前言：中文期刊网精心挑选了最大的负整数范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
最大的负整数范文1
【关键词】丙泊酚―咪达唑仑―芬太尼复合麻醉咪达唑仑―氯胺酮―芬太尼复合麻醉应用比较
【中图分类号】S605+.1 【文献标识码】A 【文章编号】1004-7484(2010)01-00-02
Comparing The Application Of PropofolMidazolamFentanyl and Midazolam -KetamineFentanyl Anethesia In Surgical Operation Of Plastic
【Abstract】Objective To compare the application of PropofolMidazolamFentanyl and Midazolam -KetamineFentanyl anethesia in surgical operation of plastic.To make patients throughout the days of surgical operation in safety with the perfect union of medicines,that make the surgical operation become perfectly. MethodIt take two methods for two group of patients to anethsia and to observe all physical signs,time of induced and wake up,suppression ratio of breathe and effection of anethsia. Results With PropofolMidazolamFentanyl,the anethsia have a steadymaintain time and have a short of time of induced and wake up.In operation,it have little time to appear loathe and vomit and actionine of pantomime and suppression ratio of breathe.It have a perfective anethsia effection.ConclusionsWith PropofolMidazolamFentanyl,the anethsia not only to increase the anethsia effection of Propofol,but also to decrease the dose and side effect of Propofol and the time of induced and wake up and the suppression ratio of breathe.So it is a safety and feasible method of anethsia in surgical operation of plastic.
【Key words】PropofolMidazolamFentanyl Anethesia, Midazolam -KetamineFentanyl Anethesia ,Comparing the application。
随着人民物质文化生活需求的不断提高,对美的向往也愈来愈强烈。以往对于整形美容手术极少采用麻醉处理,因此患者为了美要付出痛苦的代价。本文探讨利用丙泊酚起效快实效短、苏醒迅速的特点,和咪达唑仑的镇静、抗焦虑的特点,以及芬太尼的强镇痛特点复合用于假体植入隆胸术、下垂悬吊术、吸脂减肥术等整形美容手术的临床观察。
1 资料与方法
1.1 一般资料
本文包括22例假体植入隆胸术、下垂悬吊术、吸脂减肥术等整形美容手术病人。均为女性,年龄22――58岁(45岁以上4例,占18%),体重45――75kg(平均55kg),ASA 1――2级,术前血常规、心电图、胸透均正常,心肺功能基本正常,无肝肾脏器疾病,无药物过敏史。
1.2 麻醉方法
术前常规禁食禁水,麻醉前用安定10mg、东莨菪碱0.3mg于术前30min肌注。入室后开放静脉通路,面罩吸氧,监测各项生命体征:血压、心率、呼吸频率、血氧饱和度等。
22例病人随机分为两组:观察组(A组、11人)和对照组(B组、11人)
A组:麻醉诱导用咪达唑仑0.05-0.075mg/kg静注,丙泊酚2-2.5mg/kg静推(约15秒注射完毕);麻醉维持用丙泊酚4-12mg/kg.h的速率经微量泵持续输注,术中根据麻醉深度适时间断追加芬太尼1-2ug/kg/次。
B组:麻醉诱导用咪达唑仑0.05-0.075mg/kg静注,氯胺酮1-2mg/kg静注;麻醉维持每次用氯胺酮诱导量的1/2或全量适时间断追加,术中辅以芬太尼1-2ug/kg/次镇痛。
1.3 观察项目
手术全过程保持患者自主呼吸,如有呼吸变浅或呼吸暂停,可提下颌面罩加压给氧,严重者可放置口咽通气道。
观察:
1)HR、SBP、DBP、SPO2,记录诱导前、诱导后、术毕、苏醒后的数值;
2)记录用药量(从诱导开始到手术结束的药量);
3)诱导时间(从诱导开始至意识消失的时间);
4)苏醒时间(从术毕到呼之能应的时间);
5)呼吸抑制率(记录术中SPO2低于90%或呼吸暂停的例数);
6)麻醉效果分级:优(安静入睡,对手术刺激无反映,手术期间无肢体活动);良(入睡,手术刺激有不影响手术操作的肢体活动);差(手术期肢体乱动,手术无法进行)。
1.4 统计学处理
计量资料用X±S表示,以t检验进行统计分析,P
2 结果
(1)22例平均手术时间60±10min,两组病情分级、年龄、体重、手术方法、操作过程均无差异。(P>0.05)
(2)A组HR、SBP、DBP、SPO2在诱导后2min有明显下降(P
(3)B组氯胺酮的心血管兴奋作用明显,诱导后2minHR、SBP、DBP明显增加(P
3 讨论
(1)理想的麻醉方法是舒适、无痛、安全、不良反映少、机体干扰小。本文两组静脉复合麻醉方法都能在短时间内达到较好的麻醉效果,但各有优缺点。
(2)氯胺酮为苯环己哌啶的衍生物,是非麻醉性镇痛药类的静脉全麻药。静脉注射1%溶液1-2mg/kg后30秒-2min(平均1min)发挥作用,起效较异丙酚慢。氯胺酮的镇痛作用强,但麻醉后HR、SBP、DBP可明显增加,系氯胺酮促进交感神经末稍释放儿茶酚胺的结果[1]。且麻醉中肌张力增高,苏醒期延长,苏醒后定向力较差,术后常需30min左右才能离开手术室,这与氯胺酮在体内的消除和半衰期相对较长有关。有报道,小剂量氯胺酮静脉注射很少或完全不发生呼吸抑制[2],本文B组利用咪达唑仑的镇静抗焦虑作用及芬太尼的镇痛作用与氯胺酮合用,不但增强了氯胺酮的麻醉效果,而且减少了氯胺酮的用量,降低了氯胺酮引起的呼吸抑制发生率,但同时也延长了苏醒时间。且氯胺酮的缺点是精神副作用较多,故临床应用有一定顾虑。
(3)丙泊酚是一种起效迅速,作用时间短,恢复迅速、平稳和彻底,不良反映少的新型短效静脉全麻药。静注丙泊酚2mg/kg,入睡效果较好,但镇痛效果不确切,剂量难以掌握,个体差异较大,且有明显剂量依赖性[3]。此外,丙泊酚静脉注射可引起心率减慢,血压下降,以收缩压下降明显,对呼吸也有一定的抑制作用,甚至呼吸短暂暂停,发生率12%[4],这与丙泊酚用量较大以及外周血管阻力减少有直接关系。以往研究认为:麻醉性镇痛药芬太尼具有镇痛效果好,保持心血管功能稳定,减少全麻药用量的优点[5]。而咪唑安定的最大优点是其水溶性及镇静遗忘作用强,是消除病人术中知晓的理想药物。本文A组利用芬太尼、咪达唑仑与丙泊酚合用,不但增强了丙泊酚的麻醉效果,而且减少了丙泊酚用量,缩短了诱导及苏醒时间,达到满意的肌肉松驰度,也减少丙泊酚的各种副作用,同时并不增加呼吸抑制的发生率。因此,本文认为丙泊酚―咪达唑仑―芬太尼复合麻醉用于整形美容手术是一种安全可行的麻醉方法。
参考文献
[1]刘俊杰,赵俊,主编.现代麻醉学.第一版.北京:人民卫生出版社 1987,178.
[2]杨惠芬,李仲廉.分次小剂量氯胺酮静脉给药剖腹产中血氧饱和度监测.中华麻醉学杂志,1993,3:226.
[3]佘守章,刘继云,许立新,等.静脉注射不同剂量异丙酚对血流动力学及通气功能的影响.中华麻醉学杂志,1995,1:7.
[4]Wells JKG. Comparison of 1cl 35868,etomidate and Methohexitone for day-case anaesthesia. Br J Anaesth 1985,57:732.
最大的负整数范文2
1、100以内,最大偶数是98,最大奇数是99,最大的合数是99,最大的质数是97。
2、10以内，最大偶数是8，最大基数是9，最大合数是9，最大质数是7。
3、偶数是能够被2所整除的整数。正偶数也称双数。若某数是2的倍数，它就是偶数，可表示为2n；若非，它就是奇数，可表示为2n+1（n为整数），即奇数除以二的余数是一。
4、奇数（odd）指不能被2整除的整数，数学表达形式为：2k+1，奇数可以分为正奇数和负奇数。
（来源：文章屋网 ）
最大的负整数范文3
数学建模的过程,就是学生能体验从实际情景中发展数学的过程。因此,数学教学应重视引导学生动手实践、自主探索与合作交流,通过各种活动将新旧知识联系起来,思考现实中的数量关系和空间形式,由此发展他们对数学的理解。
一、 利用几何图形及性质建模
例:已知河流的一侧有赵庄和李庄两个村,现要在河边建一个自来水厂,如何选址,可使到两个村庄的管道总长最短。
分析:该题其实可建立数学模型为:直线l的一侧有A、B两点,请在l上找一点C,使得AC+BC最小,可运用轴对称的性质解决。
解:作出点A关于直线l的对称点A1,连接A1B与直线l交于点C,则点C就是所要选定的厂址。
解决该类题必须把握题的关键,分析图形的特征,联系所学与之相关联的知识,找出异同点,解决完数学问题后必须再回到实际问题中去。
二、 代数方法建模
例:某校九年级的一场篮球比赛中,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面
209 m,与篮筐中心的水平距离为7 m,当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m,设篮球运行轨迹为抛物线,篮筐距地面3 m。
(1) 试判断此球能否投中;
(2) 若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大拦截高度为3.1 m,那么他能否获得成功。
分析:该题其实可以建立篮球运行时离地高度与运行水平距离的函数关系,利用二次函数知识解决。
解:建立如图平面直角坐标系
(1) 可根据题意求出函数解析式为y=-
19(x-4)2+4
当x=7时得y=3,因此,此球可以投中
(2) 当x=1时得y=3
用代数方法建模解决实际问题是很常见也是很实用的,通常用到的知识是方程、概率、函数,只要对实际问题分析透彻,把握住题目的要点,灵活运用代数方法,一定可以获得成功。
三、 数形结合建模方法
例:某工厂可以生产甲、乙两套产品,已知生产全套甲产品需耗煤1吨,耗电200千瓦;生产全套乙种产品需耗煤1吨,耗电100千瓦。甲产品每套产值为3千元,乙产品每套2.6千元,工厂每月可用煤60吨,可用电1万千瓦。问甲乙两套产品各安排生产多少套才能使工厂的月产值最大?
分析:我们首先要“建模”,即把这个实际问题转化为数学问题,把题设的数量及其相互关系用数学式子表示出来,并对这个问题作出数学上的解释,然后,我们再运用数学知识和方法解决问题,最后又返回到实际中去,即可得到实际问题的解答。
解:设计划安排生产甲、乙产品分别为x、y套,根据已知条件显然用煤和用电都不能超过规定的指标,所以有
x+y≤60
2x+y≤100
x、y是非负整数
我们的问题为:在满足上列条件的x、y中,求使月产值S=3x+2.6y最大的x、y及相应的S值。至此,生产实际问题已转化为数学问题,在平面直角坐标系中分别作出直线:
x+y=60和2x+y=100
根据不等式组的几何意义,整个问题的实质就是在以上两条线的下方,在第一象限及包括其边界区域上找出使s取最大值的点所表示的解,并求出s的最大值解方程组
x+y=60
2x+y=100得
x=40
y=20
于是可得到以下两个区域:
(1) x+y≤60
0≤x≤40
x≥0且x、y是非负整数
(2) 2x+y≤100
40≤x≤50
x≥0且x、y是非负整数
我们要在区域(1)和(2)上选点,使s=3x+2.6y取得最大值。
因为s=3x+2.6y可变形为y=
s-3x2.6
,代入x+y≤60得
26x+s-3x≤60×2.6
s≤0.4x+60×2.6
当x=40时,s最大 =0.4×40+60×2.6=172(千元)
最大的负整数范文4
一、有理数混合运算的教学难点
1. 概念的理解。有理数的概念说起来比较简单，“整数和分数统称为有理数”，但是它的运用就比较麻烦了，因为初中数学教学还要涉及“无理数”的概念、“实数”的概念、“有限循环小数”的概念和“无限循环小数”的概念、“无限不循环小数”的概念，等等多个数学概念，这些概念统统是难点，极容易造成混淆。
2. 运算中正负号的掌握。有理数混合运算的重中之重就是运算中正负号的掌握情况。不论是整数还是分数在加减乘除乘方和开方的综合运算中都要考虑正负号的问题，一个符号错了，便会直接导致整道题运算结果失误。
二、针对教学难点的教学方法研究
（一）有助于理解概念的教学方法
1. 利用生活中常见的实例来引入概念，并加以分析促进理解。数学是一门应用科学，数学概念的产生必然有其应用基础。上小学时用水果、蔬菜、小动物来学习数字，用切蛋糕来学习分数，初中数学可以用同样的方法学习。比如说，用有规律的球来演示无限循环小数……
2. 用分析和对比的方法强化对概念的理解。分析和对比相辅相成，可以用对比的方法来分析，也可以分析之后再对比。有理数概念中最难理解的就是有限小数、无限循环小数这些概念，尤其是无限不循环小数（无理数）的概念常常被用作易混淆概念出现在有理数的考察题目中，这就要求教学过程中一定强调分析和对比，剔除易混淆概念。
3. 利用分组合作学习的方式巩固知识结构，检验学习成果。分组合作学习是个不错的学习方法，它的优越性已被许多教育工作者论证过。利用分组合作学习，加大重复力度，拓展学习的时间和空间也有助于更好地理解概念，巩固知识。
（二）牢固掌握运算中正负号的方法
1. 利用丰富多彩的教学情境提高学习兴趣。如可以设置买东西的情境，某同学有五十元钱，另一个同学这个月的钱花光了，借了二十元，那么一个同学手里的钱是正数，另一个同学手里的钱就是负数，两个同学合到一起就只有三十元钱了，这个过程就可以体现出正整数和负整数相加的运算法则。同样是这两个同学，甲同学有五十元钱，乙同学向甲同学借了二十元钱，那么甲同学比乙同学多多少钱？乙同学比甲同学少多少钱？这样的问法就可以使学生形象地理解正整数和负整数相减的计算法则了。同理我们可以设置许多学生熟悉的场景，帮他们理解有理数运算的法则和意义。这样的情境设置，更有利于学生接受有理数混合运算的知识。
2. 利用划归与转化的学习方法巩固学习成果。划归与转化的方法是把复杂的问题转化成简单的问题的思考的方式。如把43可以D化为42×4，这样每个人都会算了，同理4的10次方看起来麻烦，但是把它转化成42×42×42×42×42就简单多了。划归与转化的方式多种多样，这需要不断地探索和归纳。划归与转化的方式可以有效地简化有理数混合运算的难度，降低学习难度。
最大的负整数范文5
【关键词】分数单位；最大的分数单位是12；分数单位的个数；小数单位；最大的小数单位是0。5；小数单位的个数；相对整性质；为什么1+1=2
1。序 言
为什么1+1=2，欲想回答如此数学矛盾，初等数学需要引进新概念、定义，譬如小数单位、最大的小数单位是0。5、小数单位的个数、相对整性质，等等新概念，如此新的数学概念、定义与内涵既简单又深奥，如果不引进一些数学新概念,如果不去辩证认识，如果不去辩证理解，无论如何那还是无法理解接受数学理论为什么1+1=2，这就是数学矛盾为什么1+1=2的焦点和难点与阻力点，同时亦明确指出为什么1+1=2绝对不是质疑算术公理1+1=2的正确性、而是科学回答算术公理1+1=2蕴含着的基本原理与哲理，希望数学教师率先转变传统的数学思维观念，正视数学真理。
2重温分数概念与定义
稍有数学知识的人们都晓得分数、份数（分数单位的个数）、分数单位，关于什么是分数、什么是分数单位、什么是份数、什么是小数计数单位，不妨重温分数概念，把一个单位“1”分成若干等份，表示这样一份或几份的数称为分数，如12，15，26，73，分数的一般形式为mn(m，n为正整数)，n是把一个单位“1”平均分成的份数，称为这个分数的“分母”，1n是表示其中一份的数，称为“分数单位”，m表示其份数，即m个分数单位，称为这一分数的“分子”，中间的横线（本文中是斜线）称为“分数线”，分母n规定不能为零。当上述m为负数时mn为负分数，正分数与负分数统称为分数。分数单位1n，当n=1，2，3，4，5，6，7，8，9,10……则12，13，14，15，16，17，18，19，110……，分别是分数单位，当n=1时，1n=11=1是特殊情况，属于整数分数，应另当别论。很显然，最大的分数单位是12。
3重温小数计数单位的概念与定义
小数计数单位是指小数计数方法中，小数点右边十分位、百分位、千分位……上的最具代表性的小数单位，分别为：0。1110，0。011100，0。00111000……最大的小数计数单位是0。1，初等数学只引入小数计数单位这对于理性认识还是远远不够的，这是因为小数单位概念涵盖着小数计数单位的含义与意义，而且最大的小数计数单位是0。1并非0。5，小数单位概念的意义更深刻、更广泛，涵盖着小数计数单位，并且小数的绝对值仅仅是小数内涵的一部分内容，因此说，如果不引进小数单位、小数单位的个数、最大的小数单位是0。5、相对整性质，等等一些新概念，就不可能正确地回答数学真理为什么1+1=2，敬请数学教师斟酌、定夺！
4什么是小数单位
如果将分数单位12，13，14，15，16，17，18，19，110……分别转化为小数表达形式：0。5，0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。1?，0。1……如果将小数0。5，0。 3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。1?，0。1……界定为小数单位，那么就可以将小数0。5，0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。142857?，0。125，0。 1?，0。1……统称为小数单位，这是一个极其重要重大的不可缺少的认识，分数与小数互相对应，小数单位的个数与分数单位的个数互相对应，小数单位与分数单位互相对应，小数单位、分数单位是一个相对整体。
5最大的小数单位是0。5
因为12是最大的分数单位，那么0。5就是最大的小数单位，而且小数单位与分数单位相互对应、彼此相当，因此，初等数学教科书公认12是最大的分数单位，那么初等数学教科书也需要而且务必公认0。5是最大的小数单位，分数与小数互相对应、份数（分数单位的个数）与小数单位的个数互相对应、最大的分数单位12与最大的小数单位0。5互相对应，务必互相联系地看问题，当然无理数例外，因此，引进小数单位、最大的小数单位是0。5、相对整性质是正确的、切合实际的！需要人们转变数学思维观念，辩证认识，辩证理解，正确看待。
6什么是相对整性质
相对整性质：其他小数的绝对值对比小数0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的绝对值更零散，换言之，小数0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的绝对值对比其他小数的绝对值相对整装，在数值逻辑公理系统中，将这一相比较而言得到的相对整装性质统称为小数0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的相对整性质，为什么小数0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的绝对值会拥有相对整性质，因为它们的小数单位都是最大的小数单位0。5，最大的小数单位0。5决定着小数0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的绝对值拥有相对整性质，因此，唯独小数0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5，……的绝对值拥有相对整性质，一次全部确定下来，无须逐一验证，这是规律，其他小数不具备相对整性质，因为其他小数的小数单位0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。 1?，0。1……均小于最大的小数单位0。5，一次全部排除，无须逐一验证，这是规律，相对整性质是算术公理的“弯弯绕”，需要运用辩证逻辑辩证分析，辩证理解，正确看待，再次强调说明，千万莫误解，并非所有的小数都具有相对整性质，更不是小数的绝对值越大才具有相对整性质，只有小数0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的绝对值拥有相对整性质，否则就是对相对整性质的误读，误解。
7。为什么1+1=2
偶数能被2在抽象意义下自然整除，奇数不能被2在抽象意义下自然整除，奇数（包括素数）却能被2在抽象意义下相对整除，因为小数0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的绝对值拥有相对整性质，为奇数能被2相对整除提供科学的理论依据（亦可以理解成为奇数能被2哲理整除提供科学的理论根据），1+1=2或者说2是数学首要公理；偶数能被2在抽象意义下自然整除，奇数不能被2在抽象意义下自然整除、奇数却着实能被2在抽象意义下相对整除，传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数二者的排斥性、对立性、差异性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除、奇数却能被2在抽象意义下相对整除是指奇数和偶数的异中之同、差异中的共性与同一性，二者与哲学的对立统一规律相吻合，有比较有鉴别方知奇数与偶数存在着“差异性”“差异中的共性与同一性”，因此说，奇数与偶数相反相成对立统一，蕴含着哲学的对立统一规律，哥德巴赫猜想——数论的“1+1”是数值逻辑公理系统中偶环节上的算术公理拥有客观存在性，以上所谈就是算术公理1+1=2蕴含着的基本原理与哲理，哲学（自然辩证法）以对立统一规律为切入点注入数学基础、注入初等数学，为算术公理为什么1+1=2、初等数学的基础理论指明了正确的前进方向！务必要突破传统数学观念的严重束缚！
【参考文献】
最大的负整数范文6
一、借助直观，让学生经历从“数学描述”到“合理定义”的概念形成过程
在整个小学阶段，由于数学概念抽象性与学生思维形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实例或已有知识经验出发，尽可能通过直观具体的形象帮助学生认识概念的本质属性。因此，在教学中借助几何直观能帮助学生更好地理解、掌握数学概念。
例如，“因数和倍数”一课的教学，人教版教材提供了2行飞机、每行6架的直观图，北师大版提供了学生所熟悉的购买水果情境，苏教版、现代小学数学、新思维数学都采用了小方块摆长方形的直观图。显然，各版本教材都在明确告诉教师，因数和倍数概念的建立需要借助直观图形。可因数、倍数概念本身似乎与形结合得并不紧密，因此，直观摆图后告知学生概念和直接告知学生概念有什么区别呢？直观图无非引出整数相乘的乘式，而五年级的学生完全具备直接从乘式发现整除特性的能力，直接告知概念有何不可？
基于这样的困惑，笔者实施了不同的概念引入环节。
【设计一】
1.出示三个数5、7、10，你觉得哪两个数中存在倍数关系？
2.为什么认为10和5之间存在倍数关系？你是怎么想的？
3.看来同学们认定的倍数关系指的是两个整数成整数倍关系。我们以前认识的“倍”可以是小数倍也可以是整数倍。“倍”和“整数倍”，谁的范围更大？
4.我们今天研究的就是这种范围小小的“整数倍”关系——因数和倍数关系。我们可以说，10是5的倍数，5是10的因数。
5.加一个数“30”变成四个数：5、7、10、30。现在谁是谁的因数，谁是谁的倍数？
6.看来乘法式子中可以找到这种关系。你能从哪个式子里发现因数倍数关系？
12÷2=6 3×4=12 12÷5=2.4
【设计二】
1.12个正方形拼摆长方形，能不能用一个简单的乘式表达？
2.猜猜看，他想的是每排摆几个，摆几排？还有吗？能摆5排吗？
3.我们只研究整个图形的拼摆，也就是说这节课只研究整数之间的关系。在这样简单的整数之间、图形之中蕴含着一种我们到现在都没学过的关系。以2×6=12为例，因为2×6=12，所以2是12的因数，那么6也是（12的因数）。反过来，12是2的倍数，12也是（6的倍数）。这两个式子蕴涵的因数和倍数关系，请你和同桌说一说。
4.你发现12有几个因数？刚才用12个小正方形摆出了几种长方形？得到了几个乘式？试试2，想象出2个小正方形摆成怎样的长方形了吗？你想到的式子是哪个？它的因数有哪些？1呢？它有几个因数？0呢？0个正方形去摆放没有意义，数学家也觉得没什么意义，就把0划出了因数和倍数的研究范围（不包括0）。
【思考】
设计一中，直接给予一个乘式引出因数和倍数的概念，而且硬性规定因数和倍数只研究整数且不包括0，学生对概念的感知是浅层的，仅停留在记忆层面。而设计二多了形的支撑，比如学生看到3，脑海中能出现3个小正方形摆成长方形，发现只有一种摆法，它的两个因数是1和3。学生还形象地理解了1为什么只有1个因数，研究因数和倍数为什么不包括0。直观表象有助于概念形成，学生印象深刻。
借助直观，就能将学生形成数学概念的过程变为在问题情境中尝试、操作、思考、分析的过程，学生就能经历从“数学描述”到“合理定义”的概念形成过程，从单纯地用数学语言描述一个概念到较为完整地定义一个概念，学生对概念的认识初步到位。
二、依托反例，让学生经历从“认知混乱”到“清晰界定”的概念同化（顺应）过程
很多数学概念都是前后相连的，概念之间往往还会互相干扰，形成负迁移。比如“因数和倍数”的教学，此“因数”非四则运算中的因数，此“倍数”又不同于学生在二年级时就已经认识的“倍”。笔者在借鉴他人实验的基础上进行课前测试。
1.试着选择有因数和倍数关系的式子：
（1）12÷0.4=30（66.67%）
（2）28÷7=4（76.92%）
（3）32÷5=6……2（10.26%）
（4）1.8÷0.9=2（69.23%）
（5）0.5×24=12（35.90%）
以上题目全做对的有15.38%。
2.你听说过“因数”和“倍数”吗？请试着举例。
学生中比较典型的回答有：30÷5=6，5是倍数，倍数就是除法中的商。4×6=24，4和6都是因数。45是9的倍数，3.5是0.5的倍数。
可以发现，学生对因数和倍数的名称并不陌生，而且受到了前认知的干扰。那么如何弱化这种干扰？于是，笔者又尝试了不同的教学。
【设计一】
采用规避法。在因数和倍数概念的教学中不出现如0.5×24=12这样的题目，不让学生辨析，避免新知接触，造成混乱。于是，课堂教学一路顺风，学生没遇到什么问题，也能在练习环节完成多层次的常规习题。
【设计二】以例规例，在错误辨析中深化概念。
师：看来，同学们对因数和倍数关系已经有了一定的认识，那我们来判断几组关于因数、倍数的描述。（屏幕显示：12是24的因数）
生：对。
师：你能猜到他想的是什么算式吗？
生：他想的是12×2＝24。
师：根据这个算式我们还能得到什么信息？
生：24是12的倍数。
生：2是24的因数，24是2的倍数。
屏幕显示：0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.8的因数。
生：对。
生：错。
师：意见不统一了。你为什么认为错呢？
生：因为0.9和1.8是小数，因数和倍数只研究0以外的整数，不研究小数。
师：是的。就是这个原因，这句话是错的。可是，刚才为什么会有那么多同学认为是对的呢？能不能说说你是怎么想的？
生：因为1.8是0.9的2倍。
师：1.8是0.9的2倍，这是我们很早就认识的几倍关系。这个几倍关系和我们今天认识的倍数关系一样吗？
生：几倍，可以是小数倍，也可以是整数倍。而今天学习的因数和倍数关系是整数倍关系。
师：对，当整数之间存在整数倍关系时，才有了因数和倍数关系。同学们，正是由于刚才一部分同学的错误，让我们回忆起了以前的几倍关系，知道了“几倍”和“倍数”的不同，进一步清晰了因数和倍数关系的研究范围，这就是错误带来的思考。
屏幕显示：18是倍数。
生：错。没有说清楚18是谁的倍数。
师：18会是谁的倍数呢？
生：3、6。
师：反过来，3和6都是18的因数。18的因数还有几？
【思考】
设计一中，为避免出错，规避了小数的出现，课堂看似很顺利，实则不利于学生概念的建立，本质上并未真正理解因数和倍数概念。设计二中，在已初步形成概念的前提下，教师依托反例“0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.8的因数”“18是倍数”让学生自己去比较、去发现、去辨析，以例规例，真正把握概念的特征，最终清晰界定概念，完整地经历概念的同化过程。
三、运用疏联，让学生经历从“理解掌握”到“巩固拓展”的概念内化（同化）过程
概念之间都是相互联系的，理解概念是从感性认识上升到理性认识的过程，即从个别的事例总结出一般性的规律。巩固拓展概念，则是抓住概念间的联系有效疏通并加以灵活运用的过程，教师可让学生多联想、多角度思考，使概念在理解的基础上被反复感知、反复回忆，从而拓展内化。
【教学设计】
师：给你一个式子3×7=21。你能想到什么？
生：3和7是21的因数，21是3和7的倍数。
生：21的因数还有1、21。
师：真能干，继续想，还能想到什么？
生：3的7倍是21，3的倍数的个数是无限的。
师：3最小的倍数是几？
生：3最小的倍数是本身，没有最大的倍数。
生：7最小的倍数是本身，没有最大的倍数。
生：3和7的因数都只有2个，都是1和本身。
师：10里面还有这样的数吗？
生：还有2、5。
师：20里面呢？
生：11。
生：13、15、17、19。
生：15不是的。15的因数有4个。
师：是的。20以内只有两个因数的数是2、3、5、7、11、13、17、19。
【思考】
通过一个式子，让学生从小例子中看到了大概念，从不断地“还能想到什么”中逐步发现具有特点的一类数据，概念也随之不断被内化。但凡概念课，往往知识点较多，且相互穿插。因此，教师既要全面巩固基本知识点，又要对学习难点有效疏联，激发想象，拓展延伸。
