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摘要：“数学建模”是工科人才培养中一门具有实践性质的公共必修课程。该课程的教学目标是锻炼学生用数学思维方式和数学方法解决实际问题，培养其探索能力和创新能力。在新的时代需求下，面对国家战略急需人才培养和提升拔尖创新工科人才培养的目标，“数学建模”课程需要进行专门的针对性特殊设计，以进一步发挥好该课程在人才培养体系中的作用。
关键词：工科；数学建模；拔尖创新；人才培养
一、引言
工科人才需要坚实的数理基础，这是高等教育领域的共识。数学作为基础学科，如何对工科拔尖创新人才培养形成有力的支撑，是一个值得持续探索的课题。“数学建模”课题组在参与南京理工大学工科拔尖创新人才培养的过程中，对“数学建模”课程进行有针对性的设计，发挥其在工科教学体系中的作用。南京理工大学是隶属于工业信息部的全国重点大学，培养理、工以见长的专业技术人才，在长期发展过程中形成了兵器与装备、电子与信息、化工与材料三大优势学科群。课题组此次教育教学改革的实施对象为南京理工大学钱学森学院本科二年级的学生。钱学森学院是南京理工大学培养拔尖创新人才，深入推进教育教学改革的前沿阵地，是教育实验性质的特色学院。学校每年从录取的新生中遴选出具备创新潜质的学生，分机械工程、电子信息、材料工程3个专业大类编入该院，这3个专业大类分别对应学校8个工科学院和1个重点实验室。培养模式上强调宽口径，厚基础，大一与大二主修通识教育和基础理论课，大二下学期确定专业方向完成分流。下文为课题组的主要建设措施和相关思考。
二、“数学建模”课程教学改革内容
钱学森学院的“数学建模”课程开设于大二下学期，此前，学生已学完“数学分析”“高等代数”“概率统计”等数学基础课程，具备了一定的数学理论基础，即将进入专业学习的高年级阶段，学习方式也由纯理论学习转向理论与实践相结合。学生通过对该课程的学习，参加各类数学建模竞赛和实践类能力大赛，理解工科结合数学工具的必要性和重要性，为下一阶段的专业学习做好充分准备。针对上述情况，课题组对“数学建模”课程作了针对性设计和调整，分为五个方面，阐述如下。
（一）用好学科交叉优势。钱学森学院的学生主要来自学校三个专业大类，尽管低年级重在通识课和基础课，但这些具备主动学习能力的学生在进校一年多后，已通过各种途径了解了自己心仪的专业，到大二下学期，学生大多都明确了专业目标，并且具备了专业交叉的基础知识。三大专业均隶属于工科范畴，而加入“数学建模”，相当于又增加了一个学科维度，为学生数学建模竞赛组队时的学科融合互补提供了先期的条件。学生可以和本院或外院其他专业的同学组队，选择方式较为灵活。此外，“数学建模”课程的内容具有涵盖面广的特点，案例来源于能源、交通、机械、材料、信息、物流、经济等行业领域。考虑到课题组教师来自理学院，不能对上述领域有全面的理解，因此，教师备课前要在部分工科学院实施调研，听取工科教师的意见和建议，了解工科对数学各分支的实际应用情况，授课过程中要增进与钱学森学院学生的交流，进一步明确学生角度的需求。调查中发现，学生在刚进入大学时对数学工具对工科的支撑作用，不一定有明确的认识。而且，基础教育阶段的学习模式使他们不能在处理实际问题时活用数学理论，数学工具仿佛成了“屠龙之技”。例如，学了“数学分析”中的微积分知识，学生却不能灵活自如地在优化模型中定性分析目标函数的各种性态，特别是极值问题。再如，工业产品设计中，制定产品规格和标准的各项指标，可以利用“高等代数”中有限维线性空间的主成分分析技巧；自动机械化管理中，利用“概率统计”中随机变量的数学期望研究工序中的相关变量。“数学建模”在授课过程中，必须不断联系前面三门数学基础课程的知识，凸显数学与工科实际应用的密切关系。授课效果表明，从工科需求出发，而非单纯从数学专业角度出发定位这一课程，才能发挥好理工结合的优势。
（二）遴选授课内容。面对具备自主学习能力的学生，频繁的“满堂灌”会挫伤他们的积极性。因此，教师在授课内容上既要做“减法”，也要做“加法”。所谓“减法”，是遴选授课内容，体现重点、次重点、难点等；所谓“加法”，是对遴选内容进行拓展深入，讲深讲透，达到事半功倍之效。目前我们所采用的“数学建模”课程教材内容较为丰富，包括数学建模概论、初等模型、简单优化模型、规划模型、微分方程模型、代数方程模型与差分方程模型、离散模型、概率模型、统计模型以及博弈模型等，这就需要教师在有限的课程时间内合理分配时间。“数学建模”课程整个教学环节，三分之二的时间用来讲授理论，剩余的时间使用数学软件进行系统仿真，并辅以专题讨论。具体内容上，我们把数学建模概论和初等模型列为首要的教学重点，因为这两部分涵盖了该门课程基本的思想和必须掌握的初等数学建模方法。规划模型为重点学习，主要涉及运筹学中的优化问题，特别是线性规划问题的处理。微分模型和离散模型为难点内容，因为两者都拓展了微积分和抽象代数知识，深化了数学工具的掌握。概率模型为选讲，表明了连续或离散的随机因素，扩大了应用领域。博弈模型与该院学生专业学习关系不十分密切，但考虑已就业学生反馈的工作岗位情况，就列为学生自学、教师辅导的内容。案例选择上，每类模型介绍2~4个经典案例。经过近几年的实践与斟酌，我们最终精讲的案例有：“双层玻璃窗的功效”案例，体现简单物理规律的内在机理。选择“不买贵的只买对的”案例，显示经济最优化原理的最大效用模型。选择“原子弹爆炸的能量估计”案例，体现量纲分析方法的重要性。选择“职员晋升”案例，表现层次分析方法进行评估的量化依据。选择“核军备竞赛”案例，表明图论分析的重要性。原则上，在选择案例时既要考虑不同模型的差异，也要注重模型之间的相互关联，把握侧重点，并适当进行拓展，注意更新案例，并且注重案例的前瞻性。比如，“传染病模型”综合了特定事物的传播速度、传播途径、空间范围以及动力学机理等问题。课题组针对肺炎疫情，设计了如下层层推进的教学内容：（1）回顾传染病的简单历史，特别是严重急性呼吸综合症（SARS）和埃博拉病毒（EbolaVirus）的传播。（2）学习基本的传染病模型：易感染者（susceptible）和已感染者（infective）的SI模型、考虑治愈率的SIS模型、考虑康复者的SIR模型、考虑康复者再被感染的SIRS模型、考虑具有潜伏期的携带者的SEIR模型等，掌握专有的名词和概念，及其传染病动力学的微分方程模型。（3）在给定的预防措施与医疗水平状况下，分析各个模型的差异。（4）以SARS病毒传播为例，搜集数据，应用上述不同模型，分析求解，对照结论与实测统计数据，确定模型的合理性和优缺点，进行敏感性分析，并考虑能否改进上述模型。（5）进行深度和广度的延展，考虑当前的肺炎疫情，可以分析局部地区状况、国家或全球病毒的扩散传播状况，尝试建立合理的模型，进行定性和定量分析、数值模拟，总结肺炎疫情的发展阶段，尝试揭示COVID-2019病毒传播规律以及预测未来变化趋势。（6）进一步推广到各领域的扩散理论（如信息的扩散、创新事物的扩散）等。此外，“数学建模”课程也适当融入课程思政主题，如讲解“火箭发射升空”案例，要求学生掌握微分方程近似求解的数学技巧，同时介绍我国导弹事业的发展历程，老一辈科研工作者的爱国情怀，帮助学生树立专业报国、服务社会的人生理想。
（三）推进研讨式教学。课题组教师在与该院的学生交流中发现，学生不仅希望具有创新性和挑战度的学习，并且他们已经有了明确的学习规划，甚至对将来的职业规划也有一定的思考，期待从每一门课程中尽量多受教益，“数学建模”课程也不例外，为此，我们应重视研讨式教学的推进。不少数学类课程由于本身的特点无法展开研讨式教学，“数学建模”课程则有进行研讨式教学的便利条件，因为它与实际问题密切相关。授课中，教师通常首先引入学生熟悉的知识，如“万有引力的发现”和“铅球掷远”案例，此前的“数学分析”中已分析过这些耳熟能详的物理现象所体现的微积分思想。“温故”经典理论，让学生分组开展讨论，教师随机参与若干小组的讨论。最后，教师对各组陈述结论进行总结升华。其次，学院每两周结合近年数模竞赛和工程实践，安排一次30~45分钟时间的研讨会，比如以“奶制品的生产与销售”为例的线性规划问题专题，“航空公司的超额售票策略”和“博彩中的数学”的离散概率问题以及“学生考试成绩综合评价”的策略问题等。这类研讨通常会引发学生激烈的争论，学生会对模型细节的处理提出不同意见，并迅速进行简单的仿真处理验证模型优劣，最终得到一个优化的新模型。教师在旁补充学生没有考虑到的相关因素，提供最简捷的数学技巧处理路径，引导学生进行敏感性分析，评价新模型的准确性和适用性。就研讨硬件环境保障而言，南京理工大学理学院有3个数学实验室，给在校师生提供了一个课程实验仿真的实践平台。学校的“数学探密室”创客中心，也为师生之间进行小型的探讨提供了场所。鉴于疫情影响，师生无法开展面对面的讨论，但网络教学为在线研讨、分组讨论和互动提供了新的机遇。教师可鼓励学生积极进行课堂和课后研讨，培养学生搜集资料、剖析问题、学术探讨和观点表达等能力，并根据学生的反馈，有针对性地调整授课内容，巩固薄弱环节。有共同兴趣的学生建立讨论群组，提交小组报告，纳入过程性考核，使研讨式教学真正落到实处，也为后面的正式组队做好先期准备。
（四）引入数学软件。“数学建模”课程的另一个教学目标是熟悉和使用数学软件。数学软件提供强大的科学计算和数据处理功能，从简单的数值计算、微积分函数绘图、数组求和、矩阵运算等简单操作，到调用特殊的函数或软件包，处理差分方程问题、线性规划问题、图像处理问题等，并能以图形展示结果。数学软件的使用，让学生既多掌握一项技能，又能提高他们的学习兴趣。课题组要求学生通过课堂学习和课后练习，至少掌握数学软件Mathematica,Matlab,Lingo和Python中的任意两种软件。比如调用数学软件中的数据拟合函数、回归函数、主成分分析函数等，节省学生计算时间，达到事半功倍的效果。课题组发现，其他数学课程也有类似实践，数学软件Matlab可以与“线性代数”应用深度融合，提高了讲授效率[1]。近年来，随着大数据的发展，研究结果的可视化呈现率大大增加，数学建模比赛中部分题目涉及的数据处理量也在增大。因此，增加可视化软件的讲授就成为“数学建模”课程的新趋势。比如此次肺炎疫情报道中数据可视化的应用[2-3]，让普通读者一目了然地看到数据的演变。目前我们也在尝试调动学生的学习兴趣和积极性，推广数据可视化软件的应用和普及，如Tableau、PowerBI、R-ggplot2等。
（五）鼓励学生参赛实践。钱学森学院的学生具有好奇心和接受能力强的特点。他们大一入校后，就通过新生手册、学院配备的导师、学生数学建模协会、各类竞赛名录等途径，了解到了各类数学建模竞赛，并积极地报名参加校内选拔赛。对比赛有了初步认识后，通过搜集阅读往年获奖的优秀论文，获知可以通过“数学建模”课程高效而系统地获得建模本领，在授课之前就会找到课题组教师指导参加建模比赛。此外，课题组中的相关教师分任“数学分析”“高等代数”“概率统计”等课程，也在课堂上注意宣传介绍、鼓励学生参加各类数学建模竞赛，如全国大学生数学建模大赛、美国国际大学生数学建模竞赛、数据挖掘大赛等。让学生了解参赛不仅可以为个人履历增加亮点，更能获得能力提升。经过上述这些引导式热身，在开课前，学生对“数学建模”课程已经有了较为清晰的认识，学习目标也比较明确，并知道该门课程直接对接建模比赛，在学习精力分配上也有自己的侧重点。目前，钱学森学院学生参赛人数逐年增加，参赛范围不断扩大，获奖人数持续增加。这一良好态势得益于整个课题组团队教师的合作与努力。
三、结语
2019年至2021年，教育部将分三年全面实施“六卓越一拔尖”计划2.0，新工科为重点建设对象之一，事关战略急需人才培养，国家硬实力提升。最新的“强基计划”精神[4]，也强调了从本科阶段就开始引导学生参与小型科研项目研究，数学建模本就属于这一范畴。在新的时代要求下，“数学建模”课程应将坚实的理论与鲜活的实例结合，在新工科拔尖创新人才培养中继续发挥好应有的作用。
参考文献：
[1]杨威,高淑萍,陈怀琛.慕课背景下MATLAB与线性代数应用的融合[J].高等数学研究,2019(3).
[2]刘婷,刘颖旭,翟畅.数据可视化在疫情报道中的应用[J].中国传媒科技,2020(3).
[3]李宏.基于民众视阈下的疫情数据可视化设计路径研究[J].包装工程,2020(10).
[4]教育部.关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见[EB/OL].(2020-01-14)[2020-08-06].
作者:许孟 许春根 单位:南京理工大学
