初中数学竞赛范例6篇

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初中数学竞赛范文1

1.构造方法

有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答

综上所述 满足条件的x的值有：x=-1，x=2，x=2.

通过上面的例子，我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，把要求解的问题转化为方程，构造一个方程进而用方程来求解。

2.构造几何图形

对于一些题目，我们可以构造所需的图形借助几何图形的性质来达到解题目的。

例3正数a，b，c，A，B，C满足a+A=b+B=c+C=K。试证：aB+bC+cA＜K2.

分析：拿到题目，我们会无从下手，题中只有一串等式，并没有其它什么附加条件，但我们再仔细地从题目条件中推敲一下，会发现题目中的字母的和相等且为一常数，也就是三个相等的量，我们能不能由此联想到一些什么呢？如果我们把这三个量放在一起来考虑，又会有怎样的结果呢？我们假设有这样的三条线段，它们的长分别为（a+A）、（b+B）、（c+C）。我们构造出一个这样的三角形（如图）PQR，其中的三边分别为（a+A）、（b+B）、（c+C）那么这与我们要求证的结果又有什么样的关系呢？

看结论中的不等式aB+bC+cA＜K2，它里面有三个因式的积aB、bC、cA它们不就是图中对应三角形的两条夹边的积吗？而K是正三角形PQR的边长，K2会不会与PQR的面积有关呢？我们是不是可以用面积的计算来试一试呢？由面积公式可以得到

因此当sinC最大等于1时，（x+y）（y+z）有最小值为2。

这样我们运用构造法，把题目中难以入手的条件化成一个简单的几何问题，用面积的方法很轻松地解决了原本看似简单却没法下手去解决的问题，解决了同学们思维受阻的困惑，大大拓展了同学样的视野，很好地培养了同学们的创新思维能力。

3.构造函数

函数内容在我们中学数学中是占有相当的比重的，学生对于函数的性质也是比较熟悉的，选择用函数来解决一些棘手的问题，在某些情况下是比较方便的。

要求方程｜x+1｜+｜x+2｜=x+3的解的个数就是要看两函数①、②图象交点的个数。画出函数图象可以看出有2个交点，即原方程有2个解。

这些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的解题过程，从而培养学生的发散思维。

4.构造(a±1)、（b±1）解竞赛题

某些竞赛题，由其本身的数量关系，直接求解较繁或较难，但通过适当变形，构造出(a±1)、（b±1）据此可使有关问题的解法简捷、明快。

例7 试确定一切有理数r。使得关于x的方程rx2+（r+2）x+3r-2=0有根且只有整数根。

分析：初看题目，我们发现要求一切有理数r似乎无从下手，而正当我们再往下看时，会发现原方程有且只有整数根，也就是说我们要求的r是要让原方程有且只有整数根。首先是要有根，由原方程我们可以直接得出：r不同时，那原方程的最高次数也可能是不同的，当r=0时，x=1这显然是符合条件的；我们重点要讨论的就是r≠0时的情况，一元二次方程有根，即=（r+2）2-4r（3r-2）≥0，且方程的根都是整数。这个条件的应用是解题的关键，我们可以设方程的整数根x1≤x2，如果我们把两根都求出来的话，这样做太累了。自然的，我们回想到用根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的表达式，再用这两者之间的关系来解题，这就方便多了。

解：分r=0和r≠0时，两种情况的讨论：

当r=0时，所给方程为2x-2=0有整数根x=1，

当r≠0时，所给方程为一元二次方程

设方程的两个整数根为x1、x2（x1≤x2）

初中数学竞赛范文2

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初中数学竞赛范文3

相等和不等是一对既对立又统一的矛盾，它们在一定条件下可以互相转化.数学中的一些相等问题，如求值、等式证明、解方程(组)等，若直接求解有困难，不妨从相等的条件中发拙不等关系，以不等为突破口，往往能使问题获得巧妙的解法.兹举例说明.

一、从二次根式中发掘不等式关系

对于含有二次根式的等式问题，首先要考虑二次根式的被开方数非负，由此建立不等关系.

例1 已知y=x2-25x-4-x2-24-5x+2，则x2+y2= .(2000年重庆市初中数学竞赛试题)

解析：本题若直接代入求解，则难以奏效，由二次根式的被开方数非负得x2-25x-4≥0且x2-24-5x≥0，由此可得x2-2=0即x2=2进而可得y=2，从而x2+y2=2+22=6.

评注：不等关系的发掘是解决本题的关键.

例2 设等式a(x-a)+a(y-a)=x-a-a-y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则3x2+xy-y2x2-xy+y2的值为 .(1991年全国初中数学竞赛试题)

解析：已知式有3个字母，关系较为复杂，x、y的关系不易求得，可由二次根式的被开方数非负建立不等关系寻求突破口.由a(x-a)≥0，

a(y-x)≥0，

x-a≥0，

a-y≥0可得a≥0，

a≤0，则a=0，代入已知式得x--y=0，则x=-y，故原式=3y2-y2-y2y2+y2+y2=13.

二、从整数中发掘不等关系

对涉及方程有整数根的问题，可利用整数的性质发掘不等关系.

例3 求方程2x+3x+1+4x+2=13360的正整数根.(1990年上海市初中数学竞赛试题)

解析：本题若直接去分母，将得到一个难解的高次方程，注意到原方程的特点，由x是正整数得1x>1x+1>1x+2，则由原方程得9x+2

例4 若a、b、c是非负整数，且29a+30b+31c=336，则a+b+c=().(2006年江苏省数学竞赛试题)

A.10 B.12 C.14 D.16

解析：已知式中a、b、c的系数逐一增大，而待求式中a、b、c的系数相等，为此考虑对已知式中a、b、c的系数进行 调整，由a、b、c是非负整数可得不等式29(a+b+c)≤29a+30b+31c≤31(a+b+c)，即29(a+b+c)≤336≤31(a+b+c).由此得112531≤a+b+c≤121829.又由a、b、c是非负整数得a+b+c=12，故选B.

例5 求所有正整数a、b、c，使得关于x的方程x2-3ax+2b=0，①

x2-3bx+2c=0，②

x2-3cx+2a=0③的所有根都是正整数.(2000年全国初中数学竞赛试题)

解析：首先考虑方程①.设它的两个正整数根分别为x1、x2，则有恒等式x2-3ax+2b=(x-x1)(x-x2).由于x1≥1且x2≥1，在上式中取x=1，得不等式1-3a+2b=(1-x1)(1-x2)≥0，即1+2b≥3a.同理由②、③可得1+2c≥3b，1+2a≥3c.三式相加得3≥a+b+c，又由a、b、c为正整数可得a=b=c=1.

三、在一元二次方程中发掘不等关系

对于方程的个数少于未知元的个数的解方程(组)问题，可考虑构造一元二次方程，由方程有实数根时其判别式≥0寻求突破.构造一元二次方程的方法有选择主元构造和由韦达定理构造两种.

例6 实数x、y满足(x2+2x+3)(3y2+2y+1)=43，则x+y= .(2001年全国初中数学联赛武汉赛区选拔赛试题)

解析：选择y为主元，设x2+2x+3=t，把原方程整理成关于y的一元二次方程3ty2+2ty+t-43=0.由y为实数得=(2t)2-4×3t(t-43)≥0，解得0≤t≤2，即0≤x2+2x+3≤2，由此可解得x=-1，代入原方程得3y2+2y+1=23，解得y=-13，所以x+y=-43.

例7 求方程组x+y=2

xy-z2=1的实数根.(1997年“祖冲之杯”初中数学竞赛试题)

转贴于

解析：由原方程组得x+y=2，xy=z2+1，则x、y为一元二次方程t2-2t+(z2+1)=0的两实根.由=(-2)2-4(z2+1)=-4z2≥0，得z2≤0，从而z=0.代入原方程得x=1，y=1.故原方程组的实数解为(1，1，0).

四、从a2、b2、2ab中发掘不等关系

由(a-b)2≥0得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.在已知等式中发掘上述不等关系，再利用不等式等号成立的条件解(证)等式问题.

例8 已知实数a、b满足a1-b2+b1-a2=1，求证a2+b2=1.(第二届“希望杯 ”数学邀请赛试题)

解析：由a1-b2、b1-a2发掘不等关系：a2+(1-b2)2≥2a1-b2，b2+(1-a2)2≥2b1-a2，两式相加并由已知式得1+1≥2(a1-b2+b1-a2)=2.上式等号成立，当且仅当a=1-b2且b=1-a2，即a2+b2=1.

例9 求方程组x+y+z=3，①

x2+y2+z2=3，②

x5+y5+z5=3③的所有实数解.(第2届美国数学奥林匹克试题)

解析：由①、②发掘不等关系：x2+1≥2x，y2+1≥2y，z2+1≥2z.三式相加并由①、②得3+3=(x2+y2+z2)+3≥2(x+y+z)=2×3，上式等号成立，当且仅当x=y=z=1.此为方程①、②的唯一一组解.它也适合方程③，故为原方程组的唯一解.

例10 解方程组4x21+4x2=y，①

4y21+4y2=z，②

4z21+4z2=x.③

(1997年陕西省数学竞赛试题)

解析：易知x≥0，y≥0，z≥0，且x=y=z=0是一组解.又4x2+1≥4x，4y2+1≥4y，4z2+1≥4z.由此及①+②+③得x+y+z=4x21+4x2+4y21+4y2+4z21+4z2≤4x2x+4y24y+4z24z=x+y+z.上式等号成立，当且仅当x=y=z=12.经检验，原方程组的解为(0，0，0)、(12，12，12).

例11 方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的实数解为 .(2006年全国高中数学联赛试题)

解析：易知x>0，原方程可化为(x+1x2005)(1+x2+x4+…+x2004)=2006，即x+x3+x5+…+x2005+1x2005+1x2003+1x2001+…+1x3+1x=2006，则2006=(x+1x)+(x3+1x3)+…+(x2005+1x2005)≥2+2+…+21003个2=2006.上式等式成立，当且仅当x=1x，x3=1x3，…x2005=1x2005，即x=1.

五、从函数中发掘不等关系

对于几个结构相同的式子或等式，可考虑构造函数，利用函数的单调性发掘不等关系，寻求突破.

如上述例10，可以用此法求解.

解析：易知x≥0，y≥0，z≥0，且x=y=z=0是一组解.由三个方程左边的结构相同构造函数f(t)=4t21+4t2，即f(t)=41t2+4，则原方程组为f(x)=y，

f(y)=z，

初中数学竞赛范文4

【关键词】 初中数学；课学教学；学习兴趣；数学游戏；数学竞赛；多媒体教学

新课程标准要求在初中数学课堂教学过程中，应根据初中学生的低龄化特征，灵活而创造性地利用教材，使教学活动更加丰富多彩，以有效激发学生的学习兴趣，进一步提高课堂教学效率。

一、巧妙设计数学游戏激发学生的数学兴趣

游戏活动，是每一个人都喜闻乐见的。因此，教师在初中数学课堂教学过程中，可以结合中学生的认知特点，精心地设计一些生动活泼的数学游戏，使学习过程成为愉快的体验过程，从而在活跃课堂气氛的同时，激发学生的数学兴趣，使学生全神贯注地投入到教学学习中来。比如，教师在带领学生学习《区分必然事件、不可能事件、不确定事件》这一章节内容时，可以为学生设计“转盘”游戏，鼓励学生参与“转盘”的操作，让学生在“转盘”游戏的过程中，亲身体验到“不确定事件发生的可能性是有大小的”这一特性。也可以组织学生进行“蒙眼摸人”的课堂游戏，把一个同学蒙上眼睛，让一圈同学围绕他（她），要求他（她）在没有任何提示的情形下，“摸”到他（她）的同学（这是“必然事件”）、“摸”到他们的教师（教师站在圈外，所以这是“不可能事件”）、“摸”到他（她）的同桌或者同一个小组的成员（这是“不确定事件”），让同学们在游戏过程中区分什么是“必然事件”、什么是“不可能事件”、什么是“不确定事件”，及其各自特性等，从而使同学们在游戏过程中，学习和理解了数学知识。教师精心设计数学小游戏，为同学们提供全员参与的机会，使学生对于数学课堂产生浓厚的兴趣，起到了寓教于乐的效果。

二、开展数学竞赛活动激发学生的数学兴趣

初中学生是活泼好动和争强好胜的，鉴于此，教师在初中数学课堂教学过程中，可以将竞赛活动巧妙地嵌入到课堂学习过程中，以唤起学生饱满的学习热情，提升课堂教学效率。比如，教师在带领学生开展《有趣的七巧板》实践活动时，可以这样开展教学活动。首先，教师利用多媒体为学生播放一些拼图的过程与画面，引发学生的参与热情：“同学们，你们看他们的拼图好不好看？……这是鱼，这是人，这是帆船……其实，这些图案是由这七块图形拼成的，这是一副七巧板，又称智慧板，是老祖宗传下来的锻炼智力的古老的玩具之一，它可是我国祖先的一项卓越的发明创造，闻名于全世界，它在国外被称为‘唐图’，意思是‘中国图’，而不是指它是唐朝发明的意思哦（教师带着故作夸张的表情说出这段话，可以有效地活跃课堂气氛。）。清代有位名叫陆以湉的名人曾对于七巧板作过这样的描述，‘……有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为。’（这段话可以在课前做好课件，一边说课，一边通过多媒体直观地呈现在学生眼前。）同学们，这七巧板可以随手拼出千余图案，你们想不想尝试一下？现在，老师把同学们分成6个小组进行比赛，看哪个小组拼得最多最好……”然后，教师要求学生依次用两块板、三块板、四块板、五块板、六块板、七块板循序渐进地进行拼图比赛，并对于比赛结果认真的给予统计和公布，以提升学生的竞争意识。为了促进同学们的互相交流，教师可以鼓励同学们把他们的各自拼法展示出来，让全班同学们进行观察和比较，引导同学们自我欣赏和互相欣赏，使各个竞赛小组之间能够互通有无，取长补短，从而达到合作学习、互相补充、共同进步的目的。当小组竞赛进行到用四块以上的板块拼图时，这对于想象力比较弱的部分学生增加了难度，教师为了促进全班同学的全员参加，可以对这一部分同学降低难度，提醒他们可以模仿书上的图形进行拼图，而对于想象力丰富的学生，则可以充发激发他们的创造热情，鼓励他们大胆设想，引导他们创造性地拼出“前所未有的图案”。教师通过组织数学竞赛，在课堂上形成积极向上的学习氛围，在激发学生数学兴趣的同时，培养了学生的合作意识，提高了学生的综合能力。

三、利用多媒体教学辅助设备激发学生的数学兴趣

初中数学竞赛范文5

在初中阶段解一些代数应用题时，由于题意中的等量关系较为隐晦，若直接设置一个未知数，等量关系不是十分明晰，解题就会陷入困境，这时如果再设一些未知数，那么根据题意较易列出方程（组），再通过消元转化，使问题顺利获解，而增设的未知量可以不求，就可达到以简驭繁的解题效果.这种方法俗称“设而不求”.将“设而不求”解题思想迁移到求解（求证）几何问题，当某些几何题碰到无从下手时，类比地增设图中的某些角度或线段，用它们作为桥梁，建立方程（或函数）模型，把几何推理演变成代数变形，使问题求解变得容易.由此揭示以数助形、以简驭难的解题妙境，体现数形结合万般好的解题王道.本文通过具体实例介绍“设而不求”思想在平面几何解题中的若干应用，与大家分享.

1解决有关角度问题

评注这两题都涉及三角形的内切圆，自然联想到与内切圆相关的面积公式，用等积法建立方程，由于方程中涉及多个变量，因此先假设题意中没有涉及的变量，通过代数变形，把问题转化为求最值的常用方法：配方法及构造一元二次方程来解决.上述两题看似山穷水尽疑无路，通过“设而不求”，最终实现“柳暗花明又一村”的解题妙境.

作者简介陈明儒，男，浙江舟山人，中学高级教师，宁波市学科骨干.专注于课堂教学研究，曾获市教坛新秀一等奖，省优质课二等奖，有多节课例在全国、省、市被展示或观摩，均获好评.尤其擅长优等生的培养，有近百人在全国初中数学竞赛中获一、二、三等奖，并多次获浙江省初中数学竞赛优秀指导教师称号.近年来有20多篇教研文章在省级及以上刊物（或核心刊物）上发表.

初中数学竞赛范文6

【关键词】初中 学生 学好数学

学生是学习的主体，而教师则是学生在学习道路上的指引者，教师的作用就是帮助学生制定合适的学习目标并使之趋于完善。分层教学不仅可以实现因材施教的目标，而且可以提高学生学习数学的自信心，有利于学生发散思维的培养，更重要的是可以使各个层次学生的水平得到提高，这符合新课标的要求。

一、提高学生学习兴趣

兴趣是最好的老师。只有当学生对数学产生了极大兴趣的时候，教师所传授的知识才能够很快被学生吸收。虽然我国素质教育已经开展多年了，但是许多教师在讲课的时候还是很难进行启发式教学，往往将本来应该是十分生动的内容，以“填鸭式、满堂灌”的方式讲述。因此，教师一定要注意激发学生的学习兴趣，在讲授知识时多考虑一下自己讲授的知识以及教授的方法能否引发学生的兴趣。

教学目标具有激励、导向、评价作用，对教师的教学和学生的学习都具有十分重要的作用。教师在设置数学教学目标的时候，要注意将知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观紧密结合起来。数学教学不仅要注意问题的解决，也要关注学生的思维过程。教师要成为学生学习的指导者和促进者，不仅要注重学习的结果，更要注重学生学习的过程。四、教师要合理运用教学方法教学方法的设计应该遵循多样性、灵活性、综合性、创新性的原则。在选择教学方法时，教师应该依据教学规律和教学原则。

二、创设数学情境

初中数学教学情境的创设应当遵循生动性的原则。用直观形象的情景设置来诠释理论性较强的数学原理，从不同的感觉渠道向学生大脑传输数学信息，有利于学生对数学结论的理解和掌握；第二，实践性原则。初中数学教学情境的创设应当遵循实践性的原则。初中学生的大部分时间是放在生活上的，对教学情境的创设应当结合生活中学生经常接触到的知识或者将数学故事的讲述落脚在学生实际问题的解决上，让学生学会用用掌握的数学知识去处理实际问题；第三，悬念性原则。初中数学教学情境的创设应当遵循悬念性的原则。情境创设的目的是激发学生对数学问题的兴趣，让他们产生求知的欲望。所以，情境的创设就离不开学生的兴趣，悬念性比较强的情境才可以让学生身心投入到数学问题的学习和探究之中。

数学故事和数学典故在教学情境的创设中具有独特的作用，尤其是用熟知人物，但不知晓人物具体事迹的数学故事、典故，更能起到激发学生学习兴致，保持学生对数学学习热情的积极作用。例如，讲述勾股定理时，可以引用古典数学巨著《九章算术》的知识，让学生体会到数学知识的博大精深。初中学生认知中最熟悉的部分就是生活中经常接触和用到的知识，甚至有些知识已经在他们头脑中产生根深蒂固的影响。所以，在进行教学情境创设中，结合学生的生活实际，更容易引起学生情感的共鸣，更有利于数学知识的教授。新课标要求进行互动性强的教学，在初中数学的教学情境创设，要求老师转变自身高高在上的思想观念，与学生建立人格平等的关系，老师要与学生一起进行数学理论的学习和探讨，要从学生认知状况和生活实际进行考虑，更多的让学生发挥在教学中的主体作用，实现师生的良性互动。

三、实施分层教学

一组的学生属于具有主观能动性的学生，教师的作用主要是引导，扩展一组学生的思维；二组的学生属于需要教师点拨的类型，教师应该在课堂中多提问他们，与他们进行互动，逐渐提高他们的数学兴趣与能力，争取向一组靠拢；三组的学生属于依赖同学及教师型。教师可以在课下多提醒他们完成相应的作业或让一二组的学生帮助他们，使他们理解教学内容即可。根据学生的分层情况，教师应该对不同层次学生的课后作业实行差异化要求。对于一组的学生，教师应该严格要求，使其在完成课本习题、做配套的参考书练习之外，总结解题方法并将同类型的题整理到一个专用笔记本上，以有助于他们进行深入学习。在此基础上，教师应该有针对性地要求他们做有关数学竞赛方面的习题，提高其创新能力，扩展其思维方式。对于二组的学生，教师就没必要要求其做数学竞赛习题，而应鼓励他们对知识进行总结并思考，争取进入到一组。对于三组的学生，完成课本习题，理解教师讲授的教学内容即可，从而不断树立他们学好数学的信心。

四、寓教于乐

素质教育要求师生之间是一种民主平等的关系，师生双方在教学内容上是传递与接受的关系；在人格上是平等关系；在社会道德上是相互促进的关系。教师在日常教学过程中一定要充分发扬民主，建立和谐的师生关系。比如，在数学课堂上，有学生认为教师有的地方讲的不对，然后在全班同学面前给教师提了出来。在这种情况下，教师应该大度宽容，首先应该表扬学生积极思考问题，其次，仔细考虑自己是否真的出错了。最后，如果有错要及时改正。在初中数学教学过程中，教师应该充分调动学生的积极性和主动性，形成互动、互惠的师生关系。

在平时的学习中，教师要采取寓教于乐的教学方式，在教学中适当地加入相对应的数学游戏，让学生劳逸结合，实现既在娱乐中学习，又在学习中娱乐的教学和学习效果。