概率统计教学范例

一、正确选择案例，活跃课堂气氛

概率论与数理统计案例教学方法的应用中，案例的正确选择非常重要，选择合适的案例可以让学生能更好的进入数学知识点的学习中，身临其境的体会概率论与数理统计带来的学习乐趣，使课堂气氛变得活跃，从而提高教学质量，同时也增强了学生学习的主动性。例如：选择概率和彩票的案例进行教学，教师可以适当对彩票的相关知识进行拓展；然后将概率和彩票的中奖率联系起来，提出概率的运算思路，在其中添加统计的知识点，让学生大胆的提出问题；最后，对概率和统计进行归纳，对概率和彩票中奖率的关系进行解答，增强学生的学习兴趣，培养学生的独立思考能力，从而达到案例教学的目的，促进教学质量的不断提高。因此，正确选择案例，活跃课堂气氛，在教师的带动作用下，数学教学可以变得很轻松愉悦，概率论与数理统计的教学质量可以得到快速提高，从而促进学生综合素质能力的全面发展。

二、开放学生思维，明确教学目的

在数学教学过程中，学生是是教学的主体，每个人都有自己的思维能力，所以教师必须明确教学目的，使学生的思维得到尽可能的开放，促进学生探索创新能力的不断提高。因此，教师在选择案例时，要综合评估学生的学习能力，对概率的概念、公式进行仔细讲解，将统计知识点贯穿到整个课堂教学，使案例突出教学重点，达到知识点融汇教学的教学目的。开放课堂教学，不仅可以使学生掌熟练握更多的概率论与数理统计知识点，更能拉近学生与作者、学生与自己的师生距离，使师生之间的感情更加融洽，从而大大提高教学质量的目的。

三、有效组织教学，提高综合能力

在数学学习是整个过程中，打好基础是非重要的，因此，在概率论与数理统计的教学中运用案例教学，教师要有效组织教学，促进学生综合能力的提高。针对概率论与数理统计的难点和易点，循序渐进的提升难度，让学生熟练掌握每个知识点，培养学生敏捷的数学思维能力，不断开阔学生的视野，使学生的概率论与数理统计分析能力变得更强，从而达到提高教学质量的目的。例如：针对篮球投篮问题，根据球队人数的变化来计算投篮的概率，从最简单的计算开始，随着人数的变化，计算复杂程度也变得越来越高。这就是一个概率论与数理统计知识点逐渐加深的案例，通过这个案例教学，学生的思维能力可以不断增强，综合能力也会得到不断提高。

四、课后教学总结，不断改革创新

摘要:概率论与数理统计课程是理工科类大学生的公共基础课，具有较强的理论性是众多学科用于分析和解决问题的基本工具，传统的教学模式大多局限于线下教育，在当下信息化技术发达的时期，传统的教学模式具有一定的局限性，单一的线下教学模式难以提高学生的学习兴趣，课堂参与度较低。本文考虑将线上教学和线下教学相结合，充分发挥线上教学和线下教学的优势，丰富教学手段，改变原有的教学模式，针对概率论与数理统计的课程特点，通过建设本课程线上学习中心，搭建线上教学资源供学生学习，再利用线下教学的优势，结合分组讨论和分组展示的教学手段来提高学生的学习主动性和课堂参与度，教师再根据线下的课堂学习反馈进行知识点的讲解和答疑，并对线上的内容进行评价，最后通过线上测试对教学内容进行巩固加深，从而达到理想的学习效果。

关键词:线上线下混合式教学;概率论与数理统计;教学改革

0引言

随着信息化技术的不断发展，教育改革也成为当下教育工作者的重点研究领域。2020年初，新冠肺炎疫情的到来更是加速了教育改革的发展，线上教学一时之间遍布各个教学领域，各位老师各显神通，各大教育平台涌现出来，共同解决当时无法面授课程的困难，随着疫情的逐渐控制，学生又可以回到教室继续上课，教师也积极探讨和交流线上教学的优势与不足，并将线上线下教学模式相混合，力求达到更好地教学效果。互联网时代的到来，对人们的生活产生了巨大的影响，各个领域都在发生着较大的改变，线上线下混合式教学也将成为教育手段的必然趋势。早在2017年云课堂就已经在各大高校试运行了，高校在教学过程中，根据课程特色积极结合云课堂来辅助平时的教学，打破了传统的单一的教学手段，取得了较为理想的效果。概率论与数理统计课程是理工科类学生的公共基础课，课程难度较高，学生对于该门课程的学习兴趣相对较低。还有部分学生对高数、线代等“数学类”课程本就存在着心理上的畏惧，来从内心较为害怕这些课程。作为一名教授概率论与数理统计课程的老师，能够深深地感受到线下教学过程中遇到的困难，比如学生学习能力参差不齐、教学内容信息量大学生不容易接受等。2020年初新冠疫情期间的“停课不停学”是一个强有力的催化剂，加快了教师成长的脚步，每位教师都在有限的时间里学习了很多新的技能，把线上教学这个看似遥远的工作，在短短的一个月之内，从一无所知到独立线上授课，收获颇丰，也让教师深深地感受到了线上教学所具有的独特优势。复学以后，教师不仅仅止步于之前的传统教学模式，大家开始积极探索新的教学模式，概率论与数理统计教学团队更是通过不断的实践教学总结，针对该课程的课程性质不断的改进和完善教学模式，从而设计更加有效的教学模式。此前，国内各大高校和各教育单位都在不断努力积极探索不同的教学模式从而来改良教学效果，国内研究学者也在混合式教学领域做了大量的研究，2015年杨宇翔、黄继业等研究了线上线下混合教学模式实施方案设计;2017年吴宏远探讨了会计专业基于翻转课堂的SPOC线上线下混合教学模式;2020年潘靖就对线上线下教学对大学物理课程的影响进行了相关研究等。他们的研究为线上线下混合式教学打下了良好的基础，为混合式教学提供了较大的参考价值，在当代社会，线上线下混合式教学具有较高的实际应用价值和研究意义。

1混合式教学的优势

线上学习，学生可以随时打开手机端或网页端进入课堂，打破了传统的“教室”，大学生的业余时间相对较为充足，网上学习也可以促使学生随时学习不局限于课堂教师授课，学生也可以学习一些自己感兴趣但学校未开设的课程，对提升自身是非常具有帮助的。线上学习方式也在一定程度上提升了学生的学习兴趣，这也更为符合大学教师引导式教学的特点，另外学生可以重复进行学习，有效地避免了线下教学学习过程中因“跑神”跟不上老师课堂节奏的问题。在传统的线下教学里，学生在课堂上一个分神就有可能脱离老师的教学进度，基础差的学生在某些知识点处听一遍还不是对相关知识理解到位，这时线下教学就显得苍白无力了，线上教学则可以有效地解决这些问题，他能够利用网络平台随时为学生提供学习资源，学生可以结合自身的学习能力合理有效的安排学习进度，相当于一对一服务的效果。将知识点采用小模块的方式进行架构，针对性较强，学生可以高效的解决自己不懂的问题。线下教学也有其不可替代性，教师可以根据授课的内容结合学生课堂上的实际表现举出相关的实际案例，更有助于学生接受和理解相关概念，再者教师可以在课堂上更加直观地观察出学生对于内容的接受程度，从而更加准确地对后续的课堂内容进行设置，具有较高的灵活性和适用性。线下教学学生一块学习，会在氛围上相互影响，从而更好地提高课堂效率，老师对问题的分析思路以及对公式的推导过程在课堂上进行板书时也是学生理解的关键，所以线下教学也是在教学过程中不可缺少的一个环节。混合式教学结合了线上教学的灵活性和线下教学的针对性这两大特点，对于学生而言大大地提高了学习效率，也在一定程度上丰富了教学手段，提高了学习兴趣等。课程内容丰富、学习的灵活性高，大大提高了学生学习的主动性。混合式教学还能够为学生制定新的考核体系，不仅对学习结果给予评价，还要对学习过程及参与度进行评价，这种新的评价方式也有助于学生养成良好的学习习惯。

2概率论与数理统计课程特点

【摘要】基于CDIO教育理念，通过运用案例化教学模式对《概率论与数理统计》课程的教学现状进行了一系列的改革。改革内容主要包括教学内容、教学方法和考核方式三个方面。通过对比实验班与对照班的成绩，可以证明在课程中运用案例化教学模式取得了良好的教学效果。

【关键词】CDIO；案例法教学；《概率论与数理统计》；教学改革

1引言

与传统的数学课程不同，《概率论与数理统计》与实际结合得更密切，是各个领域必不可少的基础分析工具，在许多交叉学科和研究中起着桥梁作用。然而，其教学模式大多停留在课堂上的概念、定理、例题满堂灌和课后布置习题作业的模式，教师做为主动的施教者，仅仅强调知识的传递，而忽略了学生的接受程度及实际学习效果，最终导致整个课堂形成以教师为中心，以教定学，学生被动填鸭式学习的氛围。整个课程讲授下来，学生的普遍感受是课程内容较为枯燥、公式烦琐，内容过于理论化，与实际应用脱节，从而失去了学习的兴趣。因此，对本课程进行教学改革已经迫在眉睫。对于这门课程的改革，许多学者进行了研究和讨论，但大多是针对传统的研究型大学的《概率论与数理统计》课程的改革进行分析，而对应用型院校的研究还不多。论文结合了《概率论与数理统计》课程的具体内容和相关教学经验，针对应用型本科院校（以福建江夏学院为例）的该课程教学，提出了基于CDIO教育理念的课程案例法教学模式，并选取了两个班级进行实践，改革后的课程教学效果显著提高[1]。

2CDIO教育理念的简介

CDIO是近年来由麻省理工学院和瑞典皇家工学院等四所大学组成的跨国研究组织创建的先进教育模式。它包括了构思(Conceive)、设计（Design）、实施（Implement）和运作（Operate)这四个阶段，以培养学生的工程实践能力和创新能力为目标，充分调动学生的积极性和主动性，倡导“做中学”的教育理念。2005年，该教育理念模式被引入我国，2008年召开的中国CDIO工程教育模式研讨会进一步推动其在中国的发展。CDIO教育理念模式不仅可以应用于学院院系层面，更可以应用到专业甚至某一门具体的课程当中。CDIO教育理念模式系统地提出了可操作性强的能力培养、全面实施以及测评检验的标准，将理论学习与实际应用相结合，引导学生对核心专业课程的学习产生兴趣，让学生能够在实践和课程之间按照有机联系的方式进行学习，从而培养了学生的实际应用能力。

3改革措施

摘要：文章首先阐述了高中数据分析素养的教学现状，然后论述了高中数学教学中提升学生数据分析素养的策略，包括重视数据分析素养和改善教学方法，其中重视数据分析素养包括激发学生数据分析的兴趣、系统掌握“概率统计”知识、将互联网技术融入教学。

关键词：数据分析素养；高中数学；教学设计

概率与统计内容众多，即使在大学中开展这门课程至少也要有一个学期或一个学年，而高中阶段的“概率统计”有基础性和发展性。结合高中数学核心素养中的数据分析素养，学生主要学习利用统计工具整理数据并从数据中发现规律。目前数据分析素养的研究主要集中在如何贴近高考复习统计与概率部分的题型，重在题海战术。在课堂教学中，教师普遍重公式记忆、计算，以及对概念、统计思想的解释，缺乏深入地讲解[1]。基于新高考对数据分析素养的要求，本文旨在革新目前数据分析素养的高中数学教学模式。

一、高中数学“概率统计”教学现状

笔者通过参加公开课了解其他教师的上课情况，收集文献，并通过与其他教师进行访谈得知目前高中数学“概率统计”教学现状主要表现在以下方面。

（一）对“概率统计”的内容不够重视

虽然教师在数学课程改革中越来越重视数据分析素养的“概率统计”教学，但对于数据分析素养内容的重视程度还没有达到课标的要求[2]。许多教师认为“概率统计”知识点在高考中考查的题目难度为中等偏易题，但学生却不容易得满分，主要原因是学生读不懂题目。和其他教学内容相比，“概率统计”安排的课程量相对较少，教师通常采取题海战术，对培养学生的数据分析素养重视度不够[3]。

［摘要］基于医科院校的数据科学与大数据技术专业开设“概率论与数理统计”课程进行教研。从课程结构、课程内容和课程目标三方面对该课程进行分析和研究。课程结构主要提出开设“概率论与数理统计”的实验课，使得学生更好地掌握所学知识点；课程内容通过案例分析法和大量融入数学建模的思想，使学生提高对课程的兴趣；锻炼学生解决实际问题的能力。教学实践证明教学内容和方向符合医学院校“大数据”人才的培养方式。

［关键词］概率论与数理统计；大数据技术；医科院校；教学研究

一、研究背景

随着科学技术的发展和社会现代化的推进，社会对大数据科学的研究与应用型人才的需求与日俱增。数据科学与大数据技术专业是近年来国家针对“大数据”时代背景新增的专业。据教育部统计共283所大学获批数据科学与大数据技术专业[1]。本文针对匹配新专业所开设的“概率论与数理统计”课程展开研究和讨论。“概率论与数理统计”课程在医学院校开设了很多年，针对医科院校的同学，这门课程存在较多的问题。医学院校的高等数学和线性代数的课时有限，讲授内容较少，但是“概率论与数理统计”课程对高等数学和线性代数的基础要求较高，所以学生没有较好的基础的话，再学习“概率论与数理统计”课程会显吃力，导致学生对本课程的学习兴趣不浓；并且“概率论与数理统计”是研究随机现象的规律，这种随机性思维，加上统计学里面的参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等内容，使得该课程抽象性较强，学生学习起来有一定的难度。由于同学们主动性差，对“概率论与数理统计”课程的教学效果有很大的影响。教师在讲授概率论与数理统计时重理论推导，轻应用实践，把大量时间用于理论和公式推导上，没有针对数学思想和解决实际问题的能力进行强化，学生学完不会用。面对实际的数据，不知道如何分析，即使利用统计软件分析出结果也不能对结果做出合理的解释[2]。针对“概率论与数理统计”课程存在的问题，从课程结构、课程内容和课程目标三个方面进行分析。

二、“概率论与数理统计”课程结构

“概率论与数理统计”是数据科学与大数据技术专业的基础课程，有概率论和数理统计两部分。概率论是数理统计的理论基础，数理统计是概率论的应用，因此“概率论与数理统计”既有坚实的理论基础，又有广泛的应用[3]。针对课程的特点，把课程按1∶4的课时比例分成实验课时和理论课时。学生在理论课上学习完理论知识后，在实验课上利用具体数据对知识进行实验验证，并且对实验结果教师需要进行详细解释，使学生更好地掌握知识点。针对理论课时的教学，对于易懂的内容，采用学生自学并讨论，最后挑选学生以讲授的方式讲解。这样的训练既能让学生对知识点理解透彻又可以培养学生的自学能力。这种授课方式可充分调动学生的学习积极性，活跃课堂气氛，并且学生可以很好地掌握这部分内容。对于难懂的内容，需要老师进行详解，并且针对不好理解的内容教师尽量举例说明，使得学生更容易理解。针对实验课时的教学，通过具体的数据让学生对数理统计部分的知识点进行分析理解。实验部分主要是利用统计软件R语言进行实验。R是一款开源的软件，它涵盖了多种行业数据分析中的方法，并且可以跨平台胜任复杂的数据分析、绘图[4]。在实验课环节，首先让大家熟悉R软件，并对R语言的基本语法讲解，然后针对参数估计、假设检验、方差分析和回归分析分别编程，并对最后的结果做合理的解释。这样学生既可以很好地理解数理统计的原理又可以熟悉统计软件。

三、“概率论与数理统计”内容

为了顺应基础教育的改革潮流，科学系统地协调好基础数学教育与高等数学教育的关系，在概论论与数理统计这门课程的教学中，主要从以下几个方面着手实施衔接。

1、教学内容的衔接

首先要构建在高中数学新课程背景下的概率论与数量统计课程体系，实现大学数学教育与高中数学教育的"无缝对接"。如有可能的话，重新编写创新教材，适当调整课程内容，扫清学生的学习障碍。

目前高中新课程要求学生必修的概率与统计内容有："了解随机事件的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义以及频率与概率的区别；通过具体例子，了解互斥事件概率的加法公式；了解古典概型和古典概率的计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；初步认识几何概型；理解随机抽样，学会通过简单随机抽样的方法从总体中抽取样本；了解分层抽样与系统抽样的方法；学会做频率分布表及频率分布直方图、频率折线图、茎叶图；学会从样本数据中求出基本的数字特征如平均数、标准差等；学会通过样本的频率分布估计总体的分布，用样本的数字特征估计总体的数字特征；学会通过具体实例中的两个关联变量的数据做出散点图，从而直观认识变量间的关系；了解最小二乘法思想，学会根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程。"可以看到，这些内容覆盖了概率论与数理统计课程的许多方面，但是，我们也要看到即使是已经要求学生了解的内容，难度与深度方面与大学的要求是不可同日而语的。

高中多从简单的实际案例中引入概念，只进行描述性的解释，侧重于粗略的了解，没有严格的定义，没有严密的逻辑推导，没有严谨的演绎体系，通过直观性教学，主要意图是培养学生对这门课程的直观感觉，让学生体会这门课程的基本概念和基本思想。对于这些与大学重复的知识点教师要进行整合，既不能简单重复，也不能因为高中学过而直接跳过。要根据学生的认知规律，将教学的重点与高中区别对待，设计出科学合理的教学内容，让学生在原有的朴素的直觉基础上形成严密的理论体系，可结合高中新课程的案例，加强理论性教学和规范化教学，正确处理好直观与严谨的关系。

另一方面新课标降低了对部分文科学生的学习要求，部分内容如排列、组合、二项式定理等不学不考。由于学生的学习是循序渐进的，如果出现知识点的薄弱环节甚至是"真空地带"，势必会直接影响学生的学习，造成一定的困难。对于必须要掌握又缺失的知识点教师要在开课伊始给学生补充完整。考虑到部分学生已经学过，教师以选修、讲座的形式在全校范围内授课，这样的方式还可以弥补教学时数的不足。

2、教学方法的衔接

在高中数学概率论中，包含观念、方法、过程、思想等．概率论的最大特点是不确定性，是在随机中寻找规律，在学习方法、解题思路上都与线性代数、高数有很大不同．学习概率，需要用到归纳与辩证思维，还需要学生在生活中找到概率的规律．在实际教学中，教师要启发学生用创造性的思维思考问题，挖掘学生的潜力，体现学生的特长．

一、统计推断的数学思想

数学统计、概率论的研究，离不开统计推断，这和逻辑推理有本质区别．统计推断本身有一定的概率，是以“小概率事件”为指导进行的．我们可以理解为在实验中发生小概率事件的几率是零．概率论的推断思想解决的一大问题是假设检验，它的基本思想正是前文所说的实验中小概率事件几乎没有发生的可能性这一原则．从局部到整体的推理思想始终贯穿在统计学学科中，它是一门以随机发生的现象为研究对象的方法论学科，最典型的特点就是推断．通过统计完成对事物的认知，需要经历四个步骤:研究、抽样调查、统计推断、得出结论．第一步是制定整个调查、实验方案，第二步是搜集各种资料，第三步是分析资料．推断有两种方式，一是从部分资料中推断出总体;二是不完全归纳法．比如，通过样本推断总体，首先要分析具体的数据，让学生明白抽取的样本是随机的，其中的信息呈现出与总体相关的一些特征，但终究是推断，不会与总体完全吻合．

二、模型化的数学思想

将实际问题过渡到数学问题，然后建立数学模型，通过分析模型解决最初的实际问题，即为模型化的数学思想．比如，几何概型、古典概型．相当一部分随机数学，能够通过概率模型来呈现．比如，正态分布、伯努利概型，均可从随机问题中寻找出具体的特点，基于此构建抽象模型或者现实模型来描述这个随机问题，呈现随机问题的本质规律，再通过数学方法来解答数学模型．这个过程，就是从实践回归理论最终再到实践．在教学中，教师应简化复杂的计算，倾向于引导学生理解和运用概率模型，让学生通过多个实例总结出相应的概率模型，感受各个实例的共同之处，帮助学生构建识别模型，提高学生构建模型的能力．归纳思维最具代表性的运用形式就是通过概率模型来解答实际问题，学生必须具备细致的观察能力、合理的实验操作能力以及严密的推理能力，这是形成数学思想、数学意识的过程，有利于学生将理论数学知识应用于实践，从而提高学生解决问题的能力．有关数理统计的内容，在概率论课程中也有所涉及，主要目的是向学生呈现针对某个实际问题建立数学模型，之后通过现有的概率论知识来进行客观、准确、科学的判断．在这个过程中，既让学生看到了将理论运用到实践中操作和演示，又巩固、拓展了理论知识的内涵，纠正了很多学生在学习中只重视短期效应的问题，也改变了他们认为数学学科没有实际用途的偏见．

三、随机的数学思想

通过研究数量的层面，而了解整件事情出现的偶然性与必然性，是学习概率论最关键的数学思想．在教学中，教师要创造有利于学生体验原始、随机环境的条件，让学生抓住其中的典型特点，运用实例，使学生深刻地理解概率知识．通过大量的举例，使学生明白这些不确定事件的存在性．从本质上说，概率论的学习，就是从课本中渗透出的思维方法．以往的逻辑推理方法和概率论的思维方式完全不同，后者存在很大的不确定，也就是随机思想，相当于一瞬间的灵感，体现了学生的思维能力水平．归纳法是统计、概率学的起源．从归纳法发展到概率归纳法，最终形成概率论．基于数学思想的归纳法的应用便是统计思想．它是一个从部分到总体、从抽象到具象、从特殊到普通的过程．鉴于概率学的随机性特点，学生要改变传统的数学学习方式，对每个问题做出针对性的分析，并在此过程中深入理解概率论的定义、原理、法则和公式．在学习过程中，学生既要对解决概率问题的数学模式进行总结，也要注意提高自己的辨识能力、构建数学模型的能力，并通过分析、探究、辨别等，培养随机性的数学思想．总之，在高中数学概率教学中，教师要渗透数学思想，体现数学学科的实用价值．教师要立足于学生所学的专业知识，灵活地设计教学案例，把数理统计与概率论的理论性的知识和学生在实际生活中遇到的问题结合起来，培养学生将课本知识应用于实践的能力．

摘要：客观世界中大量存在着随机现象，概率论课程蕴含了丰富的人生哲理和育人素材。贯彻课程思政的教学理念，从概率论的小概率事件、正态分布、T分布、贝叶斯公式等知识和相关数学家事迹中挖掘思政元素并将其有效融入日常教学，可以激发学生的学习兴趣，培养学生的创新能力和科学探索精神。

关键词：概率论；课程思政；思政元素

教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》明确指出[1]：理学类专业课程，要注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。理学类专业课程思政教育应围绕追求客观真理、树立科技报国的家国情怀和使命担当展开。概率论课程具有思想深刻、内容广泛、与实际联系紧密等特点，是学生学习后续课程的前提和工具，对培养学生的辩证思维能力、逆向思维能力、分析判断能力、数学建模能力等具有重要作用。王东梅[2]从实践的观点、必然性和偶然性、整体与部分这三个角度，对概率统计中蕴含的唯物辩证思想进行了探究；黄昱、李双瑞[3]提出以课程思政理念为导向，对学生进行爱国主义教育、辩证唯物主义渗透、道德品质教育及师生互动的教学设计；张瑜等[4]从教学内容和教学方法两个角度，阐述了如何将思想政治教育融入课堂教学过程。概率论课程的思政建设已经取得了一系列成果，但详细阐述某一知识点与其蕴含的思政元素具体结合的过程的研究比较少。本文就概率论课程中蕴含的思政元素如何更有效地融入课程教学进行了探究。

1小概率事件——量变与质变

在概率论中，把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，但在多次重复试验中是必然发生的，我们称这个原理为小概率事件原理。小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论。假定一件事的成功率是1%，那么反复尝试100次，至少成功1次的概率大约是多少？成功率是1%，意味着失败率是99%。按照反复尝试100次来计算，失败率就是99%的100次方，约等于37%，那么成功率应该是100%减去37%，即63%。一件成功率为1%的事倘若反复尝试100次，成功率竟然由1%奇迹般上升到63%，这充分说明了一个道理——奇迹就在坚持中，也再次印证了“锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂”这句至理名言。

2正态分布——偶然与必然

偶然性是指客观事物发生联系和发展过程中的一种可能性趋势，必然性是指客观事物发生联系和发展过程中一种不可避免、一定如此的趋向，必然性产生于事物的内部根据、本质的原因。科学探索的任务是要透过大量的偶然性揭示其中的必然性，使认识运动实现由现象到本质、由个别到一般、由经验到理论的过渡。根据中心极限定理，如果一个事物受到多种因素的影响，不管每个因素本身服从什么分布，它们加总后结果的平均值就是正态分布。正态分布有极其广泛的实际应用背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。一般来说，如果一个量是许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量服从正态分布。譬如，人的身高既有先天因素（基因），也有后天因素（营养）。每一种因素对身高的影响都是一个统计量，不管这些统计量本身是什么分布，它们和的平均值都符合正态分布。许多事物都会受到多种因素的影响，这导致了这些事物都近似服从正态分布。正态分布也叫常态分布，是连续随机变量概率分布的一种，自然界、人类社会、心理和教育中的大量现象均服从正态分布，例如：在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；理想气体分子的速度分量；学生成绩；等等。