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平行线分线段成比例定理范文1
平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的拓展，即由“特殊”（对应线段的比值K=1）拓展到“一般”（对应线段的比值K为任意正实数）。这里涉及到无理数、极限等知识，教材只是设置了一个探究栏目，引导学生度量相关的线段长度，发现规律，然后直接给出定理。我准备渗透极限思想，培养学生严谨的科学态度。因此定理的生成是本节课教学的重点，也是难点。
那么如何实施教学目标呢？我制定了四个学习步骤：
1.师生共同运用“转化”的思想方法，探讨由“一组等距平行线分线段成比例（比值K=1）”到“一组不等距平行线分线段也成比例（比值K为任意正实数）的原理，生成平行线分线段成比例定理。2.引导学生观察、分析定理中的直线之间的位置关系，运用分类的思想，将图形变式，提高几何直观能力。3.引导学生将定理应用于三角形和梯形之中，生成“平行线分线段成比例定理”的推论。4.建构平行线分线段成比例定理的知识结构，感受数学知识的内在联系和逻辑关系。
本节课重点难点的教学过程：
1. 引导学生自主建构平行线等分线段定理
（1）提出问题：让学生在自己的作业本上任意画一条直线，那么这条直线被平行线组所截得的线段是否相等？（2）在学生通过度量得到结论后，再上升到理性认识，构造全等三角形或运用“面积法”证明结论成立，从而自主建构“平行线等分线段定理”，即：
2. 拓展研究：建构平行线分线段成比例定理。若换成一组不等距平行线，结论是否成立？（1）将作业本中某条平行线隐去（如图1所示）
学生添加原平行线 ，即在AC上截取CD长，正好可以截两次，得到截点B，过B点作平行线，马上得出结论
（2）进一步，将平行线向下平移，结论成立吗？（如图2所示）
开展小组讨论交流。如果学生无法完成，可适时点拨：解决问题的关键就是如何将“不等距”转化为“等距”？学生想到可在l1、l3、之间添加平行线，转化为“等距”。讨论：
截得尽转化为“等距”
截不尽有剩余，怎么办？
学生继续用 CD长去截，按照这样的办法无限添加下去，最后一条添加的平行线一定无限逼近于l1，它们之间的距离可以忽略不计，从而仍有结论 = 成立。此时学生确认了定理，即：l1∥l2∥l3？
（3）剖析题设、结论，运用比例定理变式，并进一步概括：三条平行线截两条直线，所截得的六条线段对应成比例
（4）图形变式：
平行线分线段成比例定理范文2
1.平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等.
注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成.
定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.
2.平行线等分线段定理的推论
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”+“平行”得“中点”.
推论的用途：(1)平分已知线段;(2)证明线段的倍分.
重难点分析
本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.
本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.
教法建议
平行线等分线段定理的引入
生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：
①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等;
②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.
教学设计示例
一、教学目标
1.使学生掌握平行线等分线段定理及推论.
2.能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力.
3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美
二、教法设计
学生观察发现、讨论研究，教师引导分析
三、重点、难点
1.教学重点：平行线等分线段定理
2.教学难点：平行线等分线段定理
四、课时安排
l课时
五、教具学具
计算机、投影仪、胶片、常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师复习引入，学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图，学生板演练习
七、教学步骤
复习提问
1.什么叫平行线?平行线有什么性质.
2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?
引入新课
由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的)，然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等，为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?
(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理)
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确.
下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述已知，求证).
已知：如图，直线，.
求证：.
分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得)，通过全等三角形性质，即可得到要证的结论.
(引导学生找出另一种证法)
分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得.
证明：过点作分别交、于点、，得和，如图.
，
又，，
为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图(用计算机动态演示).
引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1.
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2.
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好.
接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段.
例已知：如图，线段.
求作：线段的五等分点.
作法：①作射线.
②在射线上以任意长顺次截取.
③连结.
④过点.、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、.
、、、就是所求的五等分点.
(说明略，由学生口述即可)
总结、扩展
小结：
(l)平行线等分线段定理及推论.
(2)定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明.
(3)定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.
(4)应用定理任意等分一条线段.
平行线分线段成比例定理范文3
一、电影式总结
就是利用每天临睡前或散步等闲暇时间，把当天或近段学习的东西，像过电影一样，在头脑中过一遍，对模糊不精的内容，再有针对性的按书本进行复习。这样做的目的是为了再现所学知识，通过知识的不断映像，促使知识信号在大脑皮层扎根。“学而不思则罔”就是这个道理。根据遗忘先快后慢的规律，如果能反复的进行这样的总结，所学知识就能记忆牢固，用时才能得心应手。这样总结不需要大量的时间，却能收到学习的理想效果。
二、提纲式总结
一章或一节学完后，对知识进行纵向的整理过程，或者叫知识的归纳，知识索引。可以用一个小本本或一页硬纸，系统的列出本章节中所学习的内容，并经常翻阅、或把总结后的硬纸挂在自己的床边或涉足最多的地方，不断自觉不自觉地进行复习。长此下去，可以愉快地潜移默化地把知识牢固掌握，又可养成处处留心的好习惯。如在初级中学第三册《代数》第十三章中第一单元可以总结如下：
平面直角坐标系：
1.定义（即平面直角坐标系的构成）
2.点的坐标书写要求（X、Y）
3.特殊点的坐标
（1）坐标原点。
（2）坐标轴上的点（X轴上，Y轴上）。
（3）每一象限内点的纵横坐标符号。
（4）坐标轴夹角平分线上的点（一、三象限；二、四象限）。
（5）对称点的坐标（A、以X轴对称；B、以Y轴对称；C、以坐标原点对称）。
其他章节也可以仿照这种形式总结。
三、专题式总结
实际上就是对知识进行横向整理，它适用于阶段性复习，即把所学过知识以专题形式组织在一起，不断翻阅，使定理、法则和应用有机的联系起来，这样便于回忆思考，探求解题方法，并可克服见题无从入手的困难，如在总结证明比例线段的理论根据时，可按下面形式进行：
证明四条线段成比例的理论根据：
1.出现平行时
（1）平行线分线段成比例定理；
（2）平行线分线段成比例定理的推论。
2.出现相似形时
（1）相似三角形中所有对应线段（包括边、中线、高线、内角平分线、周长、外接圆半径、内切圆半径等）成比例。
（2）相似多边形所有对应线段（包括边、对角线、外接圆半径、内切圆半径、周长等）成比例。
另外如证明两线段相等、两直线平行、两线垂直、全等三角形、相似三角形、两线段不等，这些问题皆可照这种方法进行，这对帮助复习是很有益的。
四、比较式总结
就是把相同或相似的知识进行比较、对比，找出异、同点，从而达到加深理解知识，真正搞懂每个知识的内含和外延的目的，这就需要做更加深入、细致的思考、分析、联想，如在学习相似三角形判定时，有必要和全等三角形判定进行类比。
五、勘误式总结
就是把自己每次做题的题目进行收集、记录、分析，加深对出现错误的认识，提高“免疫力”，避免重蹈覆辙。常言道：不怕有错，就怕不知道错，改不掉错。另外，错误的东西一旦形成“定势”，不下苦功夫是很难克服掉的。这就像医生诊病一样，只有彻底搞清楚症结所在，方能药到病除，否则错误不断叠加，将越聚越多，最终无法医治，也只有把错误的地方搞明白了，才会避免再出错误，从而达到真正掌握知识的目的。
六、列表式总结
对一些相同或相似的知识，可以借助表格进行分门别类的总结，把易混难记的知识内容进行比较，达到正确掌握每一内容的目的，象几种特殊不等式的解法可列下表进行总结。（参照下图）
平行线分线段成比例定理范文4
例1：已知：如下图1ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC上的一点，以BD为直径作O，交AB于点E，连结CE交O于点F，BF的延长线交AC于点G，若BD、DC的长是关于x的方程（m2+1）x2-2（m+1）x+2=0的两根.
求证：GF·CA=CF·EA；
求tan∠BGC的值.
求作以线段AE、BE的长为根的一元二次方程.
第（1）问属于正常思路.第（2）问若求tan∠BGC的值，在RtBCG中需求出BC，CG的值，思路自然转到BD，DC的长是方程（m2+1）x2-2（m+1）x+2=0的两根上，如何处理BD、DC之间的关系将成为解决此题的关键，通过分析、识图发觉BD、DC有相等的可能，于是先用根的判别式（“？驻”）：？驻=[-2（m+1）]2-4（m2+1）×2=-4（m-1）2.因为BD、DC的长是方程的两个实数根，所以？驻≥0，而？驻=-4（m-1）2≥0，只有？驻=0，即m-1=0，m=1.从而突破难点，此题不再难解.
三角形相似、平行线分线成比例与圆幂定理的结合应用：
其实在解决这类问题中，较常用、较奏效的方法莫过于三角形相似、平行线分线段成比例与圆幂定理的结合应用，追溯哈尔滨近几年的中考试题中的第29题，还是以用三角形（包括构造三角形）相似、平行线分线段成比例，并结合圆幂定理的应用居多.
例2：已知：如图2，点O2是O1上一点，O2与O1相交于A、D两点，BCAD，垂足为D，分别交O1、O2于B、C两点，延长DO2交O2于E，交BA的延长线于F，BO2交AD于G，连结AC.
求证：∠BGD=∠C；
若∠DO2C=45°，求证：AD=AF；
若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根，求BD、BF的长.
本题仅介绍第（3）问的思路：
BF=6CD，设CD=K，则BF=6K.
连结AE，则AEAD，AE∥BC，=，AE·BF=BD·AF.
又由AO2E≌DO2C，AE=CD=K，6K2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）.
可求得：BC=3K，或BC=4K.当BC=3K时，BD=2K，此时？驻
除此以外还有其他寻求根之间的关系的办法：
例3：如图3，在RtABC中，∠ACB=90°，内切圆O与AB、BC、CA分别切于D、E、F三点，AO交O于M、N两点，交BC于G，已知O的半径为2，且AC、CG是关于x的方程x2-（2n+1）x+n2+2=0的两根.
求AC、AB. tan∠ADM的值.
下面简介寻求根之间关系的办法：
解：连结OF、OE，（OFOE）
可由OF∥CG求得=，，
=，
即2AC=CG·AC-2CG，
2（AC+CG）= CG·AC.
解方程，将根用系数表示：
例4：如图4，已知：四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于E，且ACBD，若AE2=BE·DE.
判断四边形ABCD的形状，
若AC=2BD，且AD、BC的长是关于x的方程，
x2-（2n+1）x+n2+n-2=0的两根，求n值.
以下仅介绍②问的解法：
方法（一）：由AE2=BE·DE推导ABE∽ADE，进而得到∠BAD=90°，解方程x2-（2n+1）x+n2+n-2=0，得x1=n+1，x2=n+2，由图知BC=n+2，AD=n-1，再由ABD∽ABC得，==，即tan∠ABD==，由于∠ACB=∠ABD，tan∠ACB==，可得BC=2AB=4AD，即n+2=4（n-1），解得n=2.
方法（二）：可以从BC=4AD起利用根与系数关系，
BC+AD=2n+1，
BC·AD=n2+n-2，
解方程组求n，此时n1=-3，n2=2，还需说明n1=-3不合题意，舍去，显然不如方法一简捷.
根的转移：
例5：如图5 RtABC中，AC=BC，AB=2，ADL，BEL，过C作直线L，AD、BE是关于x的方程x2-（m+3）x+m2+2=0的两根.
①当AB在L同侧时，判断AD、BE和DE的关系，并求DE的值.
②当A、B两点在L两侧时，画图并求DE，并判断AD、BE和DE的关系.
AD、BE从表面看似乎没有任何关系，然而要求DE的值时，尽管我们会由全等证出DE=BE+AD，但要求值，还得首先求出m，这就迫使我们不得不寻找两根AD、BE之间的关系，而此时将一根BE（AD）转移是再好不过的方法了.比如将BE转用DC代替（因为ADC≌CEB），两根就同时位于ADC中，由勾股定理即可建立两根之间的关系：AD2+DC2=AC2，而AC在等腰直角三角形ACB中，由AB=2可求得AC=，即AD+BE=（）2，从而恒等变形为可以用根与系数关系的形式，（AD+BE）2-2AD·BE=10，再将AD+BE=m+3，AD·BE=m2+2代入得到一个关于m的一元二次方程：（m+3）2-2（m2+2）=10，解得m=1或m=5，而当m=5时，？驻
第②问可同①理.
这类问题有的是直接转移根，有的也转移与根有关的等式，现再举一例仅供参考：
例6：如图6在RtABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，过C、D两点作O分别交AC、BC于E、F，交AB于G.
①求证：AE2+BF2=DE2+DF2；
②若AE2+BF2=85，且CE、CF的长是关于x的方程
平行线分线段成比例定理范文5
一、添置辅助线及其作用
学生在思维时要做到概念明确、判断恰当、推理有逻辑性、论证有说服力,这是最起码的要求。因此在教学中,教师必须加强学生逻辑思维能力的培养,使学生发挥想象能力,正确地添置辅助线;学生必须准确牢固地掌握概念及定理的来龙去脉,同时还要理解添置辅助线的作用。
辅助线起着连接推理步骤的桥梁作用,使思维借助直观而增加其形象性。其作用具体可归纳为四个方面:
(一)变位
将已知线段、直线或角改变原来位置,便于找出图形间的内在联系。
例1:求证对角线相等的梯形是等腰梯形。
如图1,我们可作DE∥AC交BC的延长线E。
(二)转换
将已知条件转换为辅助线的性质,从而建立图形间的新联系。
例2:已知AD、BC为平行线,AB为其间的斜线,AC为BC的垂线,引直线BED交AC于E,交AD于D,且ED=2AB,如图2。
求证:∠DBC=∠ABC。
分析:O是ED的中点,连结AO。
AO=ED
OA=AB
∠3=2∠4,∠2=∠3
∠2=2∠4
∠ABC=3∠DBC。
(三)关联
将分散的条件集中起来,以辅助线为媒介,取得联系,从而发现图形间的内在联系。
例3:已知四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,延长BA、CD与直线EF交成∠1与∠2,如图3。
求证:∠1=∠2。
分析:可连结AC,G为AC的中点,再连结FG、EG,
∠2=∠3,∠1=∠4,∠3=∠4
∠1=∠2。
(四)构形
通过辅助线将已知图形构成新的图形,从而可以利用新的图的性质进行推证。
例4:已知ABC的内角平分线AD延长后,交外接圆于E,如图4。
求证:AB∶AD=AE∶AC。
分析:连结CE,
∠E=∠B,∠1=∠2
ABC∽AEC
=
=
即=。
二、辅助线的作法及其寻求方法
在教学中,教师要使学生对所学知识的应用形成技能和技巧。就是在教师的指导下,学生能运用所学的知识自觉地完成某种活动,这就形成了相应的技能,而技能再经过系统、反复的练习,达到熟练的程度,便形成了技巧。学生只有掌握应用的技能和技巧,才能进一步学得知识。因此,学生还要掌握辅助线的作法类型和辅助线的寻求方法。
(一)辅助线的作法类型
1.连结法(包括先取点再连结)
例如,三角形的中线、中位线,四边形的对角线,圆的半径和弦相交,两圆的公共弦等。
2.延截法
有关中线的问题多用此法。例如,延长一线段与已知直线相交,得到新图形,或者延长并截取一线段等于已知线段等。
3.过线外一点作平行线
如平行移动一线段构成三角形或平行四边形,梯形的对角线或腰,作平行线形成比例线段或相似形等。
4.作垂线
如作三角形的高,由角平分线上的点向边作垂线,或作角平分线的垂线,作梯形的高,圆的弦心距,过半径的外端作切线等。
5.作角的平分线
利用其对称性质。
6.作一个角等于已知角
如已知直线为一边作一角等于已知角,在圆弧上取一点作圆周角或弦切角。
7.作两圆的公切线
(二)辅助线的寻求方法
在掌握辅助线的基本作法后,辅助线的寻求就基本有法可循了。思维方法一般有三种情况:
1.综合法
从已知条件出发,根据给出的图形的基本性质选择辅助线。
例5:已知ABC的两高是BD、CE,外接圆中心是O,如图5。
求证:AODE。
分析:过A作O的切线。
AFOA,只要DE∥AF即可。
从图上可知B、C、D、E四点共圆。
∠2=∠BCD,且∠1=∠BCA
∠2=∠1
AF∥ED
AOED。
2.分析法
从结论出发寻求证题思路,相应地作出需要的辅助线,如上面的图4的题目。
3.利用图形的变换寻求辅助线
(1)平移
将已知线段平移构成平行四边形。如图1的题目。
(2)对称变换
轴对称(反射),中心对称。角平分线的问题很多时候都会用到反射的知识。
例6:在直线的同旁有两点,如图6,求在直线上一点到这两点的距离最小。就是选出A的对称点A,连结AB就得到与直线相交的点P。
(3)旋转。特别适用于正方形、正三角形一类有关的题目。
例7:已知P为正ABC外接圆劣弧BC上一点,如图7。
求证:PB+PC=PA。
分析:若ABP以A为中心旋转60°即可证明。
平行线分线段成比例定理范文6
近年来，不少教师，特别是年轻教师，利用《几何画板》辅助教学作了许多有益的探索与实践，受到了较好的教学效果，本文谈谈笔者的体会。
1、《几何画板》具有学习容易，操作简单，功能强大的特点
作为教师，如果已经有了操作WINDOWS的基础，要掌握《几何画板》的基本功能是不难的，只要认真阅读它的《参考书册》就可以了，若能经过三、四天的培训，就可以比较熟练地掌握它，还可以象圆规、三角板一样，十分方便地使用它，并可以“完美地”实现自己的“创意”，《几何画板》。不同于其他的计算机绘图软件，他所作出的图形、图象都是动态的，而且注重数学表达的准确性，最突出的优点就是使图形、图象在变动的状态下，保持不变的几何关系，线段的中点永远是中点，平行的直线永远是保持平行。这样就可以帮助学生从动态中去观察、探索和发现对象之间的数学关系与空间关系。它是培养跨世纪创新人才不可多得的辅助教学的软件，是中学数学教师理想的CAI工具之一。
2、利用《几何画板》是提高知识的形成过程，培养学生的探索发现能力
2.1 《几何画板》提供了测量和计算功能，能够对作出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等，还能对测量的值进行计算，并把结果动态地显示在屏幕上，用鼠标拖动任意一个对象，使其变动时，显示出这些几何对象大小的量也随之改变，对学生发现问题，讨论问题提供了很好的园地。例如：传统的教学方法是把三角形内角和定理告诉学生，然后再加以证明。利用《几何画板》我们可以在屏幕上展示，无论拖动三角形的一个顶点怎么移动，虽然这个三角形的三个内角的大小动态地改变着，但是显示三内角和的数值不变，并且可以以表格形式展示在屏幕上（如下表）。
46.5 81.5 105.1 123.2
46.2 19.2 25.3 34.4
87.3 79.3 49.6 22.4
180.0 180.0 180.0 180.0
A
B
C
A+B+C
学生经过直观地观察，探索归纳出三角形内角和的性质，然后再引导学生证明。又如在学习相交弦定理时，任意改变圆内相交弦AB、CD的交点P的位置时，屏幕上显示AP•PB、CP•PD的数值总保持相等，准确地表达了定理。如果把这点拖到圆外，又可以表现为割线定理。
2.2 利用《几何画板》可让学生参入教学过程，实现了对知识意义的主动建构，较深刻地理解了所学的内容，有效地化解了难点。如在平行线分线段成比例定理的推出是个难点，教材是通过平行线等分线段的定理举例，说明它的正确性，学生没有足够的体验，很难达到对定理的理解，如利用《几何画板》做好课件，在网络教室中，让学生在电脑上亲自去度量线段的长，计算线段的比，然后验证线段的比是否相等，这样做，教学中发现了“定理”。另外，通过平行移动图中线段的位置，学生很容易“发现”该定理的两个推论，即它的两个变示图形。
a A D A a D A
b B E b B E B
c C F c c
C F C F
图1 图2 图3
这样的课件设计，突出了学生的主体地位和探索观察的实验意识，从一般到特殊，从形象到抽象，学生经过这样一番试验、观察、猜想、证实之后，再引导学生给出证明，这样较难讲清的问题，就在学生的试验中解决了。
3、利用《几何画板》的辅助教学，有利于学生素质的提高
