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双曲线及其标准方程范文1
从高考内容上看，双曲线标准方程及几何性质是命题的热点，题型多为客观题，着重考查渐近线与离心率问题，难度不大，但有一定的灵活性.
重点：双曲线的第一、第二定义， 双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，轨迹问题等.
难点：a，b，c，e等参数值的求法及其取值范围问题的探讨，直线与双曲线位置关系相关的综合问题.
（1）研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，首先应考虑用定义来解题. 关注定义中的“绝对值”，若定义中去掉了“绝对值”，则点的轨迹是双曲线的一支，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的.
（2）研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还会经常用到正、余弦定理.
①定义法：分析题目条件是否满足定义；求出a，b，c；写出方程．
②待定系数法：确定焦点的位置；设出待求方程；确定相关系数；写出方程．
（4）双曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如：双曲线■－■=1中，x≥a或x≤－a，e>1等. 在求与双曲线有关的一些量的范围或与这些量有关的最值时会经常用到这些不等关系.解决双曲线中有关变量的最值与取值范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法． 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
（5）直线与双曲线. 直线与双曲线位置关系的判断：直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式δ，则有：δ>0？圳直线与双曲线相交于两个点；δ=0？圳直线与双曲线相交于一个点；δ<0？圳直线与双曲线无交点． 若得到关于x（或y）的一元一次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．
（6）直线与双曲线相交时常见问题的处理方法：①涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长. 直线l被双曲线截得的弦长ab=■或ab=■，其中k是直线l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直线与双曲线的两个交点a，b的坐标，且（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2，x1+x2，x1x2可由韦达定理整体给出． ②涉及求平行弦中点的轨迹，求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题时，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．
（1）求双曲线c的方程；
（2）若直线：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）与双曲线c交于不同的两点m，n，且线段mn的垂直平分线过点a（0，－1），求实数m的取值范围．
思索 ①涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的问题，δ>0是必不可少的条件． ②关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑δ>0，还要考虑方程根的取值范围.
建议同学们在复习本节内容时重视以下几个方面：
（1）重视定义在解题中的作用，对于双曲线的两种定义，要在训练的过程中加强理解和掌握.
（2）重视平面几何知识在解题中的作用，解题过程中应借助图形分析条件，寻求最优解法.
（3）重视设而不求的整体化处理思想的应用，遇到有关直线与双曲线交点及相关问题时，若解方程组求交点，往往运算量大，易出差错，设而不求利用根与系数的关系便可简捷求解.
双曲线及其标准方程范文2
1． （2012上海文16）对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
2． （2012全国大纲卷理3、文5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4，则该椭圆的方程为（ ）
3． （2012全国新课标卷理4、文4）设F1，F2是椭圆E：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x=■上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
4． （2012四川文15）椭圆■+■=1（a为定值，且a>■）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______．
5． （2012江西理13）椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2． 若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为___________．
双曲线及其性质
6． （2102福建文5）已知双曲线■－■=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（ ）
7． （2012湖南理5）已知双曲线C：■-■=1（a，b>0）的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
8． （2012全国新课标理8、文10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，AB=4■，则C的实轴长为（ ）
9． （2012全国大纲卷理8、文10）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2等于（ ）
10． （2012江苏8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线■－■=1的离心率为■，则m的值为______．
11． （2012辽宁文15）已知双曲线x2－y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为__________．
12． （2012天津文11）已知双曲线C1：■-■=1（a>0，b>0）与双曲线C2：■－■=1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（■，0），则a=________，b=________．
抛物线及其性质
13． （2012四川理8、文9）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y■）． 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM等于（ ）
14． （2012安徽理9）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AF=3，则AOB的面积为（ ）
15． （2012重庆理14）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB=■，AF
曲线与方程
16． （2012山东文11）已知双曲线C1：■-■=1（a>0，b>0）的离心率为2． 若抛物线C2：x2=2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（ ）
17． （2012山东理10）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率为■． 双曲线x2－y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）
圆锥曲线的综合问题
18． （2012福建理8）已知双曲线■－■=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
D． 5
19． （2012安徽文20）如图1，F1，F2分别是椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知AF1B的面积为40■，求a，b的值．
20． （2012广东文20）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：■+■=1（a>b>0）的左焦点为F1（－1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．
21． （2012全国新课标卷理20）设抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
（1）若∠BFD=90°，ABD的面积为4■，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
22． （2012湖南理21）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（1）求曲线C1的方程；
（2）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D． 证明：当P在直线x=－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
23． （2012山东文21）如图2，椭圆M：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求■的最大值及取得最大值时m的值．
24． （2012江西文20）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足■+■=■·（■+■）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x■，y■）（-2
25． （2012江苏19）如图3，在平面直角坐标系xOy中，椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）． 已知（1，e）和e，■都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．
①若AF1－BF2=■，求直线AF1的斜率；
②求证：PF1+PF2是定值．
26． （2012湖北理21）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足DM=mDA（m>0且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
双曲线及其标准方程范文3
一、考试要求
（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。
（2）掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质。
（3）掌握抛物线的定义，标准了方程和抛物线的简单几何性质。
（4）了解圆锥曲线的初步应用。
二、考情纵览
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学各主干知识的交汇点，中学各种思想方法的综合点，初等数学与高等数学的衔接点，理所当然成为历届高考命题的热点。
圆锥曲线的定义，方程和性质，在高考试卷中分值一般在10分左右，主要以选择题和填空题形式考查圆锥曲线的概念，标准方程，几何性质等基础知识及其应用，以简单或中档题为主，个别题目会是中等偏上的难度。圆锥曲线的综合问题主要考查根据条件，求平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质，纵观近几年高考试题，圆锥曲线的综合问题一般都是一道解答题，通常难度较大，多为把关题或压轴题，分值为12左右，重点考查圆锥曲线中的几何量的确定或几何量取值范围的确定，主要的题型有：动点的轨迹方程问题，最值或取值范围问题，定值或定点问题，探索性问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题，与其他数学知识的交汇问题。
三、复习建议
1、熟练掌握圆锥曲线的有关概念，方程和几何性质等基础知识，它们是准确解题的依据。
2、掌握把几何条件转化为代数形式的核心解题思路和坐标法这个核心解题方法。
3、掌握好解答典型问题的通性和通法以及一些常用的求解技巧，如“设而不求，”或“代点法”“整体代入”或“点差法”等，通过强化训练以体会其中的思维模式与方法。
4、本章综合性强，能力要求高，还涉及到函数、方程、不等式、平面几何等许多知识，可以有效地考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想。重视对数学思想方法的提炼，以便优化解题思维，简化解题过程。
四、知识网络
五、重难点
重点：掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程和它们简单几何胜质。特别椭圆及双曲线的离心率的求解。
难点：直线与圆锥曲线的位置关系，轨迹问题、最值、范围问题，定值问题及探索性问题。
六、资料的使用
圆锥曲线问题的求解特点是以代数方法求解几何问题，所以求解思路易找，但是由于运算量大，不仅影响解题速度，也极容易出错，因此又易形成“答对困难”的现象。圆锥曲线中蕴含着许多数学思想，若能根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能简化运算，从而使问题简捷，准确地获解。因此需要大量的练习，才能获得基本功，才会熟能生巧。
第1讲：椭圆——它的几何性质主要是围绕椭圆中的“六点”（两个焦点，四个顶点）“四线”（两条对称轴，两条准线）“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形），研究它们之间的相互关系。资料上的东西全部使用。
第2讲：双曲线——可与椭圆类比来理解，掌握双曲线的定义，标准方程和几何性质。但应特别注意两者的不同点，如a ， b， c关系，渐近线等，渐近线是刻画双曲线范围的重要概念，高考特别注意与互相关问题的考查，资料全使用。
第3讲：抛物线——重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化。抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，然后利用已知求解。将方程y=ax2 与方程y2=2px区别开，谁是标准方程很重要。对于抛物线y2=2px(p>0)上的点的坐标设为（ ，y） 常有利于简化运算。
第4讲直线与圆锥曲线的位置关系。
(1)直线与圆锥曲线的位置关系中的中点弦问题：（1）直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧。
（2）运用“点差法”解决弦的中点问题：涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题，若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率。
2、对于直线与曲线的交点，常采取设而不求或“代点法”等方法，这是简化解题过程的常技巧，要认真领会。但采用这些方法，由于避免了方程的过程，方程的解是否存在，必须由>0这一条件进行保证，否则会发生错误。
3、解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法。若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑得用图形性质来解决，这就是几何法。若题目的条件和结论体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。
在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
双曲线及其标准方程范文4
一、优化圆锥曲线的几何性质教学过程
1.几何画板在讲解圆锥曲线定义中的应用
几何画板中的作图工具里，可以作出定点、定直线、动点、动直线，可以度量出两定点之间的距离、点到直线的距离及其这些距离的和、差功能，对于椭圆上的点到两定点的距离的和是一个常数它也能够用直观的数量关系表示出来.比如在讲椭圆定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点得轨迹”着手，如图（1），令线段AB的长为“定值”，点M为线段AB上一点，分别以F1、F2为圆心，AM、BM的长为半径作圆，先让学生猜测这两圆的交点的轨迹会是什么图形，等学生各抒己见之后，老师进行演示，学生豁然开朗：“原来是一个椭圆”.这时老师继续拖动点A，试图改变线段AB的长度，学生开始认真的思索，当AB=F1F2时，满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，最后比较容易发现当AB
2.通过圆锥曲线第二定义探究曲线的离心率与开口大小之间的关系
运用几何画板作出如图（2）圆锥曲线的图像，拖动点E，则离心率e的值随之变化，此时图形也相应变化，当0
3.帮助学生理解双曲线的渐近线
新课标人教版圆锥曲线章节对双曲线的渐近线没有给出严格的定义，在黑板上也只能画出粗略的简图表示，学生较难想象更理解不了，在此借助几何画板就可以把双曲线与渐近线之间的特殊关系准确地显示出来，如图（3）所示，拖动点F1或F2双曲线开口会变大或变小，在第一象限内，点P、点Q分别在双曲线与渐近线上，拖动点P，使得点P和点Q同时向右平移，PQ的值越来越接近0，这说明，在第一象限内，双曲线向右上方越来越接近相应的渐近线，但是永远不会相交.同理在左上方、左下方和右下方也都可以用此方法演示.考察过程中灵活的运用几何画板的强大的动画功能，使图形动起来，且自然流畅，对想象能力相对差点的学生帮助很大.
4.探究抛物线的开口大小与p之间的关系
椭圆的圆、扁程度和双曲线的开口大小与其离心率e有着密切的关系，然而抛物线的离心率是不变的.那么抛物线的开口大小跟什么有关呢？通过几何画板的演示、探究，如图（4）以y2=2px（p>0）为例，学生会发现，抛物线的开口随着p的变大而扩大，且抛物线的焦点F也逐渐的向右平移，通径AB的长也随着变长，再通过几何画板强大的计算功能显示，焦点F的坐标与通径长与p的代数关系，从而使学生比较容易理解抛物线的这一性质.
二、几何画板与圆锥曲线整合教学的效果分析
1.创设情境，改善认知环境
创设情境是数学教学的前提条件，建构主义教学理论也是强调学习情境的创设，它可以为学生创设思维情境.用几何画板创设问题情景，可以改善学生的认知环境，促进学生对所学内容的建构.几何画板可以为圆锥曲线学习创设与学习目标直观形象的数学情景.如：在学习椭圆第二定义时，学生会感到很困惑，如果直接用教材中的方式来定义，学生会更加摸不着头脑，他们在学习中会提出如此的问题：第一定义和第二定义是否有本质联系？为什么要用这种方式对椭圆下第二个定义？如此的问题，如果在传统的方式下授课，换来的只有学生的盲目附和，无法将学生的疑惑解除.为此笔者借助几何画板另辟蹊径，通过适当的数学实验，改善认知环境进行整合教学，使学生烟消云散、茅塞顿开，进而大大地增加了学生学习数学的自信心.
2.动态展示教学的内容，使静态图形动起来、抽象的内容形象化
几何画板的动态功能将圆锥曲线的图形动起来，通过平移、缩放、旋转及其翻折等多视角、多方位呈现圆锥曲线的图形，通过数形结合研究对动态的对象进行“追踪”，并且显示对象的“轨迹”问题、直线与圆锥曲线之间的位置关系、通过拖动某个点观察整个圆锥曲线的变化从而研究曲线方程中变量的关系，使抽象的曲线变得具体、形象、生动且易于理解.比如，高三模拟考里的一道题目：讨论方程（5-t）x2+（t-1）y2=（t-1）（5-t）表示的是什么曲线？在讲评试卷时，如果我们只是把它化成标准形式从理论到理论，静态的探究，显然不直观.但是如果我们利用几何画板，把t值“动起来”，可以观察到当t连续变化时，此方程表示的曲线是如何动态的由“横椭圆”变“竖椭圆”逐渐变成双曲线.学生能够直观清晰的看到各种情况的演变，比起老师的讲评更有说服力，从而开阔了学生的思维.
双曲线及其标准方程范文5
明,从而为调控探索活动提供依据.下面我们从以下三方面的数学问题出发与同学们聊聊“大胆猜想,仔细论证”的话题.
一、 定点问题
例1 如图1,已知圆O的直径AB=4,圆心到定直线l的距离为4,且直线l直线AB,点P是圆O上异于A, B的任意一点,直线PA, PB分别交l于点M, N.求证:以MN为直径的圆必过定点.
解析
以O原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.
【第一步】 “特值法”猜想.
若∠PAB=30°,如图2，则M(4, 23), N(4, -23).则以MN为直径的圆的方程是(x-4)2+y2=12①.若∠PAB=45°,如图3.则M(4, 6), N(4, -2).则以MN为直径的圆的方程是(x-4)2+(y-2)2=16②.由①②得两圆的交点为(4±23, 0).从而可猜想:以MN为直径的圆必过定点(4±23, 0).
【第二步】 演绎法证明.
设直线AM方程为y=k(x+2),则M(4, 6k),直线BN方程为y=-1k(x-2), N4, -2k.则以MN为直径的圆的方程是(x-4)2+y-3k+1k2=3k+1k2,化简得6yk2-(x-4)2+y2-12k-2y=0.由题意,得6y=0，
(x-4)2+y2-12=0
2y=0，,解得x=4±23, y=0.所以以MN为直径的圆必过定点(4±23, 0).
二、 定值问题
例2 (2010年重庆高考第20题改编)已知以原点O为中心,F(5, 0)为右焦点的双曲线C的离心率e=52.
(Ⅰ) 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(Ⅱ) 如图4,已知过点M(x1, y1)的直线l1:x1x+4y1y=4与过点N(x2, y2)(其中x1≠x2)的直线l2:x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交于G， H两点,试问OGH的面积是否为定值？若是,求出该定值;若不是,说明理由.
解析
(Ⅰ) 标准方程是:x24-y2=1,渐近线方程是:x±2y=0.
(Ⅱ) 【第一步】特殊情况观察猜测OGH的面积.
首先,观察l1, l2方程的结构特征易知, M(x1, y1)、 N(x2, y2)在椭圆x2+4y2=4上.其次,设E(x0, y0),则可把直线MN:x0x+4y0y=4视为过E引直线与椭圆x2+4y2=4相切的切点弦所在的直线方程.再次,计算点E为特殊情况下OGH的面积.若选取点E为双曲线和椭圆的公共顶点(2, 0),如图5.此时可用“极限思想”把MN视为过E的椭圆的切线,易得此时G(2, -1), H(2, 1),求得OGH的面积为2.若选取ME∥x轴,此时E(22, 1),如图6.直线MN的方程是x+2y=2,与双曲线渐进线方程联立,得xH=222+2, xG=222-2.设渐近线y=12x的倾斜角为θ,求得SOGH=xH・xG・tanθ=2.由以上两种特殊情况,可猜想:OGH的面积为定值2.
【第二步】演绎法证明(如图4).
设E(x0, y0),由题得x1x0+4y1y0=4，x2x0+4y2y0=4，即直线MN的方程是x0x+4y0y=4.
由x0x+4y0y=4，
y=12x解得xH=4x0+2y0,由x0x+4y0y=4，
y=-12x解得xG=4x0-2y0.
则xH・xG=16x20-4y20=4.设直线l1的倾斜角为θ,则tanθ=12.
所以SOGH=12|OG||OH|sin2θ=12xHcosθ・xGcosθsin2θ=xH・xGtanθ=2.
该题还可作进一步的推广:设E是双曲线x2a2-y2b2=1 (a>b>0)上一点,过E向椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)做切线,切点是P， Q,过P， Q的两点的直线l交渐近线于G， H两点,则|OG|・|OH|是定值(a2+b2).(证明方法与例2类似)
此题融直线与双曲线、椭圆相交和相切问题、方程根的定义于一体,题目不难,牵涉到方方面面,是命题者的上乘作品.
三、 方程解(或曲线交点)问题
例3 在实数范围内解方程:x4+2x3-x-2=0.
解析
先用“特值法”猜想！观察易得x=1是该方程的一个解.而后用“配凑法”或“多项式的除法”进行推理认证.把方程的左边因式分解得x4+2x3-x-2=(x-1)(x3+3x2+3x+2).再次观察猜想得出x=-2是该方程的另一个解,用同样的方法进行因式分解验证得出x4+2x3-x-2=(x-1)(x+2)(x2+x+1).从而求出原方程的解为x=1或x=-2.
例4 (日本早稻田大学某年入学考试题)直线y=ax+a+12与曲线lg(4-|x-2|)lg(2y)=12恰有1个公共点,求a值的取值范围.
解析
首先对曲线方程进行等价转化.lg(4-|x-2|)lg(2y)=12
lg(4-|x-2|)=12lg(2y) (y>0且y≠12)
y=12(x-6)2， 2≤x
12(x+2)2， -2
其次在同一直角坐标系下画出直线l:y=ax+a+12与曲线C:lg(4-|x-2|)lg(2y)=12的图象,如图7.观察猜想直线l与曲线C公共点的个数后再进行推理或计算认证.
观察发现图象中有5个特殊的点,分别为A(6, 0), B5, 12, C-1, 12, D(-2, 0), E(2, 8).其中A, B, C, D不在曲线C的图象上,而点E在曲线C的图象上.
① 当a=0时,从图象易知直线l与曲线C没有公共点.
② 当a>0时,易知KDC=12,所以当a∈0, 12时,直线l与曲线C的右支恰有1公共点;当直线l过点C-1, 12, E(2, 8)时,直线l与曲线C恰有1公共点E,此时a=52.如图8.
而当直线l与曲线y=12(x+2)2(-2
但必须对以上猜想进行如下的验证:
由y=12(x+2)2, -2
y=ax+a+12消去y,化简得x2+(4-2a)x+3-2a=0.
③ 当Δ=(4-2a)2-4(3-2a)=0时,可解得a=1,此时x=-1,满足题意.
所以a>0时,满足条件的a∈0, 12∪1, 52.
当a
因为KAC=-114,由图易知当直线l过点C-1, 12和弧AB上任意一点时,即a∈-114, 0时直线l与曲线C恰有1个公共点.如图10.
事实上,直线l与弧AB相切的切点与直线AC的关系仅凭观察图象并不一定准确.为此可作这样的猜想:若切点在直线AC的下方,则a=-114满足题意,而且直线l与弧AB相切时还可能存在满足题意的a,这必须用代数运算验证后才可知.
由y=12(x-6)2, 5
y=ax+a+12消去y,化简得x2-(12+2a)x+35-2a=0.
当Δ=(12+2a)2-4(35-2a)=0时,可解得a=-7±43.
当a=-7+43时,x=6+a=-1+43∈(5, 6),满足题意.
当a=-7-43时,x=6+a=-1-43(5, 6),不合题意.
所以a
综上所述,满足条件的a值的取值范围是-114, 0∪0, 12∪1, 52, -7+43.
双曲线及其标准方程范文6
一、“活”在探究中，把知识转化为能力
数学学习是一个探究的过程。知识要“活”起来，需要精心设计探究问题，提高探究活动的质量，增强学生的探究能力。探究型问题往往可以由常规问题衍生拓展得到，如化熟为生，设置新颖陌生背景，形成情境探究型问题；增添材料，提供类似的解题方法，形成借鉴探究型问题；呈现思想，按照解题思路重新设问，形成引导探究型问题；变证明为探索，模糊原本明确的解题方向，形成开放型问题；变常数为参数，用字母替换数字系数，形成规律探究型问题，从而实现明显条件隐蔽化，直接条件间接化，具体条件抽象化，静止问题运动化，使学生的探究活动成为教师引导下的“再发现”过程。
如教学“双曲线的渐近线”。常规问题是“由双曲线方程得出渐近线方程”或者“由渐近线方程及其他条件，得出双曲线方程”，思维缺乏挑战性和探究性。变式为探究题：已知双曲线的渐近线方程为 ，增加一个条件，求出双曲线方程。这一开放型问题有较大的思维空间，增加条件的角度可以从过定点、已知实轴长、虚轴长、焦距、离心率等方面来灵活选择，在验证存在性的过程中能够加深对双曲线几何性质的理解，密切前后知识的联系。通过学生自编题目、合作探究、研讨共享，摆脱了师生习惯性思维的束缚，点燃了学生探究的欲望，使学生的再创造能力得到开发。
二、“活”在体验中，把知识转化为智慧
数学学习是一个体验的过程。数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”。知识要“活”起来，需要创设富有情趣性、挑战性的现实生活情境，增加学生的体验活动。要有效建立“抽象知识”与“形象原型”之间的本质关联，将数学知识直观、具体、形象，通过实践操作、实验探究、情境模拟等方法，缩短学生（主体）与知识（客体）之间的距离；要注重诱发学生内在的认知冲突，在新旧知识的衔接处、学生认识的模糊处、在学生思维的受挫处设置认知冲突，唤起学生丰富的想象力；要强调学生的亲身体验，解放学生的思维让他们敢想，解放学生的双手让他们会做，解放学生的嘴巴让他们能说，解放学生的时间让他们生动活泼地学习。
如教学“二面角的平面角”。准确理解二面角的平面角的概念，是实现二面角直观化的认知基础。设计折纸活动：分别将矩形、平行四边形纸片折叠，折叠的角度可以让学生自由发挥，如：沿平行于边的方向折叠，沿对角线折叠等，体验二面角的实际背景，感知二面角的度量方法，消除认为边缘线所成角即为平面角的片面认识。同时，理解平面角不能仅限于标准位置的二面角，让学生将二面角翻转、换位、变形，在运动中体验平面角的不变性，促使学生自主归纳和准确生成“平面角”的概念，享受到探索发现的乐趣，学会抽象概括事物本质的方法，形成模式识别。
三、“活”在反思中，把知识转化成观念
数学学习是一个反思的过程。数学问题的解决仅仅是学习的一部分，更重要的是解题之后的反思。知识要“活”起来，需要创设民主和谐的反思情境，增加学生的反思活动，提高学生的反思能力。“不思不悟，小思小悟，大思大悟。”教师要善于在知识发生发展的关节点处、数学思想方法的概括点处、思维的困惑点处，引导学生以问题为疑点，反思解题的探索发现过程及结论，反思问题的优化处理方法，反思错误的成因和对策，反思思维过程和思维方法是否合理，反思学习方法是否科学有效，帮助学生积累和提升问题解决的能力，完善问题解决的工具包，使知识不断地内化、活化、升华。