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统计与概率范文1
易错剖析一：抽样方法含义理解不清致误
例1学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流量情况，决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？
错解：在这种情况下适合采取系统抽样.
错因分析：这家超市位于学校附近，其顾客很多为学生，客流受到学生作息时间的影响，如周末时，客流量会明显减少，如果用系统抽样来抽取样本，起始点抽到星期天的话，样本代表的客流量会明显偏低，另外，寒暑假也会直接影响超市的客流量.
正解：利用简单随机抽样和分层抽样，可以把一周分为7天，一年分52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本进行调查.
易错剖析二：概率与频率的关系不清致误
例2下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；
③频率是不能脱离n次试验的试验结果，而概率是具有确定性的，不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确命题的序号为.
错解：①④.
错因分析：对概率和频率的关系认识不清，导致误判.如对于说法②，认为事件发生的频率就是事件发生的概率，再如对事件发生的概率的确定性认识不清，就可能认为说法③不正确等.
正解：①③④.
易错剖析三：误解基本事件的等可能性致误
例3任意投掷两枚骰子，求出现点数和为奇数的概率.
错解：点数和为奇数，可取3，5，7，9，11共5种可能，点数和为偶数可取2，4，6，8，10，12共6种可能，于是出现点数和为奇数的概率为55+6=511.
错因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此时必须保证每一个基本事件出现的可能性均等，而上述解法点数为奇数、偶数出现的机会显然不均等，则不能用等可能性事件的概率模型来解答.
正解1：出现点数和为奇数，由数组（奇、偶）、（偶，奇）组成共有3×3+3×3=18个不同的结果，这些结果的出现是等可能的，故所求的概率为1836=12.
正解2：若把随机事件的全部等可能结果取为：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶，奇）（偶、偶）.点数和为奇数的结果为（奇、偶）、（偶，奇）两种，故所求概率为24=12.
易错剖析四：几何概型概念的不清致误
例4在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
错解：在AB上取AC′=AC，在∠ACB内作射线CM看作在线段AC′上任取一点M，过C，M作射线CM，则概率为AC′AB=ACAB=22.
错因分析：上述作法好像很有道理，为什么错误呢？值得深思.考查此解法是否满足几何概型的要求，虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，在确立基本事件时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性.
正解：在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任意位置都是等可能的，在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=67.5°，故满足条件的概率为67.5°90°=34.
易错剖析五：互斥与对立事件相混淆致误
例5把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：.（填写“对立事件”、“不可能事件”、“互斥但不对立事件”）
错解：对立事件.
错因分析：本题的错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；互斥的概念适合多个事件，但对立概念只适合于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；两事件对立则表示他们有且只有一个发生.
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰好有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选“互斥但不对立事件”.
易错剖析六：混淆互斥事件与相互独立事件致误例6一个通讯小组有A、B两套通讯设备，只要有一套设备正常工作，就能进行通讯，A、B设备各有2个、3个部件组成，只要其中有1个部件出现故障，这套设备就不能正常工作，如果在某段时间内每个部件不出现故障的概率都为p，试计算在这段时间内能进行通讯的概率.
错解：由题意知：在某段时间内A、B两套通讯设备能正常工作的概率分别为P（A）=p2，P（B）=p3，则在这段时间内能进行通讯即A、B至少有一个能正常工作，故在这段时间内能进行通讯的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=p2+p3.
错因分析：题中A、B两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的，上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率，互斥与独立是不同的两种关系，一般没有必然联系，不能混淆，把互斥结果套用在独立事件中是错误的，只有当A、B中一个是必然事件，另一个是不可能事件时，A、B既是互斥事件，又是独立事件.
正解1（逆向思考）：A、B至少有一个能正常工作的对立事件为：A、B都不能正常工作，A不能正常工作的概率为1-p2，B不能正常工作的概率为1-p3，则在这段时间内能正常进行通讯的概率为1-（1-p2）（1-p3）=p2+p3-p5.
正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2・p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn・pk・（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型――摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
统计与概率范文2
英文名称：Mathematical Theory and Applied Probability
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主办单位：北京工业大学应用数学系
出版周期：季刊
出版地址：北京市
语
种：双语
开
本：16开
国际刊号：
国内刊号：43-1121
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发行范围：国内外统一发行
创刊时间：1986
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统计与概率范文3
1．串联情况：排列、组合是概率统计的基础，两者既有联系又有区别．排列与组合的共同点是“从n个不同元素中，任取m个不同元素”；而不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合是“并成一组（与顺序无关）”．因此，“有序”与“无序”是排列与组合的重要特征．
2．考情分析：在每年的高考中都有考查，通常以客观题出现，常与两个计数原理、概率统计交汇命题，是各地区高考命题的热点．
3．破解技巧：解决排列组合问题时，常用的技巧：
（1）特殊元素（位置）优先安排；
（2）合理分类与准确分步．
4．经典例题：?摇
有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_______种（用数字作答）．
破解思路本题可以先考虑安排上午的测试项目，再安排下午的测试项目，运用列举法解决．
经典答案记4位同学分别为A、B、C、D，则上午共有A=24种安排方式．不妨先假设上午如表1所示安排方式，
表1
则下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC，CABD、CADB、CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11种安排方式．因此，全天共有24×11=264种安排方式．
图1中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）
图1
A．B．C．D．
破解思路本题主要考查组合、概率知识，破解的关键是审清题意――“五个接收器能同时接收到信号”，即需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，解题中要用到平均分组的计数求法．
经典答案由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有=15种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有=15种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有A=120种，所求的概率是P==，故选D．
1．串联情况：事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念，虽然它们都是针对两个事件而言的，但互斥事件是说两个事件不能同时发生，而相互独立事件可以同时发生，并且一个事件发生与否对另一事件的发生没有影响．互斥事件运用概率的加法公式，而相互独立事件运用概率乘法公式．
2．考情分析：高考试题题中，常常是将互斥事件、相互独立事件等交汇在一起进行考查，主要考查我们的理解辨别能力．
3．破解技巧：解题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的事件类型．
4．经典例题：
甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_________（写出所有正确结论的编号）．
①P（B）=；②P（BA1）=；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．
破解思路本题从概率模型入手考查互斥事件、相互独立事件及条件概率．解题的关键是正确理解题意，明确基本概念的内蕴，把事件B的概率进行转化P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3），可知事件B的概率是确定的．
经典答案易见是两两互斥的事件，而P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）=×+×+×=．故选②④．
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”．
（1）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试也按同样的方法进行．求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；
（2）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率．
破解思路第1问首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算；第2问利用互斥事件的概率公式计算．
经典答案（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，所以概率为××＝．
（2）设Ai（i＝1，2，3）表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为P（Ai），则P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，因而所求概率为P（A2＋A3）＝P（A2）＋P（A3）＝＋＝．
1．串联情况：两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．
2．考情分析：古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合结合起来考查；几何概型易与线性规划、定积分等几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现．
3．破解技巧：古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，要准确理解基本事件的构成；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
4．经典例题：
已知集合A=｛x－1≤x≤0｝，集合B=｛xax+b•2x－1
（1）若a，b∈N，求A∩B≠的概率；
（2）若a，b∈R，求A∩B=的概率．
破解思路本题以集合为载体，导数为工具，考查两种概率模型的求法．对于（1）要求运用导数知识列举（a，b），再利用古典概型求解；（2）根据条件列出不等式，再用几何概型求解．
经典答案（1）因为a，b∈N，（a，b）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9组．令函数f（x）=ax+b•2x－1，x∈［－1，0］，则f′（x）=a+bln2•2x．因为a∈［0，2］，b∈［1，3］，所以f′（x）>0，即f（x）在［－1，0］上是单调递增函数．f（x）在［－1，0］上的最小值为－a＋－1．要使A∩B≠，只需－a＋－10．所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共7组．所以A∩B≠的概率为．
（2）因为a∈［0，2］，b∈［1，3］，所以（a，b）对应的区域是边长为2的正方形（如图2），面积为4．
图2
由（1）可知，要使A∩B=；只需f（x）min=－a+－1≥0?圯2a－b+2≤0，所以满足A∩B=的（a，b）对应的区域是图中的阴影部分．所以S阴影=×1×=，所以A∩B=的概率为P==．
1．串联情况：离散型随机变量及其分布列是高中概率统计的核心内容，要求能写出随机变量的可能取值以及概率分布，要求熟练掌握两点分布、二项分布、超几何分布模型．
2．考情分析：求离散型随机变量的分布列，以及分布列求随机变量的数学期望与方差，特别是二项分布，成为新课程高考内容的重点和必考对象，主要考查我们观察、分析、解决问题的能力以及我们收集、转化、处理信息的能力．
3．破解技巧：解决此类问题时，注意以下几点：（1）离散型随机变量分布列的判断；（2）求离散型随机变量的分布列、期望与方差应用；（3）根据离散型随机变量的分布列求概率；（4）根据离散型随机变量分布列、期望与方差性质求参数．
4．经典例题：
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．
（1）求至少有1人面试合格的概率；
（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望．
破解思路本题考查概率、分布列及期望的求解．第1问运用间接法；第2问先确定ξ的取值，再运用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出分布列，进而求得数学期望．
经典答案（1）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=，P（B）=P（C）=，至少有1人面试合格的概率是1－P（）=1－P（）P（）P（）=1－××=.
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3．P（ξ=0）=P（B）+P（C）+P（）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（C）+P（）P（）P（）=××+××+××=；P（ξ=1）=P（AC）+P（AB）+P（A）=××+××+××=；P（ξ=2）=P（BC）=××=；P（ξ=3）=P（ABC）=××=；所以ξ的分布列是
所以ξ的期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.
1．串联情况：统计是研究如何收集、整理、分析数据的学科，要求理解抽样方法，体会用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维与确定性思维的差异，能认识变量间的相关关系．统计与概率的相关知识能有机地结合．
2．考情分析：近几年高考试题中设计了许多背景与我们日常生活非常贴近的统计综合题，通过对统计图表分析出来的频率值估算事件发生的概率．概率与统计交汇的考查，主要以课本知识为基础，以统计思想为主线，考查我们分析解决问题的能力．
3．破解技巧：在弄清题意、读懂题目所给图表信息的基础上，建立适当的概率模型、运用有关公式进行求解，要求熟练掌握基础知识和基本方法、理解数据处理的几种基本思想、方法和作用．
4．经典例题：
为调查某市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男、女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组［13，14），第二组［14，15），…，第五组［17，18］，图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图．根据有关规定，成绩小于16秒为达标．
（1）用样本估计总体，某班有学生45人，设ξ为达标人数，求ξ的数学期望与方差；
图3
（2）如果男、女生使用相同的达标标准，则男、女生达标情况如表2.
表2
根据上表数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若没有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：K2=
破解思路本题以频率分布直方图为载体，考查运用样本估计总体及其特征的思想．（1）把问题归结为二项分布求解；（2）运用独立性检验原理，判断两个分类变量之间的关系．
经典答案（1）成绩在［13，16）的频率：（0.04+0.18+0.38）×1=0.6，若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6．从而ξ～B（45，0.6），所以Eξ=45×0.6=27（人），Dξ=10.8．
（2）
K2=≈8.333，由于K2≈8.333>6.625，故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”，故应根据男、女生性别划分达标的标准．
1．串联情况：新课程高考注重在知识点的交汇处命题，这就为概率的出题提供了空间，概率可以和函数、数列、几何、算法等知识结合．
2．考情分析：“在知识网络交汇处设计试题”是近年高考命题的重要理念．要注意挖掘知识内在联系，领会知识间的自然交汇．
3．破解技巧：在复习备考的过程中，要把握好知识间的纵横联系与整合，打破数学内部章节界限，使自己对所学内容真正融会贯通，运用自如，形成网络化的知识体系．
4．经典例题：
甲、乙两人做射击游戏，甲、乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙两人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击．
（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率；
（2）若第n次由甲射击的概率为an，求数列｛an｝的通项公式，并说明当n趋向于+∞时的实际意义．
破解思路本题以相互独立事件为背景，考查概率与递推数列，由递推关系求得通项公式，运用极限的思想说明问题的实际意义．
经典答案记A为甲射击，B为乙射击，则
（1）前4次射击中甲恰好射击3次可列举为AAAB，AABA，ABAA，其概率为P=××+××+××=．
（2）“第n+1次由甲射击”这一事件，包括“第n次由甲射击，第n+1次继续由甲射击”及“第n次由乙射击，第n+1次由甲射击”两事件，则有an+1=an+（1－an）=an+，其中a1=1，an+1－=an－，所以数列an－等比数列．所以an=+，当n趋向于+∞时，an趋向于．
实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两人分别射击的次数接近相等．
甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为pp>，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．若图4为统计这次比赛的局数n和甲、乙各自的总得分数S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．
（1）在图4中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？
（2）求p的值；
（3）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
破解思路本题是概率与算法的综合题．破解的关键是读懂程序框图，结合程序框图求出p值；对于（3）先确定ξ的所有可能值，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，进而求得其分布列及数学期望．
经典答案（1）程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．（答案不唯一．如：第一个条件框填M>1，第二个条件框填n>5，或者第一、第二条件互换，都可以．）
图4
（2）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，所以有p2+（1－p）2=，解得p=或p=．因为p>，所以p=．
（3）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P（ξ=2）=，P（ξ=4）=1－=，P（ξ=6）=1－•1－•1=．
所以随机变量ξ的分布列为：
故Eξ=2×+4×+6×=．
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=1－a1+2－a2+3－a3+4－a4，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（1）写出X的可能值集合．
（2）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列．
（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，
①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
破解思路本题以绝对值为载体，考查分布列和期望的简单应用以及阅读理解、转化化归能力．（1）X的可能取值集合为｛0，2，4，6，8｝，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a中的奇数个数等于a，a中的偶数个数，得到1－a1+3－a3与2－a2+4－a4的奇偶性相同；（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的排列，计算每种排列下X的值，算出概率，写出分布列．
（3）将三轮测试都有X≤2的概率记作p，求出概率的值和已知量进行比较，得到结论．
经典答案（1）X的可能值集合为｛0，2，4，6，8｝．在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此1－a1+3－a3与2－a2+4－a4的奇偶性相同，从而X=（1－a1+3－a3）+（2－a2+4－a4）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8，容易举出X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．
（2）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下得到
（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=，将三轮测试都有X≤2的概率记作p．由上述结果和独立性假设，得p==．②由于p==
1.串联情况：（1）二项分布及其应用主要以条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率为载体，综合考查某一事件发生的概率，进而通过计算期望与方差考查总体取值的平均水平和稳定性；（2）正态分布主要考查正态分布的意义和性质，通过把一般正态总体转化为标准正态，常以客观题的形式出现．
2．考情分析：在每年的高考中都有考查，独立重复事件多以解答题的形式出现，而正态分布常出现在客观题中，偶尔也会在解答题中出现.
3.破解技巧：（1）准确判断某随机变量是否服从二项分布，要看两点：①在每次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生；②在每次试验中，事件发生的概率相同．若满足，则在此独立重复试验中以事件发生的次数为随机变量，此时该随机变量服从二项分布．
（2）理解正态分布曲线的意义及性质是解答此类问题的关键：如正态分布密度函数f（x）=e，图象关于直线x=μ对称，均值为μ，方差为σ2等．
4．经典例题：
在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；
（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX．
破解思路恰当地回归到相应的概率模型中去，是解答概率与统计应用问题的突破口.只有找到合适的概率模型，我们才能迅速抓住问题的本质，进而设计相应的解题策略．第1小题考查几何概型的“三维”测度问题；第2小题实际上可转化为独立重复事件的概率；对于第3小题，“落入第一实验区的蜜蜂数”服从二项分布，不必通过列随机变量分布图求数学期望，直接代公式即可．
经典答案（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B．依题意，P（A）===，所以P（B）=1－P（A）=，所以蜜蜂落入第二实验区的概率为．
（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则P（C）=C××==，所以恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率．
（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X满足二项分布，即X～40，，EX=40×=5
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．
（1）此次参赛学生总数约为多少人？
（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表Φ（x0）=P（x
破解思路本小题主要考查正态分布，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．
经典答案（1）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N（70，100），由条件知，P（ξ≥90）＝1－P（ξ
（2）假定设奖的分数线为x分，则P（ξ≥x）＝1－P（ξ
1．重视对审题能力的培养
概率统计问题，大都以应用题的面目出现，同学们由于审题不够细心而出错的现象比较普遍，出现的错误主要有：主观臆断、混淆事件、重复计算、遗漏条件．因此我们要学会审题，培养自身的阅读理解能力，提高应用数学知识、方法分析问题和解决问题的能力．
统计与概率范文4
数学是什么？数学并不只是一个科学工具，数学是文化，是人类文明的重要基础；数学是科学，是哲理思维，蕴涵着深刻而丰富的人文文化.学习数学文化，既要提高数学素质、科学素质，也要提高思维品质和人文素质，促进文理交融与学生全面发展.
数学的素质尤为重要，它在实施素质教育中具有基础的意义.就如体质是从事一切体力劳动的基础一样，数学素质是从事一切脑力劳动的基础.在科学技术成为第一生产力推动社会发展的今天，在人类发展要向可持续方式转变的今天，我们把数学作为文化，作为所有科研工作者和社会工作者的基本素质，是何等的重要.数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，它可以包括：数学形式、数学历史、数学思想.其中思想是本质的，没有思想就没有文化.
当今世界，无论是国际间的竞争还是社会各行业各领域的竞争等，核心是创新人才的竞争，而创新人才的产生又与教育密不可分.诺贝尔奖获得者杨振宁和朱棣文在谈到中国教育现状时，都认为中国的教育重基础知识的学习，而轻创造能力的培养.那作为大学数学教师的我们，怎样才能以合理有效的教学培养学生的创造能力呢？以数学公共课“概率论与数理统计”的教学为例，有下面一些反思.
非数学专业的学生在学习“概率论与数理统计”之前基本上都是有微积分和线性代数的数学基础，但大多数学生对这些数学知识的印象都是枯燥、繁琐的计算、记不住的公式和不知所以然的推理论证，甚至有些学生对数学有种排斥的心理，认为数学根本就没有用.学数学意味着什么？当然除非你能用它，否则毫无益处.而“概率论与数理统计”是一门研究随机现象及其规律性的科学，有着广泛的实际应用，而且其中用到求导数、求积分等工具，正好可以通过这门课的学习，使学生感受到数学的力量，从而对数学产生兴趣.
j．勒雷说过：“学习科学不是靠读，而是靠理解.科学不是静止呆板的字母，书籍不能保证它永恒的青春.科学是一种有生命的思想，为了对它产生兴趣，进而掌握它，人们必须在精明的人的指导下，用自己的头脑去重新发现它.”
我们教师就应该成为这样精明的人，当然我们的教学不能只是宣读写好的课本或ppt，也不能只是登上讲台发表高见，而要通过对话使学生发现真理.这就要求我们在教学过程中不断渗透数学思想，注重培养学生的自学能力和扩展、发展知识的能力，为学生今后持续创造性的学习打好基础.
数学思想可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型.下面举个课本［4］第一章中的一个例子：设盒子中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率.
为了培养学生的创造性，在教学过程中还要培养学生的数学yawp（叫嚷或尖锐的叫声），就是发现一个数学思想或数学论证的美或解决一个问题时所表达的惊奇和愉快.这就要鼓励学生发现，要恢复学生孩子般的好奇心和想象力，教他们提出好问题.例如书本［4］第五章是讲大数定理与中心极限定理，这章其实主要就是回答了四个问题：为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？在教学过程中，这四个问题不应该是讲到这一章由老师提出，而应该在前面相应各章节的学习时就引导学习自己提出这些问题，学生带着这些问题来学这一章的效果肯定会更好.
统计与概率范文5
关键词：因材施教；实践教学；案例教学法
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）34-0016-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2016.34.007
工程教育专业认证是国际通行的工程教育质量保障制度，也是实现工程教育国际互认和工程师资格国际互认的重要基础。工程教育专业认证标准的通用标准要求：“能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”概率类相关课程是数学类的一门基础课程，研究的是随机现象统计规律性问题，其基本思想和方法已经渗透到各个领域。因此，应针对不同专业建立有差别的课程体系。
一、概率统计课程教学内容的现状
南京邮电大学目前开设的概率统计课程主要包括“概率论与数理统计”和“概率统计和随机过程”两门，分别面向不同的专业需求。概率论与数理统计共48学时，主要面向计算机、自动化、经济、管理等专业。概率统计和随机过程比前者多了16学时的随机过程部分，主要面向通信、电子、光电、物联网等专业。目前，同一门课程对不同专业讲授的内容几乎完全相同，且这两门课程共同包含的概率论与数理统计部分在讲授时也并没有因专业不同而区别对待。虽然任课教师认真备课授课，但是预期的教学目标并不能完全实现，就是所谓的事倍功半。数学知识是专业知识的基础，掌握得好，会使得后面专业课的学习更加得心应手。反之，就会影响预期效果。因此，概率类课程的教学内容应根据学生的专业背景进行适当调整。特别是部分通过专业认证和拟参加专业认证的专业，应调研专业的知识背景以及对概率类课程内容的需要，在讲授过程中做到突出重点，解决难点，真正做到“因材施教”。当然以此作为契机，对全校的概率课程教学内容进行一些改革，将会更好地提高教学质量。
二、构建概率统计课程新的框架
以48学时的概率论与数理统计为例进行分析，其他以此为据，适当增加或减少课程内容或在某些内容上增大或降低教学难度。整个课程设置分为必修、实践和选修三个部分。
（一）必修部分（48学时）
必修部分主要涵盖该门课程的理论知识部分，包括概率论部分和数理统计部分。概率论部分主要包括一维、二维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律等概率论基本概念。数理统计部分主要包括参数估计，假设检验等数理统计中的基本概念和抽样分布。
教学内容可分解成若干知识点，而联系紧密的一些知识点可以组成知识模块。将所有教学内容按照知识点、知识模块进行细分之后，按照不同专业的学习需求，增加或者跳过某个知识点或知识模块，以便调整授课内容。此外，对于高中出现的知识点、知识模块，可以采取归纳复习的方法。
（二）实践部分
概率论与数理统计课程是研究随机现象统计规律性的一门学科，从诞生到发展都离不开实践，许多重要的思想和方法都来自实践。另一方面，随着计算机的普及和发展，各种功能强大的数学软件应运而生。因此，在教学过程中加入计算机技术和数学软件，重视实践动手能力的培养成为该课程教学的必然。
实践教学内容的开展可以由多种形式来完成。一是作为一门必修课或者限选课，单独开设概率统计的实践课。二是在必修部分的课时充足的时候，将内容不太多的实践教学归入其中。三是将它归入其他课程，例如数学实验课就可以包含概率统计的实验问题。具体形式的选取要根据学校的实际情况而定。
（三）选修内容
概率统计的选修课可根据实际，开成各有侧重的课程。例如经济管理中的概率统计可以结合经济和管理专业讲述概率统计的应用，概率统计在社会生活中的应用可以侧重概率统计知识的使用等。这样做既考虑到了不同专业对概率统计知识的需求，也能照顾不同学生的需求。
三、概率类课程的教学方法改革内容
首先，教学内容要与生活实际结合。包括两方面：（1）阐述教学内容的背景知识。例如古典概型是通过掷硬币、掷骰子等赌博游戏发展而来。对背景的讲述有助于学生对概率统计知识的了解。（2）使用案例教学法。传统的教学方式注重系统性和严谨性，忽视了应用性。而实际上，概率统计中有相当一部分抽象难以理解的内容，就可以采用案例教学法。在案例分析中可以让学生体会数学建模的全过程。教学内容与实际问题结合的方式有助于学生对基本概念和理论知识的理解和掌握，有利于提高学生的综合应用能力。
其次，要注意学生能力的培养。包括两方面：（1）鼓励一题多解，培养学生的发散思维和深刻思维。鼓励学生用不同方式解决问题，当然这个过程中，重要的是先理解，然后应用。（2）讲授和讨论相结合，启发学生独立思考。在教学活动中，采用启发式、应用案例教学等相结合的教学方法，发挥教师的主导作用和学生主观能动性，注重学生的主体地位，最终提高学生分析和解决问题的能力。
最后，课程教学可以采用如下授课形式：（1）预习课1周。重温以前学过的知识，阅读教师指定的教材、参考书。（2）集中授课13周（包括习题课2-3周）。带着之前预习过程中发现的问题，有重点的听讲、练习。（3）讨论课2周。教师可提前准备几个题目，然后由小组代表和成员参与讨论。最后教师进行归纳和补充，这样每位学生对这些问题就有了全新的认识。
正如中科院院士李大潜所说：“数学的教学不能仅仅看做是知识的传授，而应该使学生在学习知识、培养能力和提高素质等方面都得到教益。”要做到这一点，教学方法的改进和教学内容的创新是关键的一环。
参考文献：
[1] 张克军.“卓越计划”下应用型本科院校概率统计课程教学改革探索[J].当代教育理论与实践，2015（6）.
[2] 尹亮亮，武萌.概率论与数理统计实践教学改革初探[J].现代企业教育，2014（10）.
[3] 陈俊英，曾浩宇.概率统计课程教学方法的探索实践[J].科技文汇，2014（2）.
统计与概率范文6
关键词： 概率论与数理统计 分级教学 实践 问题
高等院校经过近几年连续扩招，正面临着学生规模大幅膨胀、学生能力参差不齐的客观现象。这些变化给基础类教学带来了严峻的挑战，为了全面贯彻党的教育方针，大力推进素质教育，对概率论与数理统计进行科学的教学改革十分必要。
长江大学作为湖北省最大的省属地方高校，本身情况特殊，学生间存在着巨大差异：第一，我校石油工程、地球物理勘探和石油地质三个专业按照国家一本线招生，其它专业则按照二本线招生；第二，毕业后职业目标及就业要求差异较大，一部分进入石油石化行业，另外绝大部分会从事实际应用型工作；第三，我校办校和科研水平稳步提升，对部分“精英”学生要求更高。之前我校该课程一直按照传统的对所有学生实行自然分班和“一刀切”教学模式，这种单一、统一的教学模式，必然造成“好的学生吃不饱”、“差的学生吃不了”等新问题。
1.分级教学的理论依据和目的
实施分级教学，将高等数学处于同一或相近水平的学生跨专业跨班级归在同一个班级进行教学，极大优化教学资源，这主要源自因材施教原则。在因材施教教学原则下，分层次教学可满足各层次学生数学素质的要求，可充分挖掘学生的潜能，使每个学生都能获得所需要的知识，同时又充分实现高等院校的教育和服务功能，保证教学的质量和效果。
2.概率论与数理统计课程分级教学的实践
2.1分级教学的必要性。
2.1.1个体差异理论与生源质量差异
由于学生在地域因素、学习方法、接受教学信息等方面存在明显的个体差异，因此教师必须照顾学生的个体差异，从实际出发因材施教。扩招后学生高考成绩相差悬殊的现象已经非常明显，经过一年的学习，学生差异有扩大的趋势。该课程作为高等数学的后续课程，如果仍然采用自然分班，势必会严重影响教学效果，还会导致有限的教学资源不能得到有效的利用。
2.1.2各个专业间的要求差异
各个专业对于概率论与数理统计的要求也不尽相同。我校物理、机械、电信等专业后续课程和专业研究与数理统计知识联系紧密，对学生的能力要求也比较高；而法学、英语等专业只需要其掌握一般的数学基础知识和概念。完全不顾专业差异，采用同样的教学形式与教学方法，显然是违背科学规律的。
2.2分级教学的实施。
2.2.1学生的分级原则
学生分级是进行分级教学的前提，必须遵循一定的原则规律，科学合理地分班分级。划分标准应主要包括学生高等数学成绩、专业性质和本人意愿。分班分级应首先考虑学生的高考入学成绩和高等数学成绩，同时兼顾各专业后续课程及专业研究对概率论与数理统计知识能力的要求。在以上大原则的背景下，还应尊重学生的自我选择。当然，现实分级时，要考虑的因素还有很多，可以暂时分为ABC三级：数学基础好、专业对概率论知识要求较高的同学分为A级；数学基础较差且专业与数学联系不太紧密的同学分为C级；其他同学分为B级。
2.2.2教学的分级原则
教学分级的实施过程比较复杂，需要重新分级的教学环节很多，本文主要探讨教学大纲、教学目标、教学内容和考核方法。针对不同情况，我们重新修订了教学大纲和教学计划，并安排了适当的教学进度。具体来说，A级主要是在掌握“三基”的基础上，适当加深教学内容，学习并运用统计软件SPSS或SAS来解决实际问题；B级学生着重于理解，依据教学大纲的要求，强调对基础知识的理解与掌握，以课本知识为主，适当补充习题，培养学生通过建模思想来解决问题；C级学生则侧重于一般理解掌握，在不影响课程体系完整性的基础上，适当降低概率论部分的理论性和难度，在教学中多介绍一些有着良好应用背景的简单例子，力求做到深入浅出、通俗易懂。考核方式的分级主要体现在平时成绩的给定上。平时成绩包括学生学习态度、作业完成和出勤情况等多方面，如果条件允许，A级学生也可采用课程论文加期末考试加平时成绩的做法，并且ABC三级的平时成绩可按总成绩的20%、30%、40%的比例给出。
3.分级教学中存在的问题
目前各高等院校概率论与数理统计分级教学仍处于尝试和探索阶段，没有现成的道路可循，为此要构建合理的分级教学模式，必须注意以下几个方面的问题。
3.1如何制定更加科学的分级教学计划。
制定科学合理的教学计划和教学内容，实行有效的教学方法是分级教学重中之重。如何在充分体现国家学大纲精神的基础上，根据学生及专业的具体情况，制定合理规范的教学计划和教学内容是分级教学改革探索中面临的首要问题。
3.2如何使得教务、学生管理更好地协调一致。
分级教学打破了原有的自然班级界限，给教务、学生管理带来了一系列问题。班级同学来自不同专业，学生成绩登记、存档等问题都需要学校各个部门相互协调配合。所以，分级教学需要教务部门及各学院学生管理部门等方面的大力支持，相互协调才能顺利实施，这也是分级教学能够不断进行的可靠保证。
4.结语
近几年我院进行了概率论与数理统计课程的分级教学，取得了一定的成绩，但也发现了许多问题，如个别C级学生出现了自卑心理，分级成绩对各种奖（助）学金的评选带来了一些矛盾，等等，这些问题都要求我们探求解决之道。总之，分级教学具有坚实的理论依据，更适合新形势下高等教育教学改革的方向，是提高高等院校教学质量的一条可行途径。
参考文献：
［1］傅丽芳，邓华玲.高等院校概率论数理统计课程分级教学的实践与思考［J］.大学数学，2008，24，（01）：13-16.
