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数学物理范文1
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）02-0147-02
一、物理―数学―物理教学模式的重要性
物理理论渗透在自然科学、工程技术的各个领域，是自然科学和工程技术的基础。大学阶段为非物理专业学生开设大学物理课程的目的在于通过物理课程的教学，使学生系统地了解和掌握物理学的基本知识、概念、规律，为学生将来从事科学研究和工程技术应用提供科学思维和工程基础。所谓工欲善其事，必先利其器，数学作为学习自然科学的工具，学生在物理的学习中，必然离不开数学，必须善于利用数学手段来分析和解决问题，大学物理教学中应该注意贯彻数学思想的重要性，利用数学手段对物理规律深入分析和归纳，在通过数学定量计算，得到结论后，再将结论还原其物理意义，定性或者定量分析生活、生产中的问题，这种物理―数学―物理教学模式有利于学生掌握正确的科学研究思维方法。
经过初高中阶段的物理学习后，学生已经掌握了一些物理基本概念和利用数学解答物理问题的技巧，但是初高中阶段的物理概念大多数是在特殊的限制条件下导出，具有狭义的适用范围。大学物理与中学物理相比，其中一个很大的变化就是放宽了对物理概念的定义的限制条件，扩大了定义域，由相对复杂的“变量物理”问题代替了相对简单的“常量物理”问题。事实表明，进入大学后，很多学生跳不出高中阶段的思维模式和数学处理手段，不习惯于运用高等数学来处理物理问题，对大学物理的学习不能很快适应。比如“功”这一物理概念，“功”是初高中物理重要知识点，但是初高中物理对“功”的定义式是建立在对直线运动的物体恒力做功的限制条件基础上，所以有W=FScosθ。大学物理对“功”的定义则更为普遍化，物体运动轨迹不再要求是直线，力也可以随时间变化，对这种变力做功的基本分析方法是将整个运动过程分为无限多段，将每一段视为恒力做功，然后在中学阶段的恒力做功的基础上，应用微积分的数学手段来分析变力做功问题，处理变力做功中出现的有限与无限、部分与整体、近似与精确的对立统一，所以功的定义式为W= ・d 。如果学生仍旧沉浸在中学阶段对“功”的定义式W=FScosθ上，尚未能将微积分的思想、原理和方法与物理问题结合起来，也就难怪部分同学抱怨大学物理“很难”了。因此，讲授大学物理课程时，必须时刻注重灌注高等数学思想，将高等数学思想渗透到物理模型中，让学生习惯于高等数学在物理中的应用，养成科学的思维方法。
在利用数学手段对物理问题进行分析后，还必须回到物理情境中来，将数学手段所得到的结论赋予物理的意义，用于解释、预测生活中具体的物理现象，形成正确的分析和解决物理问题的能力。比如，在利用数学手段得到了功的表达式后，应该强调这个数学式子中， 是力，d 是一段元位移，功与力有关，与位移有关，还与力和位移之间的夹角有关，当力垂直于位移时，力不会做功，所以向心力不做功，这样便可以引导学生理解在中学里学圆周运动时，向心力为什么不做功，学习过程从数学演算回到了物理现象层面，加深了学生对“功”的理解和印象。
二、物理―数学―物理教学模式的过程
在学生对研究对象建立物理情境阶段就应该注重数学和物理的融会贯通。从建立物理情境到归纳分析，从逻辑推理到演绎拓展，物理问题的重要信息都可以借助于数学手段开展分析和讨论。建立物理情境时，学生通过积极的思考，对信息进行必要的加工整理，把握各个要素的相互联系点和相互制约点，在脑海中留下物理对象的特征，然后利用数学手段把这些特征表达出来，这个数学语言的表达才是完整的物理情境，是物理问题的高度抽象和概括，是学生由客观现象上升为抽象理论的第一个过程，是由自然科学的定性分析上升到定量分析。
有了用数学语言表达的物理情境，接下来才能够对隐藏在物理现象背后的规律性、决定性结论展开探索，这个过程同样也离不开数学手段，这是对自然科学定量分析的拓展过程，充分显示了物理学科的逻辑性和严谨性。
“物理学最重要的部分是与现象有关的”，所以数学只是一种手段，最终的目的是将数学演算得出的结论与自然界的物理现象结合起来，在利用数学推导等手段得到结论后，再赋予这些结论中的数学符号的物理意义，重新回到被讨论对象的物理本质上来，完成对自然科学定性分析、定量分析的完美融合。
比如刚体定轴转动这部分内容的教学，首先是物理模型的建立，通过简单分析后可以判断刚体不是质点，但是刚体与质点之间存在联系，即刚体可以看成一个质点系，所以质点系的动能定理、动量定理、角动量定理都可以适用于刚体。但是，刚体这个质点系有两个重要的特点：（1）质点的数量无限，质点在空间连续分布；（2）任何两质点之间的距离在运动过程中保持不变。这些信息的加工整理，得到的结论还处于对刚体模型的物理情境的定性分析层面，接下来要利用数学手段来表达这个物理情境。回过来看用数学手段表达出来的质点系的动能定理（∑A +∑A = m v - m v ）、动量定理（ dt= m - m ）、角动量定理（ × = ），结合刚体可以看做质点系这一物理模型，这一质点系的第一个特点意味着n∞，每一个质点的质量用dm表示，所以质点系动能定理、动量定理、角动量定理中的求和号可以用积分号表示，后一个特点则意味着∑A =0。于是，刚体定轴转动的物理情境便可用数学语言得以表现，即刚体满足的动能定理（∑A = v dm- v dm）、动量定理（ dt= dm- dm）、角动量定理（ × = ），于是，刚体定轴转动的物理情境被提升到定量分析层面。再接下来，是在这一用数学手段表示的物理情境的基础上，进一步通过数学方法，展开数学上的运算和推导，得到刚体定轴转动的运动规律。将定量分析深入拓展：对于定轴转动， v dm = Jω ， vdm=Jω，若∑A =0，则刚体的机械能守恒，若 × =0，刚体的角动量Jω守恒等等。这时，从数学语言自然而然地又回到了物理问题，比如在得到角动量守恒定律后，可以引导学生思考滑冰运动员增加转速和减速时的动作要领、直升飞机起飞时在原地转动的原因等，实现物理规律与生活现象相结合、定量分析和定性分析相结合。
刚体运动虽然不如质点运动问题直观，刚体运动问题的讨论需借助于质点运动模型间接开展，但整个过程由于利用了数学手段描述、推断、预言，最终又从数学手段回到了物理现象，定性讨论和定量讨论融会贯通，使得刚体定轴转动这一抽象的客观现象也就显得合乎逻辑，易于接受和理解。
三、物理―数学―物理教学模式的实施方式
物理―数学―物理教学模式可以通过启发式、讨论式和开放式等多种行之有效的教学方法得以实施，引导学生在学习过程中发现问题、审视问题、解决问题，从敛散思维到归纳总结，再进一步推广演绎。理论课、习题课或讨论课都是启迪学生思维的重要环节，理论课上，教师通过演示，贯彻运用数学手段解决物理问题的思维方式，对学生起到潜移默化的作用，习题课或讨论课则可以在教师引导下以学生讨论、交流为主，最大限度的激发学生的智力和潜能，提高学生学习的主动性和积极性。
参考文献：
[1]彭振生，梁燕.关于非物理专业大学物理课程的思考[J].宿州学院学报，2005，20（1）：120-122.
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一、物理抽象与数学抽象不同
数学抽象是指由具体事物中抽取的纯粹的量或形，如数学上的点是没有面积的点，给人以“极小”的感觉。数学抽象是绝对的，而物理抽象也叫理想化模型，它并没有脱离具体的事物，仅仅忽略了某些次要的因素，如物理中的质点，是具有一定质量的物体，只是物体的线度与研究问题中有关距离相比较小时，就忽略其形状和大小，把物体看作质点了。有些学生受到数学中“点”的影响，就会错误地认为“不论什么情况下都可以把原子看成质点”；“地球太大，不可能看成质点”等等。
二、物理中的正、负与数学中的正、负不同
数学中的正、负只表示点在数轴上位于零点的哪一侧，其概念是较抽象的，它仅仅表示大小。而物理上的正、负都包含一定的内容。对于矢量，正、负则表示方向；对于标量则又有各种不同的情况，如温度、重力势能等的正、负是表示这些物理量相对于选定的标准量值的大小；而像距的正、负则表示是实像还是虚像；功的正、负则表示动能的增加还是减小等。由于受到数学的误导，在学生中便出现了“-3N的力小于1N的力”的笑话；以及遇到“初动量P1的大小是6kg.m/s，方向水平向右，末动量P2的大小是16kg.m/s，方向水平向左，求动量变化量P2-P1的大小”这类问题时，常常会得到10kg.m/s的错误答案。另外，初学者在解答匀减速直线运动的题目中，也常常忽视速度和加速度的正、负，导致答案错误。所有这些都是因为没有理解物理中的正、负与数学中的正、负的区别。
三、物理等式与数学等式的意义不同
在数学中的等式表示等号两边是两个完全等价的量，但是在物理中则不完全是。物理中的等式必须代表一定的物理意义或者物理规律。例如公式R=UI；p=mv；C=QU等等，表示等式右边的两个物理量的比值不变，且这个比值反映了一种物理特性。假如我们用数学的观点来认为“等式左边的物理量与右边的物理量成反比或者正比”，就会出错。
同样，我们也不能由玻意尔定律P1V1=P2V2和查理定律V1T1=V2T2，两边相除而得到：P1T1=P2T2，因为它们的适用条件不同，玻意尔定律适用于温度不变的情况，而查理定律适用于压强不变的情况，它们不可能同时成立。同样的道理，不同的表达式在数学上是一样的，但却具有不同的物理意义，例如：E=I（R+r）与IE=I2（R+r）表示的物理意义不同：前者表示电源电动势的概念；后者则表示电路中能量的转化。因此，我们列表达式时，一定要有物理意义。如写机械能守恒的表达式时，不能把12mv2=mgh写成12v2=gh，因为后者没有物理意义。类似的错误在学生作业和测验中常常出现。
四、方程的解在物理和数学上的合理性不同
根据物理规律列出方程求解时，从数学上得出的各个解却不一定都有物理意义，必须根据实际物理问题的要求决定取舍。
例1：在电源电压不变的情况下，为了使正常工作的电热器在单位时间内产生的热量增加一倍，下列措施可行的是：
A.剪去一半的电热丝
B.并联一根相同的电热丝
C.串联一根相同的电热丝
D.使电热丝两端的电压增大一倍
错误解答：根据Q=I2Rt=U2Rt可知，Q∞1R，因为U不变，所以要使“热量增加一倍”，就必须使电阻减为原来的一半，因此应该选择A、B。
此题陷入陷阱的原因是只注重了数学公式的推导，而忽略了每一根电阻丝都有额定功率这一隐含条件。电阻丝剪去一半，虽然从理论上满足了使热量增加一倍的要求，但由于此时电阻丝额定功率减小一半，其实际功率大于额定功率，因此电阻丝将被烧坏，故正确的答案只能选B.
五、物理图像与数学图像的不同
物理中直角坐标图象与数学的直角坐标图像相比具有一定的特殊性，其主要区别表现在以下几个方面：
其一，数学中两个数轴表示的是抽象的数，两个数轴上一个单位长度表示的数值大小必须相等；物理中数轴上的量则是具体的物理量，两个垂直的数轴一般表示两个相关而又不同的物理量。由于物理量不同，因此两个数轴不存在统一单位问题，两个数轴上一个单位长度表示的数值可以不相等。
例：物体A、B都静止在光滑的水平面上，它们的质量分别是mA和mB，用平行于水平面的力F分别拉物体A、B，得到加速度a和拉力F的关系图像分别如图中的A、B所示。已知直线A与横轴的夹角是45°，直线B与横轴的夹角是，请利用图像求出两个物体的质量mA和mB.
有的学生是这样做的：
实际上正确的答案应该是：mA=4/2=2kg，mB=4/1=4kg，造成错误的原因是照搬数学方法，没有考虑到由于两个数轴的单位长度所表示的数值大小不相等，导致在数学中斜率k等于tana的结论已经不成立！
其二，物理直角坐标系中，有时要研究的区域离原点较远，为了研究方便，避开非研究区域，放大研究区域，能够直观看出图象的变化规律，可以使坐标轴的起点不从零开始，这在数学中是不允许的。
例：在测电源的电动势和内阻的实验中，如果要求根据右图计算电源的内阻，很多初学者常常是这样计算的：
因为内阻的大小与直线斜率的大小相等，而直线的斜率k=3/2=1.5，所以r=1.5Ω.
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“任何一位物理学家都同时也是一位数学家”，所以物理教师也必须加强与高中物理密切相关的数学知识的学习。当然除了教师自身以外，学生的数学知识储备和掌握情况也需要认真了解，因为老教师都知道到了高三制约学生提高物理成绩的往往是阅读理解能力和数学应用能力，而并不是物理概念规律的应用。所以，本人认为每一位高中物理教师都应在平时的教学活动中有意识地加强数学能力的培养，尤其督促基础较弱的学生在每个单元学习之前落实相关数学知识的掌握。笔者认为与高中物理密切相关的数学知识主要有以下几个方面：
一 函数知识
函数是数学的纲，力和运动的关系是物理的纲。而力和运动的关系是因变量和自变量的关系也就是函数关系，所以数理不分家。最常用到的函数是三角函数，而力学中的力的分解和力的合成都必须用到数学中的三角函数。此外，三角函数的运用在圆周运动的相关题目中也较多，特别是天体运动题目或带电微粒在磁场或电磁场中的运动，这时就需要用反三角函数来表示一部分数值。
二 图象知识
函数图象——是物理应用最多的数学知识之一，如速度时间图象、伏安曲线、路端电压与负载的关系等。
数学中，我们从初中就开始学习直线，后来又学习抛物线、双曲线、椭圆等函数方程及图像。我们对各种曲线的性质非常清楚，如直线的斜率、截距等；抛物线的开口、顶点、对称轴和坐标轴的截距等；但是当我们学习物理时碰到类似的关系式时很多学生却不知所措。如：一个内阻为R的电源，其端电压U与电流I之间的关系就是一条简单的直线，从直线和坐标轴的交点上我们能得出电源电动势以及短路电流的大小，从斜率上还能分析出来负载电阻R的情况。虽然这个例子简单，但是还是有不少学生在分析的时候搞不清楚。可是如果放在数学上考他直线的性质，他肯定会做，但是放到物理上他就不会做了，所以这是一个很有意思的事情。
三 计算能力
这是高中物理教师最头痛的一件事，从高一强调到高三，但往往事与愿违。现在的学生从初中有的甚至是小学开始就使用计算器，导致他们的计算能力低下，而高考是不能使用计算器的。在教学中我特别注意这一点，有时我会故意设计一些计算量较大的习题采用分组竞赛的方式来提高学生对计算的重视和计算能力。近几年高考有这样一个特点，物理理论的难度有所下降但数学计算能力有所提高，所以必要的计算速度和准确性的训练是非常必要的。
四 其他知识
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1．拥有共同区间
数学与物理有一部分是完全重合的．同时，数学与物理也有着共同的特点，那就是逻辑的严密性和结果的唯一性．数学与物理的逻辑性都十分严密，每个步骤都必须环环相扣，有一个环节出现错误都会使结果不正确．而且数学与物理的习题结果永远都是唯一的，不论以什么解题方法来解答习题，最终结果都是一个固定值不会改变．所以，有一部分数学知识就可以运用到物理习题的解答中去．
2．数学学科更趋向于解决问题
与物理学科相比，数学学科更趋向于解答问题从而得出结果．而物理学科注重的要点更偏向与实验的过程．所以，在解答物理习题的过程中，为了更准确明了地解决问题，是可以利用数学知识来进行解答的．例如：如图所示，若电源的电压一直保持不变，当开关3与“相连时，电流表、与、的示「a－O—0－｜数比是3：5，当开关S与6连接时，电流表、与、的示数比拓是2：3，求氏与民的电阻比．1｜——这道题的解法应为：假设尽与足的电流分别是／，与A，根据题意可得出1八＋／2＝3／5；根据定律可算出／／／2＝3／2；由于圮与尽是并联，因此能够得出尽／＆＝3／2；分析当前开关S与b连接时，圮与构的电流分别是与／3，那么就可以的到a＿／／3＝2／1，又由于尽与是并联，所以能够得出巧／民＝2／1，由此，可以推算出＝3／4．所以，这道题的最终答案就是3／4．．
二、如何将数学知识运用到初中物理解题中
1．正确引导学生
初中的学生在此之前从来没有接触过物理，直到升人初中以后才开设了物理这门学科，所以初中生对物理学科是完全陌生的．而数学学科是学生从幼儿园就开始学习的学科，所以对数学学科和数学知识学生都是比较熟悉的．学生刚一接触新学科的时候都会感到很难，所以这就要求教师对学生进行正确的引导．在教导学生解答物理习题时，可以将学生熟悉的数学知识融人到陌生的物理习题的解答方法中，这样既能降低物理习题的难度，也能使学生对物理习题不再陌生．
2．处理好学科间的交叉
数学知识与物理知识是存在重合的一部分，但又不是完全的重合，有一部分数学知识是无法应用到物理解题方法中的．因此，教师要帮学生归纳总结出能够应用在物理习题中的数学知识，和不能在物理习题中的运用的数学知识，让学生不至于在解答物理习题的解答过程中完全依赖于数学知识．教师应该处理好学科之间的交叉部分，把跟物理习题没有交集的数学知识剔除出去，减少学生在解答物理问题中的弯路．
3．注重物理实驗教学
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一、 物理意义与数学意义无法沟通造成的误区
例1：在xoy平面内，有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同的速率v■沿不同方向射入第Ⅰ象限。如图1所示，现加一垂直平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴正方向运动。试问符合该条件的磁场的最小面积为多少？（不考虑电子间的相互作用）
析与解：欲使电子射出方向与x轴平行，粒子射出磁场时轨迹的切线方向应平行于x轴，沿圆心的轨迹的O■、O■、O■…作出粒子运动轨迹， ■、■、■，…，A■、A■、A■应为磁场边界上的点。设边界上任意点A■的坐标（x，y）为由几何关系x■+（r-y）■=r■确定。磁场边界是以（0，r）为圆心，r为半径的圆，如图1中实线，因而所加的磁场区域为圆心分别为（0，r）和（r，0）、半径为r的两圆所围的面积。
由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，其轨道半径r=mv/Bq。
由几何关系，不难确定其磁场区域的最小面积S=r■（π-1）=（π-1）m■v■/B■q■。
例2：如图2所示，有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根轻绳相连接。开始时两板水平放置且叠合在一起，在其正下方0.8米处有一个固定支架C，支架上有个半径为R’（R>R’>r）的圆孔，圆孔与两薄板的中心均在同一竖直线上，大板与支架发生没有机械能损失的碰撞，碰撞后两板即分离，直到轻绳绷紧，在轻绳绷紧瞬间两板具有共同速度。问连接两个薄板的轻绳多长时，可以做到不管比值K=M/m多大，轻绳绷紧瞬间的速度v■的方向总是向下？（g取10m/s■）
析与解：设碰撞后，大板上跳与小板下落的速度大小为V■，则V■=■。
设两板由分开到轻绳绷紧所用的时间为t，轻绳长为L，并设向下为正方向。
由动量守恒定律
m（V■+gt）-M（V■-gt）=（M+m）V■
由相对速度知2V■t=L；要使v■向下，即v■>0，由数学知识得V■+gt>（V■-gt）M/m0
因为V■+gt>0，M/m>0，所以V■-gt
二、不善于利用代换造成的误区
例3：如图3所示，虚线框内各元件的参数都未知。在它的输出端a、b间接有一个电阻R■。当R■=10Ω时，测得电流I■=1A，当R■=18Ω时，测其中电流I■=0.6A，那么，当R■为多大时，I■等于0.1A？
析与解：因为虚线框内各元件参数都不知道，所以用一个整体电源来代换它，使问题简化。设等效电源的电动势为ε，内电阻为r，根据闭合电路欧姆定律，有ε=I■（R■+r）=1×（10+r）…①；ε=I■（R■+r）=0.6×（18+r）②；
ε=I■（R■+r）=0.1×（R■+r）③；联立①、②、③得R■=118Ω。
三、 缺少数形结合意识而造成的误区
例4：将质量为2m的长木板静止地放在光滑的水平面上，如图5所示，质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速度v■由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止。铅块运动所受的摩擦力始终不变，现将木板分成长度质量均相等的两段1、2后紧挨着仍放在水平面上，让小铅块以相同的初速度v■由木板的左端开始滑动，如图所示，则下列判断正确的是（？摇？摇）
图6
A.小铅块仍能滑到木板2的右端与木板保持相对静止。
B.小铅块滑过木板2的右端飞离木板。
C.小铅块滑到木板2的右端前就与木板保持相对静止。
D.图中（b）过程产生热量少于图中（a）所示过程产生的热量。
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物理是一门抽象性、逻辑性较强的学科，而数学语言具有科学性、简约性、逻辑性、精确性等优点，因此，数学知识对物理教学起着十分重要的作用，是解决物理问题的重要工具和方法，其具体体现在：
1.数学知识是强化物理理论教学的重要工具
由于物理概念和物理规律具有高度抽象的特定，仅从文字描述上是很难让学生清晰理解和掌握的。而借助数学知识能将理论化的物理知识简单化和具体化，并将其用严谨的数学公式展示出来，从而完美的解释物理概念和规律，进而帮助学生正确理解和快速记忆，最终实现高质量的物理课堂教学。
2.数学知识是解决物理问题的有效手段
学会用理论知识解决具体的物理问题是物理教学中的一个重要环节，也是巩固和强化物理理论知识的重要途径，因而提升学生物理解题能力和应用能力是当前物理教学的一个重要教学目标。数学知识所包含的各种思想和方法在帮助学生解决物理问题中起着重要的指导作用。
二、数学知识在高中物理教学中有效应用实践
1.数学知识在物理理论教学中的应用
在高中物理教学过程中，物理概念和物理规律的教学不仅是物理课程的重点内容，也是学生学习物理知识的重要基础，因而让学生正确理解和掌握物理概念和规律具有重要意义。为了使理论性强的物理理论知识更加通俗易懂，教师可以应用数学知识这种形式化语言来开展理论教学，通过简明的数学符号和公式来讲解物理概念和物理规律，然后再分析、比较和运算各物理量之间的关系、量的变化等来进行定量描述和理论概括，从而让学生深刻理解和掌握物理概念和规律。例如，电阻R，加速度a，电场强度E，电容器电容C等物理概念，伽利略自由落体定律，牛顿第一定律，牛顿第二定律，牛顿第三定律等物理规律都可以通过精辟的数学语言来表达和描述。可见，数学知识在物理理论教学中具有重要作用，合理的应用不仅有利于学生清楚认识到物理现象背后的本质和规律，还有利于化解教学难点，从而促进高效课堂的生成。
2.数学知识在物理实验教学中的应用
物理是一门以实验为基础的科学，实验教学是高中物理课堂教学中的重要一环。在高中物理实验教学中，教师同样的可以应用数学知识来优化实验教学。教师可以通过运用公式法、图像法等数学方法将物理实验结果直观的呈现给学生，让他们通过观察就能清晰的认识到物理现象的变化规律。同时，在处理物理实验结果时，各种数学工具的应用不仅能使处理过程变得简单、直观，还能有效减少物理实验数据的误差，提高数据的准备性。例如，在教学“测量电源电动势和内阻”的实验中，面对实验数据，学生很难从测量结果中判断哪些结果符合实际，哪些结果存在较大误差。如果这时候采用数学作图，通过在平面坐标系中描绘实验数据对应的坐标点，就能直观的判断各数据的变化趋势，从而筛选出误差较大的点。然后，再通过作U-I图就能很快得到电动势和内阻值。
3.数学知识在物理问题解答中的应用
物理与数学的密切关系决定了高中物理教学离不开数学知识的有效应用，数学知识在物理教学中的重要作用还体现在解答物理问题中。应用数学知识解答物理问题不仅是物理新课程改革的客观要求，也是新时期高考物理内容中的一个侧重考点。因此，教师在物理教学过程中还需要积极运用数学知识，如函数知识、几何知识、代数知识、极值知识等，来扩宽物理解题思路，提高物理解题速度，从而简便而有效的将物理问题各个击破，让学生在掌握用数学知识解决物理问题的同时提高物理实践能力，进而更好地适应新形势下高中物理考核的要求。
