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函数思想范文1
一、数形结合思想
数形结合多指以形助数,即以图形或图像之关系反映相应的代数关系,并解决有关代数问题。,函数的图像直观的显示函数的性质，借助于图像来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用得一个重要方面。再解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图像解题。这种方法使用的主动性和熟练性,集中表现出学生的数学意识和潜质,反映了数学的简练性和趣味性。
例1已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个大于1，另一个小于1，求实数k的取值范围。
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组，如果从函数观点出发，令f(x)=2kx2-2x-3k-2，则由根的分布情况当k>0时函数的图像只能如图所示：
对应条件是k>0且f(1)
同理当k0。
解：令f(x)=2kx2-2x-3k-2，分析函数图像知为使方程f(x)=0的两根一个大于1，另一个小于1，只需
k>0且f(1)
解得k>0或k
评注：本题是一个利用函数图像解决方程根的分布问题的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得到巧妙解决。
二、转化和化归思想
在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。化归与转化的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）；③具体化原则；④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已经建立起来的数学模式。
三、分类讨论思想
分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象内部问题区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。在解决含参数的二次函数问题时会涉及到分类讨论的思想，特别是研究含参数的二次函数的最值和单调性及应用等问题上，一般需要分类讨论的思想方法。
例2：已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在区间[-1.5,2]上的最大值为1，求实数a的值。
解：a=0时，f(x)=-x-3,在[-1.5,2]上不能取得1，故a≠0.1-2a
f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的对称轴方程为x0=―――,2a
(1)令f（-1,5）=1解得，a=-10/3
此时x0=-23/20∈[-1.5,2],
因为a>0,f(x0)最大，所以f（-1,5）=1不合适。
（2）令f(2)=1，解得a=3/4，此时x0=-1/3∈[-1.5,2]，
因为a=3/4>0，所以f(2)最大合适。
（3）令f(x0)=1，解得a=1/2（-3±2√2），验证后知只有a=1/2(-3-2√2)才合适。
函数思想范文2
函数是一门应用非常广泛的数学工具，因此它也是中学数学中的一个重要内容。其重要性不仅仅体现在自然科学、体现在工程技术上，也逐渐广泛地体现在人文社会科学上：世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。纵观整个中学教学内容,函数的思想便如一根红线把中学教学的各个分支紧紧地连在了一起,构成有机的知识网络。它几乎贯串于整个中学数学, 无论是不等式，还是数列，无论是三角函数，还是集合，都可以看到它的影子。一些看来与函数风马牛不相及的问题,我们若用函数的思想去思考,往往可以简化解题过程，突破思维死角，进而解决问题.下试举几例，供有意者飨之。
一、函数思想在集合相关问题中的应用
例1：①已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N= 。
析：此题主要考察集合N中元素为y，即二次函数y=3x2+1的值域为 [1，+∞]，可知答案为{x|x＞1}。
②已知全集为I=R,A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-2ax+a≤0，a∈R}，且 ，求a取值范围。
析：此题主要考察二次函数y=x2-2ax+a≤0解集的情况。
解：当＜0即0＜a＜1时，满足条件。
当=0时，a=0或a=1。
若a=0，则x=0，不满足题意。
若a=1，则x=1，满足题意。
当＞0时，两个解必须在[1，2]内，即有：
综上所述，0＜a≤1
在集合相关问题中，一元二次不等式、一元二次方程的题目随处可见，它们相互转化，许多时候都需求出一元二次不等式解集的情况，难度虽不高，但往往会因考虑问题不全面而失分，应引起重视。
二、函数思想在证明不等式中的应用
例2：设a，b∈R，求证：
析：直接采用不等式变换去证明还是比较不容易的。然而观察题目特点，可以把不等式两边看成函数的两个值，因此可否构造函数，而后应用该函数的单调性求解呢？
令，由易知：f（x）在区间（-1，+∞）上是增函数，
因为0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）
即
巧妙极了！直接绕开了繁琐的变形与计算，整个解题过程显得非常简洁。不但使学生拓宽了眼界，提高了能力；而且带来了一种心情上的惊奇与精神上的震撼，使他们深深的体会到数学的奇妙，提高了学习数学的兴趣。
例3：[1993年全国高考理（29）] 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β。证明:如果|α|＜2，|β|＜2，那么2|a|＜4+b
析：作一次函数 α+β
=-a，αβ=b， ，取x1=2（α+
β）-（4+αβ）=-（2-α）（2-β）＜0，x2=2（α+β）+（4+αβ）=（2+α）（2+β）＞0，则有f（x1）=-1，f（x2）=1。由f（x）的单调性知-1=f（x1）＜f（0）＜f（x2）=1，即
又|b|=|α||β|＜4，4+b＞0，2|a|＜4+b。
函数的思想在历年的高考题中，一直是必须考察的重点之一。而考虑到不等式与函数的特殊关系，我们必须对这种题型加以足够的重视。本题通过构造一次函数，巧妙的将不等式问题化为函数问题来解决，整个问题得以轻松解决。
三、函数思想在数列相关问题中的体现与应用
例4：设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12，S12>0，S13
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由。
【分析】题（1）根据题设条件列出关于公差d的不等式组求出d的取值范围；题（2）求等差数列的前n项和的最大值，其求法比较多，总的思路有如下2种：一是通项研究法，即当d＜0时，求出使得an>0且an+1
解不等式组得：－
（2）解法一：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+10，S13
=13a7－a7>0，a7
解法二：
当－
解法三：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1
故S6最大。
【评注】 本题考查等差数列、不等式等知识，利用解不等式及二次函数的图像与性质求Sn的最大值，这是函数思想在数列中的一大表现。
四、函数思想在三角函数相关问题中的应用。
例5：已知函数f（x）=-sin2x+sinx+a，当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围。
析：由f（x）=0得-sin2x+sinx+a=0，那么根据该等式如何求a的取值范围呢？当然可以换元，设t=sinx，将问题转化为一元二次方程-t2+t+a=0在[-1，1]上的根的分布问题。但是，总是觉得太麻烦了，经深思后，觉得可以先作如下变形：
分离a得：
如果把a看成是x的函数，问题转化为求函数的值域。
因为sinx∈[-1，1]，所以
函数思想范文3
一、 方程思想
通过列方程（组）求解数学问题的一种解题策略，我们称之为方程思想. 在本章中许多问题都可以通过列、解方程（组）解决，其中方程思想体现最多的是利用待定系数法求二次函数解析式.
例1 已知二次函数的图象顶点是（1，-4），且经过点（3，0），求这个二次函数的解析式.
【分析】为了拓宽同学们的视野，我们分别采用一般式、顶点式及交点式三种方法求二次函数解析式.
【解法1】设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，根据题意，a+b+c=-4，9a+3b+c=0，-■=1.
解得a=1，b=-2，c=-3.
所以二次函数解析式为：y=x2-2x-3.
【解法2】因为抛物线的顶点为（1，-4），所以设二次函数的解析式为：y=a（x-1）2-4，把（3，0）代入上式，得a（3-1）2-4=0，解得a=1，则二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.
【解法3】因为抛物线的顶点为（1，-4），且经过点（3，0），可知抛物线经过点（-1，0），所以设二次函数的解析式为：y=a（x-3）·（x+1），把（1，-4）代入解析式，解得a=1，则二次函数解析式为：y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.
【点评】方程思想体现了已知与未知的对立统一关系，解法1是设一般式求解，即利用顶点坐标公式和点的坐标满足解析式来列方程组；解法2是利用顶点式求解；解法3利用抛物线与x轴的两个交点，得到交点式解析式，然后把点（1，-4）代入所设的解析式，从而得解. 显然解法2是本题的最佳解法.
二、 数形结合思想
“数无形时少直观，形少数时难入微 ”，数形结合思想就是充分利用数量关系和图形的结合，寻求解题思路，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，从而达到以形助数、以数解形的效果.
例2 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
【分析】观察抛物线的位置走向、关键点的位置坐标以及解析式中各系数与图象的对应关系，从而作出判断.
解：观察图象可知，抛物线开口向下，得a0，因为抛物线与y轴的交点在y轴的上方，可得c>0，则abc
【点评】二次函数的图象与二次函数中的字母系数有着密切关系，利用二次函数的图象信息，将数与形有效地结合与转化，根据图象信息转化为方程或不等式再求解，从而较好地实现以形助数、以数解形的效果，这也是近几年中考的热点.
三、 函数模型思想
函数模型思想意在把错综复杂的实际问题简化、抽象为数量间关系，即用数学语言描述实际现象. 生活中的许多问题，如最大利润、最小成本、方案最优化等，常常需要建立函数模型解决.
例3 某宾馆客房部有60个房间供游客居住.当每个房间的收费定为每天200元时，房间可以住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.对游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元，求：
（1） 房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数解析式；
（2） 该宾馆每天的利润W（元）关于x（元）的函数解析式；当每个房间的定价为每天多少元时，W取得最大值.
【分析】每天的入住量=总房间数-每天的定价增加量÷10，每天的房间收费=每间定价×每天入住量，每天的利润=每天的房间收费-各种费用总和.
解：（1） y=60-■x；
（2） W=（200+x）60-■-20×60-■，即W=-■x2+42x+10 800=-■（x-210）2+15 210. 当x=210时，W有最大值15 210，此时，x+200=410，即当每个房间的定价为每天410元时，W有最大值是15 210元.
【点评】二次函数是能够刻画现实生活中某些情境的数学模型. 一般先根据题意把实际问题中的条件转为数学条件，再确定函数解析式，利用函数解析式去解决实际问题. 求解过程中关键要求出自变量的取值范围，再运用二次函数的性质求解.
四、 转化思想
转化思想是将未知问题或难以解决的问题，通过观察、分析、类比等途径，转化为我们已解决或易于解决的问题.简单地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，通过转化，使复杂问题变得简单.
例4 利用函数图象判断方程2x2-x-1=0有没有实数解，若有，求出它的解（精确到十分位）.
【分析】求一元二次方程的近似解可以转化为用函数图象解方程，这里介绍两种方法：一是看函数y=2x2-x-1与x轴交点的横坐标；二是看二次函数与一次函数图象交点的横坐标，如看函数y=2x2与y=x+1的图象的交点的横坐标.
【解法1】设y=2x2-x-1，则方程2x2-x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标. 同学们不妨在平面直角坐标中画出函数y=2x2-x-1的图象，设其与x轴交点为A、B，则点A、B的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.
【解法2】在平面直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=x+1的图象，得到两函数图象的两个交点A、B，且A、B两点的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.
【点评】转化思想就是换一种方式去思考，使问题朝着有利于解决的方向去发展.本例把求一元二次方程的近似解转化为利用函数图象解方程，从而达到化抽象为具体、化复杂为简单的效果. 转化思想在本章中有很多的应用，如通过平移二次函数图象把复杂的二次函数转化为简单的二次函数，如通过观察二次函数的图象巧妙地求解一元二次不等式问题以及一元二次方程的有无实数解问题，如把实际问题中的求最值问题转化为二次函数的求最值问题等等.学好用好转化思想，有如顺水推舟，能大幅提升解题能力.
五、 分类思想
当问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别求解，这种方法称之为分类讨论思想. 分类必须遵循以下两条原则：（1） 每一次分类要按照同一种标准进行；（2） 不重复，不遗漏.
例5 如图2所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方），若OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），求S关于t的函数关系式.
【分析】当0≤t≤4时，随着直线l的平移，点N在线段OC上，点M可能在线段OA上，也有可能在线段AB上，因此计算OMN的面积时要进行分类讨论.
解：当0≤t≤2时，点M在线段OA上，ON=t，MN=■t，S=■ON·MN=■t2；
当2≤t≤4时，点M在线段AB上，ON=t，MN=2■，S=■ON·MN=■t.
例6 若函数y=（a-1）x2-2ax+a与x轴总有交点，求a的取值范围.
【分析】由于题设中未说明函数的次数，也未说明图象与x轴的交点个数，因此题设中的函数可能是二次函数也可能是一次函数.
函数思想范文4
一、方程思想
1.知三求二
等差（或等比）数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差（或等比）数列的五个基本元素a1、d（或q）、n、an、Sn.“知三求二”是等差（或等比）数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.
例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn=242，求n的值.
解（1）由a10=a1+9d=30，
a20=a1+19d=50，
解得a1=12，
因为n∈N*，所以n=11.
2.转化为基本量
在等差（等比）数列中，如果求得a1和d（q），那么其它的量立即可得.
例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.
解a6―a4=a1q3（q2―1）=24.（1）
由a3a5=（a1q3）2=64，得a1q3=±8.
将a1q3=―8代入（1），
得q2=―2（舍去）；
将a1q3=8代入（1），得q=±2.
当q=2时，a1=1，S8=255；
当q=―2时，a1=―1，S8=85.
3.加减消元法利用Sn求an
利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.
例3（2011年佛山二模）已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：
a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=（n―1）・2n+1.
若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.
解将等式左边看成Sn，令
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.
依题意Sn=（n―1）・2n+1，（1）
又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=（n―2）・2n―1+1，（2）
两式相减可得
Sn―Sn―1=an・bn=n・2n―1（n≥2）.
又因为数列{bn}的通项公式为
bn=2n―1，
所以an=n （n≥2）.
当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.
从而对一切n∈N*，都有an=n.
所以数列{an}的通项公式是an=n.
4.等差、等比的综合问题
这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.
例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.
解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.
由已知得a1+a2+a3=7，
（a1+3）+（a3+4）2=3a2.
解得a2=2.设数列{an}的公比为q，
由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.
又S3=7，可知2q+2+2q=7，
即2q2―5q+2=0，
解得q1=2，q2=12.
由题意得q>1，所以q=2.
可得a1=1，
从而数列{an}的通项为an=2n―1.
二、函数思想
数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式
an=a1+（n―1）d=dn+（a1―d），
前n项和的公式
Sn=na1+n（n―1）2d
=d2n2+（a1―d2）n，
当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.
1.运用函数解析式解数列问题
在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.
例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.
分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.
解设Sn=an2+bn（a≠0），则
a×102+b×10=100，
a×1002+b×100=10.
解得a=―11100，
b=11110.
所以Sn=―11100n2+11110n.
从而S110=―11100×1102+11110×110
=―110.
函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为
n=111102×11100=55211=50211.
因为n∈N*，
所以n=50时Sn有最大值.
2.利用函数单调性解数列问题
通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.
例6已知数列{an}中an=ln（1+n）n （n≥2），求证an>an+1.
解设f（x）=ln（1+x）x（x≥2），
则f ′（x）=x1+x―ln（1+x）x2.
因为x≥2，
所以x1+x1，
所以f ′（x）
即f（x）在[2，+∞）上是单调减函数.
故当n≥2时，an>an+1.
例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.
（1）若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.
（1）分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.
解由题设易得an=n―72，
所以bn=2n―52n―7.
由bn=2n―52n―7=1+22n―7，
可考察函数f（x）=1+22x―7的单调性.
当x
且f（x）
当x>72时，f（x）为减函数，
且f（x）>1.
所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.
（2）分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.
由于bn=1+1n―1+a1，
故可以考察函数f（x）=1+1x―1+a1的形态.
解由题，得an=n―1+a1，
所以bn=1+1n―1+a1.
考察函数f（x）=1+1x―1+a1，
当x
且f（x）
当x>1―a1时，f（x）为减函数，
且f（x）>1.
所以要使b8是最大项，当且仅当7
所以a1的取值范围是―7
3.利用函数周期性解数列问题
例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.
分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.
解由已知
函数思想范文5
一、在函数解题中运用数学思想的优越性
数学思想方法原指人们在一定世界观指导下观察、研究事物和现象所遵循的规则和程序.在数学学习过程中，思想方法就是解决难题、重点题目的“导火线”和源头.有些初中生在刚刚接触到深奥的函数数学知识时知难而退，无法在脑海中形成清晰的解题思路，是对思想方法掌握不好的表现.在函数教学过程中，如果教师不断向学生渗透思想方法，就能帮助初中生从解题的“牢笼”中释放出来，使学生模糊不清的知识网络逐渐变得清楚，自然而然地就会避免学生在拿到题目后无从下手的情况，从而提高学生的解题能力.
二、在函数解题过程中应该具备的解题思想
1.化归思想.化归思想是解决函数问题的重要思想方法，需要学生严谨的逻辑思维模式.化归思想就是将学习中遇到的抽象的问题进行转换，转化成容易理解的问题方式，从而更容易解决数学难题.在初中阶段，函数题目比较深奥，仅仅凭借课堂例题的讲解和公理定理的死记硬背已经无法适应初中数学的难度.因此，教师要向学生渗透化归思想，帮助学生轻松解决函数难题.“授人以鱼，不如授人以渔”.在教学过程中，教师不能让学生死记硬背课堂例题或者做过的题目，要传授给学生实用的化归思想，并让学生灵活运用.化归思想是在初中函数学习中解决难题时特别实用的方法.运用化归思想，通常可以将复杂的问题转换为容易解决的问题，将抽象的问题转换为形象的问题，将无法解决的问题转换为轻易解决的问题.在心智尚未成熟的中学生面前，很难将化归思想与初中函数教学完美结合.为了让化归思想深入学生的内心，使学生遇到函数题目都能联想到化归思想的运用，教师需要让学生充分体会到化归思想的重要作用.例如，在讲“函数及图象”时，教师可以引导学生就函数的交点问题进行深入研究，并提出问题：当k取何值时，两条直线的交点落在第四象限内？第一次接触到这个题目时，学生必定是满头雾水不知道怎么解决，怎么保证两条直线的交点在第四象限内呢？其中包含了两条直线的倾斜程度、两条直线x的取值范围、两条直线的斜率大小都是影响本题结果的因素.教师要先让学生跟着他们自己的思路试着做下去，慢慢限制各个要素，当算了很长时间都没有算出来，学生正要失去耐心时，教师让学生转换一个思路：要想让两条直线的交点落在第四象限，就等价于交点坐标要符合第四象限点的特征，即x为正、y为负.教师只要提示到这里，一切就迎刃而解，学生会恍然大悟.通过两个方法的对比，化归思想必定能让学生记忆深刻.
2.数形结合思想.在解决函数问题时，数形结合的思想方法是通过图形来解决问题.Q一种说法就是，将问题的数量关系转换成图的性质或将图的性质转换为数量关系.这样换一种思路解题，能够将问题简单化.数形结合是一种重要的数学思维方法，特别是在函数解题中尤其得到广泛应用.通过图形将复杂的函数问题直观、简单化，降低数学问题的难度，同时通过数形结合解决函数问题，避免复杂的大量计算，从而避免不必要的计算错误.例如，求sinα三角函数的最大值.如果通过代数法进行计算，可能花费学生大量的时间，而通过sinα三角函数的图象进行研究，就能快速得出答案是1.由于学生的学习时间有限，因此数形结合的解题方法对于学生来说必不可少.
总之，“滴水穿石”.教师要引导学生在函数解题过程中运用数学思想.在教学过程中，教师要不断完善数学思想方法的教学，优化课堂教学方式，基于数学思维方法来指导学生掌握数学的本质、掌握函数解题的关键.此外，逻辑思维是以抽象的思维方式研究事物的内在规律，也是解决数学问题必须具备的能力.因此，在初中阶段，为了让学生在函数解题过程中能够运用数学思想，教师要注重学生逻辑思维能力的培养.
参考文献
马艳.中学数学教学中化归思想方法的应用研究[D].西北师范大学，2009.
黄轶凤.渗透典型数学思想方法提高学生学习效果的实践研究[D].上海师范大学，2009.
函数思想范文6
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2016）06―0116―01
函数是初中数学的重要内容，是初中数学知识体系的精髓之一，是刻画和研究客观世界变化规律的重要模型.许多数学问题、实际问题都与函数知识息息相关，都需要通过函数知识来解答.对初中生而言，虽然函数知识的学习是由简到难、循序渐进的，但是很多学生从学习一次函数开始，就对解决函数问题不知所措，更不能灵活掌握其解题方法.究其原因，主要是学生没有掌握其中的数学思想方法.那么，如何能使学生轻松掌握函数知识，灵活应用数学思想方法解决与函数有关的数学问题呢？下面，笔者结合教学实践，谈谈初中涉及到的几种数学思想方法.
一、分类讨论思想
当数学问题中包含多种可能的情况或多种不同的位置关系，就需要依据不同情况分类讨论得出结论，从而通过问题的局部解决来实现整体的突破.在引入有理数概念的同时就蕴含着分类讨论的思想，这种思想在以后的学习中不断加强，在解决函数问题时，分类讨论的思想显得非常突出.如下题：
例（2013年铜仁中考）：已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）.
（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标.
分析：本题是二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形面积，难点在第三问，当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论.可以按每一个顶点都有可能是顶角的顶点分三种情况讨论①AM=AB，②BM=BA，③MB=MA求出m的值后即可.在分类中做到细心缜密、考虑周全，才能够不遗漏每一种情况.
二、数形结合思想
数轴的引入为数形结合思想奠定了基础，借助数轴，点与数形象而又直观地呈现出来.直角坐标系的建立为函数提供了展示的舞台，在直角坐标系中有序数对与平面内的点一一对应，使函数与其图象的数与形的结合成为必然.初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的图象都是在直角坐标系中得以展示，这种思想方法在函数知识的学习与应用中则显得更加重要，在相关是函数题型中利用数形结合思想解决问题能起到事半功倍的效果.
例，直线y=x1x+b（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，-1）两点.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1
分析：本题第二问和第三问都可用数形结合的方法解答，要比较y1，y2，y3的大小，只需要在x轴上取x1、x2、x3，使x1
三、方程与函数思想方法
方程思想简单地说就是运用方程或不等式的解答方式来求解，而函数思想一般就是指构造函数继而利用函数的性质去处理问题.函数的研究不能离开方程，同时方程问题借助函数知识去处理才能更简单.
例 若方程a（x+m）2+b=0的两个根分别为x1=0，x2=3，那么方程a（x+m+6）2+b=0的根是 .
