地位和作用，本节课在本知识模块中的地位和作用，以及本节课在高中数学中的地位和作用十分必要.一节课不可能开展次数过多的探究活动，要根据教学的重点和难点，进行一次或两次高效的探究活动即可.
1.2基于学情，启发思考
探究学习要让学生利用已知发现未知，所以要对学情进行评估.问题设置要注意起点合理，提倡“跳一跳摘桃子”.可以采取“小步子”的策略，化大为小，分解难点.必要时进行小组合作学习，让学生的思维进行碰撞，产生新知识的增长点.
1.3提升素养，优化思维品质
数学探究要帮助学生提高兴趣，认识自我，激发自信，提高学习的质量.数学探究活动要注重数学思想方法培养，使学生在学习的过程中认识数学、理解数学、热爱数学，能抓住“主线”进行学习，进而提升发现问题、分析问题和解决问题的能力.在探究结束后，要注意进行小结，彰显规律性.
2数学探究教学的方法
多年来，我们一直强调“用教材教”而不是“教教材”.其实，这就是要求教师要研究教材，创造性地使用教材，教师要有开发校本课程资源的意识，提升课堂教学内涵.探究性问题设计可以将教材内容优化，变平淡为精彩.
2.1从“特殊”到“一般”
特殊到一般的方法重点在于“铺垫”，教师创设问题情境，学生借助问题情境循序渐进，得到问题的解决思路.
案例1平面上两点间的距离公式推导（课例：两点间的距离.）
问题1：在直角坐标系中，x轴上有两点P1（x1，0）和P2（x2，0），那么P1和P2之间的距离为多少？如果线段P1P2平行于x轴呢？
问题2：在直角坐标系中，y轴上有两点P1（0，y1）和P2（0，y2），那么P1和P2之间的距离为多少？如果线段P1P2平行于y轴呢？
问题3：在直角坐标系中，已知x轴上一点P1（x0，0）和y轴上一点P2（0，y0），那么P1和P2之间的距离为多少？
问题4：一般地，已知平面上两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），如何求P1和P2之间的距离？
这4个探究问题的设计：问题1和问题2提供与坐标轴平行或重合的线段长度求法；问题3的解决办法是勾股定理；问题4与前面3个问题自然衔接，解决办法是构造直角三角形，利用勾股定理求解，必须首先利用问题1和问题2的方法求出两条直角边长.
从“特殊”到“一般”的问题探究思路是优质课中大部分选手采用的方法，递进的问题设计，得出一般问题的解决思路，小梯度、慢节奏，最后思维得到提升.
2.2趣味性的问题设计
通常情况下，学生对数学公式的感受要差于对数学图形的理解，而对数学图形的理解要差于对空间几何体的感受.问题的设计能够激发学生数学学习的兴趣很关键.
案例2点到直线的距离公式的推导（课例：点到直线的距离.）
引入：有一天，笛卡尔生病卧床，但他一直在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？同样几何图形可不可以通过代数形式来表达？
不经意间，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗.他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？据此，他创建了直角坐标系，在代数和几何上架起了一座桥梁.
同学们请看：
现在蜘蛛网上有一只蜘蛛P.
思考1：蜘蛛网上粘住一只蜻蜓M，蜘蛛如何爬行才能最快到_蜻蜓的位置？为什么？
思考2：蜘蛛要用最短的时间到达蜘蛛网上的直线l，蜘蛛应该如何爬行？为什么？
总结：这个最短距离就是点到直线的距离.
假设蜘蛛的位置P（1，-1），
问题1：如何求出点P到x轴的距离？
问题2：如何求出点P到y轴的距离？
假设直线l的方程为x+y-2=0，
问题3：如果蜘蛛在蜘蛛网中心的位置，如何求出蜘蛛到直线l的距离？
问题4：如何求出点P（1，-1）到直线l的距离？
小组合作学习：有几种不同的解决办法？
注：选择最优化的解决方案.
问题5：请同学们自主推导，平面直角坐标系中点P（x，y）到直线l∶Ax+By+C=0的距离公式.
2.3开放性问题设计
这里讲的开放性的问题，是指答案不固定的题目.高考中数学问题的答案一般唯一，但是日常教学有些问题的答案不必唯一，给学生足够的想象空间，发散思维，利于学生的思维拓展.
案例3习题设计（课例：两点间的距离.）
习题：精准扶贫是全面建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在实施精准扶贫的工作中，为帮助位于省级公路同一侧的A、B两个贫困村实现脱贫，准备在该公路的边上选择一点P，修两条可直达A、B两村的乡村公路.
（1）假如你是决策人，你将如何选择P点的位置？
（2）若以该公路所在直线为x轴，公路上某一点O为原点，建立平面直角坐标系.此时A（-1，2），B（2，7），当点P满足到两村的距离相等时，试求出点P的坐标，并求出|PA|的值.
本题（1）的答案开放，合理即可.
思路1：到两村的距离之和最近，成本最低，体现节约；
思路2：也可以是到两村的距离相等，体现公平、公正.
众所周知，国家“精准扶贫”的目的是为了“人民幸福”，所以这道题目体现了“中国梦”、“四节”和“核心价值观”，与时俱进，德育渗透较好.既拓展了学生思维，又体现了《普通高中数学课程标准》数学教学要 “立德树人”的基本理念.
2.4选择“入口宽”的题目
“入口宽”的题目是指容易寻找突破口，思路多的题目.高考中许多题目都属于这种类型，这种类型的题目既适合自主探究，又适合开展小组合作学习.
案例4一题多解（课例：点到直线的距离.）
习题：求三角形ABC的面积，这里A（-1，0），B（3，1），C（1，3）.
注：事先老师准备好小黑板，把图形画在黑板上，分到每个小组.
师：大家小组合作学习，将你的结果画在小黑板上，然后小组展示.
生1：（展示方法1，分割法）过B作直线平行于x轴，分成两个三角形求面积，利用底乘以高的一半.
生2：（展示方法2，补形法）过B、C作x轴、y轴的垂线，构造矩形，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积.
生3：（展示方法3，点到直线的距离公式）求出AB的长度，再求出点C到直线AB的距离，得到三角形ABC的面积.
可能老师原来的预设是进行小组合作学习，每个小组选择不同的底边，然后求出第三个点到底边所在直线的距离作为高，这样会得到三种不同的做法.学生的解法尽管与本节课的教学重点“不合节拍”，但是展示了更多的数学方法――“分割法”、“割补法”、“公式法”，从数学学习的角度讲，数学素养得到提升.
2.5形成结论
某些数学问题不容易理解，并且难以抽象出一个结论，我们可以采用问题探究的方法寻找结论，然后加以证明.
案例5经过两条直线交点的直线系方程（课例：两条直线的交点坐标.）
问题1：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示什么图形？
问题2：当λ变化时，这些图形有什么共同的特点？
探究：变换λ的值，并把这个值与此时对应的方程填写到下列表格中，然后在同一坐标系中画出这些图形.
合作探究：小组合作，汇总全组所有成员的图形，寻找共同点，选派代表投影展示.
发现：这些直线的共同特点：.
证明：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示的直线恒过定点.
总结：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0具体表示什么图形？
提升：经过两条直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0的交点的直线的方程如何表示？
至此，经过两直线交点的直线系方程结论呈现，完成本节课的一个教学重点.
这种问题探究的方式起点低，衔接自然，符合学生的认知规律.当然，探究结束后，应该有必要的数学证明和说明，譬如讲清楚这不是经过两条直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0交点的所有的直线的方程.
3对数学探究教学的思考
3.1 数学探究有助于学生了解数学概念和结论产生的过程.
日常教学中我们有时会“简化”教学过程，直接给出概念或结论，让学生记忆，然后“套公式”解题.学生尽管会做题了，但是不知道概念和结论的来龙去脉，不会分析一些概念性的问题，不利于数学思维的培养.
3.2数学探究有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯.
数学探究离不开“问题串”教学，在问题解决的过程中，会涉及一些相P的边缘知识，或者出现思维“死角”.这样就会产生“新知”与“旧知”的思维碰撞，学习新知需要质疑探索，温故旧知需要反思，能将主动学习落到实处.
3.3数学探究有助于发展学生的创新意识和实践能力.
问题探究的过程就是一个寻求问题解决办法的过程，思维发散容易创新.探究过程中的合作学习往往是一个头脑风暴的过程，众人拾柴火焰高，会产生许多奇思妙想，譬如一题多解，知识的交汇运用等.
