参数方程范例

摘要:化工原理实验的流程设计是实验教学的重要内容，有利于培养学生的工程能力与创新意识。根据教学实践，武汉工程大学提出了参数归类教学法指导化工原理实验流程设计教学。该教学法的关键是根据实验任务确定测量原理方程，然后对原理方程所涉及的参数按照物性参数、设备参数和操作参数进行分类。教学实践表明，采用该法进行流程设计有利于学生掌握与理解化工原理实验的共性，易于学习与实践。

关键词:化工原理;参数归类;实验课程;教学方法;流程设计

化工原理实验是化工原理课程体系中重要的实践环节，通过动手实验，学生学会运用单元操作原理解决实际问题，培养工程实践能力［1－3］。各高校都在积极探索实验教学的改革。有的改进教学方法［4－6］，如采用比较教学法、五步教学法和翻转课堂线上线下融合;有的改革教学内容［7－8］，如增设演示型、验证型、研究开发型、综合设计型实验和开放型实验项目;有的改革试验教学过程［9－11］:对实验的预习、实验操作模式、考核体系进行改革;有的将理论与实验同步进行、相互渗透［12］。而实验流程设计是实验课程中一项重要内容［13］，是实验应该培养的学生核心能力，体现了学生综合运用专业知识解决工程问题的能力。浙江大学、天津大学、大连理工大学、华南理工大学等院校的化工原理研究生入学考试中针对化工原理实验内容，常常包括实验流程设计，如天津大学研究生入学考试考研大纲中实验考试的内容［14］为:实验目的与内容，实验原理，实验流程及装置，实验方法，实验数据处理方法和实验结果分析等。然而关于化工原理实验流程设计的教学研讨少见发表，郭翠梨［13］从实验设备、仪表的设计与选择，实验装置的安装，实验装置的调试三个方面对实验流程设计进行了介绍。但主要内容是实验流程设计的大原则，并未针对具体的实验任务中主体设备、辅助设备、测量仪表的确定过程进行详细介绍。武汉工程大学化学工程与工艺专业于2016年通过了教育部全国工程教育专业认证。该校化工原理课程发展中心教师团队根据多年的本科教学经验提炼出化工原理实验的共性，总结出参数归类法指导实验流程设计，与同行们交流。

1实验流程设计问题的内容

问题举例:试设计一个实验流程，通过该装置可以测定无缝钢管的λ～Re关系曲线。(1)说明需测量哪些参数，画出实验流程示意图，并标出测试仪表的名称与测试点;(2)简述实验步骤;(3)说明λ～Re关系曲线需在何种坐标纸中标绘。可见对于特定的实验任务，实验流程设计包括的内容有:(1)实验原理;(2)测量参数与仪表;(3)流程图;(4)实验步骤;(5)原始数据记录表格;(6)数据处理。

2实验流程设计参数归类教学法介绍

从教学实践看，实验原理、实验步骤与数据处理3项内容实验教材介绍得较为详细。学生在做实验和流程设计中遇到的主要问题是:如何确定测量参数与仪表?如何自己绘制流程图?如何确定原始数据记录表格?笔者认为由于每一个化工原理实验的任务都是通过物料在特定的单元设备内操作得以实现。虽然每个实验所涉及的参数数目迥异，但是都可以分为三大类:设备(装置)参数、操作参数和物性参数。为此笔者提出参数归类教学法指导实验流程设计。具体过程见下:第一步，根据实验任务提炼出测量原理方程。该步骤是流程设计的关键步骤之一。通常每一个实验的实验原理都会有多个方程。在该步骤不是罗列实验原理涉及的所有方程而是确定直接反映实验任务的方程。第二步，将原理方程中的物理量按照设备(装置)参数、操作参数、物性参数进行归类，该步骤也是流程设计的关键步骤。纵观各种版本的实验教材，每个基本实验的内容通常为:实验目的、实验原理、装置图、实验步骤、原始数据记录表、报告要求和思考题。并没有对测量参数进行分析。这导致学生阅读装置图时，对于为什么要设置测量仪表感到茫然?在现场实验时学生经常直接看仪表盘有哪些测量仪表?而不是看装置图中仪表的测量位置。为解决学生的困惑，笔者在讲授实验课时不仅仅介绍测量的原理，还对测量原理方程所涉及的参数进行分析。并且不以参数的数目逐一分析，而是按照设备(装置)参数、操作参数和物性参数进行分类。这种分类方法体现了化工原理实验的工程特色。不论参数多寡都归为三类，有如纲目，目之多寡皆入纲。可以藉此培养学生的洞察力和从看似毫无规律的现象中寻找规律、发现共性的意识。这一步其实是理论课的设计型计算在实验中的应用。第三步，根据操作参数与物性参数确定需要配置的仪表，为绘制流程示意图奠定基础。第四步，确定工况变化时的调节参数与调节手段。由于化工原理实验基本上都需要测量多个实验点即对应多个工况，所以需要明确获得不同数据点要调节的参数与调节手段。这样分析有助于学生理解理论课的操作型计算问题。第五步，根据第三步与第四步确定的仪表添加主体设备、辅助设备、管件与阀件绘制流程示意图。实验装置是由各种单元设备和测试仪表通过管路、管件和阀门等以系统的合理的方式组合而成的整体［13］。所以化工原理的每一个实验的实验装置可以归类为以下4类部件:(1)主体设备;(2)辅助设备;(3)测试仪表;(4)管道、阀门、管件。主体设备与测试仪表由第一步至第三步得到。下面就选择辅助设备与阀门的依据进行分析:(1)辅助设备化工原理实验中所用的辅助设备主要包括输送机械和换热设备。输送设备:输送液体时配备泵与贮液槽，液体也可以通过高位槽输送;输送空气配风机或压缩机。换热设备:若流体在整个实验流程中有换热需求，按以下情况分别处理:①气体为蒸汽，则配水槽和蒸汽发生器;②空气作为加热介质，则配电加热器;③蒸汽需冷凝，配冷凝器(精馏单元);④液体需汽化，则配再沸器。(2)阀门阀门在配置时遵循以下原则:①离心式输送机械在出口管路上配流量调节阀;②正位移式输送机械配旁路调节阀;③转子流量计的下方装流量调节阀;④液体贮槽要配排液阀门。第六步，根据第二步与第四步的分析结果确定原始数据记录表。在绘制原始数据记录表时，设备参数通常为一次性数据。若实验仅需一组数据，反映物性参数的仪表数据与操作参数数据全部列在原始数据表格内;若需测量多组数据，除传热实验外反映物性数据的温度记在表头，操作参数列在原始数据记录表内。上述的参数归类法开展流程设计的过程可以简要地用图1表示。

砂岩层岩石物理计算

对于泥砂岩薄互层储层，钻井取心表明其通常是泥岩和砂岩的互层，油藏开发过程中油藏参数变化主要发生在砂岩薄层．因此，砂岩层岩石物理计算是进行泥砂岩储层时移测井曲线预测的基础，而泥砂岩薄互层中砂岩层含量计算将在后面进行详细论述．油藏开发过程中砂岩薄层中饱和度、压力场和温度场都可能发生变化．而岩石物理实验和实际测井数据分析表明，除注蒸汽或火烧稠油开采外，温度场变化对岩石骨架弹性参数影响较小，主要表现为对流体弹性参数影响，而压力场的变化对岩石骨架和流体弹性参数都会产生影响．因此，时移测井曲线预测中重点考虑温度、压力以及矿化度对流体性质的影响和流体饱和度、有效压力变化对饱和流体储层弹性参数的影响．

1.孔隙流体弹性参数计算

孔隙流体在很大程度上影响着岩石的弹性参数．孔隙流体包括气体、原油和地层水，在成分和物理性质上差别很大，并组成了一个动态系统．在此系统内，流体的成分和物理相态都随压力和温度而变化．对于气体组分，其密度和体积模量变化与温度、压力有密切关系，已有大量的数据模型对其变化规律进行了描述［6］．对于原油组分，它是极其复杂的生物化合物的混合物，其密度ρ和纵波速度Voil变化与参考密度ρ0、压力及温度密切相关，其计算方程为［6］ρ=ρp0．972+3．81×10－4(t+17．78)1．175;(1)Voil=2096ρ02．6－ρ()01/2－3．7t+4．64p+0．0115［4．12(1．08ρ0－1－1)1/2－1］tp．(2)式中:p为压力，MPa;t为油藏温度;℃;ρp为原油在某压力条件下的密度，即ρp=ρ0+(0．00277p－1．71×10－7p3)×(ρ0－1．15)2+3．49×10－4p．(3)对于储层中地层水，其弹性参数受油藏温度、压力和矿化度影响．不同温度、压力和矿化度条件下地层水密度和速度计算方程为ρB=ρW+S{0．668+0．44S+1．0×10－6［300p－2400pS+t(80+3t－3300S－13p+47pS)］}(4)VB=VW+S(1170－9．6t+0．055t2－8．5×10－5t3+2．6p－0．0029tp－0．0476p2)+S3/2(780－10p+0．16p2)－820S2．(5)式中:S为盐的质量浓度，kg/L;VW为在100℃和100MPa条件下测得的纯水速度;ρW和ρB是纯水和盐水的密度．方程中速度和密度单位分别为m/s和g/cm3．当油藏孔隙流体为2种或多种组分的混合体时，混合流体的体积模量Kf和密度ρf利用如下的Wood方程和物质平衡方程计算，即1Kf=∑Ni=1ciKi．(6)ρf=∑Ni=1ciρi．(7)式中Ki，ci和ρi分别表示单一流体组分的体积模量、体积分数和密度［7］．

2.饱和流体储层弹性参数计算

油藏开发前后其孔隙度和矿物组分通常不发生变化，因此储层弹性参数主要受孔隙流体弹性参数与压力变化影响，而流体弹性参数变化对储层弹性参数影响可以利用Gassmann方程进行计算［8］，即Ksat=K?Keff－(1+)KfKeff/K+Kf(1－)Kf+K－KfKeff/K;Gsat=Geff．(8)式中:Keff，Gsat分别为饱和流体岩石的体积模量和剪切模量;为岩石孔隙度;Kf为孔隙流体体积模量，其值可通过式(6)计算;Keff，Geff分别为干岩石体积模量和剪切模量，其值可以通过初始饱和状态岩石弹性模量计算;K为岩石骨架体积模量，可以利用Voigt-Reuss-Hill方程［7］计算，即M=12∑mi=1IiMi+∑mi=1IiM()i－[]1;(9)G=12∑mi=1IiGi+∑mi=1IiG()i－[]1;(10)K=M－43G．(11)式中:m为组成岩石骨架的矿物种类总数;Ii，Mi和Gi分别为组成岩石骨架第i种矿物体积分数、纵波模量和剪切模量;岩石和流体弹性模量单位为GPa．对于油藏压力变化影响，Eberhart-Phillips和Han等人(1989年)基于饱和水泥砂岩速度实验室测量结果，分析了有效压力变化对纵、横波速度影响规律［9］．Shapiro(2003年)基于这一研究建立了广泛适用于饱和水砂岩油藏的压力变化对纵横波速度影响计算方程［10-11］V=V0－a?eff－bV槡sh_sand+cpeffp0－edp()eff．(12)式中:eff和Vsh_sand分别为泥砂薄互层中砂岩薄层的有效孔隙度和泥质百分含量;peff为油藏有效压力，即油藏围压与孔隙流体压力的差值;系数a、b、c、d的值可以用有效压力变化条件下实验室岩石物理测量数据进行反演计算．

泥砂岩薄互层时移测井曲线预测

［摘要］近年来全国高校高等数学的学习情况不容乐观，这在一定程度上是由于高等数学教材与高中数学教材在内容上衔接不够导致的。为了改变这种状况，高等数学任课教师不仅要充分熟悉高等数学教材，还要充分熟悉高中数学教材，明确知晓高中数学新增加和新删减的知识点，并针对学生的知识基础设计合理的教学方案，进行科学教学，实现知识点的有效衔接。

［关键词］高等数学;高中数学;有效衔接

由于高等数学是大学理工科学生进一步学习专业课必不可少的基础课程，因此学好高等数学课程是所有大学理工科学生必须面对的一个现实。近些年来全国高校高等数学的学习情况不容乐观，究其原因，除了学生的学习能力和学习兴趣存在差异等因素外，一定程度上是由于高等数学与高中数学在内容上衔接不畅导致的。现在的在校大学生在高中阶段接受的是新课标教学改革后的数学内容，这些内容较以往有了较大变化，与高等数学的教学内容出现了脱节，这就导致了学生知识上的断层。作为高等数学教学内容的实施者，高等数学任课教师有必要且有义务帮助学生实现知识上的过渡与有效衔接。如果高等数学任课教师不根据这些变化进行教学方法上的调整，那么教学效果势必会受到很大影响。因此，教师如何根据现今高等数学和高中数学教学内容上的变化科学教学，以实现高等数学与高中数学的有效衔接，是一个非常重要的问题。为了解决这个问题，近些年来一些学者也对这个课题进行了研究，提出了一些比较好的观点。［1－5］作为多年从事高等数学教学的任课教师，笔者结合前人研究和自己的教学经验，认为高等数学任课教师要在充分熟悉高等数学教材的基础上做到以下几点。

一、熟悉现今的高中数学教材

(一)熟悉高中数学新增加的知识点

研究现今的高中数学教材可以发现，与以往教材相比，新课标教学改革后的高中数学教材不仅增加了极限、导数与微分、积分等内容，而且增加了概率论与数理统计的一些内容。［1］虽然这些原本应该出现在大学阶段的数学内容已经出现在了高中阶段的教材中，但由于高中阶段的教学目标与大学阶段的教学目标存在差异，高中数学教师在讲解这些内容时往往不会很系统、很深入。因此，即使这部分内容同样出现在大学阶段，高等数学任课教师仍有必要进行讲解。学生对这部分知识已有了一定的了解，教师在进行教学设计时要仔细斟酌。如果高等数学任课教师对这些改变并不了解，那么在实际的教学过程中一定会在学生已经掌握的知识上浪费时间，而对于应该突出的重点内容没有重点讲解。

(二)熟悉高中数学新删减的知识点

环冷机由流体区与多孔介质区组成。流体由底部的篦板进入多孔介质区，最后由顶部流出。环冷机料高为140mm，运行周期为4314s，有效利用区为971s，循环区进风温度为404K，非循环区进风温度为20℃，进风速度为5~7.65m/s，最终出料温度低于150℃。考虑到环冷机内气相湍流流动和换热过程很复杂，在保证求解精度和反映主要规律的前提下，对环冷机物理模型做以下假设：(1)环冷机台车内的物料被视为多孔介质；(2)回转台车近似为下半部分棱台上半部分为长方体处理；(3)环冷机在稳定工况下，不考虑工艺参数的波动变化；(4)由于辐射换热所占的比例不大，因此忽略烧结矿颗粒间的辐射换热，只考虑烧结矿固体颗粒之间的导热过程、流体之间的导热过程以及流体与烧结矿固体颗粒之间的对流换热过程。

数学模型：1）控制方程：根据不可压缩黏性流体非定常流动的Navier-Stokes方程，选用kε双方程湍流模型对环冷机内流动换热规律进行研究。可以将环冷机问题整体求解方程描述为：连续性方程：()=0+jjuxρτρ(1)动量传输方程：ijiijijjigfxuuxu+=+(ρ)(ρ)pτ(2)式中：ρ为流体密度；ui为流体在i方向的速度；τ为冷却时间；pij为表面压力矢量，包括静压力和流体黏性压力；gi为作用于单位体积流体在i方向的体积力；fi为作用于单位体积流体的反方向的阻力；u为床层颗粒间隙内的气体流速，由表观流速ub与空隙率ε决定：u=ub/ε。采用压力沿床层线性分布的假设，利用Darcy定律计算气体的表观流速：()bL0u=Kp/z=Kpp其中，pL和p0分别为台车进出口压力；渗透系数fK=k/μ，渗透率k用Ergun关系式[6]计算：k=/[150/(1)]322εεpd。能量方程利用局部非热力学平衡换热理论，建立气固两相换热双方程，使用编写的用户自定义函数(UDF)进行数值计算。2）局部非热平衡能量双方程：Coberly等[7]采用局部热力学平衡方程对二维伪均质模型进行研究，忽略了气固两相之间的温差；DeWasch等[89]研究表明，只有当气固两相温差很小且毕渥数小于0.05时，局部热力学平衡方程可以用于简化的一维和二维模型，但不能满足环冷机中的气固换热问题。Wakao等[10]研究表明：气固两相热容和热导率相差较大时，各相局部温度变化率会明显不同。本研究将气相温度Tf和固相温度Ts作为2个独立的变量，分别表征同一特征单元每相的热状态，把多孔结构内的传热视为两相之间的传热，得到通用方程组[1112]如式(4)和(5)所示：固相：=τερss(1)()Tc(1)()(1)()sssvsfελT+εqhTT(4)气相：==ffff()(c)uTTcppρτερ()()fffvsfελT+εq+hTT(5)式中，qs和qf分别为固相和气相发热源项；Tf为气相温度；Ts为固相温度；hv和h分别为固相骨架与流动介质之间的单位体积与单位表面积的对流传热系数。hv可由Achenbach准则关系式确定：ph6h(1ε)/dv=(6)h由下式确定[13]：1/31/2fNuhd/2.00.6PrRep=λ=+ffPrcv/λp=，ffReεdu/λp=(7)其中：Nu，Pr和Re分别为始塞尔数，气体普朗特数和雷诺数；vf为流体的运动黏性系数；uf为流体速度；λf为流体热导率；cp为流体的比热容。4）边界条件与初始条件：边界条件：Logtenberg等[4,14]认为应将环冷机篦板壁面边界条件设为流体温度。流体出口温度与压力均满足第二类边界条件：0f=zT，=0zp。初始条件：当环冷机运行在余热循环利用区时(即τ＜τ循环)，气相温度Tf为循环风温，固相温度Ts为常数；当环冷机运行在非循环区时(即τ＞τ循环)，Tf为自然风温。

模型结果验证

考虑到现场测试条件较艰苦，且固相与气相之间较强的对流换热会对环冷机台车内物理场测量产生很大的影响，故文献[15]选用环冷机处于不同时刻时，出口空气平均温度的现场测试值与仿真结果数值对本研究所采用模型的正确性进行验证。从表1可以看出，在数值仿真结果和测试结果之间存在不同程度的误差。该误差主要来源于：(1)测试期间环冷机操作参数的波动；(2)测试时在烟罩上进行了开孔，对环冷机内的温度场、速度场和压力场产生了干扰破坏作用；(3)环冷机存在漏风。但是，环冷机出口空气温度的数值仿真结果与实验测试结果的最大误差小于10%，环冷机内烧结矿的温度分布与实际趋势也基本一致，因此，可以认为本文所建立的模型及计算结果是可靠的。

计算结果与分析

由环冷机对流换热控制方程可以看出：物料粒径、空隙率、进风温度、进风速度、料层高度等都会对环冷机温度场、流场分布产生影响[15]。本文主要研究不同固相颗粒粒径对余热利用量的影响，3种粒径的物料沿台车高度方向按粒径从小到大的顺序布置于上、中、下3层，试验工况见表2（略）。

1）温度场分布：冷却时间为581s时，环冷机内物料温度如图2所示。由图2可见：经过分层布料工艺后，环冷机内出现高温区与低温区，除工况Ⅵ(体积换热系数按料层高度由大向小分布)外，其余工况均有明显的高、低温区交错分布现象。环冷机下层物料均能得到很好的冷却，但在工况Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ中，环冷机中层或上层靠近壁面的区域出现部分高温区域，这3种工况粒径配置的共同点为：中层向上层过渡时，物料粒径均减小，即流体自中层向上层流动时，所受到的阻力增加，于是流体更多从中间区域流出，壁面区域的物料由于冷却不充分而出现高温区。工况Ⅲ和Ⅵ上层物料粒径最大，故换热效果较差，出现较明显的高温区；工况Ⅲ和Ⅳ中层物料粒径最小，换热效果较好，故台车中层物料冷却效果最好；工况Ⅰ和Ⅳ下层物料粒径最大，但由于台车结构影响，下层流体的物理速度最大，气固两相温差最大，故换热效果较好。为反应台车内温度分布的均匀性，表3列出了环冷机不同截面处温度的标准差。由表3可以看出：工况Ⅰ和Ⅳ中的物料温度分布较均匀，有利于提高烧结矿冷却质量。环冷机不同工况下出口截面物料温度分布如图3所示。由图3可以看出：不同工况下的烧结物料在1500s之前冷却速度较快，整个循环过程中，物料温度随冷却时间呈指数形式减小。对于余热循环利用区出口空气的温度T，若选取无量纲温度()/()fsfT=TTTT作为空气的特征温度，定义τ=τ/(H/u)为特征冷却时间，其中，H为物料高度。图4所示为出口截面空气无量纲温度随时间的变化曲线。通过线性回归分析，特征温度随特征时间满足指数函数关系：τeBT=A(8)式中，A反映初始阶段特征温度随特征时间的变化速率；B反映整个冷却过程中特征温度随特征时间的变化速率。A与B随H/d及22Nu(1ε)H/d变化关系分别如图5和图6所示。由图5和6可以看出：拟合函数变量A随H/d线性变化，随22Nu(1ε)H/d对数变化；拟合函数变量B不随H/d变化。#p#分页标题#e#

摘要:

利用ProCAST软件对铝合金轮毂低压铸造过程中铸件及压铸模具进行温度场和应力场的耦合模拟。对模具结构、压铸工艺参数进行优化，采用中心复合试验法设计多组试验并进行数值模拟，分析各自变量对充型过程及模具影响因素的大小，得到自变量与目标量之间的响应面和映射关系。以模具轻量化／低热应力／高效率为目标建立优化模型，采用NSGA－Ⅱ算法进行多目标优化并获得Pareto优化解，达到提高铸件品质，延长模具寿命的目的。

关键词:

ProCAST；中心复合实验；响应面；多目标优化

近年来，铝合金轮毂作为一个重要的汽车零部件产业获得了迅猛地发展［1，2］。从轻量化、安全性、耐用性、多样性以及节能环保等方面综合看，铝合金轮毂是汽车工业的首选材料。低压铸造作为铝合金轮毂的主要生产方法之一，具有铸件尺寸精度高、铸件内在品质好、金属利用率高等优点［3～5］。但低压铸造过程中也会产生诸如气孔、裂纹、缩孔、缩松等铸造缺陷，这些缺陷的产生与充型及凝固过程密切相关。我国铝合金轮毂的生产主要依靠经验，从开发模具到试生产，再到修改模具以及确定工艺方案，是一个反复试错的过程。耗时费力，且设计结果往往精度低、可靠性差。本课题采用中心复合试验法［6～9］，将模具边模厚度、铝液浇注温度、加压速率作为研究对象，分析其对压铸效率和模具寿命的影响，并得到自变量与目标量之间的响应面［10，11］和映射关系。以模具轻量化、低热应力、高效率为目标，采用NSGA－Ⅱ算法［12～14］进行多目标优化并获得Pareto优化解。这种综合考虑多种自变量和目标量的优化方法可以有效地减少试验和优化的次数，同时兼顾实际的生产效率和模具寿命，在铝合金轮毂低压铸造的模具及工艺方面具有积极意义。

1低压铸造模拟

利用UGNX软件建立模具的三维模型，模具装配视图见图1。车轮为43．18cm、20辐的多辐条轮毂，见图2。低压铸造加压曲线见图3。根据工厂实际情况，压铸过程中出现的问题主要有：①模具底模在长时间压铸之后会出现热变形，影响轮毂的精度；②轮毂热节处会产生缩孔缺陷，降低车轮强度。根据建立的数学模型以及确定的热物性参数、边界条件以及初始条件用ProCAST软件进行模拟，得到了低压铸造充型和凝固过程中模具的温度场及各部位应力值与时间的关系。

摘要:“常微分方程”是高校数学学科的专业基础课程之一。该文以南昌大学“常微分方程”课程的教学实践为例,探讨在教学中如何融入数学史、数学家故事、数学思想方法和数学模型等数学文化元素，以培养学生的学习兴趣、创造性思维和应用实践能力等各方面数学素养。

关键词:数学文化；常微分方程；数学素养

“常微分方程”是本科数学专业的基础课程，它是“数学分析”“高等代数”“解析几何”等基础课程的理论延续，也是学习“泛函分析”“拓扑学”“微分方程定性理论”“稳定性理论”“数学物理方程”和“偏微分方程”等主干课程的必要基础[1]。南昌大学数学系面向数学与应用数学专业本科二年级学生开设了“常微分方程”课程，总共授课16周次，共64学时、4学分，使用的教材是王高雄等主编的《常微分方程》第三版。通过学习这门课程，学生能够掌握构建常微分方程数学模型的思想方法，培养学生运用数学理论解决实际问题的能力。李大潜先生指出：“数学的课堂教学，特别是主干数学课程的数学教学，在讲授数学知识的同时，将有关数学的重要发现与发明摆到当时的历史环境中来分析，并结合现今的发展及应用，揭示它们在数学文化层面上的意义及作用，因势利导，顺水推舟，达到画龙点睛的效果，使学生在润物细无声之情境中得到深刻的启示。”[2]关于数学文化的内涵，首届国家教学名师顾沛教授提出：“狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义的数学文化是指除上述内涵以外，还包含数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系。”[3]近年来，“常微分方程”的教学实践融入了一些数学文化元素，使学生的数学素养得到了较好的提升。

1引入数学史和数学家故事，激发学生的学习兴趣

吴文俊先生指出：“如果将数学的历史发展、一个领域的发生和发展、一个理论的兴旺和衰落、一个概念的来龙去脉、一种重要思想的产生和影响等许多历史因素都弄清楚了，对数学也会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚深刻，还能对数学的未来发展起到指导作用，知道数学究竟应该朝怎样的方向发展才能产生最大的效益。”[4]

1.1常微分方程的发展历史。17世纪，牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立了微积分学，之后出现了常微分方程理论。常微分方程的发展伴随着解的存在性（Existence）、唯一性（Uniqueness）和稳定性（Stability）三大核心问题，大致经历了5个时期：（1）发展初期以求通解为主要研究目标。比如莱布尼茨利用分离变量法研究一阶微分方程的求解问题，伯努利（Bernoulli）数学文化融入“常微分方程”教学的探索与实践朱能尹建东（南昌大学数学系江西·南昌330031）方程被提出和求解，欧拉（Euler）利用积分因子法将一阶线性微分方程转化为恰当微分方程求解，拉格朗日（La-grange）利用常数变易法求解非齐次线性微分方程，克莱罗（Clairaut）研究奇解问题等等。（2）定解理论研究时期。比如刘维尔（Liouville）证明了里卡蒂（Riccati）方程不存在一般的初等解，柯西（Cauchy）建立了初值问题解的存在唯一性定理，利普希茨（Lipschitz）条件的提出以及皮卡（Pi-card）逐步逼近法的应用等等。（3）解析理论研究时期。主要通过定义一些特殊函数求解特殊方程,比如贝塞尔（Bessel）方程、勒让德（Legendre）方程和高斯（Gauss）几何方程等。（4）定性理论研究时期。这个时期主要以解的大范围性态为研究内容，这得益于庞加莱（Poincare）创立的定性理论和李雅普诺夫（Lyapunov）创立的运动稳定性理论。（5）到20世纪中后叶，随着计算机技术的迅猛发展，常微分方程进入了求特殊解时期。比如混沌、奇异吸引子和孤立子等一些特殊解的重要发现。

1.2数学家的趣闻轶事。在“常微分方程”教学中，可以适度穿插数学家的奇闻轶事，以较好地激发学生的学习兴趣。如在教学常微分方程绪论时，介绍德国著名数学家莱布尼茨的故事。17世纪末，莱布尼茨在给牛顿的信中首次提出“微分方程”这个数学名词，并且最早使用分离变量法求解微分方程。莱布尼茨的研究领域非常广泛，他与同时代的牛顿在不同国家各自创建了微积分学，发明了沿用至今的微积分符号，开创了数理逻辑，提出了二进位制，被后人尊称为“符号大师”。在教学伯努利方程求解时，介绍伯努利家族成员的故事。17～18世纪的伯努利家族是一个数学家辈出的家族，共出现了10余位数学家，其中雅各布（Jakob）、约翰（Johann）和丹尼尔（Daniel）是伯努利家族在微分方程领域贡献最卓著的三位数学家。著名的伯努利方程是由雅各布提出的，他在概率论、微分方程、无穷级数求和、变分法和解析几何等领域都有突出贡献，比如著名的伯努利大数定律，就是以雅各布的名字命名的。在教学恰当微分方程和积分因子时，介绍数学家欧拉的故事。欧拉是18世纪数学界的中心人物，被同时代数学家尊称为“大家的老师”。欧拉的研究领域极其广泛，在许多学科领域都能见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。由于在研究天文学时长期观测太阳，欧拉的双眼先后失明。在失明的十余年间，凭借非凡的毅力、惊人的记忆力和心算能力，他完成了生平近一半的著作，且行文流畅，被誉为“数学界的莎士比亚”。在教学非齐次线性微分方程求解时，介绍了数学家拉格朗日的故事。拉格朗日在数学、力学和天文学中都有极其卓越的贡献，他促进了数学分析及变分法的发展，为分析力学和天体力学发展奠定了理论基础，被拿破仑称赞为“一座高耸在数学世界的金字塔”。在教学柯西问题解的存在唯一性定理时，介绍数学家柯西的故事。19世纪初，柯西在微积分中引进了极限概念，为微积分的理论基础做出了巨大贡献。柯西是一位多产的数学家，年轻时投稿论文一度造成“巴黎纸贵”现象。这些数学家的奇闻轶事能够使学生得到启发，有利于培养学生持之以恒和勇于创新的学习精神。

1．统计表达和描述方面存在的错误:

(1)统计表中数据的含义未表达清楚，令人费解。

(2)统计图方面的主要错误有2个，其一，横坐标轴上的刻度值是随意标上去的，等长的间隔代表的数量不等，在直角坐标系中，从任何一个数值开始作为横轴或纵轴上的第一个刻度值;其二，用条图或复式条图表达连续性变量的变化趋势;

(3)运用相对数时，经常混淆“百分比”与“百分率”;

(4)在表达多组定量资料时，即使定量资料偏离正态分布很远，仍采用“x珋±s”表达(标准差S＞x珋)，特别当表中采用标准误Sx珋取代标准差s时，前述的错误很难被察觉出来。

2．定量资料统计分析方面存在的错误:

(1)当定量资料不满足参数检验的前提条件时，盲目套用参数检验方法;

[摘要]现阶段很多高中学生学不明白高中数学，大部分学生能看明白教材中的内容，对于教师讲解的知识也基本都能听明白，但是一进入考场解题时就会出现很多问题，其中最主要的原因就是缺乏必要的数学思想方法，导致学生在考场没有解题思路，因此，要求学生灵活掌握数学思想方法是必要的。高中数学思想方法是分析、处理和解决问题的策略，是高中数学知识体系的精髓与灵魂，同时也是对高中数学知识最高层次的概括与提炼。在高中数学教学中对思想方法的教学渗透意义重大。

[关键词]高中数学；思想方法；教学；渗透

高中数学教学的重要任务是让学生能够准确理解数学知识，并且能够将所学的知识灵活应用，这就需要高中数学教师在日常教学中要注重数学思想方法的渗透。

一、高中数学七大基本思想方法

1.函数与方程思想

第一，函数思想是用变化的观点解决实际问题中的数量关系，根据具体问题建立相应的函数关系式，再结合相关的函数知识解决问题的思想。在研究方程、不等式、数列和解析几何等内容时，把函数思想应用于其中。第二，方程思想是分析高中数学问题中变量间的相等关系，解决相关计算问题的基本思想，高考将函数与方程思想作为重点来考查。

2.数形结合思想