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摘要：离散数学内容繁多、概念抽象且学时有限，按照传统教学模式进行教学，容易导致教学效果不佳。文章以工程教育专业认证理念为指导，研究离散数学的教学模式，从注重学生能力培养入手，重新设计教学环节，开展基于MOOC和翻转课堂的混合式教学，同时改进多元化的考核评价方式。教学实践表明，该混合教学模式能够激发学生的学习热情，取得较好的教学效果。
关键词：离散数学；混合式教学；工程教育专业认证；翻转课堂
工程教育专业认证是根据国际本科工程学位互认协议，即《华盛顿协议》的标准和流程，对高等院校的工程类专业进行认证。工程教育专业认证是提高工程类专业教育质量的有效手段，并能有效促进专业的持续改进，提升专业人才的国际竞争力。工程教育专业认证理念，要求以“学生为中心”，以“成果产出为导向”，并坚持“持续改进”。教学活动环节的关键点在于教师想要学生学到什么，而不是教师怎么教，或者教什么；在评估环节，使用多种真实性的评估任务来进行评价，并且鼓励学生进行自我反思以培养探究与创新等能力[1]。在工程教育专业认证的背景下，对每门课程的教学目标、教学内容和课程评价等都提出了更加严格的要求。
一、离散数学教学研究现状
离散数学是研究离散结构及其性质的学科，是计算机科学与技术、软件工程等专业的学科基础课，该课程概念多、定理多、内容杂。采用传统教学模式时，教师在有限课时内难以将课程内容与专业知识进行有效结合，难以引入新技术和新成果，学生容易感觉枯燥，导致学习效果差[2]。因此，为了提高课程教学效果，当务之急就是改变传统的教学模式，实施以翻转课堂为主的混合式教学模式[3]。翻转课堂是近些年出现的授课方式，该方式将传统课堂上的知识学习与课后的知识巩固进行颠倒，使学生在线学习网络视频进行巩固练习，再通过课堂讲解对学生在学习中总结的问题进行答疑解惑[4]。大型开放式网络课程（MassiveOpenOnlineCourse，MOOC）[5]的出现，使得翻转课堂得以实现，学生课前通过MOOC自学新知识，然后将原来的课后练习放在课堂上，教师在课堂上对学生进行测试、回答学生问题、讲解重点难点等，以此达到“翻转”的目的[6]。在工程教育专业认证背景下研究者对离散数学的教学进行了探索。文献[7]指出，以MOOC实施的翻转课堂，强调学生的主体地位，即强调以“学生为中心”，并且以“问题为导向”，该理念与现在的工程认证教育理念一致。文献[8]指出，离散数学的教学计划、教学过程和考核机制都要进行改革，使其符合工程教育专业认证的要求。文献[9]指出，为了满足离散数学在工程教育专业认证中的教学目标，针对教学内容多与讲授课时少的矛盾，采用“设计问题-观看视频-解决问题-抽查效果”的混合式教学方法行之有效。文献[10]在移动互联环境的背景下，在离散数学教学中引入翻转课堂和混合式教学，突出了以学生为中心的教学理念。因此，翻转课堂和混合式教学是离散数学教学改革中的有效手段。
二、混合式教学模式实施方案
针对离散数学内容繁多、概念抽象和学时有限等原因导致教学效果不佳的问题，研究以工程教育专业认证理念为指导的基于MOOC和翻转课堂的混合教学模式，以提高教学质量。其教学改革实施流程如图1所示。
（一）以工程教育专业认证理念为指导
根据工程教育专业认证理念，针对基于翻转课堂的混合教学模式，按照以下几个步骤对离散数学课程进行改革。1.教学设计阶段，注重学生能力的培养依据工程教育专业认证理念，通过课程教学不仅要培养学生掌握专业知识的能力，还要培养学生的沟通表达能力、团队合作能力、解决复杂工程问题能力等等。因此教学设计阶段，首先要明确课程目标，并依据翻转课堂和混合教学模式的特点，重新组织教学内容，精心设计教学环节，确定课程的教学方式和考核手段等；同时，修订课程大纲，将课程思政的目标写进教学大纲，培养学生的政治思维能力。2.教学过程中，将软件工程专业的课程目标和毕业要求落到实处在有限课时内，除了完成教学内容的讲授，要尽可能地培养学生提出问题和解决复杂工程问题的能力，这就需要在教学过程中从教学方法、教学手段、习题布置和小项目设置等方面进行精心地组织和设计，突出学生的主体地位，充分调动学生的学习热情，提高教学效果。3.教学结束后，引入多元化的考核评价机制根据翻转课堂的特点，除了有期末考试的终结性考核外，还要对课前、课堂和课后这几个不同阶段进行形成性考核，形成性考核引导学生重视过程学习。考核结束后，综合多方面的考核结果和评价结果对课程进行持续改进。
（二）开展基于MOOC和翻转课堂的混合式教学
本课程采用混合教学模式，教学过程包括课前、课堂和课后三个阶段，其中课前与课后主要在线上完成，课堂则在线下实现。1.课前，在众多MOOC资源中，精选出符合本课程教学大纲的内容，将其发布给学生，让学生自学指定的视频内容；同时，设计自学测试题目，帮助同学检验自学效果，以便教师掌握学生的自学情况。2.课堂，根据自学测试结果，学生带着问题进课堂，教师有针对性地进行讲解。对于一些知识难点，引入软件工程领域的具体案例来引导学生思考，比如讲解图论中的哈密顿回路时，可以结合旅行商问题来加深学生的理解。对于一些比较容易的重点章节，通过发布任务鼓励学生自主讲解，带动学生自主学习的积极性；此外，还可以采用边讲边练、学生提问、学生解答、学生点评等多种教学手段来充分调动学生的学习热情。课堂上，教师采用启发式教学、引入案例教学和任务驱动教学等方法来引导学生学习。结合多种教学手段，鼓励学生之间互动交流，自主思考，将更多的课堂时间留给学生，突出学生课堂的主体地位。特别地，根据离散数学的特点，教师在课堂上巧妙地融入形式多样的思政教育，比如“数学知识”思政、“数学历史”思政、“先进技术”思政、“问题导向”思政等等。课程思政不仅能激发学生的学习兴趣，更能培养学生的理想信念、政治信仰和社会责任，达到培养学生全面发展的目的。3.课后，利用超星尔雅网络教学平台，布置课后作业。为了及时掌握学生的学习情况，要求学生在超星论坛上写课后总结，并鼓励学生在论坛上展开讨论。根据学生的作业情况、讨论结果以及课后总结，持续改进教学方式，比如对学生提到的难点再进行详细讲解，对学生有兴趣的知识点加以扩展，进一步激发学生的学习热情。另外，由于离散数学课程与后续的专业主干课程联系密切，课后通过设置小项目，引导学生应用离散数学的思维方法和现有的新技术来完成，这不仅能为后续专业主干课程打下牢固的基础，还能进一步培养学生解决复杂工程问题的能力。对于完成较好的小项目，鼓励学生申请创新创业项目来进行深入研究。以上教学模式进一步体现了工程教育专业认证理念。以“学生为中心”强调的是全体学生，但是不同学生的学习能力存在差异，因此教学中通过设置不同的学习任务来有效调动学生的整体积极性。课前自学、课堂听课和提交作业是最基本的教学任务，大部分学生能通过该任务基本达成课程目标；课堂积极参与互动和课后总结是中等及中等偏上学生能够完成的学习任务；学生讲解和完成小项目是优秀学生乐意接受的挑战。根据不同任务的完成情况，教师可以较好地掌握学生的学习情况，并据此不断改进教学方法，这进一步体现了以产出为导向，并持续改进的理念。
（三）改进多元化的考核评价方式
传统作业和期末考试的考核方式难以全面地评价学生的学习情况。根据翻转课堂的特点，混合式教学模式包含课前自学、课堂教学与课后巩固几个环节，采用多元化的考核方式来有效考核学生的学习情况，并引入多种评价手段对课程进行评价，使考核和评价更具有客观性。1.课前考核，主要依据看视频进度和课前自学测试结果进行，考核学生基本知识点的掌握情况。2.课堂考核，主要依据互动讨论、学生回答问题、学生讲解和学生点评等课堂表现结果进行，考核的是学生的课堂参与度。3.课后考核，主要依据学生提交的课后练习、课后总结和讨论、课后小项目等进行，考核学生知识点的掌握情况，以及学生提出问题和解决工程问题的能力。小项目一般需要3~5个同学协作完成，这也考核了学生的合作能力、沟通能力和团队精神。4.终结性考核，主要通过期末考试来进行，考核学生课程综合知识的掌握情况。课前考核、课堂考核和课后考核为形成性考核，侧重评价学生的过程学习，根据考核结果，教师能够及时地改进教学手段和策略，提高教学效果。课程结束后，通过设置不同的权重，将形成性考核与终结性考核结合在一起，并据此计算课程目标达成度。通过对课程目标达成度进行分析，并结合学生评价和同行评价等多种手段，对整个课程进行评价和分析，找到教学的不足之处并加以改进。
三、教学实践效果
离散数学课程的主要任务是通过课堂教学、课堂讨论以及课后作业等环节培养学生具备离散结构及性质的数学知识，能够使用相关知识进行建模，并能够对模型进行灵活的转换、推演和求解，还能够对解决方案及其合理性进行比较、分析和选择，从而为正确识别和表达复杂软件工程问题的关键需求和关键技术提供有力的数学支撑。根据软件工程专业培养方案以及毕业要求，设置了以下四个课程目标：1.理解并掌握集合、关系、代数系统和图的基本概念、基本原理和基本方法，能够应用关系图、关系矩阵、关联矩阵和邻接矩阵等模型来对软件工程问题进行提取、表述和建模，并能够结合集合运算、关系运算和二元运算等来计算和求解相关问题。2.理解命题逻辑和一阶逻辑的基本概念，掌握命题逻辑和一阶逻辑的等值演算，熟悉推理的形式结构与推理定律，掌握自然推理系统的方法与技巧，并能够灵活使用推理规则对实际问题进行推演和分析。3.理解并掌握关系中的等价关系和偏序关系；图中的欧拉图和哈密顿图；树中的最小生成树和最优二叉树，并能够对上述离散结构的性质和特点进行分析、比较和综合，从而针对不同的实际问题提出合理的解决方案。4.深刻理解命题逻辑、一阶逻辑、关系、图和树等离散结构的基本原理、基本性质和基本方法，并能够综合运用离散数学知识来正确识别和判断复杂软件工程问题的关键需求。以软件工程系2020级的学生为实验对象，在2020-2021学年第二学期的离散数学课程对比了教学改革效果。202011、202012、202013三个班级的离散数学采用以教师讲解为主的授课，即传统教学，202014、202015、202016三个班级的离散数学课程实行上述教学改革方案，即混合式教学。图2显示了2020-2021学年第二学期离散数学的课程目标达成情况的对比结果。由图2可知，混合式教学每个课程目标的达成度都优于传统教学，尤其是对于课程目标3，混合式教学达成度的优势最为明显，这表明，混合式教学有效提高了学生自主学习和分析问题解决问题的能力。不过，通过课程目标达成度的结果也能发现，课程目标1的达成度偏低，这主要体现在学生对代数系统中群的证明和应用掌握欠缺，这需要在今后的教学过程中，进行持续改进。除了对课程目标达成度的分析外，还对期末考试成绩进行了对比。表1列出了2020-2021学年第二学期离散数学课程的期末考试成绩分布。由表1可以看出，混合式教学比传统教学有着较为明显的优势。从成绩的平均分来看，采用混合式教学班级的平均分比传统教学的平均分高出3分多，采用混合式教学班级的优良率明显高于采用传统教学的班级。因此，通过教学实践，进一步表明在工程教育专业认证理念的指导下，基于MOOC和翻转课堂的混合式教学模式可以得到更好的实施，并能有效提高教学效果。
四、结束语
在工程教育专业认证理念的指导下，基于MOOC和翻转课堂的混合式教学能够有效促进离散数学课程教学质量的提高。混合式教学充分利用现有的MOOC资源，结合翻转课堂的优势，引导学生通过自主学习来解决问题，将离散数学的课堂更多地交给学生，充分发挥学生的主体地位。混合式教学中采用多种教学方法和教学手段相结合，充分调动学生的学习热情，促进学生自主学习，培养学生提出问题和解决复杂工程问题的能力。通过引入多元化的考核机制，侧重于考核学生整个过程的学习状况，多元化的考核评价机制不仅能够保障翻转课堂教学的顺利实施，还能够根据考核结果以及学生和同行的评价不断改进教学手段和方法来提高教学效果。因此工程教育专业认证理念能够促使MOOC和翻转课堂的混合式教学模式得到更好的实施，培养学生自主学习、发现问题和解决问题等各方面的能力。教学实践中，通过对课程目标达成度和成绩分布的对比分析，进一步表明混合式教学能够切实地提高离散数学课程的教学质量。
作者:葛芸 冷璐 王星 单位:南昌航空大学
