前言：寻找写作灵感？中文期刊网用心挑选的数理逻辑与传统形式逻辑，希望能为您的阅读和创作带来灵感，欢迎大家阅读并分享。
用汉语“若,则”指称的充分条件关系(sufficientcondition,即必然关系,用符号表示)跟刻划真值函数关系的实质蕴涵关系(materialimplication,简称蕴涵,用符号→表示)之间是风马牛关系。这个自然语句的逻辑语义是:若A为含有的式(formula),B为把A中的用→替换后得出的式,则AFB(读作A风马牛B),即,(AB)∧(AB)∧(BA)∧(BA)。换个通俗的说法,风马牛关系就是彻底的偶然关系,或者说,是最偶然的最偶然关系。 AFB有一项逻辑性质:若A、B间的真值搭配为全搭配,则AFB必真。故而,只要证明A、B间的真值搭配为全搭配达就证明了本文的论题。要对A、B举出同真、同假、A假B真的例子,是不难的。亦即,我们只需再添上A真B假的实例,就完成了AFB为真的证明。含有1个号的(CD)(即C!D———C可能D)在C真而D假时可真(如,“路湿可能下雨”在事实上路湿而不下雨时也为真);然而,与之相应的变换后的(C→D)却和C∧D等值,在C真D假时为假。含有两个号的(CD)∧(CD)(即COD———C偶然D)可真;然而,与之相应的变换后的(C→D)∧(C→D)却与C∧D∧C∧D等值,恒假。 下面,我们再作一次证明:设A为(p(x)q(x))r(x),于是,相应的B为(p(x)→q(x))→r(x)。以“物体”为论域。令:p(x)表示“x的温度为100℃”,q(x)表示“x熔化”。我们用下表列出实例: “若x的温度为t℃时则x熔化,必然,x的熔点不高于t℃”(α)为物理定理。不论x取何物,t为几摄氏度,α常真。可是,“若x的温度为t℃时则x熔化,必然,x的熔点高于t℃”(β)与常真的物理定理α相反对,常假。然而,一经把上述物理定理α及其反对命题β中指称充分条件关系的“若、则”、“必然”变换成纯真值的“蕴涵”后,常真的物理定理α就变成可假,而常假的反对命题β却变成可真了。用这种真假飘忽不定的实质蕴涵来取代固若金汤的充分条件(或必然)关系,实在是逻辑史上的误会。 必须指出:即使当A、B同真时,这也只不过是一种彻底偶然的风马牛的巧合。因为,在这种时候,A、B两者的逻辑语义(决定A、B所以为真的逻辑依据)仍然根本不同:A说的是“若p则q;必然,r”。A是常真的一般的物理定理;当指定温度t为100℃、物体x为一块冰棍时则为A的个别例。象具有A这样的逻辑语义的语句,凡是学过物理学中熔点的定义的人都听得懂,说得出。可是,实事求是而不故弄玄虚地说,与A相应的B(即(p→q)→r)的逻辑语义是:不是:“不是‘p真而q假’”真而r假。具有这种逻辑含义的语句,占人口99.999999%的人是听不懂、不会说的。鉴于绝大多数的人从来不需要产生具有这种逻辑含义的思想,因而,不曾学会应该怎样来形成和陈述这种话语。在这种情况下,B尽管和A同为真,然而,其逻辑语义要说相干,也不过是风马牛相干。 我们所进行的是逻辑学的实事求是的科学讨论,不是茶余饭后的随便闲聊。经过论证,我们获得的结论是:(1)在经验科学的意义上,或者说,当把具有不同逻辑含义的?(充分条件)和→(蕴涵)分别应用于经验科学时,AFB。我们称这种情况为和→之间的经验的风马牛。(2)在逻辑科学的意义上,经过分析,获得的结果是:传统形式逻辑推理格式和正统数理逻辑形式定理之间的关系仍然是风马牛。这个自然语句的逻辑语义是:若A为传统形式逻辑命题形式的符号表达式,对A中指称分充条件(或必然关系)的用?表示的“若,则”替换成实质蕴涵→后得出正统数理逻辑符号表达式B,则:“A有效”风马牛“B有效”。 这个结论的证明是轻而易举的。请看下表(其中的符号├、┤分别表示有效、不有效,分别读作“栅”、“反栅”):这就证明了:(├A)F(├B) 在表中,我们在紧接各式的下边同时写出用自然语言表述的相应的式的逻辑语义。当有(├A)F(├B)时,对象序号1的A1、B1这样的实例,虽然A1、B1都有效,可是只不过是一种偶然,甚而是一种风马牛的巧合!这时候,A1、B1的逻辑语义仍然不同,亦即,A1、B1有效的依据完全不同:A1由于有两个独立性因而能从已知获取新知,而B1没有两个独立性因而不能从已知获取新知,而是同语反复的重言式。稍作进一步的恒等变换就能看出,B1的前件C(C→D)和CD等值,前件中已经知道D了,还去推D干什么!后件D对于前件C(C→D)(即CD)来说怎么可能是新知? 这样,我们已经证实了:第一,在经验科学的范围内,含有表述充分条件(即,必然)关系的联结词“若…则…”的命题A,如果将其中的“若…则…”用“蕴涵”替换得到B。此时,如果A与B相干也只是风马牛相干。第二,在逻辑科学的意义上,含有以充分条件(即,必然)关系为逻辑语义的逻辑号?的传统形式逻辑符号表达式A,一旦将其中的号替换成蕴涵号→后得出数理逻辑的符号表达式B,这种情况下,如果A与B的相对于各自的语义的逻辑有效性相干仍然不过是风马牛相干!这铁的事实证实了:用数理逻辑的蕴涵号→取代经验科学或传统形式逻辑中具有两个独立性的充分条件的,是绝对行不通的! 甚至,更具有说服力的是,用数理逻辑的蕴涵号→取代数理逻辑自身的元语言中所使用的“若…则…”,仍然是绝对行不通的!!在数理逻辑中有一系列原始规则和导出规则,这些规则通常都用“若…则…”来表述。我们都知道,作为形式系统的规则“若A则B”中的“若…则…”的逻辑含义是:可提供一个从A到B的形式证明。这就是说,可以写出一个含有A且以B为结尾的式的有限系列,其中,除A外的每一个式,或者是公理,或者是以在前面出现的式为假设使用一次原始规则得出的结果。非常明显,这样的“若A则B”不是A、B的真值函数,亦即,“若A则B”成立与否不取决于A、B本身的真值,而是取决于能否写出具有上述性质的被称为“形式证明”的式的有限序列。事实上,这些在数理逻辑论著中出现的“若…则…”具有两个独立性:(1)第一独立性———可独立于A、B本身是否定理而确定不会A是定理而B不是定理;(2)第二独立性———A是定理可独立于B是否定理确定。可见,数理逻辑元语言中所使用的“若…则…”就是表述充分条件的?,而不是蕴涵→。如果要说数理逻辑作为研究对象的蕴涵→跟元语言中作为研究工具的“若…则…”()之间有什么相干,那仍然不过是风马牛相干!#p#分页标题#e# 我们用事实来证明这个论断。请看下表: 我们来看例2,“若A,则xA”作为一个非纯真值的复合命题,只有一个意思,而且是真的(其含义和真值不取决于在A中出现的个体变元的取值、和A及xA本身的真值)。这就是说,在“若A,则xA”中没有个体变元的自由出现,其本身也不是其前后件的真值函数。可见,这种“若,则”不仅不是其前后件的真值函数,而且,能对其在前后件中的A中自由出现的个体变元x、y起约束作用(此二者具有内在联系)。然而,倘若在A中有自由出现的个体变元x,那么,x在A→xA中有自由出现,故而,其意义和真值随自由出现的个体变元x的取值而定,当A为可假时,xA若为闭命题,则为假,于是,A→xA可假。 再来看例3,由于既不可能写出从C到D的形式证明,又不可能写出从D到C的形式证明(此二者都可以获得元证明,而且是一回事———同义),因而,既不成立“若C,则D”,又不成立“若D,则C”,这两个“若,则”都不是真值函数,其不成立都不取决于C、D本身的真值;可是,作为真值函数,C→D、D→C(此二者不同义)中至少有一为真,因而,复合真值函数(C→D)∨(D→C)恒真。 可见,在数理逻辑元语言中作为研究工具使用的“若,则”跟被它所研究的“蕴涵”绝然不同,而跟为传统形式逻辑所研究的表述充分条件(即必然关系)的“若,则”却完全一致,其逻辑语义也为:可独立于前后件的真值确定不会是前真而后假。 顺便提及一下近些年来极为流行的一种现状:把“必然”、“可能”称为“模态词”,从而把研究“必然”、“可能”的逻辑称为“模态逻辑”(modallogic)。我们在这里要用事实证实的是。所谓的“模态逻辑”其实并不研究普通逻辑思考中的必然、可能。形形色色的“模态逻辑”中的模态词其实和普通逻辑思考中的必然、可能之间的关系也是风马牛关系。我们暂且不说我们所见到的各种模态系统总是跳脱不出引入量词的巢臼和把模态词总是放在一个命题之前而不置于两个命题之间这两点弊病,径直用事实来验证“模态逻辑”和传统形式逻辑之间的风马牛关系。以很有代表性的路易斯的S4系统为例,请看下表:表中的“成立”、“不成立”是指;是否逻辑有效。 在模态逻辑S4系统一栏中,出现的符号-(可念作“鱼钩”)为S4中的“严格蕴涵”号,其逻辑语义为“必然A→B”,而所谓的“必然”则是指“恒真”。可见,这种作为“模态词”的“必然”不仅是1元的,而且,还深深地植根于真值函数之中,是一种特殊的、恒真的真值函数的性质:可是,普通逻辑思维中的“必然”则有一独(有时还具有二独),既不是真值函数,也不是恒真真值函数的性质。因此,“模态逻辑”中的“模态词”跟普通逻辑思考中的“必然”、“可能”如果要说相干,也仍然不过是风马牛相干。正因为如此,我们在讨论“必然”、“可能”并进而讨论“偶然”、“风马牛”时,就始终不曾使用“模态”这个被严重污染了的词语。实际情况是:不仅实质蕴涵跟必然之间只是风马牛关系,就是严格蕴涵、模态词跟必然之间也只是风马牛关系。客观存在是严峻的,然而这的确是事实! 尽管如此,近些年来,企图用数理逻辑“改造”或“取代”传统形式逻辑的主张和行为越演越烈!华裔美籍数理逻辑家王浩曾经深刻地指出:“形式系统(数学的———引者注)的令人感兴趣的用途是对形式系统进行探讨,得出关于形式系统的一般结论(因为它们是形式的),例如刚才陈述的Lowenheim-Skolem定理(若在狭谓词演算形式系统F的框架中表述的任一个形式系统确有模型,则它就有可数模型),以及下面即将考察的Godel不完全性定理(第一不完全性定是:对任一个数论的形式系统S来说,在S中构造不可判定的数论问题的方法是给定的。第二不完全性定理:在包含初等数论的古典数学形式系统S内不能证明S的协调性)等。认为研究数理逻辑首要的是从事形式思维,这是一种通常的误解”[1]这就是说,建立数理逻辑两个演算形式系统,其目的并不在于推导出一系列系统中的形式定理来给人们在普通逻辑思维中当作思维形式使用,而是在于把整个形式系统作为研究对象,讨论作为整体的形式系统具有什么性质。采用元逻辑得出的关于系统的元定理是就是用来揭举整个形式系统的性质的。通常,形式系统需证出一定数量的系统内的形式定理,然而,这是为去得出关于系统的元定理做准备的。数理逻辑家胡世华、陆钟万也指出“构造形式数学系统的目的不是在于进行形式推理,而是在于把形式系统本身作为对象加以研究,例如在§53中将要陈述的哥德尔不完备性定理就是通过这种研究而获得的。”[2]正统数理逻辑的根本使命在于构造数学的形式系统,以便把整个形式系统作为研究对象来讨论元数学问题。而传统形式逻辑的主要目的则是向人们提供作为从已知获取新知的工具的推理格式,指导人们在认识世界和改造世界中去获取新知的过程中有效地进行推理论证。与数理逻辑研究不同,构造符合人的普通逻辑思维的当代形式逻辑公理系统的目的则包括两个方面:第一,去获取符合人的普通逻辑思维的形式推理;第二,同时也要把形式公理系统本身作为对象进行研究。林邦瑾在《制约逻辑》(贵州人民出版社1985年出版)中已经这样做了,我们在即将出版的《当代形式逻辑及其在人工智能中的应用理论研究》中展开Cm系统和Cn系统时也是这样做的。 十分显然,我们的结论是,企图用数理逻辑“改造”或“取代”传统形式逻辑是一种常识性错误。